高中學業(yè)水平考試數學真題分類匯編專題03函數的概念與性質含答案及解析

專題03函數的概念與性質考點一：函數的概念1．（2023·北京）已知函數．若的圖象經過原點，則的定義域為（

）A． B．C． D．2．（2023·河北）函數的定義域是（

）A． B．C． D．3．（2023·江蘇）函數的定義域為（

）A． B． C． D．4．（2023春·湖南）函數的定義域是（

）A． B． C． D．5．（2023·云南）函數的定義域為（

）A． B． C． D．6．（2022春·浙江）函數的定義域是（

）A． B． C． D．7．（2022秋·浙江）函數的定義域是A． B． C．R D．8．（2021秋·浙江）函數的定義域是（

）A． B．C． D．9．（2021秋·福建）函數的定義域為（

）A． B． C． D．10．（2021·北京）已知函數，則的定義域是.考點二：函數的表示1．（2022·北京）函數的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．2．（2022秋·福建）函數的圖象大致為（

）A． B．C． D．3．（2021·北京）已知函數，則（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2021秋·吉林）已知函數，則（

）A．2 B． C． D．5．（2023·云南）函數，則.6．（2022春·廣西）已知函數，那么=.7．（2021秋·福建）若，則.8．（2022·北京）已知函數則；方程的解為．9．（2022·北京）已知函數（m是常數）的圖象過點．(1)求的解析式；(2)求不等式的解集．10．（2021·吉林）已知函數滿足：①；②.（1）求，的值；（2）若對任意的實數，都有成立，求實數的取值范圍.考點三：函數的單調性與最大（小）值1．（2023·河北）已知定義在上的偶函數在上是增函數，且，則使的的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023·山西）下列函數中，既是偶函數又在區(qū)間上單調遞增的函數是（

）A． B．C． D．3．（2023·云南）已知函數，則函數的最大值為（

）A．15 B．10 C．0 D．4．（2023春·新疆）下列函數在區(qū)間上單調遞減的是（

）A． B．C． D．5．（2022秋·浙江）已知函數在區(qū)間（-∞，1]是減函數，則實數a的取值范圍是（

）A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1]6．（2022·湖南）下列函數中，在為減函數的是（

）A． B． C． D．7．（2022春·貴州）函數的單調遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．8．（2021·吉林）偶函數在區(qū)間上單調遞減，則函數在區(qū)間上（

）A．單調遞增，且有最小值 B．單調遞增，且有最大值C．單調遞減，且有最小值 D．單調遞減，且有最大值9．（2021春·福建）下列函數中，在其定義域上為單調遞減的函數是（

）A． B．C． D．10．（2021春·貴州）已知函數，若對任意恒成立，則實數m的取值范圍為（

）A． B． C． D．11．（2021春·浙江）若函數的最大值是1，則實數a的值是．12．（2022春·天津）已知函數，其中.(1)若，求的值；(2)當時，（i）根據定義證明函數在區(qū)間上單調遞增；（ii）記函數，若，求實數的值.

13．（2021春·天津）已知函數，．(1)當，求a；(2)當在上單調遞增，問a的取值范圍；(3)設為和中的較小者，證明在上的最大值為．14．（2021春·貴州）已知函數．(1)當時，求值；(2)若是偶函數，求的最大值．15．（2021秋·青海）已知函數．（1）試判斷函數在區(qū)間上的單調性，并用函數單調性定義證明；（2）對任意時，都成立，求實數的取值范圍．16．（2021·北京）閱讀下面題目及其解答過程．已知函數，（1）求f（－2）與f（2）的值；（2）求f(x)的最大值．解：（1）因為－2＜0，所以f（－2）＝①．因為2＞0，所以f（2）＝②．（2）因為x≤0時，有f(x)＝x＋3≤3，而且f（0）＝3，所以f(x)在上的最大值為③．又因為x＞0時，有，而且④，所以f(x)在（0，＋∞）上的最大值為1．綜上，f(x)的最大值為⑤．以上題目的解答過程中，設置了①~⑤五個空格，如下的表格中為每個空格給出了兩個選項，其中只有一個正確，請選出你認為正確的選項，并填寫在答題卡的指定位置（只需填寫“A”或“B”）．空格序號選項①A．（－2）＋3＝1

