14.1.4整式的乘法（解析版）

14.1.4整式的乘法一、單選題1．探索：……判斷22020+22019+22018+…+22+2+1的值的個(gè)位數(shù)是幾？（）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】A【分析】仔細(xì)觀察，探索規(guī)律可知：22020+22019+22018+…+2+1=（22021-1）÷（2-1），依此計(jì)算即可求解．【詳解】觀察所給等式得出如下規(guī)律：變形得令其x=2，n=2020得22020+22019+22018+…+2+1==（22021-1）÷（2-1）=22021-1，∵2n的個(gè)位數(shù)字分別為2，4，8，6，即4次一循環(huán)，且2020÷4=505，∴22020的個(gè)位數(shù)字是6，∴22021的個(gè)位數(shù)字為2，∴22021-1的個(gè)位數(shù)字是1，∴22020+22019+22018+…+2+1的個(gè)位數(shù)字是1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了多項(xiàng)式的乘法，乘方的末位數(shù)字的規(guī)律，注意從簡(jiǎn)單情形入手，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．，，，則的值為．（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5【答案】B【分析】根據(jù)冪的運(yùn)算的逆運(yùn)算，把所求變成同底數(shù)冪相乘和除法即可．【詳解】，==1.5故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了冪的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用冪的運(yùn)算的逆運(yùn)算，把所求式子變形．3．一個(gè)長(zhǎng)方形的面積為，長(zhǎng)為，則這個(gè)長(zhǎng)方形的寬為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)整式除法計(jì)算即可；【詳解】由題可得：；故答案選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了整式除法的計(jì)算，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．4．若，則的值為（）A．2 B． C．5 D．【答案】B【分析】先根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則展開(kāi)，合并后即可得出答案．【詳解】，∵，∴m=-2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，能夠靈活運(yùn)用法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．5．若計(jì)算關(guān)于的代數(shù)式得的系數(shù)為，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則將原式化簡(jiǎn)，根據(jù)的系數(shù)為3即可求出m的值；【詳解】原式=，∵的系數(shù)為3，∴1-m=3，解得m=-2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．6．下列計(jì)算正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】分別用同底數(shù)冪的乘法法則、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法、積的乘方以及同底數(shù)冪的除法公式來(lái)進(jìn)行判斷即可；【詳解】A、，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，故該選項(xiàng)正確；D、，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同底數(shù)冪的乘法法則、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法、積的乘方以及同底數(shù)冪的除法公式，正確掌握公式是解題的關(guān)鍵；7．的計(jì)算結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式計(jì)算得出答案．【詳解】3ab?a2=3a3b．

故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．8．若，，則的值是（）A．50 B．100 C． D．【答案】A【分析】先開(kāi)平方，然后組成方程組，解方程組求出y與（2x+3z），整體代入求值計(jì)算即可．【詳解】∵，，∴，，∴，，，，∴，，，，，解得，，，，，，，．故選擇：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查開(kāi)平方，解方程組，因式分解，整體代入求代數(shù)式的值，掌握開(kāi)平方，解方程組，因式分解，整體代入求代數(shù)式的值．9．下列運(yùn)算：①；②；③；④．其中結(jié)果正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】按照冪的運(yùn)算法則直接判斷即可．【詳解】①，原式錯(cuò)誤；②，原式正確；③，原式錯(cuò)誤；④，原式正確；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了冪的運(yùn)算，熟記冪的運(yùn)算法則，注意它們之間的區(qū)別是解題關(guān)鍵．10．若，則實(shí)數(shù)b等于（）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】等式左邊去括號(hào)后兩邊經(jīng)過(guò)比對(duì)可以得解．【詳解】原等式可變?yōu)椋?，∴可得：，解之得：a=-1,b=2，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用和多項(xiàng)式的乘法，熟練掌握代數(shù)式相等的意義、多項(xiàng)式的乘法法則及二元一次方程組的解法是解題關(guān)鍵．二、填空題11．觀察下列式子：；；；；……，根據(jù)上面揭示的規(guī)律，則________【答案】【分析】觀察、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解題．【詳解】根據(jù)題意，觀察可知，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的除法、有理數(shù)的數(shù)字規(guī)律等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．12．若多項(xiàng)式A與單項(xiàng)式2a2b的積是8a3b2﹣6a2b2，則多項(xiàng)式A為_(kāi)____．【答案】4ab﹣3b【分析】直接利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【詳解】∵多項(xiàng)式A與單項(xiàng)式2a2b的積是8a3b2﹣6a2b2，∴多項(xiàng)式A為：（8a3b2﹣6a2b2）÷2a2b＝8a3b2÷2a2b﹣6a2b2÷2a2b＝4ab﹣3b．故答案為：4ab﹣3b．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了整式的除法，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．13．若，，則的值為_(kāi)_____．【答案】2【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法逆運(yùn)算計(jì)算即可；【詳解】∵，，∴；故答案是2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同底數(shù)冪的除法應(yīng)用，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．14．觀察等式：；；；…已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：，，，…，，，若，用含的式子表示這組數(shù)據(jù)的和是__________．【答案】【分析】根據(jù)已知條件和2100=S，將按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示這組數(shù)據(jù)的和．【詳解】∵2100=S，

