2024年高考數(shù)學(xué)第一輪題型歸納與解題 考點(diǎn)24 解三角形12種常見考法歸類（原卷版+解析）

考點(diǎn)24解三角形12種常見考法歸類

考點(diǎn)一利用正弦、余弦定理解三角形考點(diǎn)八三角形周長的計(jì)算及應(yīng)用

（一）求邊或角（一）求三角形的周長

（二）判斷三角形解的個(gè)數(shù)（二）三角形周長的最值問題

考點(diǎn)二正弦定理的應(yīng)用考點(diǎn)九解三角形的實(shí)際應(yīng)用

考點(diǎn)三余弦定理的應(yīng)用（一）測量距離問題

考點(diǎn)囚判斷三角形的形狀（二）測量高度問題

考點(diǎn)五正余弦定理的綜合應(yīng)用（三）測量角度問題

考點(diǎn)六與角度、邊長有關(guān)的最值問題（四）其他實(shí)際問題

考點(diǎn)七三角形面積的計(jì)算及應(yīng)用考點(diǎn)+正，余弦定理解決幾何問題

（一）求三角形的面積考點(diǎn)十一解三角形與三角函數(shù)的綜合問題

（二）已知三角形面積求邊、角考點(diǎn)十二解三角形與平面向量的綜合問題

（三）三角形面積的最值問題

1.正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A,。所對的邊分別是a,b,c,R為AABC外接圓的半徑，則

正弦定理余弦定理

三角形中任何一邊的平方，等于其他兩

文字在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正

邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的

語言弦的比相等.

積的兩倍.

a2=b2-^-c2—2bccosA,

abc

公式方2=/+—2cacosB,

sinA=sinB=sinC?

c2=a2+加-2abcosC.

加+。2——

(l)a=2/?sinA,5=2Ksin",c=2Z?sinC.

(1)cosA=2bc，

abc(^十一一一

(2)sinA=2^?sinB=赤,sinC=2j?.

cosB=2ca，

常見

(3)三角形的邊長之比等于對應(yīng)角的正弦比，

變形

即。：方：c=sinA:sinB:sinC.cosC=2ab?

(4)asinB=加inA,加inC=csinB,asinC=(2)b2+c2-a2=2bccosA，

csinA.c2+a2-b2=2accosB，

222

(5)大邊對大角大角對大邊a+b-c=2abcosC

4>人oA>8osinA>sin5ocosA<cosB

<=>cos2A<cos2B

⑹合分比：

a+b+c

sinA+sin8+sinC

a+h_b+c_a+c

sinA+sinBsin8+sinCsinA+sinC

=U0=，=2&

sinAsinBsinC

2.三角形內(nèi)角和及三角形常見重要關(guān)系

b+CnA

(1)內(nèi)角和定理：A+B+C=乃，進(jìn)而有2等式子

(2)三角函數(shù)關(guān)系：①sinC=sin(A+B)=sinAcos8+cosAsin3<^>c=acosB+bcosA

同理有：t/=Z?cosC+ccosB,b=c<x>sA+acosC,

②-cosC=cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB；

"4"t^nB

③斜三角形中，一tanC=tan(A+8)=------------<=>tanA+tan8+tanC=tanA-tanB-tanC

1-tanA,tan8

④；

nIn

(3)等差關(guān)系：若三角形三內(nèi)角A,B,。成等差數(shù)列，則8=3,A+C=T；若三角形三邊用b,c

成等差數(shù)列，則2D=a+cu2sinB=sinA+sinC.

(4)三角形中的射影定理：在AASC中，a=bcosC4-ccosB；b=acosC4-ccosA；c=Z>cosA+acosB.

⑸角平分線定理：三角形一個(gè)角的平分線與其對邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對應(yīng)成比例.即若

BDAB

AO為NA的角平分線，則有比例關(guān)系：~CD=AC-

3.三角形常用面積公式

1

(1)S=5〃?兒(兒表示邊。上的高).

111

(2)S=2a^sinC=2acsinB=2^csinA.