B．②A．2＋3＝5

B．③A．3

B．0④A．f（1）＝1

B．f（1）＝0⑤A．1

B．3考點四：函數的奇偶性1．（2023·江蘇）已知函數是偶函數，且在區(qū)間上單調遞增，則下列實數可作為值的是（

）A．-2 B． C．2 D．32．（2023·云南）下列函數中為偶函數的是（

）A． B．C． D．3．（2022·北京）已知函數，則（

）A．是奇函數 B．是偶函數C．既是奇函數又是偶函數 D．既不是奇函數也不是偶函數4．（2022春·天津）下列函數中是奇函數的為（

）A． B．C． D．5．（2022·山西）函數在單調遞減，且為奇函數．若，則滿足的的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．（2022秋·浙江）已知函數（），則此函數是（

）A．偶函數且在（-∞，+∞）上單調遞減 B．偶函數且在（-∞，+∞）上單調遞增C．奇函數且在（-∞，+∞）上單調遞減 D．奇函數且在（-∞，+∞）上單調遞增7．（2021·北京）已知是定義在R上的偶函數，若，則（

）A． B．0 C．1 D．28．（2021春·河北）已知函數是定義在上的奇函數且單調遞減，函數，則（

）A．是上的奇函數且單調遞減B．是上的奇函數且單調遞增C．是非奇非偶函數且在上單調遞減D．是非奇非偶函數且在上單調遞增9．（2021秋·貴州）已知函數f（x）是偶函數.若f（3）＝5，則f（-3）＝（

）A．-1 B．0 C．1 D．510．（2023·廣東）函數是偶函數，當時，，則.11．（2022秋·廣東）函數是上的偶函數，當時，，則．12．（2022春·貴州）已知定義在R上的函數f（x）同時滿足以下兩個條件：①對任意，把有；②對任意，都有．則不等式的解集為．13．（2023·北京）已知是定義在區(qū)間上的偶函數，其部分圖像如圖所示．(1)求的值；(2)補全的圖像，并寫出不等式的解集．14．（2023·山西）已知是定義在上的奇函數，且，若對任意的m，，，都有．(1)若，求實數a的取值范圍；(2)若不等式恒成立，求實數a的取值范圍．15．（2022·湖南）已知函數.(1)寫出的定義域并判斷的奇偶性；(2)證明：在是單調遞減；(3)討論的實數根的情況.16．（2021秋·浙江）設，已知函數.（1）若是奇函數，求的值；（2）當時，證明：；（3）設，若實數滿足，證明：.考點五：冪函數1．（2022春·浙江）函數的大致圖象是（

）A． B．C． D．2．（2022春·貴州）函數的圖象大致為（

）A． B．C． D．3．（2021秋·福建）函數的圖像大致為（）A． B．C． D．4．（2021·湖北）如圖，①②③④對應四個冪函數的圖像，其中②對應的冪函數是（

）A． B． C． D．5．（2021春·貴州）已知冪函數的圖象經過點，則（

）A． B．0 C．1 D．26．（多選）（2022春·浙江）圖象經過第三象限的函數是（

）A． B． C． D．7．（2021秋·貴州）若冪函數的圖像過點，則．考點六：函數的應用（一）1．（2022春·遼寧）剎車距離是分析交通事故的一個重要依據．在一條限速為30km/h的道路上，某汽車司機發(fā)現情況不對，緊急剎車，但還是發(fā)生了交通事故．經現場勘查，測得汽車的剎車距離大于10m．已知該種車型的剎車距離（單位，m）與剎車前的車速v（單位km/h）之間有如下函數關系：，要判斷該汽車是否超速，需要求解的不等式是（

）．A． B．C． D．2．（2022春·廣西）為了慶祝中國青年團100周年，校團委組織了一場慶祝活動，要用警戒線圍出400平方米的矩形活動區(qū)域，則所用警戒線的長度的最小值為（

）A．30米 B．50米 C．80米 D．110米3．（2022秋·福建）一車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工某零件所需的時間，為此進行了多次試驗，收集了加工零件個數與所用時間（分鐘）的相關數據，并利用最小二乘法求得回歸方程．據此可預測加工200個零件所用的時間約為分鐘．4．（2022秋·福建）某工廠要建造一個容積為的長方體形無蓋水池．如果該水池池底的一邊長為，池底的造價為每平方米200元，池壁的造價為每平方米100元，那么要使水池的總造價最低，水池的高應為．

