2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點專題《導(dǎo)數(shù)壓軸小題十四大題型》題型突破及解析

重難點專題14導(dǎo)數(shù)壓軸小題十四大題型匯總

題型1恒成立問題之直接求導(dǎo)型........................................1

題型2恒成立問題之分離參數(shù)型........................................2

題型3恒成立問題之隱零點型..........................................3

題型4恒成立問題之洛必達法則........................................4

題型5恒成立問題之兩個函數(shù)問題......................................5

?類型1同變量型.................................................5

?類型2不同變量型...............................................6

?類型3函數(shù)相等型...............................................7

題型6恒成立問題之構(gòu)造函數(shù)..........................................8

題型7零點問題.......................................................8

題型8同構(gòu)問題......................................................10

題型9整數(shù)解問題....................................................11

題型10函數(shù)凹凸性問題...............................................12

題型11倍函數(shù)問題...................................................13

題型12二次型函數(shù)問題...............................................14

題型13嵌套函數(shù)問題.................................................15

題型14切線放縮法...................................................16

題型1恒成立問題之直接求導(dǎo)型

無論大題小題，分類討論求參是導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)，也是復(fù)習(xí)訓(xùn)練重點之一：

1.移項含參討論是所有導(dǎo)數(shù)討論題的基礎(chǔ)，也是學(xué)生日常訓(xùn)練的重點.

2.討論點的尋找是關(guān)鍵.

3.一些題型，可以適當?shù)慕柚它c值來〃壓縮〃參數(shù)的討論范圍

【例題1】（2023春?四川綿陽-高三綿陽南山中學(xué)實驗學(xué)校校考階段練習(xí)）己

第力J，-3x+2dxW1

知3GR,設(shè)函數(shù)人同7,若關(guān)于?邛勺不等式打力學(xué)￡在XWF

上恒成立，則日的取值范圍為（）

A.[OJJB.\L2\C.lAelD.IZel

【變式1-111.（2023春?浙江杭州-高三浙江省杭州第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）

對正實數(shù)a有Hx）=1二-Mnx-ln5妾'在定義域內(nèi)恒成立，則a的取值范圍

為（）

A.（AllB.14c71C.（OgD.（〃+8]

【變式1-1]2.（2022秋?安徽六安-高三六安市裕安區(qū)新安中學(xué)校考階段練

習(xí)）若不等式（對Hr￡力恒成立，其中切H4,貝r的最大值為

（）

1Z、八1°IEJI

A.■-B.-Injfec.Ina-

【變式1-113.（2023春?四川南充?高三閩中中學(xué)校考階段練習(xí)）一般地，

對于函數(shù)/二f"）和X6（,丫）復(fù)合而成的函數(shù)，二f（爪外），它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)

V二/二儀外的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為力‘=匕‘?若關(guān)于）的不等式

對于任意xGF恒成立，則;的最大值為（）

A.1B.1C.\D.c

【變式1-1]4.（2023?安徽合肥?合肥市第七中學(xué)校考三模）已知函數(shù)

乂力二周”￡為，若2-1對任意的x恒成立，則m的最

大值是（）

A.e--B.C.e-JD.-

【變式IT】5.（2022春?安徽滁州-高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)

*力二（x-e-力d",若存在占￡N,對于任意X￡口才，都有團力|則實

數(shù)a的取值范圍是.

題型2恒成立問題之分離參數(shù)型

分離參數(shù)是屬于“暴力計算”型方法，分離參數(shù)：將參數(shù)提取到單獨的一彳肌然

后通過求解函數(shù)的最值來求解參數(shù)的取值范圍.

1.分離參數(shù)思維簡單，不需過多思考；

2.參變分離原則是容易分離且構(gòu)造的新函數(shù)不能太過復(fù)雜

3.缺點是，首先得能分參，其次求導(dǎo)計算可能十分麻煩，甚至需要二階，三階..

等等求導(dǎo).

