江蘇省無錫市濱湖區(qū)2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年江蘇省無錫市濱湖區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，請用2B鉛筆把答題卡上相應(yīng)的選項(xiàng)標(biāo)號涂黑）1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（）A．x2+2x+3＝x2 B．y2+x+1＝0 C．x2﹣2＝0 D．2．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+2＝0，配方后得到的方程，正確的是（）A．（x+4）2＝4 B．（x﹣4）2＝4 C．（x+2）2＝2 D．（x﹣2）2＝23．（3分）下列四組線段中，是成比例線段的是（）A．5cm，15cm，2cm，6cm B．4cm，6cm，3cm，5cm C．1cm，2cm，3cm，4cm D．3cm，4cm，2cm，5cm4．（3分）已知⊙O的直徑為10cm，若線段OA的長為6cm，則點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)在圓上 B．點(diǎn)在圓外 C．點(diǎn)在圓內(nèi) D．無法確定5．（3分）如圖，若AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠CDB＝68°，則∠ABC度數(shù)為（）A．22° B．30° C．32° D．68°6．（3分）下列說法正確的是（）A．直徑所對的角是直角 B．同弧所對的圓心角是圓周角的2倍 C．三點(diǎn)確定一個(gè)圓 D．相等的圓心角所對的弧相等7．（3分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．以點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)把△AOB按相似比2：1放大，得到△A′OB′，則A′，B′的坐標(biāo)是（）A．， B．（4，5），（5，0） C．（4，6），（6，0） D．（6，9），（9，0）8．（3分）如圖，等邊△ABC沿DE折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′恰好落在BC上（端點(diǎn)除外）．下列結(jié)論，一定成立的是（）A．AD＝BD B．△BDA′∽△A′ED C． D．9．（3分）如圖，AB，CD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)A，B，C，D都在格點(diǎn)上，則的值為（）A． B． C． D．10．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)C作CE⊥AD，垂足為點(diǎn)E，線段CE的延長線交AB于點(diǎn)F，連接BE，DF．如下結(jié)論：①DB2＝DE?DA；②BE平分∠DEF；③；④S△BDF：S△AEF＝2：3．其中正確結(jié)論為（）A．①③ B．②③ C．①②④ D．①②③二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，只需把答案直接填寫在答題卡上相應(yīng)的位置）11．（3分）在比例尺為1：36000的無錫旅游地圖上，某條道路的長為10cm，則這條道路的實(shí)際長度為km．12．（3分）如果α、β是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+n＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么α+β＝．13．（3分）某藥品經(jīng)過兩次降價(jià)，每瓶零售價(jià)由100元降為81元．已知兩次降價(jià)的百分率相同，則這個(gè)百分率為．14．（3分）學(xué)校報(bào)告廳舞臺的寬AB為10m，小明作為新選任的主持人，想利用學(xué)過的黃金分割知識選持合適的位置站立，則他選擇的位置離A點(diǎn)m．（寫出所有可能，精確到0.1m）15．（3分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠AOC＝150°，則∠B＝．16．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，點(diǎn)O為△ABC的重心，連接OC，則OC＝．17．（3分）如圖，△ABC中，AB＝7，AC＝4，BC上的高AD＝3．則△ABC外接圓的半徑長為．18．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝3，AD＝4，連接AC，BD，若∠CBD＝2∠CDB＝60°，則AC長度的最大值為．