專題03函數的概念與性質考點一：函數的概念1．（2023·北京）已知函數．若的圖象經過原點，則的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用點在函數的圖象上及偶次根式有意義即可求解.【詳解】因為函數的圖象經過原點，所以，解得，所以函數的解析式為.要使有意義，只需要，所以的定義域為.故選：A.2．（2023·河北）函數的定義域是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據函數解析式可得，再利用一元二次不等式解法即可求得定義域.【詳解】根據函數定義域可知，解得或；所以函數的定義域為.故選：D3．（2023·江蘇）函數的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】函數定義域滿足，，解得答案.【詳解】函數的定義域滿足：，，解得.故選：D4．（2023春·湖南）函數的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由函數解析式有意義列式求解，【詳解】由題意得，即的定義域是故選：B5．（2023·云南）函數的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式得出函數的定義域.【詳解】要使得有意義，則，解得.則函數的定義域為.故選：A6．（2022春·浙江）函數的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據函數特征得到不等式，求出定義域.【詳解】∵，∴，即函數的定義域為.故選：D.7．（2022秋·浙江）函數的定義域是A． B． C．R D．【答案】D【分析】由，即可得出定義域.【詳解】即函數的定義域為故選：D8．（2021秋·浙江）函數的定義域是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據函數解析式，列不等式組求解即可.【詳解】根據題意可得，所以.故選：C.9．（2021秋·福建）函數的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據函數定義域的求法，求得的定義域.【詳解】，所以的定義域為.故選：B10．（2021·北京）已知函數，則的定義域是.【答案】/【分析】根據偶數次方根號里的數大于等于零即可得出答案.【詳解】解：由函數，得，所以的定義域是.故答案為：.考點二：函數的表示1．（2022·北京）函數的圖象如圖所示，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結合圖象確定正確選項.【詳解】由圖象可知，當時，.故選：C2．（2022秋·福建）函數的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據函數的奇偶性以及值域即可解出．【詳解】因為的定義域為，且，所以函數為奇函數，其圖象關于原點對稱，所以排除C；又當時，，當且僅當時取等號，所以排除B，D．故選：A．3．（2021·北京）已知函數，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據分段函數解析式計算可得；【詳解】解：因為，所以故選：D4．（2021秋·吉林）已知函數，則（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】根據分段函數解析式求得正確答案.【詳解】.故選：A5．（2023·云南）函數，則.【答案】3【分析】根據給定的分段函數，代入計算作答.【詳解】函數，所以.故答案為：36．（2022春·廣西）已知函數，那么=.【答案】【分析】直接根據函數解析式可求出結果.【詳解】因為，所以.故答案為：.7．（2021秋·福建）若，則.【答案】4【分析】根據解析式，令求解即可.【詳解】因為，所以，故答案為：48．（2022·北京）已知函數則；方程的解為．【答案】－21【分析】根據分段函數的性質求解即可.【詳解】2×(－1)＝－2；x＜0時，f(x)＜0，故f(x)＝1＞0時，x≥0，則，解得x＝1.故答案為：－2；1.9．（2022·北京）已知函數（m是常數）的圖象過點．(1)求的解析式；(2)求不等式的解集．【答案】(1)；(2).【分析】（1）把點代入解析式可得，即得；（2）利用一元二次不等式的解法即得.【詳解】（1）由題意，，所以．所以的解析式為．（2）不等式等價于．解得．所以不等式的解集為．10．（2021·吉林）已知函數滿足：①；②.（1）求，的值；（2）若對任意的實數，都有成立，求實數的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）把條件①；②，代入到中求出即可；（2）不等式恒成立，設則分，兩種情況討論，只需即可.【詳解】（1）∵，滿足，可得，即，∵，∴，即，∴，∴，∵，∴，；（2）由（1）得，設，①當，即時，，故只需，解得，與不合，舍去；②當，即時，，故只需，解得，又，故綜上，的取值范圍為.考點三：函數的單調性與最大（?。┲?．（2023·河北）已知定義在上的偶函數在上是增函數，且，則使的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】使用函數的奇偶性和單調性進行求解即可.【詳解】∵是定義在上的偶函數，在區(qū)間上單調遞增，且，∴在區(qū)間上單調遞減，且，∴當時，，當時，，綜上所述，的取值范圍是.故選：C.2．（2023·山西）下列函數中，既是偶函數又在區(qū)間上單調遞增的函數是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】A.由二次函數的性質判斷；B.由一次函數的性質判斷；C.由反比例函數的性質判斷；D.由判斷；【詳解】A.由二次函數的性質得，該函數是偶函數，在區(qū)間上單調遞減，故錯誤；B.由一次函數的性質得，該函數不是偶函數，在區(qū)間上單調遞減，故錯誤；C.由反比例函數的性質得，該函數不是偶函數，在區(qū)間上單調遞減，故錯誤；D.，設，定義域為，關于原點對稱，且，則該函數是偶函數，在區(qū)間上單調遞增，故正確；故選：D.3．（2023·云南）已知函數，則函數的最大值為（