【例題2】（2023春?江蘇?高三江蘇省前黃高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若關(guān)干）

的不等式1（雄?力〈辦"對任意的X/8）恒成立，則整數(shù)4的最大值為

（）

A.-JB.0C.1D.3

【變式2-111.（2022秋?四川內(nèi)江?高三威遠中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知不

等式此E-%2、"寄”對?河恒成立，則萬取值范圍為

（）

A.加WB阻》一：c.mW-ED.

【變式2T】2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知f（x）,g（x）分別為定義域

為R的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且⑨二e，若關(guān)于x的不等式

2f一方㈤是依。立2）上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.9塔B.停，8）C.（-8,胃D.V,。）

【變式2-1]3.（2022秋?山西運城?高三校考階段練習(xí)）已知毛，無是函數(shù)

I

=/-Aix，刃m的兩個極值點，且，＜七，當&時，不等式Hx；）2磔二

恒成立，則實數(shù)如勺取值范圍（）

A.卜：In2aB.（-吃/

C.HFZ0D.卜；1四/8）

（■一加-lax-1一

【變式2-1]4.（2023?全國-高三專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式—方—W〉

在9?8】上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（）

A.（-8,0B.（-8,-e]

C.（.8J]D.58/71

題型3恒成立問題之隱零點型

解題框架（主要的）：

（1）導(dǎo)函數(shù)（主要是一階導(dǎo)函數(shù)）等零這一步，有根xd旦不可解.但得到參數(shù)和

”的等量代換關(guān)系.備用

（2）知原函數(shù)最值處就是一階導(dǎo)函數(shù)的零點處，可代入虛根丸

（3）利用丸與參數(shù)互化得關(guān)系式，先消掉參數(shù)，得出七不等式，求得打范圍.

（4）再代入?yún)?shù)和處互化式中求得參數(shù)范圍.

二二

【例題3]（2023?河南鄭州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）己知函數(shù)H*）三*〒憶

式力二（1，加）/（初￡R）,若Hx）WKx）恒成立，則實數(shù)ni的取值范圍為.

【變式3-1]1.（2022秋-黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱市第六中學(xué)校?？茧A段

練習(xí)）若關(guān)于，的不等式對一切正實數(shù)x恒成立，則實數(shù)d的取值范

圍是（）

A.（-8，=）B.（-8,4C.（-叱2

【變式3T】2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)力外二.一=一4對任

意x〉0,都有+力恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是.

【變式3-1]3.（2023?廣東深圳?深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）若關(guān)于x的不

等式1磔-力+J對任意的不+8）恒成立，則整數(shù)卜的最大值

為.

【變式3-1]4.（2022?安徽?巢湖市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知不等式

0-亍*81恒成立，則實數(shù)a的最小值為（）

A.：B.jC.jD.1

題型4恒成立問題之洛必達法則

如果最值恰好在“斷點處”，則可以通過洛必達法則求出“最值”.

【例題4】（多選）已知函數(shù)f㈤二合”sin;,則下列結(jié)論正確的是（）

A.//是周期為2月的奇函數(shù)B.在‘-5，子）上為增函數(shù)

C./.在有21個極值點D./包內(nèi)在位：」上恒成立的充

要條件是31

【變式4-111.（2020春?黑龍江哈爾濱?高三黑龍江實驗中學(xué)?？奸_學(xué)考試）

已知函數(shù)二/Inj-g1—力匕C舊若置，云[在xe（0,1]時恒成立,

則實數(shù)a的取值范圍是

A.[<+8)B.J+8)C.[2,+8)D.[1,+OO)

【變式4-112.（2020?江西九江?統(tǒng)考三模）若對任意xW幾），不等式

恒成立，則實數(shù)的勺取值范圍是（）

A.K22B.（-8,e]c.（.8,WD.（.8,刀

【變式4-113.（2020春?河北唐山?期中）若打?qū)?/p>

恒成立，則實數(shù)石的取值范圍是

A.『一巴2」B.（-巴2；c.（-吃乙D.巴3）

【變式47】4.（多選）（2023春?河南許昌?）已知函數(shù);e'siru,則

下列結(jié)論正確的是（）

A.打力是周期為2及的奇函數(shù)B.在上為增函數(shù)

