專題3.4 函數(shù)的應(yīng)用（一）（3類(lèi)必考點(diǎn)）（人教A版2019必修第一冊(cè)）（原卷版）

專題3.4函數(shù)的應(yīng)用（一）TOC\o"1-3"\h\z\t"正文,1"【考點(diǎn)1：一次、二次、分式函數(shù)模型】 1【考點(diǎn)2：分段函數(shù)模型】 4【考點(diǎn)3：冪函數(shù)模型】 9【考點(diǎn)1：一次、二次、分式函數(shù)模型】【知識(shí)點(diǎn)：一次、二次、分式函數(shù)模型】函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)分式函數(shù)模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)或y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)1．某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷(xiāo)售量x（件）與單價(jià)P（元）之間的關(guān)系為P=160?2x，生產(chǎn)x件所需成本為C（元），其中C=500+30x，若要求每天獲利不少于1300元，則日銷(xiāo)量x的取值范圍是（

）A．20≤x≤30，x∈N? B．20≤x≤45C．15≤x≤30，x∈N? D．15≤x≤452．某單位計(jì)劃建一矩形場(chǎng)地，現(xiàn)有總長(zhǎng)度為100m的可作為圍墻的材料，則場(chǎng)地的面積S(單位：m2)與場(chǎng)地的長(zhǎng)x(單位：m)的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)___________．3．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為200萬(wàn)元，并且生產(chǎn)量每增加一單位產(chǎn)品，成本增加1萬(wàn)元，又知總收入R是單位產(chǎn)量Q的函數(shù)：R(Q)=4Q?1200Q4．某商場(chǎng)銷(xiāo)售A型商品，已知該商品的進(jìn)價(jià)是每件3元，且銷(xiāo)售單價(jià)與日均銷(xiāo)售量的關(guān)系如表所示：銷(xiāo)售單價(jià)/元45678910日均銷(xiāo)售量/件400360320280240200160請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，要使該商品的日均銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，則此商品的定價(jià)（單位：元/件）應(yīng)為_(kāi)________________.5．某家庭進(jìn)行理財(cái)投資，根據(jù)長(zhǎng)期收益率市場(chǎng)預(yù)測(cè)，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比.已知投資1萬(wàn)元時(shí)，兩類(lèi)產(chǎn)品的收益分別為0.125萬(wàn)元和0.5萬(wàn)元.(1)分別寫(xiě)出兩類(lèi)產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系.(2)該家庭現(xiàn)有20萬(wàn)元資金，全部用于理財(cái)投資，怎樣分配資金才能獲得最大收益？其收益最大為多少萬(wàn)元？6．隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，環(huán)保問(wèn)題已經(jīng)成為一個(gè)不容忽視的問(wèn)題，而與每個(gè)居民的日常生活密切相關(guān)的就是水資源問(wèn)題.某污水處理廠在國(guó)家環(huán)保部門(mén)的支持下，引進(jìn)新設(shè)備，污水處理能力大大提高.已知該廠每月的污水處理量最少為50萬(wàn)噸，最多為200萬(wàn)噸，月處理成本y（萬(wàn)元）與月處理量x（萬(wàn)噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=(1)該廠每月污水處理量為多少萬(wàn)噸時(shí)，才能使每萬(wàn)噸的處理成本最低？(2)該廠每月能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤(rùn).7．全國(guó)文明城市稱號(hào)是反映中國(guó)大陸城市整體文明水平的最高榮譽(yù)稱號(hào)．太原市某社區(qū)響應(yīng)市委號(hào)召，在全面開(kāi)展“創(chuàng)城”的基礎(chǔ)上，對(duì)一塊空閑地進(jìn)行改造，計(jì)劃建一面積為4000m(1)設(shè)占用空地的面積為S（單位：m2），矩形休閑廣場(chǎng)東西距離為x（單位：m，x>0），試用x表示為S(2)當(dāng)x為多少時(shí)，占用空地的面積最少？