）A．15 B．10 C．0 D．【答案】A【分析】根據給定函數的單調性，求出在指定區(qū)間上的最大值作答.【詳解】函數在上單調遞增，則，所以函數的最大值為15.故選：A4．（2023春·新疆）下列函數在區(qū)間上單調遞減的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據各選項中的函數解析式，直接判斷單調性作答.【詳解】對于A，一次函數在R上單調遞增，A不是；對于B，反比例函數在上單調遞減，B是；對于C，指數函數在R上單調遞增，C不是；對于D，對數函數在上單調遞增，D不是.故選：B5．（2022秋·浙江）已知函數在區(qū)間（-∞，1]是減函數，則實數a的取值范圍是（

）A．[1，+∞） B．（-∞，1] C．[-1，+∞） D．（-∞，-1]【答案】A【分析】由對稱軸與1比大小，確定實數a的取值范圍.【詳解】對稱軸為，開口向上，要想在區(qū)間（-∞，1]是減函數，所以.故選：A6．（2022·湖南）下列函數中，在為減函數的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據導函數的正負來判斷原函數的單調性即可求解.【詳解】對于,,所以在為減函數,對于,,所以在單調遞增,,,,,故在單調遞增.故選：A7．（2022春·貴州）函數的單調遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接由二次函數的單調性求解即可.【詳解】由知，函數為開口向上，對稱軸為的二次函數，則單調遞增區(qū)間是.故選：B.8．（2021·吉林）偶函數在區(qū)間上單調遞減，則函數在區(qū)間上（

）A．單調遞增，且有最小值 B．單調遞增，且有最大值C．單調遞減，且有最小值 D．單調遞減，且有最大值【答案】A【分析】根據偶函數的性質分析即得解.【詳解】解：偶函數在區(qū)間上單調遞減，則由偶函數的圖象關于y軸對稱，則有在上單調遞增，即有最小值為，最大值對照選項，A正確．故選：A9．（2021春·福建）下列函數中，在其定義域上為單調遞減的函數是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用指數函數，冪函數相關知識直接進行判斷【詳解】在R上單調遞減，A正確；在上單調遞減，在上單調遞增，故B錯誤；在上單調遞增，故C錯誤；在R上單調遞增，D錯誤故選：A10．（2021春·貴州）已知函數，若對任意恒成立，則實數m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判斷出在單調遞增，求出，即可求出實數m的范圍.【詳解】因為在單調遞增，在單調遞增，所以在單調遞增.所以.因為對任意恒成立，所以.故選：D11．（2021春·浙江）若函數的最大值是1，則實數a的值是．【答案】或2【分析】將函數寫成分段函數形式，再分和討論.當時，函數在單調遞增，由此求出的最大值為；當時，又需要分，和三種情況分別討論，分別求出的最大值，求解出的值即可.分，，三種情況，分別研究分段函數的單調性，求出的最大值，列式求解的值即可．【詳解】，（1）當時，因為，則成立，故，對稱軸為，則在上單調遞增，所以，與矛盾，故舍去；（2）當時，的大致圖像如下：可求得①當，即時，在上單調遞增，則，與矛盾，故舍去；②當，即時，在單調遞增，單調遞減，單調遞增，且，則，解得，與相符；③當，即時，，解得，與相符.綜上所述，的值為或2．故答案為：或2．12．（2022春·天津）已知函數，其中.(1)若，求的值；(2)當時，（i）根據定義證明函數在區(qū)間上單調遞增；（ii）記函數，若，求實數的值.【答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）或【分析】（1）根據函數值直接代入求參即可；（2）（i）任取，且，從而證明即可；（ii）根據題意研究該分段函數單調性，根據分類討論求值即可.【詳解】（1）因為函數，所以，解得，所以的值為（2）當時，，（i）任取，且，則，因為，所以，所以，即，所以函數在區(qū)間上單調遞增（ii）由題意得，，函數在和單調遞增，在和單調遞減，作出函數圖像如下圖所示，