C.fG在J"",人也內(nèi)有21個極值點D.f.力在也上恒成立的充

要條件是31

題型5恒成立問題之兩個函數(shù)問題

此類函數(shù)，多采用兩函數(shù)“取最值法”.一般地，已知函數(shù)y二f（?，x￡【]句，

片8（力〃G【6d

（1）若以二￡司，L必w匕d,總有Hx；）<g（1力成立，故犬力3（式孫）.；

（2）若以：￡伍同，3X3￡|cd有真心）<g（孫）成立，故。（hL,；

（3）若云:e[aA],"￡匕4有真為<烈孫）成立，故*"Ga：

（4）若為；￡E句，"e[c,d,有真X。二8（益1則式?的值域是dx）值域

的子集.

?類型1同變量型

【例題5-11（2023秋?廣東陽江?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)Ax）-In兒

式力Wb,Xe（a+8）,a”2式力恒成立，貝心+b的最大值為（）

A.eB,/C.-JD.-e

【變式5-1]1.（2022秋?江蘇鎮(zhèn)江-高三江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已

知函數(shù)力力二一必嚀"2d>〃4力二乙若不等式

glxJPZ/Yi）力對一切x￡R恒成立，則正整數(shù)斤的最大值為（）

A.5B.6C./D.<5

【變式5-112.（2023?江蘇?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知*x）=mx，力，g（x）-1m,

對于w9+8）,*力是虱動恒成立，則而?2力的最小值為（）

A.TnZB.—1C.Tn4D.—2

【變式5-1]3.（2022?全國-高三專題練習(xí)）已知函數(shù)Hx）-x-ln（x*J）,

烈x）二鏟-jr-1，若烈x）對IF￡[0,+8）恒成立，求實數(shù)4的取值范

圍.

【變式5T】4.（2020?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)三次函數(shù)

=（%b,c為實數(shù)且a的導(dǎo)數(shù)為，仞，記

4/二f'G]若對任意xWJ,不等式f￡（.恒成立，則云:的最大值為

?類型2不同變量型

【例題5-2]（2022秋?河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)

fix）-（x-/）（ex-e）,g（x）-lnx-ai,其中若對任意的正實數(shù)x.，Xj,

不等式汽工）2g（孫強成立，則a的最小值為（）

A.0B.1C.：D.e

【例題5-2】1.（多選）（2023秋?廣東-高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知Hx）=nJ,

烈x）二不liu.若存在孫孫￡（。，8）,使得"與）二爪孫）二7成立，則下列

結(jié)論中正確的是（）

A.當，乂時，"七二fB.當時，eln?x：x；

C.不存在？，使得，（三）=成立D.恒成立，則mW：

【變式5-2]2.（2022秋?四川綿陽?高三四川省綿陽江油中學(xué)階段練習(xí)）己

知函數(shù)H*）==,=一。/?打9是自然對數(shù)的底數(shù)），對任意的r，￡R,存

在打有大方）Wg（r），則￡的取值范圍為.

【變式5-213.（2022秋?四川?高三棠湖中學(xué)階段練習(xí)）函數(shù)fGram,

g（x）二，+1,當aWl時，對任意相、x,E|Zd,都有fGJPgGJ成立，則

日的取信范圍是

【變式5-214.（2021秋?湖北襄陽-高三開學(xué)考試）已知函數(shù)

/(j)

a”)=(9-而

P={ml任意“x2€（0,2）,f（xO>g（x2））,

Q二伍|任意X16（0,2）,存在M€（0,2）,f（M）>8（#[4l]PAQ=.