∴2100+2101+2102+…+2199+2200

=S+2S+22S+…+299S+2100S

=S（1+2+22+…+299+2100）

=S（1+2100-2+2100）

=S（2S-1）

=2S2-S．

故答案為：2S2-S．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了規(guī)律型-數(shù)字的變化類、列代數(shù)式，解決本題的關(guān)鍵是觀察數(shù)字的變化尋找規(guī)律．三、解答題15．如圖，某市有一塊長(zhǎng)為米，寬為米的長(zhǎng)方形地塊，規(guī)劃部門計(jì)劃將陰影部分進(jìn)行綠化，中間將修建一座雕像，左右兩邊修兩條寬為米的道路．（）．（1）試用含a，b的代數(shù)式表示綠化的面積是多少平方米？（2）若，請(qǐng)求出綠化面積．【答案】（1）（3a2+3ab）平方米；（2）4500平方米【分析】（1）根據(jù)圖形可得長(zhǎng)方形的面積減去中間正方形的面積減去兩個(gè)小長(zhǎng)方形的面積即可得結(jié)果；（2）把a(bǔ)=30，b=20代入（1）所得整式，即可得結(jié)果．【詳解】（1）由題意可得：（3a+b）（2a+b）-（a+b）2-a（3a+b-a-b）=6a2+5ab+b2-a2-2ab-b2-2a2=（3a2+3ab）平方米；答：綠化的面積是（3a2+3ab）平方米；（2）當(dāng)a=30，b=20，綠化面積是3a2+3ab=3×900+3×30×20=4500平方米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，看懂題圖掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則是解決本題的關(guān)鍵．16．第三屆長(zhǎng)江上游城市花卉藝術(shù)博覽會(huì)在重慶園博園舉辦，在布置會(huì)場(chǎng)時(shí)，準(zhǔn)備對(duì)一塊長(zhǎng)為2a米，寬為a米的草地進(jìn)行改造．如圖，圖中陰影部分將用來(lái)種植觀賞植物，它是由一塊矩形草地和兩塊正方形草地組成．（1）請(qǐng)用代數(shù)式表示種植觀賞植物的草地面積并化簡(jiǎn)；（2）若a＝30，c＝5，求種植觀賞植物的草地面積．【答案】（1）（2a2﹣4ac+4c2）平方米；（2）種植觀賞植物的草地面積是1300平方米【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算方法可表示出種植觀賞植物的草地面積，再進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；（2）將a＝30，c＝5代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】（1）種植觀賞植物的草地面積為：(2a－2c)(a－c)+2c2＝2a2－4ac+2c2+2c2＝(2a2－4ac+4c2)平方米；（2）當(dāng)a＝30，c＝5時(shí)，2a2－4ac+4c2＝2×900－4×30×5+4×52＝1300，故種植觀賞植物的草地面積是1300平方米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的實(shí)際應(yīng)用，明確題意列出整式，掌握整式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．17．觀察下列各式：9﹣1＝4×2＝8；16﹣4＝6×2＝12；25﹣9＝8×2＝16；36﹣16＝10×2＝20；……（1）這些等式反映了自然數(shù)間的某種規(guī)律，設(shè)n（n≥1）表示自然數(shù)，用關(guān)于n的等式表示這個(gè)規(guī)律是．（2）用含n的等式證明這個(gè)規(guī)律．【答案】（1）（n+2）2﹣n2＝4（n+1）；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題目中的等式，可以寫(xiě)出發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；（2）先將等號(hào)左邊化簡(jiǎn)，然后再變形，即可得到結(jié)論成立．【詳解】（1）∵9﹣1＝4×2＝8，即（1+2）2-12=2（2×1+2）；16﹣4＝6×2＝12，即（2+2）2-22=2（2×2+2）；25﹣9＝8×2＝16，即（3+2）2-32=2（2×3+2）；36﹣16＝10×2＝20，即（4+2）2-42=2（2×4+2）；…，∴第n個(gè)式子是（n+2）2﹣n2＝2（2n+2）＝4（n+1），故答案為：（n+2）2﹣n2＝4（n+1）；（2）證明：∵（n+2）2﹣n2＝n2+4n+4﹣n2＝4n+4＝4（n+1），∴（n+2）2﹣n2＝4（n+1）成立．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字的變化類、有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)式子的變化特點(diǎn)，寫(xiě)出相應(yīng)的式子．18．閱讀材料∵（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，∴（x2+x﹣6）÷（x﹣2）＝x+3，這說(shuō)明多項(xiàng)式x2+x﹣6能被x﹣2整除，同時(shí)也說(shuō)明多項(xiàng)式x2+x﹣6有一個(gè)因式為x﹣2，另一個(gè)因式為x+3；另外，當(dāng)x＝2或x=—3時(shí)，多項(xiàng)式x2+x﹣6的值為零．根據(jù)上述信息，解答下列問(wèn)題（1）根據(jù)上面的材料猜想：已知一個(gè)多項(xiàng)式有因式x+2，則說(shuō)明該多項(xiàng)式能被整除，當(dāng)x＝—2時(shí)，該多項(xiàng)式的值為；（2）探索規(guī)律：一般地，如果一個(gè)關(guān)于x的多項(xiàng)式M，當(dāng)x＝k時(shí)，M的值為0，請(qǐng)寫(xiě)出M與代數(shù)式x﹣k之間的關(guān)系；（3）應(yīng)用：若整式x2﹣1是3x4﹣ax2+bx+1的因式，求常數(shù)a，b的值．【答案】（1）x+2，0；（2）M能被（x-k）整除；（3）a=4，b=0【分析】（1）根據(jù)題意和多項(xiàng)式有因式x+2，說(shuō)明多項(xiàng)式能被x+2整除，當(dāng)x=-2時(shí)，多項(xiàng)式的值為0；（2）根據(jù)（1）得出的關(guān)系，能直接寫(xiě)出當(dāng)x=k時(shí)，M的值為0，M與代數(shù)式x-k之間的關(guān)系；（3）根據(jù)上面得出的結(jié)論，當(dāng)x=1或x=-1時(shí)，3x4-ax2+bx+1=0，得到關(guān)于a和b的二元一次方程組，再求出a和b的值即可．【詳解】（1）已知一個(gè)多項(xiàng)式有因式x+2，說(shuō)明此多項(xiàng)式能被（x+2）整除，當(dāng)x=-2時(shí)，該多項(xiàng)式的值為0；（2）根據(jù)（1）得出的關(guān)系，得出M能被（x-k）整除；（3）∵整式x2-1即（x+1）（x-1）是3x4-ax2+bx+1的因式，∴當(dāng)x=1時(shí)，3x4-ax2+bx+1=0，∴3-a+b+1=0，①當(dāng)x=-1時(shí)，3x4-ax2+bx+1=0，∴3-a-b+1=0，②①+②得：8-2a=0，解得：a=4，代入①中，解得：b=0．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的除法和因式分解，二元一次方程組，是一道推理題，理解題意得到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．19．如圖①，將一張長(zhǎng)方形鐵皮的四個(gè)角都剪去邊長(zhǎng)為3cm的正方形，然后沿四周折起，做成一個(gè)無(wú)蓋鐵盒，如圖②，鐵盒底面長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為8xcm，寬為5xcm．（1）請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示圖①中原長(zhǎng)方形鐵皮的面積；（2）現(xiàn)要在鐵盒的各個(gè)外表面涂上某種油漆，若每花1元錢可涂漆面積為2xcm2，則涂漆這個(gè)鐵盒需要多少錢（用含x的代數(shù)式表示）．【答案】（1）（40x2+78x+36）（cm2）；（2）涂漆這個(gè)鐵盒需要（20x+39）元錢【分析】（1）根據(jù)圖形表示出原長(zhǎng)方形鐵皮的面積即可；