若，顯然，①，即時，，解得，符合題意；②，即時，，解得，不符合題意；③，即時，，即，解得，均符合題意.綜上所述，或13．（2021春·天津）已知函數，．(1)當，求a；(2)當在上單調遞增，問a的取值范圍；(3)設為和中的較小者，證明在上的最大值為．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）代入函數值，直接求；（2）比較對稱軸和定義域的關系，即可根據不等式求a的取值范圍；（3）根據函數和函數的對稱性，確定函數的最大值，并討論在區(qū)間上恒包含最大值點，即可證明.【詳解】（1），；（2）的對稱軸為，函數開口向上，并且在區(qū)間上單調遞增，，得；（3）函數，開口向上，關于直線對稱，函數，開口向下，也關于直線對稱，并且與關于對稱，當時，即，解得：或，當或，，當時，，在或時，取得最大值，當時，，即要證明，即證明，當時，不等式恒成立，當時，即證明，即恒成立，所以當時，，即在區(qū)間能取得最大值；當時，要證明，即證明，若，不等式恒成立，若，即證明，即，即恒成立，要證明，即證明，兩邊平方得，即，即不等式恒成立，所以當時，，即在區(qū)間能取得最大值；當時，此時，，，都在區(qū)間內，即在區(qū)間能取得最大值；綜上可知，在上的最大值為.14．（2021春·貴州）已知函數．(1)當時，求值；(2)若是偶函數，求的最大值．【答案】(1)4(2)2【分析】（1）先得到函數，再求值；（2）先利用函數是偶函數，求得，再求最值.【詳解】（1）解：當時，，所以；（2）因為是偶函數，所以成立，即成立，所以，則，所以的最大值為2．15．（2021秋·青海）已知函數．（1）試判斷函數在區(qū)間上的單調性，并用函數單調性定義證明；（2）對任意時，都成立，求實數的取值范圍．【答案】（1）在上單調遞減，證明見解析；（2）.【分析】（1）利用單調性定義：設并證明的大小關系即可.（2）由（1）及函數不等式恒成立可知：在已知區(qū)間上恒成立，即可求的取值范圍．【詳解】（1）函數在區(qū)間上單調遞減，以下證明：設，∵，∴，，，∴，∴在區(qū)間上單調遞減；（2）由（2）可知在上單調減函數，∴當時，取得最小值，即，對任意時，都成立，只需成立，∴，解得：．16．（2021·北京）閱讀下面題目及其解答過程．已知函數，（1）求f（－2）與f（2）的值；（2）求f(x)的最大值．解：（1）因為－2＜0，所以f（－2）＝①．因為2＞0，所以f（2）＝②．（2）因為x≤0時，有f(x)＝x＋3≤3，而且f（0）＝3，所以f(x)在上的最大值為③．又因為x＞0時，有，而且④，所以f(x)在（0，＋∞）上的最大值為1．綜上，f(x)的最大值為⑤．以上題目的解答過程中，設置了①~⑤五個空格，如下的表格中為每個空格給出了兩個選項，其中只有一個正確，請選出你認為正確的選項，并填寫在答題卡的指定位置（只需填寫“A”或“B”）．空格序號選項①A．（－2）＋3＝1

B．②A．2＋3＝5

B．③A．3

B．0④A．f（1）＝1

B．f（1）＝0⑤A．1

B．3【答案】（1）①A

；

②B；（2）③A

；④A

；⑤B．【分析】依題意按照步驟寫出完整的解答步驟，即可得解；【詳解】解：因為，（1）因為，所以，因為，所以（2）因為時，有，而且，所以在上的最大值為．又因為時，有，而且，所以在上的最大值為1．綜上，的最大值為．考點四：函數的奇偶性1．（2023·江蘇）已知函數是偶函數，且在區(qū)間上單調遞增，則下列實數可作為值的是（