(3)S,ABC=^=\(a+b+c)r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計(jì)算R,匚)

4/?2

(___________________________1

(4)S=yjpCp—a)(p—b)(p—c),即海倫公式，其中p=2(a+》+c)為△ABC的半周長.

⑸S.ABC=^1X%-々丁J其中A8=(5,y),AC=(X2,%)

4.正弦定理、余弦定理的作用

正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素，基本思想是方程思想，

即根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程，通過解方程求得未知元素.正弦定理、余弦定理的

另一個(gè)作用是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化，解題時(shí)可以把已知條件化為角的三角函數(shù)關(guān)系，也可以把已知

條件化為三角形邊的關(guān)系.

（1）已知兩角及任意一邊解三角形

abbcac

①正弦定理實(shí)際上是三個(gè)等式：sinA=sin?，sin片sinC，sinA=sinC?每個(gè)等式涉及四個(gè)元素，

所以只要知道其中的三個(gè)就可以求另外一個(gè).

②因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和為180。，所以已知兩角一定可以求出第三個(gè)角.

（2）已知兩邊及其中一邊的對角解三角形

①用正弦定理求出另一邊所對角的正弦值；

②用三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角；

③根據(jù)正弦定理求出第三條邊.

其中進(jìn)行①時(shí)要注意討論該角是否可能有兩個(gè)值.

（3）解三角形多解情況

在△ABC中，已知a,〃和A時(shí)，解的情況如下：

（4）利用余弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問題

⑴已知兩邊和夾角或已知三邊能直接利用余弦定理解三角形.

（2）若已知兩邊和二邊的對角，可以用余弦定理解三角形.

（5）利用正、余弦定理解三角形的注意點(diǎn)

正余弦定理都是用來解三角形的，但在解題過程中要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更適合，或是兩個(gè)定理

都要用，應(yīng)抓住兩個(gè)定理的特點(diǎn)：正弦定理“邊對角,余弦定理“邊夾角%正確選擇定理是解決此類題目

的關(guān)鍵.

（6）當(dāng)條件中出現(xiàn)了余弦定理的局部或變形如。2+",兒。從cosA等，可以考慮使用余弦定理

或變形形式對條件進(jìn)行化簡變形.

5.判斷三角形形狀的2種途徑

通過正弦定理、余弦定理化角為邊，通過

代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系

進(jìn)行判斷

通過正弦定理、余弦定理化邊為角，利用：

gpm]-三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)：

行判斷

判斷三角形的形狀，就是根據(jù)題目條件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等邊三角形、等腰

直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形等.

（1）利用正弦定理判斷三角形形狀的方法如下：

①化邊為角，走三角變形之路，常用的轉(zhuǎn)化方式有：

asinAasin-bsinB

^=2/?sinA,b=2Rsinc=2KsinC（K為△45C外接圓的半徑）；b=sinc=sinC?c=sinC；

②化角為邊,走代數(shù)變形之路，常用的轉(zhuǎn)化方式有：

abcsinAasinAasinBb

sinA=2R?sin3=2R，sinC=2K（K為△ABC外接圓的半徑）；sinB=b，sinC=c?sinC=c-

（2）利用余弦定理判斷三角形形狀的方法

①利用三角形的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時(shí)，需要從“統(tǒng)一”入手，即使用轉(zhuǎn)化思想解決問題，一般

有兩條思考路線

先化邊為角，再進(jìn)行三角恒等變換，求出三角之間的數(shù)量關(guān)系.

先化角為邊，再進(jìn)行代數(shù)恒等變換（因式分解、配方等），求出三邊之間的數(shù)量關(guān)系,統(tǒng)一成邊的關(guān)系后，

注意等式兩邊不要輕易約分，否則可能會(huì)出現(xiàn)漏解.

②判斷三角形的形狀時(shí)，經(jīng)常用到以下結(jié)論

△ABC為直角三角形ua2—1戶+/或c?—M+b］或［/―{+/.

△ABC為銳角三角形Ufi2+b2>c2,且b?+c2>a2,且c2+a2>b2.

AABC為鈍角三角形a2+b2〈c2或b?+c2va2或c2+a2<b2.