并求最小值．8．為了凈化空氣，某科研單位根據(jù)實(shí)驗(yàn)得出，在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個(gè)單位的凈化劑，空氣中釋放的濃度y(單位：毫克/立方米)隨著時(shí)間x(單位：天)變化的關(guān)系如下：當(dāng)0≤x≤4時(shí)，y=168?x?1；當(dāng)4<x≤10時(shí)，y=5?12(1)若一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑，則凈化時(shí)間可達(dá)幾天？(2)若第一次噴灑2個(gè)單位的凈化劑，6天后再噴灑a(1≤a≤4)個(gè)單位的凈化劑，要使接下來(lái)的4天中能夠持續(xù)有效凈化，試求a的最小值．(精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：2取1.4)【考點(diǎn)2：分段函數(shù)模型】【知識(shí)點(diǎn)：分段函數(shù)模型求解策略】(1)實(shí)際問(wèn)題中有些變量間的關(guān)系不能用同一個(gè)關(guān)系式給出，而是由幾個(gè)不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車(chē)票價(jià)與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函數(shù)模型求解．(2)構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要力求準(zhǔn)確、簡(jiǎn)捷，做到分段合理、不重不漏．(3)分段函數(shù)的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者).1．（2022·黑龍江·哈爾濱三中高三階段練習(xí)）哈爾濱市某高級(jí)中學(xué)為了在冬季供暖時(shí)減少能源損耗，利用暑假時(shí)間在教學(xué)樓的屋頂和外墻建造隔熱層.本次施工要建造可使用30年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為8萬(wàn)元.由于建造工藝及耗材等方面的影響，該教學(xué)樓每年的能源消耗費(fèi)用T（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：當(dāng)0≤x≤5時(shí)，T(x)=k3x+4；當(dāng)5<x≤10時(shí)，T(x)=1(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小.并求最小值.2．（2022·上海市松江二中高三階段練習(xí)）新冠肺炎疫情發(fā)生以后，口罩供不應(yīng)求，某口罩廠日夜加班生產(chǎn)，為抗擊疫情做貢獻(xiàn).生產(chǎn)口罩的固定成本為400萬(wàn)元，每生產(chǎn)x萬(wàn)箱，需另投入成本px萬(wàn)元，當(dāng)產(chǎn)量不足60萬(wàn)箱時(shí)，px=(1)求口罩銷(xiāo)售利潤(rùn)y（萬(wàn)元）關(guān)于產(chǎn)量x（萬(wàn)箱）的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)產(chǎn)量為多少萬(wàn)箱時(shí)，該口罩生產(chǎn)廠在生產(chǎn)中所獲得利潤(rùn)最大？3．（2022·河北·邢臺(tái)市第二中學(xué)高三階段練習(xí)）第四屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)于2021年11月5日至10日在上海舉行.本屆進(jìn)博會(huì)有4000多項(xiàng)新產(chǎn)品?新技術(shù)?新服務(wù).某跨國(guó)公司帶來(lái)了高端空調(diào)模型參展，通過(guò)展會(huì)調(diào)研，中國(guó)甲企業(yè)計(jì)劃在2022年與該跨國(guó)公司合資生產(chǎn)此款空調(diào).生產(chǎn)此款空調(diào)預(yù)計(jì)全年需投入固定成本260萬(wàn)元，生產(chǎn)x千臺(tái)空調(diào)，需另投入資金R萬(wàn)元，且R=10x2(1)求2022年該企業(yè)年利潤(rùn)W（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系式；(2)2022年產(chǎn)量為多少時(shí)，該企業(yè)所獲年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)為多少？