三、解答題（本大題共10小題，共96分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（8分）解方程：（1）x2﹣3x﹣2＝0；（2）（x+3）2＝x+3．20．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0（k為常數(shù)）．（1）求證：不論k為何值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程的一個(gè)根為3，求k的值和方程的另一個(gè)根．21．（10分）如圖，D是△ABC的邊AC上的一點(diǎn)，連接BD，已知∠ABD＝∠C．（1）求證：△ABD∽△ACB；（2）若AB＝5，CD＝4，求AD的長．22．（10分）如圖，已知．（1）在上求作點(diǎn)C，使與的長度比為1：3；（用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）連接AB，若AB＝8，上的點(diǎn)到AB的大距離為2，求所在圓的半徑長．（如果需要圖形，請使用備用圖）23．（10分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．（1）若∠B＝28°，求的度數(shù)；（2）若BE＝EC＝4，求AD的長．24．（10分）某服裝大賣場以每件60元的價(jià)格購進(jìn)一種服裝，由試銷知，每天的銷量m（件）與每件的銷售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系為m＝300﹣3x．（1）當(dāng)每天的銷售量為45件時(shí)，求銷售這種服裝的毛利潤；（2）如果商場想銷售這種服裝每天獲得900元的毛利潤，同時(shí)又考慮薄利多銷，那么每件服裝的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？25．（10分）如圖，平直的公路旁有一燈桿AB，在燈光下，小明在D處測得自己的影長DH＝2m，在F處測得自己的影長FG＝3m．小明身高1.5m．（1）若測出BD＝am，求燈桿AB的長；（用含a的代數(shù)式表示）（2）若測出FH＝1m，求燈桿AB的長．26．（10分）先閱讀下列例題，再按要求解答問題：例題：求代數(shù)式x2+4x+5的最小值．解：x2+4x+5＝（x2+4x+4）+1＝（x+2）2+1．∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．∴x2+4x+5的最小值是1．（1）求代數(shù)式﹣2x2+12x+15的最大值；（2）某商場將進(jìn)價(jià)為2000元的某品牌電視機(jī)以2500元售出，平均每天能售出8臺．為了促銷，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，調(diào)查表明：這種冰箱的售價(jià)每降低50元，平均每天就能多售出2臺．試問商場每天最多盈利多少元？27．（10分）【探究活動(dòng)】如圖，BE是△ABC的中線，點(diǎn)D在BC上，BE交AD于點(diǎn)F．（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，則＝；（用含n的代數(shù)式表示）【解決問題】請利用探究活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)或結(jié)論解決問題：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE是△ABC的中線，點(diǎn)D在直線BC上，射線BE交AD于點(diǎn)F．若CD＝2，BD＝6，AC＝4時(shí)，求BF的值．28．（10分）如圖，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝3cm，動(dòng)點(diǎn)P以1cm/s的速度沿著折線AB，BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止．已知△PA′D與△PAD關(guān)于直線PD對稱，連接AA′．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．（1）當(dāng)點(diǎn)A′落在對角線BD上時(shí)，t＝；（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A，P，A′能否在同一條直線上？如果能，請求出t的值；如果不能，請說明理由，并求出△APA′的面積的最小值；（3）連接BA′，若△ABA′是直角三角形，請直接寫出t的值．