?類型3函數(shù)相等型

（例題5-3]（2021秋?江西?高三階段練習(xí)）已知函數(shù)

f(xJ-'9-

loe/j*J）.x式力二d/，2x+a-]，若對任意的幾G/,總存在

實數(shù)外三（。，叼，使得Hx；）二g（%）成立，則實數(shù)日的取值范圍為（）

A.I。mB.I。7）C.卜叱務(wù).號,8）

【變式5-3]1.（2022?天津和平?耀華中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)

.（asinx^^x

心二？7―（-|//

若對任意，WIL+8）,總存在

r￡R,使犬與）二g（“1則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.（-8，%.（-8,”修彳

c.卜8,"〃,力D.awsw

【變式5-3]2.（2023?新疆烏魯木齊?烏市一中?？既＃┮阎瘮?shù)

;e力-2xi1,g（x）=2x-2山,若存在九，七E億，8）,使得/（i；）二g（xR,

則（）

A.UCGJB.A%<lnx；

C.ln（2x；）<lnx7<xD.X,<lnx?<2xt

【變式5-3】3.（2021?河南?統(tǒng)考一模）定義：AnGG））T=尢，g（/.

設(shè)函數(shù)//二'+2*3,gG）二81nG+〃若孫e（Q⑶,>,工■了力使

得0與）=g3）,=g3）,則實數(shù)卻J取值范圍是

A.（16ir\2^15f0>B.15,8[n2~3）

C.（Q8ln2-3,D.（0,15-161n2>

【變式5-3]4.（2021春?江蘇南通?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)

1，式X）若對Tx，E（a+8）,m孫G"顯

使Hz）二g（七）成立，則c的取值范圍是（）

A.3<CGB.C.CW：D.;

題型6恒成立問題之構(gòu)造函數(shù)

一些復(fù)雜結(jié)構(gòu)，需要先兩造合理的函數(shù)形式再求導(dǎo)研究，以達到〃化繁為簡〃的目

的

【例題6]（2023?全國-高三專題練習(xí)）己矢」￡乂，XJ且

eJ^siny-e7sinj,則下列關(guān)系式恒成立的為（）

A.cosxWcosjB.cosxcosjc.sinxWsiruD.sinx^situ

【變式6-1]1.（2023?全國?模擬預(yù)測）己知函數(shù)真丫）二（/口）已若對任

意?！磳O工二:'<乂內(nèi).。勺恒成立，則實數(shù)▲的取值范圍為（）

A.（-8/B.[7，+8）

C.「8,加R,,8）

【變式6-1]2.（2022秋?重慶?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)

Ax）-aln（x^2）^r,在區(qū)間（3列內(nèi)任取兩個實數(shù)n，石且小聲心若不等式

-77Z—〃恒成立，則實數(shù)2的取值范圍為（）

A.I-X+8）B.I-Z+8】c.I￡*0°）D.\7f+8）

【變式6-1]3.（2022秋?河南鄭州?高三鄭州外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）己

知函數(shù)fGJreF內(nèi)，對任意的實數(shù)八0W，-8-84且公Hz,不等式

…，恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.尼/8?5/8）c.（：/8）D呂.8）

【變式6-1]4.（2022秋?湖南長沙-高三長沙市明德中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已

知202Hnb=b*jr,其中若ab（▲恒成立，則實數(shù)式的

取值范圍為（）

A.（120210，+8、B.（202產(chǎn)"8）c.\2021，+研）.[（202到"8）

題型7零點問題

1.確定零點的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)

雜，可用導(dǎo)數(shù)知識確定極值點和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象；

2.方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的

值域問題處理，可以通過構(gòu)造函數(shù)的方法、把問題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點

問題；

3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；

②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.