（2）根據(jù)原長(zhǎng)方形鐵皮的面積減去四個(gè)小正方形的面積，求出鐵盒的表面積，再乘單價(jià)即可得到結(jié)果．【詳解】（1）原鐵皮的面積是（8x+6）（5x+6）＝（40x2+78x+36）（cm2）；（2）油漆這個(gè)鐵盒的表面積是：40x2+78x+36﹣4×32＝（40x2+78x）（cm2）；則油漆這個(gè)鐵盒需要的錢數(shù)是：（40x2+78x）÷（2x）＝（20x+39）（元）．所以涂漆這個(gè)鐵盒需要（20x+39）元錢．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了列代數(shù)式，掌握正方體的全面積與底面積的計(jì)算方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．20．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．【答案】，-2【分析】根據(jù)整式的混合運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)，再代入求值即可；【詳解】原式，當(dāng)，時(shí)，原式．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟知整式的運(yùn)算法則；21．觀察下列兩個(gè)數(shù)的積（這兩個(gè)數(shù)的十位上的數(shù)相同，個(gè)位上的數(shù)的和等于10）；；；；；……（1）計(jì)算________，___________；（2）根據(jù)觀察與計(jì)算能得出什么結(jié)論，請(qǐng)將它用文字或字母表示出來(lái)；（3）證明得出的結(jié)論．【答案】（1）7221；3025；（2）十位上數(shù)字乘以十位上數(shù)字加一作為結(jié)果的千和百位數(shù)字，兩個(gè)個(gè)位相乘作為結(jié)果的個(gè)位和十位；（3）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)前四個(gè)算式的規(guī)律，算出二個(gè)算式的結(jié)果；（2）得出規(guī)律：十位上數(shù)字乘以十位上數(shù)字加一作為結(jié)果的千和百位數(shù)字，兩個(gè)個(gè)位相乘作為結(jié)果的個(gè)位和十位；（3）設(shè)十位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為y，一個(gè)數(shù)為10x+y，則另一個(gè)數(shù)為10x+10-y=10（x+1）-y，將兩數(shù)相乘