2024-2025學(xué)年江蘇省無錫市濱湖區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，請用2B鉛筆把答題卡上相應(yīng)的選項(xiàng)標(biāo)號涂黑）1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（）A．x2+2x+3＝x2 B．y2+x+1＝0 C．x2﹣2＝0 D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，逐一分析各選項(xiàng)中的方程即可．【解答】解：A．∵原方程可整理得2x+3＝0，未知數(shù)的最高次數(shù)是1，∴方程x2+2x+3＝x2不是一元二次方程，選項(xiàng)A不符合題意；B．∵方程y2+x+1＝0含有兩個(gè)未知數(shù)，∴方程y2+x+1＝0不是一元二次方程，選項(xiàng)B不符合題意；C．方程x2﹣2＝0是一元二次方程，選項(xiàng)C符合題意；D．∵方程x﹣＝0不是整式方程，∴方程x﹣＝0不是一元二次方程，選項(xiàng)D不符合題意．故選：C．2．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+2＝0，配方后得到的方程，正確的是（）A．（x+4）2＝4 B．（x﹣4）2＝4 C．（x+2）2＝2 D．（x﹣2）2＝2【答案】D【分析】先將常數(shù)項(xiàng)移到等號右邊，再在兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，最后根據(jù)完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2即可完成配方．【解答】解：x2﹣4x+2＝0，x2﹣4x＝﹣2，x2﹣4x+4＝2，（x﹣2）2＝2，故選：D．3．（3分）下列四組線段中，是成比例線段的是（）A．5cm，15cm，2cm，6cm B．4cm，6cm，3cm，5cm C．1cm，2cm，3cm，4cm D．3cm，4cm，2cm，5cm【答案】A【分析】根據(jù)成比例線段的定義逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：A、∵5：15＝2：6，∴這一組線段成比例．B、∵4：6≠3：5，∴這一組線段不成比例．C、∵1：2≠3：4，∴這一組線段不成比例．D、∵3：4≠2：5，∴這一組線段不成比例．故選：A．4．（3分）已知⊙O的直徑為10cm，若線段OA的長為6cm，則點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)在圓上 B．點(diǎn)在圓外 C．點(diǎn)在圓內(nèi) D．無法確定【答案】B【分析】先求出⊙O的半徑，再根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可求解．【解答】解：∵⊙O的直徑為10cm，∴⊙O的半徑為5cm，∵OA＝6cm＞5cm，∴點(diǎn)A在⊙O外．故選：B．5．（3分）如圖，若AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠CDB＝68°，則∠ABC度數(shù)為（）A．22° B．30° C．32° D．68°【答案】A【分析】根據(jù)圓周角定理得到∠BAC的度數(shù)，再由AB是⊙O的直徑得到∠ACB的度數(shù)，從而計(jì)算∠ABC的度數(shù)即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠CDB＝68°，∴∠BAC＝68°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝22°．故選：A．6．（3分）下列說法正確的是（）A．直徑所對的角是直角 B．同弧所對的圓心角是圓周角的2倍 C．三點(diǎn)確定一個(gè)圓 D．相等的圓心角所對的弧相等【答案】B【分析】根據(jù)圓周角定理、確定圓的條件、圓心角、弧、弦的關(guān)系判斷即可．【解答】解：A、直徑所對的圓周角是直角，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；B、同弧所對的圓心角是圓周角的2倍，說法正確，符合題意；C、不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；D、在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；故選：B．7．（3分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．以點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)把△AOB按相似比2：1放大，得到△A′OB′，則A′，B′的坐標(biāo)是（）A．， B．（4，5），（5，0） C．（4，6），（6，0） D．（6，9），（9，0）【答案】C【分析】根據(jù)關(guān)于以原點(diǎn)為位似中心的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征，把點(diǎn)A、B的橫縱坐標(biāo)都乘以2得到點(diǎn)A′，B′的坐標(biāo)．