若sin2A=sin2B,貝！|人=8或/\+8=.

6.求三角形面積的方法

（1）若已知三角形的一個(gè)角（角的大小或該角的正、余弦值）及該角的兩邊長度，代入公式求面積；

⑵若已知三角形的三邊，可先求其一個(gè)角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面積，或直接代入海

倫公式求面積.總之，結(jié)合圖形恰當(dāng)選擇面積公式是解題的關(guān)鍵.

7.已知三角形面積求邊、角的方法

⑴若求角，就尋求夾這個(gè)角的兩邊的關(guān)系，利用面積公式列方程求解；

⑵若求邊，就尋求與該邊（或兩邊）有關(guān)聯(lián)的角，利用面積公式列方程求解.

8.解三角形中的最值或范圍問題的解決方法：

解三角形中的最值或范圍問題主要有兩種解決方法：一是將問題表示為力的形式，利用基本不等式求

得最大值或最小值；二是將問題用三角形某一個(gè)角的三角函數(shù)表示，利用三角函數(shù)的有界性，單調(diào)性再結(jié)

合角的范圍確定最值或范圍.

9.正弦定理之齊次式結(jié)構(gòu)

結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：每一項(xiàng)中都有邊或sin角（sinAsinB,sin。且次數(shù)一致，即可實(shí)現(xiàn)邊和對應(yīng)sin角的互化

結(jié)構(gòu)示例：

(1)整式齊次式：

①邊的齊次式

—67+/>=c<=>—sinA+sinB=sinC

22

ab-c2u>sinAsinB=sin2C

②sin角的齊次式

sin2A+sin2B-sin2C=-sinAsinB<=>a2+b2-c2=-ab

（2）分式齊次式：

sinB_b

sinA+sinCa+c

注：在等式（不等式）或分式中出現(xiàn)邊或內(nèi)角的正弦同次，利用正弦定理可以實(shí)現(xiàn)邊、內(nèi)角的正弦轉(zhuǎn)化。

如果在等式（不等式）或分式中出現(xiàn)邊或內(nèi)角的正弦同次且為一次（求角）時(shí)，一般情況要化為角的正弦，如出

現(xiàn)二次，一般情況要化為邊，再利用余弦定理。

拆角合角技巧

1、化簡后的式子同時(shí)含有三個(gè)角時(shí)，解題思路是減少角的個(gè)數(shù)，方法主要有以下兩種

①合角

如：sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC

cosAcosB-sinAsinB=cos(A+B)=-cosC

②拆角一拆單角(“單身狗角”)

如：sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

注：(1)sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC

sinA=sin(B+C)=smBcosC+cosBsinC

cosC=-cos(A+B),cosB=-cos(A+C),cosA=-cos(B+C)

(2),

(3)中sinA=sin8①②(舍去)

sin2A=sin2B①24=23=4=8②

sinA=cosB,則或

IL余弦定理之不等式結(jié)構(gòu)

結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：已知三角形一角及其對邊，求面積或周長的最值

核心示例：已知△A5C中角A=60。，a=2,求b+c和be的范圍（最值）

由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA

W4=b2-i-c2-he

⑴由上式可知：（b+c）2-3bc=4

=（b+。尸一4V3（帶了,即^21<4]）

解得b+cV4,又由三角形兩邊之和大于第三邊/求周長的最大值

:.2<b+c<4

(2)4=b2+c2-be得be+4=b2+c2>2bc

求面積的最大值

bc<4

12.解三角形中的常用術(shù)語

⑴仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯

角（如圖①）.

西

標(biāo)

東

圖

圖

圖①②④

（2）方位角：從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如8點(diǎn)的方位角為a（如圖②）.

（3）方向角：相對于某一正方向的水平角.北偏東a,即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)以到達(dá)目標(biāo)方向（如圖③）.

北偏西a,即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)”到達(dá)目標(biāo)方向.南偏西等其他方向角類似.

（4）坡角與坡度：坡角指坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角。為坡角）.坡度指坡面的鉛直高

度與水平長度之比（如圖④，i為坡度，i=tan。）.坡度又稱為坡比.

