11.1.2三角形的高、中線與角平分線（解析版）

11.1.2三角形的高、中線與角平分線一、單選題1．如圖，中，、分別是、的中點，若的面積是10，則的面積是（）A． B． C．5 D．10【答案】B【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分，求出面積比，即可求出△ABE的面積.【詳解】∵AD是BC上的中線，∴S△ABD=S△ACD=S△ABC，∵BE是△ABD中AD邊上的中線，∴S△ABE=S△BED=S△ABD，∴S△ABE=SΔABC，∵△ABC的面積是10，∴S△ABE=×10=.故選:B.【點評】本題考查的是三角形的中線的性質(zhì)，三角形一邊上的中線把原三角形分成的兩個三角形的面積相等.2．如圖，在△ABC中，已知點D，E，F(xiàn)分別為邊AC，BD，CE的中點，且陰影部分圖形面積等于4平方厘米，則△ABC的面積為（）平方厘米A．8 B．12 C．16 D．18【答案】C【分析】根據(jù)三角形的中線將三角形分成面積相等的兩個三角形進行解答即可．【詳解】∵F是EC的中點，∴，∴，∵E是BD的中點，∴，，∵，∴，∴，故選：C．【點評】本題考查了三角形的中線與三角形的面積關系，熟練掌握三角形的中線將三角形分成面積相等的兩個三角形是解答的關鍵．3．三角形三條中線的交點叫做三角形的（）．A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】C【分析】根據(jù)三角形的重心概念作出回答，結(jié)合選項得出結(jié)果．【詳解】三角形的重心是三角形三條中線的交點．【點評】考查了三角形的重心的概念．三角形的外心是三角形的三條垂直平分線的交點；三角形的內(nèi)心是三角形的三條角平分線的交點．4．下列說法正確的個數(shù)有（）①三角形的高、中線、角平分線都是線段；②三角形的三條角平分線都在三角形內(nèi)部，且交于同一點；③三角形的三條高都在三角形內(nèi)部；④三角形的一條中線把該三角形分成面積相等的兩部分．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)三角形的三條中線都在三角形內(nèi)部；三角形的三條角平分線都在三角形內(nèi)部；三角形三條高可以在內(nèi)部，也可以在外部，直角三角形有兩條高在邊上即可作答．【詳解】①三角形的中線、角平分線、高都是線段，故正確；②三角形的三條角平分線都在三角形內(nèi)部，且交于同一點，故正確；③鈍角三角形的高有兩條在三角形外部，故錯誤；④三角形的一條中線把該三角形分成面積相等的兩部分，故正確．所以正確的有3個．故選：C．【點評】本題考查對三角形的中線、角平分線、高的正確理解，熟練掌握三角形的中線、角平分線、高的概念是解決本題的關鍵．5．能把一個三角形的面積平均分成兩個面積相等的三角形，這條線一定是這個三角形的一條（）A．角平分線 B．高 C．中線 D．一條邊的垂直平分線【答案】C【分析】根據(jù)中線的性質(zhì)即可求解．【詳解】三角形的一條中線將三角形的面積平均分成兩個面積相等的三角形，故選：C【點評】本題主要考查的是中線的性質(zhì)，正確的掌握中線的性質(zhì)是解題的關鍵．6．下面四個圖形中，線段是的高的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形高的定義進行判斷．【詳解】線段AD是△ABC的高，則過點A作對邊BC的垂線，則垂線段AD為△ABC的高．選項A、B、C錯誤，