【解答】解：∵以點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)把△AOB按相似比2：1放大，得到△A′OB′，而點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（2×2，2×3），點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（3×2，0×2），即點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（4，6），點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（6，0），故選：C．8．（3分）如圖，等邊△ABC沿DE折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′恰好落在BC上（端點(diǎn)除外）．下列結(jié)論，一定成立的是（）A．AD＝BD B．△BDA′∽△A′ED C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，由折疊的性質(zhì)得到∠ADE＝∠A′DE，AD＝A′D，得到AD不一定等于BD，故A不符合題意；推出∠BDA′＝∠CA′E，根據(jù)相似三角形的判定定理得到△BDA′∽△CA′E，故B不符合題意；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到＝，故C不符合題意，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到△BDA′的周長：△CA′E的周長＝DA′：A′E，故D符合題意．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，由折疊的性質(zhì)可得：∠ADE＝∠A′DE，AD＝A′D，∵點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′恰好落在BC上（端點(diǎn)除外），∴AD不一定等于BD，故A不符合題意；∵∠B＝∠DA′E＝∠C＝60°，∴∠BDA′+∠BA′D＝∠BA′D+∠CA′E＝120°，∴∠BDA′＝∠CA′E，∴△BDA′∽△CA′E，故B不符合題意；∴＝，故C不符合題意，∴△BDA′的周長：△CA′E的周長＝DA′：A′E，故D符合題意；故選：D．9．（3分）如圖，AB，CD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)A，B，C，D都在格點(diǎn)上，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】延長CD到F點(diǎn)使DF＝CD，DF與格線交于點(diǎn)G，連接AC、BG，利用網(wǎng)格特征得到AC＝3，BG＝2.5，再證明△ACE∽△BGE，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解．【解答】解：延長CD到F點(diǎn)使DF＝CD，DF與格線交于點(diǎn)G，連接AC、BG，則AC＝3，BG＝2.5，∵AC∥BG，∴△ACE∽△BGE，∴＝＝＝．故選：C．10．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)C作CE⊥AD，垂足為點(diǎn)E，線段CE的延長線交AB于點(diǎn)F，連接BE，DF．如下結(jié)論：①DB2＝DE?DA；②BE平分∠DEF；③；④S△BDF：S△AEF＝2：3．其中正確結(jié)論為（）A．①③ B．②③ C．①②④ D．①②③【答案】D【分析】①證明△DCE和△DAC相似得CD2＝DE?DA，再根據(jù)點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)即可對結(jié)論①進(jìn)行判斷；②證明△DBE和△DAB相似得∠DEB＝∠ABC＝45°，再根據(jù)CE⊥AD即可對結(jié)論②進(jìn)行判斷；③過點(diǎn)E作EH⊥BC于H，F(xiàn)K⊥BC于K，先求出CD＝BD＝，DA＝，DE＝，AE＝，證明△DEH和△DAC相似得EH＝，DH＝，CH＝，再證明△BFK是等腰直角三角形，設(shè)BK＝FK＝a，則CK＝1﹣a，BF＝，然后證明△CEH和△CFK相似得a＝，由此可對結(jié)論③進(jìn)行判斷；④根據(jù)FK＝a＝得S△BDF＝，再利用三角形的面積公式求出CE＝，根據(jù)△CEH和△CFK相似得CF＝，則EF＝CF﹣CE＝，由此得S△AEF＝，進(jìn)而可對結(jié)論結(jié)論④進(jìn)行判斷，綜上所述即可得出答案．