13.測量距離問題的求解策略

（1）確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接求解；若有未知量，則把未知量放在另外三角形中

求解；

⑵確定選用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理.

14.測量物體高度的求解策略

高度也是兩點(diǎn)之間的距離，其解法同測量水平面上兩點(diǎn)間距離的方法是類似的，基本思想是把要求解

的高度（某線段的長度）納入到一個(gè)三角形中，使用正、余弦定理或其他相關(guān)知識(shí)求出該高度.

⑴在處理有關(guān)高度問題時(shí)，要理解仰角、俯角（在鉛垂面上所成的角）、方向（位）角（在水平面上所成的

角）是關(guān)鍵.

（2）在實(shí)際問題中，可能會(huì)遇到空間與平面（地面）同時(shí)研究的問題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖

形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯(cuò).

⑶注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.

15.測量角度問題的求解策略

測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實(shí)際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和

距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解.解決角度問題的注意

事項(xiàng)

⑴測量角度時(shí)，首先應(yīng)明確方位角及方向角的含義.

⑵求角的大小時(shí)，先在三角形中求出其正弦或余弦值.

（3）在解應(yīng)用題時(shí)，要根據(jù)題意正確畫出示意圖，通過這一步可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的

問題，解題中也要注意體會(huì)正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)點(diǎn).

提醒：方向角是相對于某點(diǎn)而言的，因此在確定方向角時(shí)，必須先弄清楚是哪一個(gè)點(diǎn)的方向角.

16.與平面圖形有關(guān)的解三角形問題的關(guān)鍵及思路

求解平面圖形中的計(jì)算問題，關(guān)鍵是梳理?xiàng)l件和所求問題的類型，然后將數(shù)據(jù)化歸到三角形中，利用

正弦定理或余弦定理建立已知和所求的關(guān)系.

具體解題思路如下：（1）把所提供的平面圖形拆分成若干個(gè)三角形，然后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余

弦定理求解；

（2）尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果.

［注意］做題過程中，要用到平面幾何中的一些知識(shí)點(diǎn)，如相似三角形的邊角關(guān)系、平行四邊形的一些

性質(zhì)，要把這些性質(zhì)與正弦、余弦定理有機(jī)結(jié)合，才能順利解決問題.

17.解三角形與三角函數(shù)綜合問題的一般步驟

：正確分析題意，提煉相關(guān)等式，利用等式

轉(zhuǎn)化；的邊角關(guān)系合理地將問題轉(zhuǎn)化為三角函

，數(shù)的問題

0

：利用正弦定理、余弦定理.二倍角公式、

用定理、公

:輔助角公式等進(jìn)行三角形中邊角關(guān)系的

式、性質(zhì)

：互化

0

：利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、三角形內(nèi)角和定

得結(jié)論一i理等知識(shí)求函數(shù)解析式、丸、三角函數(shù)值,

---------1或討論三角函數(shù)的基本性質(zhì)等

18.利用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問題

利用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問題要注意根據(jù)條件畫出示意圖，結(jié)合示意圖構(gòu)造三角形，然后轉(zhuǎn)化為解

三角形的問題進(jìn)行求解.

考點(diǎn)精析

考點(diǎn)一利用正弦、余弦定理解三角形

（一）求邊或角

1.（2023春?浙江杭州?高三杭師大附中?？计谥校┑娜齻€(gè)內(nèi)角所對邊的長分別為，若，則（）

A.B.C.D.

2.（2023春?江蘇鎮(zhèn)江?高三江蘇省揚(yáng)中高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）在中，分別是內(nèi)角所對的邊，若

〃=石力=后,4=30,則邊（）

A.R.C.或D.或

3.（2023?河南?許昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考二模）設(shè)的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為小b,c,若，一則（）

A.B.C.D.

4.（2023春?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學(xué)?？计谥校┰谥?，角4,B,C所對的邊分別是，a,b,c,,,,

則（）

A.B.C.D.

5.（2023春?廣東東莞?高三東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）在AABC中，角A,B,。所對的邊分別為a,b,

c,若a=4,b=5,c=>/6\,則角C=（）

A.B.C.D.