故選：D．【點評】本題考查了三角形的高：三角形的高是指從三角形的一個頂點向?qū)呑鞔咕€，連接頂點與垂足之間的線段．7．如圖所示，在中，與的平分線交于點，過點作交于點，交于點，那么下列結(jié)論：①；②；③和都是等腰三角形；④的周長等于與的和，其中正確的有()A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】通過平行線和角平分線得到相等的角，再根據(jù)平行線的性質(zhì)及等腰三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【詳解】∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點P，∴∠MBP=∠PBC，∠PCN=∠PCB，又∵MN∥BC，∴∠PBC=∠MPB，∠NPC=∠PCB，∴∠MBP=∠MPB，∠NPC=∠PCN，∴BM=MP，PN=CN，∴MN=MP+PN=BM+CN，故②正確，△BMP和△CNP都是等腰三角形，故③正確，∵△AMN的周長=AM+AN+MN，MN=BM+CN，∴△AMN的周長等于AB與AC的和，故④正確，不能說明，故①錯誤；故答案為B．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)等知識，通過平行線和角平分線得到相等的角是解答本題的關鍵．8．如圖，在△ABC中，點M、N是∠ABC與∠ACB三等分線的交點．若∠A＝60°，則∠BMN的度數(shù)為()A．45° B．50° C．60° D．65°【答案】B【解析】分析：過點N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得NE=NG=NF，再根據(jù)到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上判斷出MN平分∠BMC，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根據(jù)角的三等分求出∠MBC+∠MCB的度數(shù)，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出∠BMC的度數(shù)，從而得解．詳解：如圖，過點N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，∵∠ABC的三等分線與∠ACB的三等分線分別交于點M、N，∴BN平分∠MBC，CN平分∠MCB，∴NE=NG，NF=NG，∴NE=NF，∴MN平分∠BMC，∴∠BMN=∠BMC，∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A=180°?60°=120°，根據(jù)三等分,∠MBC+∠MCB=(∠ABC+∠ACB)=×120°=80°.在△BMC中,∠BMC=180°?(∠MBC+∠MCB)=180°?80°=100°.∴∠BMN=×100°=50°；故選：B.點睛：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和為180°；角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.熟記性質(zhì)和定理是解本題的關鍵.二、填空題9．如圖，在△ABC中，∠BAC＝100°，AD⊥BC于D點，AE平分∠BAC交BC于點E．若∠C＝26°，則∠DAE的度數(shù)為_____．【答案】14°【分析】利用垂直的定義得到∠ADC＝90°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和計算出∠CAD＝64°，接著利用角平分線的定義得到∠CAE＝50°，然后計算∠CAD﹣∠CAE即可．【詳解】∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠C＝64°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAC＝×100°＝50°，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝64°﹣50°＝14°．故答案為14°．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義、垂線的定義，解題關鍵是熟練運用相關性質(zhì)求角．10．如圖，在△ABC中E是BC上的一點，BC=3BE，點D是AC的中點，設△ABC，△ADF，△BEF的面積分別為S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，則S△ADF﹣S△BEF=____．【答案】2【分析】S△ADF-S△BEF=S△ABD-S△ABE，所以求出三角形ABD的面積和三角形ABE的面積即可，因為BC=3BE，點D是AC的中點，且S△ABC=12，就可以求出三角形ABD的面積和三角形ABE的面積．【詳解】∵點D是AC的中點，∴AD=AC，∵S△ABC=12，∴S△ABD=S△ABC=×12=6．∵BC=3BE，∴S△ABE=S△ABC=×12=4，∵S△ABD-S△ABE=（S△ADF+S△ABF）-（S△ABF+S△BEF）=S△ADF-S△BEF，即S△ADF-S△BEF=S△ABD-S△ABE=6-4=2，故答案為：2．【點評】本題考查三角形的面積，解題的關鍵是要能根據(jù)已知條件求出三角形的面積并對要求的兩個三角形的面積之差進行變化．11．如圖，△ABC的面積為1，分別倍長（延長一倍）AB，BC，CA得到△A1B1C1，再分別倍長A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2．…按此規(guī)律，倍長2020次后得到的△A2020B2020C2020的面積為_____．【答案】72020【分析】連接AB1、BC1、CA1，根據(jù)等底等高的三角形面積相等，可得＝7S△ABC，由此即可解題．【詳解】連接AB1、BC1、CA1，根據(jù)等底等高的三角形面積相等，△A1BC、△A1B1C、△AB1C、△AB1C1、△ABC1、△A1BC1、△ABC的面積都相等，所以，＝7S△ABC，同理＝7＝72S△ABC，依此類推，△A2020B2020C2020的面積為＝72020S△ABC，∵△ABC的面積為1，∴＝72020．故答案為：72020．【點評】本題考查了三角形的面積，根據(jù)等底等高的三角形的面積相等求出一次倍長后所得的三角形的面積等于原三角形的面積的7倍是解題的關鍵．12．為的中線，為的高，的面積為14，則的長為_________．【答案】2或6【分析】利用面積法求出BD，即可求得CD，再分AE在內(nèi)部和外部，求出DE即可．【詳解】為的高，△ABD的面積為14，AE=7，，∴∵為的中線，∴CD=BD=4，當AE在內(nèi)部時