【解答】解：①∵∠ACB＝90°，CE⊥AD，∴∠DEC＝∠ACB＝90°，又∵∠CDE＝∠ADC，∴△DCE∽△DAC，∴CD：DA＝DE：CD，∴CD2＝DE?DA，∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴CD＝DB，∴DB2＝DE?DA，故結(jié)論①正確；②∵DB2＝DE?DA，∴DB：DA＝DE：DB，又∵∠BDE＝∠ADB，∴△DBE∽△DAB，∴∠DEB＝∠ABC，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∴∠DEB＝∠ABC＝45°，∵CE⊥AD，∴∠DEF＝90°，∴∠FEB＝∠DEF﹣∠DEB＝90°﹣45°＝45°，∴∠FEB＝∠DEB＝45°，∴BE平分∠DEF，故結(jié)論②正確；③過點(diǎn)E作EH⊥BC于H，F(xiàn)K⊥BC于K，如圖所示：則EH∥FK，∵AC＝BC＝1，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴CD＝BD＝，在Rt△ACD中，由勾股定理得：DA＝，∴CD2＝DE?DA，∴，∴DE＝，∴AE＝DA﹣DE＝，∵EH⊥BC，∠ACB＝90°，∴EH∥AC，∴△DEH∽△DAC，∴EH：AC＝DH：CD＝DE：DA，∴，∴EH＝，DH＝，∴CH＝CD﹣DH＝＝，∵∠ABC＝45°，F(xiàn)K⊥BC，∴△BFK是等腰直角三角形，∴設(shè)BK＝FK＝a，則CK＝BC﹣BK＝1﹣a，由勾股定理得：BF＝，∵EH∥FK，∴△CEH∽△CFK，∴EH：FK＝CH：CK，∴，∴a＝，∴BF＝＝，故結(jié)論③正確；④∵FK＝a＝，∴S△BDF＝BD?FK＝，∵S△ACD＝DA?CE＝AC?CD，∴，∴CE＝，∵△CEH∽△CFK，∴CE：CF＝EH：FK，∴√，∴CF＝，∴EF＝CF﹣CE＝，∴S△AEF＝AE?EF＝，∴S△BDF：S△AEF＝＝5：8，故結(jié)論④不正確．綜上所述：正確的結(jié)論是①②③．故選：D．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，只需把答案直接填寫在答題卡上相應(yīng)的位置）11．（3分）在比例尺為1：36000的無錫旅游地圖上，某條道路的長為10cm，則這條道路的實(shí)際長度為3.6km．【答案】3.6．【分析】根據(jù)實(shí)際距離＝圖上距離÷比例尺．代值計(jì)算即可得出答案．【解答】解：根據(jù)題意得：10÷＝360000（cm），360000cm＝3.6km．故答案為：3.6．12．（3分）如果α、β是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+n＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么α+β＝4．【答案】4．【分析】直接利用根與系數(shù)的關(guān)系求解．【解答】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得α+β＝4．故答案為：4．13．（3分）某藥品經(jīng)過兩次降價(jià)，每瓶零售價(jià)由100元降為81元．已知兩次降價(jià)的百分率相同，則這個(gè)百分率為10%．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】此題可設(shè)降價(jià)的百分率為x，則第一次降價(jià)后的單價(jià)是原來的（1﹣x），第二次降價(jià)后的單價(jià)是原來的（1﹣x）2，根據(jù)題意列方程解答即可．【解答】解：降價(jià)的百分率為x，根據(jù)題意列方程得100×（1﹣x）2＝81解得x1＝0.1，x2＝1.9（不符合題意，舍去）．所以降價(jià)的百分率為0.1，即10%．故答案為：10%．14．（3分）學(xué)校報(bào)告廳舞臺的寬AB為10m，小明作為新選任的主持人，想利用學(xué)過的黃金分割知識選持合適的位置站立，則他選擇的位置離A點(diǎn)6.2或3.8m．（寫出所有可能，精確到0.1m）【答案】6.2或3.8．【分析】設(shè)他選擇的位置離A點(diǎn)xm，則離B點(diǎn)（10﹣x）m，然后根據(jù)黃金分割的定義可得：≈0.618或≈0.618，從而進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：設(shè)他選擇的位置離A點(diǎn)xm，則離B點(diǎn)（10﹣x）m，由題意得：≈0.618或≈0.618，解得：x＝6.18≈6.2或x＝3.82≈3.8，∴他選擇的位置離A點(diǎn)6.2或3.8m，故答案為：6.2或3.8．15．（3分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠AOC＝150°，則∠B＝105°．【答案】105°．【分析】根據(jù)圓周角定理求出∠D，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠B．