6.（2023春?天津和平?高三?？茧A段練工）在平行四邊形A3CO中，A8=2,AO=LAC=（2,百）,貝i|

等于：）

A.1B.2C.3D.

（二）判斷三角形解的個(gè)數(shù)

7.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，則下列條件能確定三角形有兩解的是（）

A.

B.

C.

D.

8.（2023?廣西柳州?高三柳州高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角的邊分別為，知，，則下列判斷中錯(cuò)誤

的是：）

A.若，則B.若該三角形有兩解

C.周長的最小值為12D.面積的最大值

9.（2023?費(fèi)州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）中，角的對邊分別是，，.若這個(gè)三角形有兩解，則的取值范圍是（）

A.B.

C.D.

10.12023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)在中，角A、B、。所對的邊分別為a,b,c,若滿足的不唯一，則小的

取值范圍為（）

A.B.

c.D.

考點(diǎn)二正弦定理的應(yīng)用

11.（2023?北京?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知的三個(gè)內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，且68sB=》sinA,則（）

A.B.C.D.

12.12023?四川?高三統(tǒng)考對口高考）的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為mb,c.已知sinA+cosA=0,,,則

（）

A.B.C.D.

13.12023?江蘇南京?統(tǒng)考二模）在中，角，，的對邊分別為，，.若,則角的大小為（）

A.B.C.D.

3

14.（2023?江西?校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a",c,若a=c（28sB+l）,sinC=4，

則（）

A.B.C.D.

15.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在銳角中，，4cosAsinB=l,若在上的投影長等于的外接圓半徑，則（）

A.4B.2C.1D.

16.（2023春?廣西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）三棱錐中，平面，直線與平面所成角的大小為，，NACB=60。，

則三棱錐的外接球的體積為（）

A.B.C.D.

考點(diǎn)三余弦定理的應(yīng)用

17.12023春?北京?高三匯文中學(xué)?？计谥校┰谥?，角4,,的對邊分別為，，，且則角

的大小是（）

A.B.C.D.

18.（2023?河南?統(tǒng)考模擬預(yù)測）是單位圓的內(nèi)接三角形，角，，的對邊分別為，，，且

cr+b2-c2=4/cosA-2accosB,則等于（）

A.2B.C.D.1

19.（2023?江西上饒?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知，，的面積為，則等于（）

A.4B.C.D.

20.（2023?河南鄭州?模擬預(yù)測）在中，滿足9sin?A+6cos4=10,旦，，則（）

A.3B.4C.5D.6

21.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在中，角A,&C所對的邊分別為mb,c,若mb,c成等差數(shù)列，C=2（A+B）,

則（）

A.B.4C.D.

22.（2023春?四川成都?高三石室中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在中，為銳角，，且對于，的最小值為，則cosNABC=

（）

A.B.C.D.

考點(diǎn)四判斷三角形的形狀

23.：2023?全國?高三專題練習(xí)）在中，角，，的對邊分別為，，，且c-bcosA<0,則形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

24.：2023?全國?高三專題練習(xí)）己知中，角，，所對的邊分別是，，，若（a+b+c）（b+c-a）=3bc,且

sinA=2sinBcosC,那么是（）

A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

22

25.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若從=c+a-ca，且sinA=2sinC,

則的形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

26.（2023?甘肅酒泉?統(tǒng)考三模）在中內(nèi)角的對邊分別為，若.=si-cos8,則的形狀為（）

b~sin8cosA

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

27.：2023?全國?高三專題練習(xí)）在中，若處空=手筆，則的形狀為（）

c-cosnl-coszC

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

28.〔2023?貴州?校聯(lián)考一模）在中，分別為角的對邊，且滿足，則的形狀為（）

A.直角三角形B.等邊三角形

C.直角三角形或等腰三角形D.等腰直角三角形

考點(diǎn)五正余弦定理的綜合應(yīng)用

29.；2023?四川巴中?統(tǒng)考一模）在中，若2sin2A+cosA=2sin28+2sin2C-cos（8—C）,則（）

A.B.C.D.