注：利潤(rùn)=銷(xiāo)售額-成本.4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）甲、乙兩車(chē)同時(shí)沿某公路從A地出發(fā)，駛往距離A地300km的B地，甲車(chē)先以75km/h的速度行駛，在到達(dá)A，B中點(diǎn)C處停留2h后，再以100km/h的速度駛往B地，乙車(chē)始終以v（單位：km/h）的速度行駛．(1)將甲車(chē)與A地的距離表示離開(kāi)A地的時(shí)間t（單位：h）的函數(shù)ft(2)若兩車(chē)在圖中恰好相遇兩次（不包括A，B兩地），試求乙車(chē)行駛速度v的取值范圍．5．（2022·湖北·華中師大一附中高一開(kāi)學(xué)考試）某店購(gòu)進(jìn)一種今年新上市的飾品進(jìn)行銷(xiāo)售，飾品的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)為每件60元，每月可賣(mài)出300件，市場(chǎng)調(diào)查反映：調(diào)整價(jià)格時(shí)，售價(jià)每漲1元每月要少賣(mài)10件，售價(jià)每下降1元每月要多賣(mài)20件，為了獲得更大的利潤(rùn)，現(xiàn)將商品售價(jià)調(diào)整為60+x（元/件）（其中x∈Z,x>0即售價(jià)上漲，x<0即售價(jià)下降），每月商品銷(xiāo)量為y（件），月利潤(rùn)為(1)直接寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式：(2)當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格是多少時(shí)才能使月利潤(rùn)最大？求最大月利潤(rùn)？6．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）噴繪在商業(yè)廣告、宣傳等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，噴繪畫(huà)面是使用噴繪機(jī)打印出來(lái)的，噴繪機(jī)工作時(shí)相當(dāng)于一條直線（噴嘴）連續(xù)掃過(guò)一張畫(huà)布．一家廣告公司在一個(gè)等腰梯形OABC的畫(huà)布上使用噴繪機(jī)印刷廣告，畫(huà)布的底角為45°，上底長(zhǎng)2米，下底長(zhǎng)4米，如圖所示，記梯形OABC位于直線x=t0<1≤4左側(cè)的圖形（陰影部分）的面積為f(1)試求ft(2)定義“f(t)t”為“平均噴繪率”，求g(t)=7．（2022·安徽·高三階段練習(xí)）為響應(yīng)國(guó)家環(huán)保的號(hào)召，某企業(yè)計(jì)劃2020年引進(jìn)新型環(huán)保設(shè)備生產(chǎn)新能源汽車(chē)，通過(guò)市場(chǎng)分析，全年需投入固定成本1000萬(wàn)元，每生產(chǎn)x（百輛）汽車(chē)，需另投入成本C(x)萬(wàn)元，且C(x)=10(1)求2020年的利潤(rùn)L（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百輛）的函數(shù)關(guān)系式L(x)（其中利潤(rùn)=銷(xiāo)售額-成本）(2)當(dāng)2020年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？并求最大利潤(rùn)．8．（2021·福建省永泰縣第二中學(xué)高一階段練習(xí)）永泰青云山特產(chǎn)經(jīng)營(yíng)店銷(xiāo)售某種品牌蜜餞，蜜餞每盒進(jìn)價(jià)為8元，預(yù)計(jì)這種蜜餞以每盒20元的價(jià)格銷(xiāo)售時(shí)該店一天可銷(xiāo)售20盒，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)每盒蜜餞的銷(xiāo)售價(jià)格在每盒20元的基礎(chǔ)上每減少一元?jiǎng)t增加銷(xiāo)售4盒，每增加一元?jiǎng)t減少銷(xiāo)售1盒，現(xiàn)設(shè)每盒蜜餞的銷(xiāo)售價(jià)格為x元．(1)寫(xiě)出該特產(chǎn)店一天內(nèi)銷(xiāo)售這種蜜餞所獲得的利潤(rùn)y（元）與每盒蜜餞的銷(xiāo)售價(jià)格x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)每盒蜜餞銷(xiāo)售價(jià)格x為多少時(shí)，該特產(chǎn)店一天內(nèi)利潤(rùn)y（元）最大，并求出這個(gè)最大值．9．（2022·湖南師大附中高一階段練習(xí)）黨的十八大以來(lái)，精準(zhǔn)扶貧取得了歷史性成就，其中產(chǎn)業(yè)扶貧是扶貧工作的一項(xiàng)重要舉措，長(zhǎng)沙某駐村扶貧小組在湘西某貧困村實(shí)施產(chǎn)業(yè)扶貧，計(jì)劃幫助該村進(jìn)行獼猴桃的種植與銷(xiāo)售，為了迎合大眾需求，提高銷(xiāo)售量，將以裝盒售賣(mài)的方式銷(xiāo)售．