【例題7]（2022秋?江西撫州?高三臨川一中?？计谥校┤艉瘮?shù)

/（x）二鏟/g-力乜在區(qū)間原力上有零點，則/在方的最小值為（）

4,J

A.-B.e-C.■D.e

【變式7-1]1.（2023?安徽黃山?屯溪一中校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)

elxW7

《3,若函數(shù)烈i）二力"）一用】，2|有三個零點，則實

數(shù)%的取值范圍是（）

A.（右）。（討

c.嗚九嚕局

【變式7-1]2.（2021秋?廣東深圳?高三紅嶺中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)

hx）二丁-?口”]庸且只有一個零點，則電勺取值范圍為（）

A.（￡*B,9*C.（左'8）D.伯仲）

【變式7-113.（2023?浙江溫州?樂清市知臨中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)22。

bGF,己知函數(shù)*%）=”,x有且只有一個零點，則，+3

的最小值為（）

e?e,e?e?

A.-B.-C.1D.-

【變式7-114.（2023?四川廣元-?？寄M預(yù)測）若函數(shù)Hx）二0nx-3ax在

卜區(qū)可上存在兩個零點，則a的取值范圍是

題型8同構(gòu)問題

同構(gòu)法的三種基本模式：

①乘積型，如配'可以同構(gòu)成比’W（ln6Je1Bl,進而構(gòu)造函數(shù)/7力二我\

②比商型，如=（白可以同構(gòu)成三（白，進而構(gòu)造函數(shù),⑴二號

③和差型，如1±aM±In"同構(gòu)后可以構(gòu)造函數(shù)打⑴二小士1或

f（x）-xilru.

【例題8]（2023秋?江蘇鎮(zhèn)江?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）對于實數(shù)XW（。+8）,

不等式爐7mM?a■用X2￡恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（）

A.0<MWiB.勿忘/C.。（用WeD,”We

【變式8-111.（2021秋?江蘇揚州?高三揚州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)A"4

若存在正實數(shù)凡使得不等式log,"-A?尹'》（成立,則灰的最大值為

（）

1IBJeIBJ

A.?lnJB.~C.TEJD.~

【變式8-l】2.（2023秋?廣東中山?高三?？茧A段練習(xí)）對任意》￡（。，*8）,

雁吟7）-（〃3D0恒成立，則實數(shù)4的可能取值為（）

A.-JB.1C.：D.：

【變式8-1]3.（2023秋?江西南昌-高三南昌市外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）

已如函數(shù)W9=若任意實數(shù)7〉，不等式*r）恒

成立，則實數(shù)日的取值范圍為（）

A.4B.（°3C.G，#8）D.B+8）

【變式8-114.（2022秋-福建莆田-高三莆田二中?？茧A段練習(xí)）對任意

X乂，若不等式a/”恒成立，則d的取值范圍為（）

A.（。,,jB.（Qejc.（。,力D.

【變式8-115.（2023春?四川內(nèi)江?高三威遠中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）定義：設(shè)

函數(shù)y二7'（x）在（4⑸上的導(dǎo)函數(shù)為,（司若/（/在（4力上也存在導(dǎo)函數(shù)，則稱函

數(shù)產(chǎn)=之?在S6）上存在二階導(dǎo)函數(shù)，簡記為了二fOr）.若在區(qū)間（w6）上

f{x]>0,則稱函數(shù)在區(qū)間Sb）上為“凹函數(shù)”.已知

/U）=:在區(qū)間（。+8化為“凹函數(shù)”，則實數(shù)a的取

值范圍為.

題型9整數(shù)解問題

1.通過函數(shù)討論法，參變分離，數(shù)形結(jié)合等來切入

2.討論出單調(diào)性，要注意整數(shù)解中相鄰兩個整數(shù)點函數(shù)的符號問題

【例題9】（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知關(guān)于4的不等式x份一",）,厄雷

且僅有兩個正整數(shù)解（其中e=2“828-為自然對數(shù)的底數(shù)），則實數(shù)萬的取值范

圍是（)

,169?B.(19C.心I)D.〔I

A.七工」

【變式9-1]1.（2023?重慶巴南?統(tǒng)考一模）已知偶函數(shù)?力滿足

04+x）=H4-x）,皿>】,且當曲寸，H*）二三.若關(guān)于二的不等式

在[-48期上有凡只有戊個整數(shù)解，則實數(shù)刁的取值范圍是（)