30.（2023秋?河南南陽?高三統(tǒng)考期末）在中，角的對邊分別為，且嗎鬻角4等于（）

sineb-a

A.B.C.D.

31.（2023秋?廣西欽州?高三?？茧A段練習(xí)）在中，內(nèi)角A,B,。的對邊分別是小h,c,若

sinA+sinB=>/3sinC,ab=^c2,則C等于（）

A.B.C.D.

32.（2023?河北福三學(xué)業(yè)考試）在中，內(nèi)角4,8,。的對邊分別是4也°,已知期（8-4）+5皿8+4）=3m24,

且，，則（）

A.1B.C.1或D.

33.（2023?寧夏銀川?校聯(lián)考二模）的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，已知9sin*=4sin2A,,則（）

A.B.C.D.

34.12023?全國?高三專題練習(xí)）在中，角、、所對的邊分別為、、，若asinA=6sinB+（c-b）sinC,為的

角平分線，且，，則的值為（）

A.B.C.D.

考點(diǎn)六與角度、邊長有關(guān)的最值問題

35.：2023?全國?高三專題練習(xí)）已知在銳角三角形中，角所對的邊分別為，…若a=c-2acos&則角A

的取值范圍是（）

A.B.C.D.

36.（2023?河南?開封高中?？寄M預(yù)測）若的內(nèi)角A,B,。滿足2--+^3-=-則4的最小值為（）

tanAtanBtanC

A.B.C.D.

37.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在銳角中，角A,B,。所對的邊分別為力，。.已知反osA-acosB=a,

則Jisin3+2sin2A的取值范圍是（）

A.B.C.D.

38.12023?全國?高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且c=2（a-反osC）.

⑴求；

（2）若為銳角三角形，求sir?A+sin2c的取值范圍.

39.[2023春?湖南?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在銳角△ABC中，，，則6C的取值范圍是（）

A.B.

C.D.

40.12023?全國?高三專題練習(xí)）在中，，則的最小值（）

A.-4B.C.2D.

41.（2023?河南開封?開封高中校考模擬預(yù)測）在銳角中，，sin8+sinC=2sin4,則中線的取值范圍是（）

A.B.C.D.

42.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知銳角三角形的內(nèi)角的對邊分別為，，，tang-i-tanC=^cosA.

cosBcosC

（1）求A

⑵若，求的取值范圍.

43.（2023?廣西南寧?南寧三中校考模擬預(yù)測）在銳角△中，角所對的邊分別為，若，則的取值范圍是（）

A.B.

C.D.

44.（2023?黑龍江?黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┰谥校茿,B,C的對邊分別為小b,c,已知

（sinA+sinB）（a-b）=sinC（b+c）,若角A的內(nèi)角平分線A。的長為3,則的最小值為（）

A.12B.24C.27D.36

45.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角A,B,。的對邊分別a,b,c,若，2Z?cosA=2cosC+ccosA,

uuirizUiuUlm、

則AM=]（AB+AC）,則的取值范圍是（）

A.B.C.D.

考點(diǎn)七三角形面積的計(jì)算及應(yīng)用

（一）求三角形的面積

46.：2023?西藏拉薩?統(tǒng)考一模）在中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,若，，，則的面積為（）

A.B.C.12D.16

47.（2023?四川成都?統(tǒng)考二模）在中，已知AO=2OC，AC=3BC=3,sinZBDC=3sinZBAC,則的面

積為C）

A.B.C.D.

48.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知中，分別是角的對邊，若從+62=/+3力c，月=則的

面積為（）

A.B.C.D.

（二）已知三角形面積求邊、角

49.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，角所對的邊分別為，，且的面積為，若，則（）

A.B.5C.D.

50.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,的面積為，，b2+c2=3bc，

則（）

A.4B.C.8D.

51.（2023?四川成都?川大附中?？级＃┤鐖D，在平面四邊形中，，^ADC=45°,48=105。，，三角

形的面積為，則/W+BC=（）

A.2B.4C.D.

52.（2023?青海?校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A,B,C所對應(yīng)的邊分別是a,b,c,若的面積是，則（）

A.B.C.D.