∵CE=2，

∴DE=CD-CE=2，

當AE在外部時

∵CE=2，∴DE=CD+CE=6，故答案為：2或6【點評】本題考查三角形的高、中線和面積，注意高可在三角形的內(nèi)部和外部是解題的關鍵．三、解答題13．如圖，點，，都落在網(wǎng)格的格點上．（1）寫出點，，的坐標；（2）求的面積：（3）把先向左平移4個單位長度，再向下平移5個單位長度，得，畫出．【答案】（1）點，，的坐標分別是，，；（2）3；（3）見解析【分析】（1）根據(jù)點，，所在位置直接寫出的坐標即可；（2）先求出BC，點A到BC邊的距離，利用面積公式BC邊上的高求即可；（3）先求A′（-4，-4），B（-3，-2），C（0，-2）三點坐標，再描出A′、B′、C′三點坐標，連結(jié)A′B′、B′C′、C′A′即可．【詳解】（1）點，，的坐標分別是，，；（2）BC=4-1=3，點A到BC邊的距離為：3-1=2，∴BC邊上的高=；（3）先把A、B、C三點向左平移4個單位長度，再向下平移5個單位長度，得到A′（-4，-4），B（-3，-2），C（0，-2）三點坐標，再描出A′、B′、C′三點坐標，連結(jié)A′B′、B′C′、C′A′，則為所求如圖所示．【點評】本題考查點的坐標，三角形面積，平移性質(zhì)，掌握點的坐標，三角形面積，平移性質(zhì)，作圖先平移點，再連線得圖是解題關鍵．14．已知的周長為，是邊上的中線，．（1）如圖，當時，求的長．（2）若，能否求出的長？為什么？【答案】（1）6cm；（2）不能求出的長，理由見解析【分析】（1）根據(jù)，及的周長為，可求得BC，再根據(jù)三角形中線的性質(zhì)解答即可；（2）利用（1）中的方法，求得BC的長度，然后根據(jù)構成三角形的條件，可判斷出△ABC不存在，進而可知沒法求DC的長．【詳解】（1）∵，，∴，又∵的周長為，∴，∴，又∵是邊上的中線，∴；（2）不能，理由如下：∵，，∴，又∵的周長為，∴，∴，∴BC+AC=16<AB=21，∴不能構成三角形，故不能求出DC的長．【點評】此題考查三角形的中線、三角形的周長、構成三角形的條件，關鍵是根據(jù)三角形中線的性質(zhì)解答．15．在中，交的延長線于點，點是線段上的一個動點．特例研究：當點與點重合時，過作交的延長線于點，如圖①所示，通過觀察﹑測量與的長度，得到．請給予證明．猜想證明：當點由點向點移動到如圖②所示的位置時，過作交的延長線于點，過作交于點，此時請你通過觀察，測量與的長度，猜想并寫出與之間存在的數(shù)量關系，并證明你的猜想．拓展延伸：當點由點向點繼續(xù)移動時（不與重合），過作交于點，過作交（或的延長線）于點，如圖③，圖④所示，請你判斷（2）中的猜想是否仍然成立?（不用證明）【答案】（1）證明見解析；（2），證明見解析；（3）結(jié)論不變：【分析】（1）根據(jù)，，即可解決問題；（2）結(jié)論，利用面積法證明即可；（3）結(jié)論不變，證明方法類似（2）．【詳解】（1）證明：如圖①中，∵，∴，，∴，又∵，∴；（2）解：結(jié)論，理由：如圖②中，連接，∵，，，，∴，∵，∴；（3）結(jié)論不變：，證明如下：如圖③，連接AD，∵，，，，∴，∵，∴；如圖④，連接AD，∵，，，，∴，∵，∴．【點評】本題考查三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積等知識，解題的關鍵是利用面積法證明線段之間的關系．16．如圖，在中，．（1）作出邊上的高．（2），，，求高的長．【答案】（1）見解析（2）【分析】（1）過C點作CD⊥AB即可；（2）根據(jù)三角形的面積求解即可．【詳解】（1）如圖：（2）∵在中，，，，∠ACB=90°，∴S△ABC=AC×BC=AB×CD，∴【點評】本題考查了做三角形高線和利用三角形的面積求高，屬于?？碱}型，熟練掌握基本知識是解題的關鍵．17．如圖，每個小正方形的邊長為1，在方格紙內(nèi)將經(jīng)過一次平移后得到，圖中標出了點B的對應點．