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研，若要提高銷(xiāo)售量，則獼猴桃的售價(jià)需要相應(yīng)的降低，已知獼猴桃的種植與包裝成本為24元/盒，且每萬(wàn)盒獼猴桃的銷(xiāo)售收入I(x)（單位：萬(wàn)元）與售價(jià)量x（單位：萬(wàn)盒）之間滿足關(guān)系式I(x)={56?2x,0<x≤10(1)寫(xiě)出利潤(rùn)F(x)（單位：萬(wàn)元）關(guān)于銷(xiāo)售量x（單位：萬(wàn)盒）的關(guān)系式；（利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入－成本）(2)當(dāng)銷(xiāo)售量為多少萬(wàn)盒時(shí)，該村能夠獲得最大利潤(rùn)？此時(shí)最大利潤(rùn)是多少？【考點(diǎn)3：冪函數(shù)模型】【知識(shí)點(diǎn)：冪函數(shù)模型】函數(shù)模型函數(shù)解析式冪函數(shù)模型f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)1．（2022·四川省瀘縣第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））2020年底，國(guó)務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅(jiān)取得重大勝利！為進(jìn)一步鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，持續(xù)實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號(hào)召，積極參與幫扶活動(dòng)．該企業(yè)2021年初有資金150萬(wàn)元，資金的年平均增長(zhǎng)率固定，每三年政府將補(bǔ)貼10萬(wàn)元．若要實(shí)現(xiàn)2024年初的資金達(dá)到270萬(wàn)元的目標(biāo)，資金的年平均增長(zhǎng)率應(yīng)為（參考值：31.82≈1.22,3A．10% B．20% C．22% D．32%2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）異速生長(zhǎng)規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類(lèi)動(dòng)物的新陳代謝率y與其體重x滿足y=kxα，其中k和α為正常數(shù)，該類(lèi)動(dòng)物某一個(gè)體在生長(zhǎng)發(fā)育過(guò)程中，其體重增長(zhǎng)到初始狀態(tài)的16倍時(shí)，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則α為（A．14 B．12 C．233．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）為了預(yù)防信息泄露，保證信息的安全傳輸，在傳輸過(guò)程中都需要對(duì)文件加密，有一種加密密鑰密碼系統(tǒng)(PrivateKeyCryptosystem)，其加密、解密原理為：發(fā)送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．現(xiàn)在加密密鑰為y=kx3，如“4”通過(guò)加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“1256A．12 B．14 C．2 4．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）某公司的收入由保險(xiǎn)業(yè)務(wù)收入和理財(cái)業(yè)務(wù)收入兩部分組成.該公司2020年總收入為200億元，其中保險(xiǎn)業(yè)務(wù)收入為150億元，理財(cái)業(yè)務(wù)收入為50億元.該公司經(jīng)營(yíng)狀態(tài)良好、收入穩(wěn)定，預(yù)計(jì)每年總收入比前一年增加20億元.因越來(lái)越多的人開(kāi)始注重理財(cái)，公司理財(cái)業(yè)務(wù)發(fā)展迅速.要求從2021年起每年通過(guò)理財(cái)業(yè)務(wù)的收入是前一年的t倍，若要使得該公司2025年的保險(xiǎn)業(yè)務(wù)收入不高于當(dāng)年總收入的60%，則t的值至少為（

）A．52.4 B．53.6 C．62.45．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）為改善環(huán)境，某城市對(duì)