）A．-2 B． C．2 D．3【答案】C【分析】在上單調遞減，A錯誤，不是偶函數，B錯誤，定義判斷C正確，函數為奇函數，D錯誤，得到答案.【詳解】對選項A：，，函數在上單調遞減，錯誤；對選項B：，，函數定義域為，不是偶函數，錯誤；對選項C：，，函數定義域為，，函數為偶函數，且在上單調遞增，正確；對選項D：，，函數定義域為，，函數為奇函數，錯誤；故選：C2．（2023·云南）下列函數中為偶函數的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據偶函數的定義逐個判斷可得答案.【詳解】對于A：定義域為，且，故為奇函數，故A錯誤；對于B：定義域為，且，故為奇函數，故B錯誤；對于C：定義域為，，故為偶函數，故C正確；對于D：定義域為，且，故為奇函數，故D錯誤；故選：C3．（2022·北京）已知函數，則（

）A．是奇函數 B．是偶函數C．既是奇函數又是偶函數 D．既不是奇函數也不是偶函數【答案】B【分析】由函數奇偶性的定義即可判斷答案.【詳解】由題意，，即函數為偶函數.故選：B.4．（2022春·天津）下列函數中是奇函數的為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據奇函數定義逐一判斷各個選項即可.【詳解】對于A，函數定義域為，，該函數不是奇函數，故A錯誤；對于B，函數定義域為，該函數為非奇非偶函數，故B錯誤；對于C，函數定義域為，，該函數為奇函數，故C正確；對于D，函數定義域為，，該函數不是奇函數，故D錯誤.故選：C5．（2022·山西）函數在單調遞減，且為奇函數．若，則滿足的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】方法一：不妨設，解即可得出答案.方法二：取，則有，又因為，所以與矛盾，即可得出答案.方法三：根據題意，由函數的奇偶性可得，利用函數的單調性可得，解不等式即可求出答案.【詳解】［方法一］：特殊函數法由題意，不妨設，因為，所以，化簡得．故選：D.［方法二］：【最優(yōu)解】特殊值法假設可取，則有，又因為，所以與矛盾，故不是不等式的解，于是排除A、B、C．故選：D.［方法三］：直接法根據題意，為奇函數，若，則，因為在單調遞減，且，所以，即有：，解可得：.故選：D.6．（2022秋·浙江）已知函數（），則此函數是（

）A．偶函數且在（-∞，+∞）上單調遞減 B．偶函數且在（-∞，+∞）上單調遞增C．奇函數且在（-∞，+∞）上單調遞減 D．奇函數且在（-∞，+∞）上單調遞增【答案】D【分析】根據函數的奇偶性的定義和冪函數的單調性可得選項.【詳解】解：令，則函數的定義域為R，且，所以函數是奇函數，又因為，所以函數在（-∞，+∞）上單調遞增，故選：D．7．（2021·北京）已知是定義在R上的偶函數，若，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】直接利用偶函數的性質求解即可.【詳解】因為是定義在R上的偶函數且，所以，故選：C.8．（2021春·河北）已知函數是定義在上的奇函數且單調遞減，函數，則（

）A．是上的奇函數且單調遞減B．是上的奇函數且單調遞增C．是非奇非偶函數且在上單調遞減D．是非奇非偶函數且在上單調遞增【答案】B【分析】由奇偶函數定義可判斷函數奇偶性，函數及單調性可判斷在R上的單調性.【詳解】注意到，且定義域為R，則是上的奇函數；因在R上單調遞減，則在R上單調遞增，又在R上單調遞增，則在R上單調遞增.故選：B9．（2021秋·貴州）已知函數f（x）是偶函數.若f（3）＝5，則f（-3）＝（