根據(jù)下列條件利用網(wǎng)格點和三角板（或直尺）畫圖：（1）補全；（2）畫出中AB邊上的中線CD；（3）畫出中BC邊上的高線AE；【答案】（1）圖見解析；（2）圖見解析；（3）圖見解析．【分析】（1）先根據(jù)平移的特點找出，再順次連接點即可得；（2）先找出AB邊的中點，再連接CD即可得；（3）過點A作BC所在直線的垂線即可得．【詳解】（1）先根據(jù)平移的特點找出，再順次連接點即可得，如圖所示：（2）先找出AB邊的中點，再連接CD即可得，如圖所示：（3）過點A作BC所在直線的垂線即為BC邊上的高線AE，如圖所示：【點評】本題考查了平移作圖、三角形中線和高線的畫法，熟練掌握圖形的平移、三角形中線和高線的作法是解題關鍵．18．如圖，CH，AD分別為△ABC的高與中線．若△ABD的面積為2，AB＝3，求CH的長度．【答案】【分析】根據(jù)三角形的中線將三角形的面積平分可得△ABC的面積為4，再由三角形的面積公式即可求解．【詳解】∵AD為△ABC的中線，∴S△ABC=2S△ABD=2×2=4，∵S△ABC=·AB·CH，AB=3，∴×3·CH=4，解得：CH=，即CH的長為．【點評】本題考查了三角形的中線、三角形的面積公式，熟知三角形的中線將三角形的面積平分是解答的關鍵．19．如圖，以直角三角形AOC的直角頂點O為原點，以OC，OA所在直線為軸和軸建立平面直角坐標系，點A（0，a），C（b，0）滿足．（1）a=；b=；直角三角形AOC的面積為．（2）已知坐標軸上有兩動點P，Q同時出發(fā)，P點從C點出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向點O勻速移動，Q點從O點出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向點A勻速移動，點P到達O點整個運動隨之結(jié)束．AC的中點D的坐標是（4，3），設運動時間為t秒．問：是否存在這樣的t，使得△ODP與△ODQ的面積相等？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．（3）在（2）的條件下，若∠DOC=∠DCO，點G是第二象限中一點，并且y軸平分∠GOD．點E是線段OA上一動點，連接接CE交OD于點H，當點E在線段OA上運動的過程中，探究∠GOD，∠OHC，∠ACE之間的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論(三角形的內(nèi)角和為180)．【答案】（1）6；8；24；（2）存在時，使得△ODP與△ODQ的面積相等；（3）∠GOD+∠ACE=∠OHC，見解析【分析】（1）利用非負性即可求出a，b即可得出結(jié)論,即可求出△ABC的面積；（2）先表示出OQ，OP，利用那個面積相等，建立方程求解即可得出結(jié)論；（3）先判斷出∠OAC=∠AOD，進而判斷出OG∥AC，即可判斷出∠FHC=∠ACE，同理∠FHO=∠GOD，即可得出結(jié)論．【詳解】(1)解：（1）∵，

∴a-6=0，b-8=0，

∴a=6，b=8，

∴A（0，6），C（8，0）；∴S△ABC=6×8÷2=24,

故答案為（0，6），（8，0）；6；8；24(2)∵由時,∴存在時,使得△ODP與△ODQ的面積相等(3)）∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC，理由如下：

∵x軸⊥y軸，

∴∠AOC=∠DOC+∠AOD=90°

∴∠OAC+∠ACO=90°

又∵∠DOC=∠DCO

∴∠OAC=∠AOD

∵y軸平分∠GOD

∴∠GOA=∠AOD

∴∠GOA=∠OAC

∴OG∥AC，

如圖，過點H作HF∥OG交x軸于F，

∴HF∥AC

∴∠FHC=∠ACE

同理∠FHO=∠GOD，

∵OG∥FH，

∴∠GOD=∠FHO，

∴∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC

即∠GOD+∠ACE=∠OHC，

∴2∠GOA+∠ACE=∠OHC．∴∠