53.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在中，角A,B,C所對的邊分別為mb,c,若成等差數(shù)列，且的面積為，

則（）

A.B.2C.D.

（三）三角形面積的最值問題

54.（2023?四川宜賓?統(tǒng)考三模）在中，角A,B,C所對邊分別記為mb,c,若，，則面積的最大值是（）

A.B.2C.D.

55.12023春?山西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角，，所對的邊分別為，.?sinA+2^sinB=sinC,則

面積的最大值是（）

A.B.C.D.

56.（2023?寧夏中衛(wèi)?統(tǒng)考一模）的內(nèi)角的對邊分別為mb,c,（sin-sinC）2=sin2A-sinBsinC

為銳角三角形，且。=3,則面積最大為（）

A.B.C.D.

57.（2023?四川宜賓?統(tǒng)考三模）在中，角A,B,C所對邊分別記為mb,c,若，，則面積的最大值是（）

A.B.2C.D.

58.（2023?山東濟(jì)南?統(tǒng)考三模）在中，若|而+碼=2,|前+麗|=3,則面積的最大值為（）

A.B.C.1D.

59.：2023春?河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）記的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為的b,c,

（a-^sinA-Z.sinn-csinC,若外接回的面積為，則面積的最大值為（）

A.B.C.D.

考點(diǎn)八三角形周長的計(jì)算及應(yīng)用

（一）求三角形的周長

60.12023春?廣西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角4,B,C的對邊分別為。，b,c.若,的面積為，則的

周長為（）

A.B.C.D.

61.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，已知。8§3+兒08。=2785人，，

的面積為，則的周長是（）

A.4B.6C.8D.18

62.[2023春?安徽阜陽?高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？紝ｎ}練習(xí)）記的內(nèi)角的對邊分別為，其中

。=2,sin8（1+cosA）=sinA（2-cosB）

⑴求的周長；

（2）求cosA的最小值.

（二）三角形周長的最值問題

63.（2023?四川成都?四川省成都市玉林中學(xué)?？寄M預(yù)測）在AABC中，內(nèi)角4,B,6的對應(yīng)邊分別為小

b,c,已知力sin（B+C）=asin—^上，月/ABC的面積為，則△ABC周長的最小值為（）

A.B.6C.D.

64.：2023?寧夏石嘴山?石嘴山市第二中學(xué)?？家荒＃┰谥校瑑?nèi)角A,B,。的對應(yīng)邊分別為a,b,c,已如

加in（B+C）=asin號(hào)44-上C，且的面積為，則周長的最小值為（）

A.B.C.D.

65.：2023?河南安陽?安陽一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，若內(nèi)角4,B,。所對的邊分別為小b,c,的平分

線交AC于點(diǎn)。，且，則周長的最小值為（）

A.7B.C.D.4

考點(diǎn)九解三角形的實(shí)際應(yīng)用

（-）測量距離問題

66.：2023?廣東廣州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇

宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A,B兩點(diǎn)間的距

離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)CD,測得CD=35m,ZADB-\35.ZBDC-ZDCA-XS，ZACB-120,

則A、8兩點(diǎn)的距離為m.

67.i2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱市第六中學(xué)校?？级＃┗鸺鞓蚣夹g(shù)是我國首創(chuàng)在陡峭山區(qū)建橋的一種

方法.由兩枚火箭牽引兩條足夠長的繩索精準(zhǔn)的射入對岸的指定位置，是建造高空懸索橋的關(guān)鍵.位于湖北省

的四渡河大橋就是首次用這種技術(shù)建造的懸索橋.工程師們需要測算火箭攜帶的引導(dǎo)索的長度（引導(dǎo)索比較

重，如果過長影響火箭發(fā)射），已知工程師們在建橋處看對岸目標(biāo)點(diǎn)的正下方地面上一標(biāo)志物的高為，從

點(diǎn)處看點(diǎn)A和點(diǎn)俯角為，.求一枚火箭應(yīng)至少攜帶引導(dǎo)索的長度（）

"sinacos0

A.—r-——B.

sin（a-P）

C

sin（a-fi）D.