）A．-1 B．0 C．1 D．5【答案】D【分析】根據函數f（x）是偶函數，由f（-x）＝f（x）求解.【詳解】因為函數f（x）是偶函數，且f（3）＝5，所以f（-3）＝f（3）＝5，故選：D10．（2023·廣東）函數是偶函數，當時，，則.【答案】【分析】根據函數的奇偶性求出解析式后即可代入求解.【詳解】因為當時，，所以當時，，所以，函數是偶函數，所以，所以，故答案為：.11．（2022秋·廣東）函數是上的偶函數，當時，，則．【答案】9【分析】根據函數的奇偶性求得正確答案.【詳解】是偶函數，所以.故答案為：12．（2022春·貴州）已知定義在R上的函數f（x）同時滿足以下兩個條件：①對任意，把有；②對任意，都有．則不等式的解集為．【答案】【分析】根據，變形，可構造，根據題意，可得函數的奇偶性和單調性，由此，解不等式，可得答案.【詳解】由，可得：，令，則，即函數為偶函數，因為對任意，都有，所以函數在上單調遞增，即函數在上單調遞增，由，得，即，因為函數為偶函數，所以則，，，解得或，故答案為：.13．（2023·北京）已知是定義在區(qū)間上的偶函數，其部分圖像如圖所示．(1)求的值；(2)補全的圖像，并寫出不等式的解集．【答案】(1)1(2)作圖見解析，【分析】（1）根據偶函數的性質計算；（2）根據偶函數的性質以及函數圖像計算.【詳解】（1）由圖可知，，因為是偶函數，所以；（2）的圖像如上圖，不等式的解集為；綜上，，的解集為.14．（2023·山西）已知是定義在上的奇函數，且，若對任意的m，，，都有．(1)若，求實數a的取值范圍；(2)若不等式恒成立，求實數a的取值范圍．【答案】(1)a的取值范圍為；(2)a的取值范圍為.【分析】（1）利用單調性的定義，證得在上遞增，由此結合奇函數的性質化簡不等式，求得的取值范圍.（2）由（1）可得函數在上的最大值為，由條件可得，解不等式可得a的取值范圍．【詳解】（1）任取兩個實數，滿足，由題意可得，即，在定義域上是增函數.因為是定義在上的奇函數，所以當時，，所以，可化為所以所以，解得，a的取值范圍為.（2）由（1）知函數在定義域上是增函數，所以當時，函數取最大值，最大值為，又是定義在上的奇函數，所以，又，所以函數在定義域上的最大值為，因為不等式恒成立，所以，所以，故不等式可化為，所以，解得或，所以a的取值范圍為．15．（2022·湖南）已知函數.(1)寫出的定義域并判斷的奇偶性；(2)證明：在是單調遞減；(3)討論的實數根的情況.【答案】(1)，偶函數(2)證明見解析(3)有2個實數根【分析】（1）根據題意可得分母不能為0，即，求解函數的定義域即可，利用奇偶性的定義判斷函數的奇偶性即可；（2）利用定義法證明函數在是單調遞減即可.（3）構造函數，求解函數與函數在區(qū)間上的單調性，利用極限的思想可得函數與函數在區(qū)間上有一個交點，利用偶函數的性質可得函數與函數共有2個交點，即為方程的根.【詳解】（1）解：由題可知，所以函數的定義域為，因為，所以函數為偶函數.（2）解：當時，，設為區(qū)間上的任意的兩個值，且，則，因為，所以，故，即，所以函數在區(qū)間上單調遞減.（3）解：由（2）得，當時，函數在區(qū)間上單調遞減，且，當時，，當時，，設為區(qū)間上的任意的兩個值，且，則，因為，所以，故，即，所以函數在區(qū)間上單調遞減.且當時，，當時，，設，則為偶函數，且恒成立，當時，函數在區(qū)間單調遞增，且，當時，.所以函數與函數在區(qū)間必有一個交點，又因為函數與函數均為偶函數，所以函數與函數在區(qū)間必有一個交點，所以函數與函數有2個交點，即方程有2個實數根.16．（2021秋·浙江）設，已知函數.（1）若是奇函數，求的值；（2）當時，證明：；（3）設，若實數滿足，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】（1）由于函數的定義域為，進而結合奇函數即可得；（2）采用作差比較大小，整理化簡得；（3）令，，進而得，再結合題意即可得，再分和兩種情況討論，其中當時，結合（2）的結論得，等號不能同時成立.【詳解】解：（1）由題意，對任意，都有，即，亦即，因此；（2）證明：因為，，.所以，.（3）設，則，當時，；當時，；，，所以.由得，即.①當時，，，所以；②當時，由（2）知，，等號不能同時成立.綜上可知.考點五：冪函數1．（2022春·浙江）函數的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由奇偶性可排除D；由冪函數性質可排除AC，由此可得結果.【詳解】的定義域為，且，為偶函數，圖象關于軸對稱，可排除；，由冪函數性質知：在上單調遞增，但增長速度越來越慢，可排除AC.故選：B.2．（2022春·貴州）函數的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先得到函數的定義域，再判斷函數的奇偶性，最后根據冪函數的性質判斷即可；【詳解】解：因為，即，定義域為，且，即為奇函數，又