【解答】解：由圓周角定理得：∠D＝∠AOC＝×150°＝75°，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠D+∠B＝180°，∴∠B＝180°﹣75°＝105°，故答案為：105°．16．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，點(diǎn)O為△ABC的重心，連接OC，則OC＝2．【答案】2．【分析】延長CO交AB于D，由三角形重心的性質(zhì)得到CD是△ACB的中線，OC＝CD，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到CD＝AB＝3，即可求出OC的長．【解答】解：如圖，延長CO交AB于D，∵點(diǎn)O為△ABC的重心，∴CD是△ACB的中線，OC＝CD，∵∠ACB＝90°，∴CD＝AB＝×6＝3，∴OC＝CD＝2．故答案為：2．17．（3分）如圖，△ABC中，AB＝7，AC＝4，BC上的高AD＝3．則△ABC外接圓的半徑長為．【答案】．【分析】作△ABC的外接圓，設(shè)圓心為O，過點(diǎn)A作直徑AD交⊙O于D，連接CD，則∠B＝∠D，∠ACD＝90°，在Rt△ABD中，sinB＝，則sinD＝sinB＝，在Rt△ACD中，sinD＝＝，由此得AD＝，進(jìn)而可得△ABC外接圓的半徑．【解答】解：作△ABC的外接圓，設(shè)圓心為O，過點(diǎn)A作直徑AD交⊙O于D，連接CD，如圖所示：則∠B＝∠D，∠ACD＝90°，∵AD是△ABC的高，∴在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝7，∴sinB＝，∴sinD＝sinB＝，在Rt△ACD中，AC＝4，sinD＝＝∴，∴AD＝，∴OA＝OD＝AD＝．即△ABC外接圓的半徑長為．故答案為：．18．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝3，AD＝4，連接AC，BD，若∠CBD＝2∠CDB＝60°，則AC長度的最大值為+2．【答案】+2．【分析】以B為頂點(diǎn)，在BA下方作∠ABH＝60°，過A作AH⊥BH于H，證明△BCH∽△BDA，可得＝＝，求出CH＝2，從而可得AC≤+2，AC長度的最大值為+2．【解答】解：以B為頂點(diǎn)，在BA下方作∠ABH＝60°，過A作AH⊥BH于H，如圖：∴∠BAH＝30°，∴BH＝AB＝，AH＝BH＝，∵∠CBD＝2∠CDB＝60°，∴∠CDB＝30°，∠BCD＝90°，∴BC＝BD，∠CBH＝60°﹣∠DBH＝∠ABD，∴＝＝，∴△BCH∽△BDA，∴＝＝，∵AD＝4，∴CH＝2，∵AC≤AH+CH，∴AC≤+2，∴AC長度的最大值為+2，故答案為：+2．三、解答題（本大題共10小題，共96分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（8分）解方程：（1）x2﹣3x﹣2＝0；（2）（x+3）2＝x+3．【答案】（1）x1＝，x2＝．（2）x1＝﹣3，x2＝﹣2．【分析】（1）利用公式法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）x2﹣3x﹣2＝0，∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝9+8＝17＞0，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．（2）（x+3）2＝x+3，（x+3）2﹣（x+3）＝0，（x+3）（x+3﹣1）＝0，∴x+3＝0或x+2＝0，∴x1＝﹣3，x2＝﹣2．20．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0（k為常數(shù)）．（1）求證：不論k為何值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程的一個(gè)根為3，求k的值和方程的另一個(gè)根．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）證明Δ＞0，可得結(jié)論；（2）根據(jù)方程解的定義求出k的值，再求出方程的根可得結(jié)論．【解答】（1）證明：∵Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4（2k﹣1）\＝k2+4k+4﹣8k+4＝k2﹣4k+4+4＝（k﹣2）2+4，∵（k﹣2）2≥0，∴Δ＞0，∴該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：∵方程的一個(gè)根為3，∴9﹣3（k+2）+2k﹣1＝0，∴k＝2，∴方程為x2﹣4x+3＝0，∴x1＝3，x1＝1，∴另一個(gè)根為1，k＝2．21．（10分）如圖，D是△ABC的邊AC上的一點(diǎn)，連接BD，已知∠ABD＝∠C．（1）求證：△ABD∽△ACB；（2）若AB＝5，CD＝4，求AD的長．