68.：2023?全國?高三專題練習(xí)）某輪船以丫海里/小時(shí)的速度航行，在4點(diǎn)測得海面上油井P在南偏東60

度，輪船從A處向北航行30分鐘后到達(dá)B處，測得油井戶在南偏東15度，且海里.輪船以相同的速度改

為向東北方向再航行60分鐘后到達(dá)C點(diǎn)、.

（1）求輪船的速度V；

（2）求匕C兩點(diǎn)的距離.

69.12023?安徽合肥?二模）如圖，某地需要經(jīng)過一座山兩側(cè)的。，七兩點(diǎn)修建一條穿山隧道.工程人員先

選取直線。七上的三點(diǎn)A,&C,設(shè)在隧道OE正上方的山頂尸處測得A處的俯角為，3處的俯角為，C處

的俯角為，且測得AB=1.4km.BO=0.2km,Cf=0.5km,試求擬修建的隧道OE的長.

P

70.（2023春?貴州黔東南?高三?？茧A段練習(xí)）如圖，為了在兩座山之間的一條河流上面修建一座橋，勘測

部門使用無人機(jī)測量得到如下數(shù)據(jù):無人機(jī)P距離水平地面的高度為力=100m,4,B兩點(diǎn)的俯角分別為45。，

60。.則A,B兩點(diǎn)間的距離為（）

C.D.

71.12023?山東濟(jì)南?統(tǒng)考三模）山東省科技館新館目前成為濟(jì)南科教新地標(biāo)（如圖1）,其主體建筑采用

與地形吻合的矩形設(shè)計(jì)，將數(shù)學(xué)符號(hào)完美嵌入其中，寓意無限未知、無限發(fā)展、無限可能和無限的科技創(chuàng)新.

如圖2,為了測量科技館最高點(diǎn)A與其附近一建筑物樓頂B之間的距離，無人機(jī)在點(diǎn)C測得點(diǎn)A和點(diǎn)8的

俯角分別為75。，30°,隨后無人機(jī)沿水平方向飛行600米到點(diǎn)。，此時(shí)測得點(diǎn)4和點(diǎn)B的俯角分別為45。

和60c（A,Ct。在同一鉛垂面內(nèi)），則A,4兩點(diǎn)之間的距離為米.

（二）測量高度問題

72.：2023?陜西西安?統(tǒng)考一模）圣?索菲亞教堂坐落于中國黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風(fēng)格的

東正教教堂，被列為第四批全國重點(diǎn)文物保護(hù)單位，其中央主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對稱

之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美.如圖，小明為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正

東方向找到一座建筑物，高為，在它們之間的地面上的點(diǎn)（三點(diǎn)共線）處測得樓頂，教堂頂?shù)难鼋欠謩e是

和，在樓頂處測得塔頂?shù)难鼋菫?，則小明估算索菲亞教堂的高度約為（?。ǎ?/p>

A.B.C.D.

73.12023?浙江?高三專題練習(xí)）喜來登月亮酒店是浙江省湖州市地標(biāo)性建筑，某學(xué)生為測量其高度，在遠(yuǎn)

處選取了與該建筑物的底端在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測量基點(diǎn)與，現(xiàn)測得N8CD=45。，ZBZX7=1O5°,

8=100米，在點(diǎn)處測得酒店頂端的仰角ZACB=28。，則酒店的高度約是（）

（參考數(shù)據(jù)：，，tan28°?0.53）

A

A.A米B.101米D.121米

74.（2023?全國?高三專題練習(xí)）滕王閣，位于江西省南昌市西北部沿江路贛江東岸，始建于唐朝永徽四年,

因唐代詩人王勃詩句“落霞與孤鷲齊飛，秋水共長天一色”而流芳后世.如圖，小明同學(xué)為測量滕王閣的高度,

在滕王閣的正東方向找到一座建筑物AB,高為，在它們的地面上的點(diǎn)例，D三點(diǎn)共線）測得樓頂A,

滕王閣頂部C的仰角分別為和，在樓頂A處測得閣頂部。的仰角為，則小明估算滕王閣的高度為（）

（精確到）

15°