【答案】（1）證明見解答過程；（2），【分析】（1）根據(jù)∠ABD＝∠C，∠BAD＝∠CAB即可得出結(jié)論；（2）設(shè)AD＝x，AC＝AD+CD＝x+4，根據(jù)△ABD和△ACB相似得AB：AC＝AD：AB，將AB＝5，AD＝x，AC＝x+4代入比例式整理得x2+4x﹣25＝0，由此解出x即可得AD的長．【解答】（1）證明：∵∠ABD＝∠C，∠BAD＝∠CAB，∴△ABD∽△ACB；（2）設(shè)AD＝x，∵AB＝5，CD＝4，∴AC＝AD+CD＝x+4，∵△ABD∽△ACB，∴AB：AC＝AD：AB，∴AB2＝AD?AC，∴52＝x（x+4），整理得：x2+4x﹣25＝0，解得：x＝，x＝（不合題意，舍去），∴AD＝x＝．22．（10分）如圖，已知．（1）在上求作點(diǎn)C，使與的長度比為1：3；（用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）連接AB，若AB＝8，上的點(diǎn)到AB的大距離為2，求所在圓的半徑長．（如果需要圖形，請使用備用圖）【答案】（1）見解析；（2）5．【分析】（1）連接AB作線段AB的垂直平分線交于點(diǎn)D，連接AD，作線段AD的垂直平分線交于點(diǎn)C，點(diǎn)C即為所求；（2）如圖2中，設(shè)圓心為O，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，設(shè)OA＝OC＝r，利用勾股定理構(gòu)建方程求解．【解答】解：（1）如圖1中，點(diǎn)C即為所求；（2）如圖2中，設(shè)圓心為O，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，設(shè)OA＝OC＝r，∵OC⊥AB，∴AD＝DB＝4，在Rt△ADO中，r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5．∴所在圓的半徑為5．23．（10分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．（1）若∠B＝28°，求的度數(shù)；（2）若BE＝EC＝4，求AD的長．【答案】（1）34°；（2）．【分析】（1）連接CD，求出∠A的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ADC的度數(shù)，再由三角形外角的性質(zhì)計(jì)算∠BCD的度數(shù)即可；（2）延長BC交圓C于點(diǎn)F，在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB；設(shè)AD＝x，用x將BD表示出來，根據(jù)切割線定理列方程并求解即可．【解答】解：（1）如圖，連接CD．∵∠C＝90°，∠B＝28°，∴∠A＝90°﹣∠B＝62°，∵CA＝CD，∴∠ADC＝∠A＝62°，∴∠BCD＝∠ADC﹣∠B＝62°﹣28°＝34°，∴的度數(shù)是34°．（2）延長BC交圓C于點(diǎn)F．∵BE＝EC＝4，∴BC＝BE+EC＝8，CF＝AC＝EC＝4，∴BF＝BC+CF＝12，在Rt△ABC中利用勾股定理，得AB＝＝＝4，設(shè)AD＝x，則BD＝AB﹣AD＝4﹣x，根據(jù)切割線定理，得BD?AB＝BE?BF，∴4（4﹣x）＝4×12，∴x＝，∴AD的長為．24．（10分）某服裝大賣場以每件60元的價(jià)格購進(jìn)一種服裝，由試銷知，每天的銷量m（件）與每件的銷售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系為m＝300﹣3x．（1）當(dāng)每天的銷售量為45件時(shí)，求銷售這種服裝的毛利潤；（2）如果商場想銷售這種服裝每天獲得900元的毛利潤，同時(shí)又考慮薄利多銷，那么每件服裝的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？【答案】（1）1125元；（2）每件服裝的銷售價(jià)應(yīng)定為70元．【分析】（1）根據(jù)m＝300﹣3x求出x的值，即可解決問題；（2）設(shè)每件服裝的銷售價(jià)應(yīng)定為x元，根據(jù)商場想銷售這種服裝每天獲得900元的毛利潤，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可．【解答】解：（1）當(dāng)m＝45時(shí)，45＝300﹣3x，解得：x＝85，∴45×（85﹣60）＝1125（元），答：當(dāng)每天的銷售量為45件時(shí)，銷售這種服裝的毛利潤為1125元；（2）設(shè)每件服裝的銷售價(jià)應(yīng)定為x元，由題意得：（x﹣60）（300﹣3x）＝900，整理得：x2﹣160x+6300＝0，解得：x1＝70，x2＝90，（不符合題意，舍去），答：每件服裝的銷售價(jià)應(yīng)定為70元．25．（10分）如圖，平直的公路旁有一燈桿AB，在燈光下，小明在D處測得自己的影長DH＝2m，在F處測得自己的影長FG＝3m．小明身高1.5m．（1）若測出BD＝am，求燈桿AB的長；（用含a的代數(shù)式表示）（2）若測出FH＝1m，求燈桿AB的長．【答案】（1）（a+）m；（2）6m．【分析】（1）判定△ABH∽△CDH，推出＝，得到＝，求出AB＝（a+）m；（2）判定△GEF∽△GAB，推出＝，判定△HCD∽△HAB，推出＝，而CD＝EF，得到＝，求出BH＝8，得到＝，求出AB＝6m．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴△ABH∽△CDH，∴＝，∵CD＝1.5m，DH＝2m，BD＝am，∴＝，∴AB＝（a+）m；（2）∵EF∥AB，∴△GEF∽△GAB，∴＝，∵CD∥AB，∴△HCD∽△HAB，∴＝，∵CD＝EF，∴＝，∴＝，∴BH＝8，∴＝，∴AB＝6m．26．（10分）先閱讀下列例題，再按要求解答問題：例題：求代數(shù)式x2+4x+5的最小值．解：x2+4x+5＝（x2+4x+4）+1＝（x+2）2+1．∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．∴x2+4x+5的最小值是1．（1）求代數(shù)式﹣2x2+12x+15的最大值；（2）某商場將進(jìn)價(jià)為2000元的某品牌電視機(jī)以2500元售出，平均每天能售出8臺．為了促銷，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，調(diào)查表明：這種冰箱的售價(jià)每降低50元，平均每天就能多售出2臺．試問商場每天最多盈利多少元？【答案】（1）代數(shù)式﹣2x2+12x+15的最大值為33；（2）商場每天最多盈利4900元．【分析】（1）由﹣2x2+12x+15＝﹣2（x﹣3）2+33≤33，即可求解；（2）設(shè)降低x元時(shí)，盈利w最大，由題意得：w＝（2500﹣200﹣x）（8+x）＝﹣（x﹣150）2+4900≤4900，即可求解．【解答】解：（1）﹣2x2+12x+15＝﹣2（x﹣3）2+33≤33，即代數(shù)式﹣2x2+12x+15的最大值為33；（2）設(shè)降低x元時(shí)，盈利w最大，由題意得：w＝（2500﹣200﹣x）（8+x）＝﹣（x﹣150）2+4900≤4900（元），故商場每天最多盈利4900元．27．（10分）【探究活動(dòng)】如圖，BE是△ABC的中線，點(diǎn)D在BC上，BE交AD于點(diǎn)F．（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，則＝；（用含n的代數(shù)式表示）【解決問題】請利用探究活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)或結(jié)論解決問題：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE是△ABC的中線，點(diǎn)D在直線BC上，射線BE交AD于點(diǎn)F．若CD＝2，BD＝6，AC＝4時(shí)，求BF的值．【答案】（1）；（2）；（3）BF的值為或．【分析】（1）過點(diǎn)D作DG∥AC交BE于點(diǎn)G，利用△AFE∽△DFG，△BDG∽△BCD，得到＝＝，即可得解；（2）同（1）思路一樣；【解決問題】由射線BE交AD于點(diǎn)F可知，點(diǎn)D有可能在線段BC上，有可能在線段BC延長線上，所以分兩種情況討論，再利用前述結(jié)論得出，然后構(gòu)造直角三角形，利用相似求出直角邊長，再結(jié)合勾股定理求出BF的長即可．【解答】解：（1）如圖，過點(diǎn)D作DG∥AC交BE于點(diǎn)G，則∠ADG＝∠DAC，∠BGD＝∠BEC，∵∠AFE＝∠DFG，∴△AFE∽△DFG，∴，∵∠DBG＝∠CBE，∴△BDG∽△BCD，∴，∵＝，∴，∴＝，∵BE是中線，∴AE＝CE，∴，∴＝，（2）如圖，過點(diǎn)D作DG∥AC交BE于點(diǎn)G，同（1）中方法可知＝＝，∵，∴，∴＝，故答案為：；【解決問題】分兩種情況，①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，如圖所示，∵BD＝6，CD＝2，∴＝，由前述結(jié)論可知＝，∴，過F作FH⊥BC于點(diǎn)H，則∠BHF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠BHF，∵∠FDH＝∠ADC，∴△FDH∽△ADC，∴＝＝＝，∴DH＝，F(xiàn)H＝，∴BH＝BD+DH＝，在Rt△BFH中，BF＝＝；②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC延長線上時(shí)，如圖所示，同（1）中方法，可求得＝，∴＝，過F作FH⊥BC于點(diǎn)H，則∠BHF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BHF，∵∠FDH＝∠ADC，∴△F