A.（-ZO\B.I。啜C.（Y啜D.1^￥）

【變式97】2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)

f（x）-（x-l）lnx-ax-l（aeA,若不等式fG）<6最多只有一個整數(shù)解，則a

的取值范圍為（）

A.S’竽B.（孚空

c.S,苧|D.卜8,竽

【變式9-1]3.（2023春?湖北武漢?高三武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練

習(xí)）已知函數(shù)f幻二1慢gG）="e—Inj,若關(guān)于x的不等式，

在區(qū)間（a+8）內(nèi)有且只有兩個整數(shù)解，則實數(shù)4的取值范圍為（）

A.自/B.值二」C.&與

【變式9-114.（2022秋?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱市第六中學(xué)校?？计谀?/p>

己知真力二&若有且只有兩個整數(shù)解使H力”成立，則實數(shù)藥勺取

值范圍為（)

A.電9）B.1白,口

c.(91D.(S孑

【變式9-1】5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）己知函數(shù)f.二h行，力-Inj,

若f（x）W（有且只有兩個整數(shù)解，則k的取值范圍是（)

AnSInJ?zla5Id.

A.B.K；

zln2InJ?zla2InJ?

C.~JD.

題型10函數(shù)凹凸性問題

凹凸函數(shù)常見的圖形

【例題101（2023?云南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）己知函數(shù)0X）=ln（"M-u二

滿足f（x）V0恒成立的最大整數(shù)m的值為—.

【變式10-111.（2021春?湖北鄂州-高二統(tǒng)考期末）已知大于1的正數(shù)42

滿足R,則正整數(shù)二的最大值為（）

A.7B.8C.9D.11

【變式10-112.（2023秋?江蘇南京?高三南京市中華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已

知實數(shù)兒夕滿足1/4"方-6A/I23"勿一，則"夕的值為

A.2B.1C.cD.-j

【變式10-1]3.（2022秋?安徽?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)

f/=<^（711/-加-1有兩個零點，則ff的取值范圍為（）

A.B.8,C,+aD.(0,+°9)

題型11倍函數(shù)問題

1.保值函數(shù)，包括“倍增函數(shù)”，“倍縮函數(shù)”，“K倍函數(shù)”，等等新定義

2.應(yīng)用函數(shù)思想和方程思想.

【例題11］（2023春?北京海淀?高二?？茧A段練習(xí)）若存在"外旨舊仇且

染使W,）一/x』YUUjm成立,則在區(qū)間laM上，稱式X）為?力

的“倍函數(shù)”.設(shè)Hx）=1m,衣力二三，若在區(qū)間解d上，烈x）為真力的“倍

函數(shù)”，則實數(shù)上的取值范圍為（）

C.（-巴elD.（-巴e）

【變式11T】1.（2020秋?海南海口?高三海南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對于函數(shù)

y=f（x）,若存在區(qū)間「a,bl,當xGFa,b］時的值域為Cka,kbl（k>0）,則稱y=f（x）

為k倍值函數(shù).若f（x）=ex+3x是k倍值函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是（）

??

A.（e+二，+8）B.（e--,+°°）

C.（e+2,+8）D.（e-3,+°°）

【變式11-112.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如果存在刈，孫且

X，聲"使I虱JT?）一飄了川川成立，則在區(qū)間hlJM上,稱爪X）為式X）

的“倍函數(shù)”.設(shè)Hx）二】m,“，）-7^7,若在區(qū)間l、ed上，用力為Hx）的“倍

函數(shù)”，則實數(shù)1的取值范圍為一.

【變式11-1】3.（2023?全國-高三專題練習(xí)）函數(shù)H>）的定義域為D,若存

在閉區(qū)間labl使得函數(shù)Hx城足：①Hx）在⑵,加內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②Hx）在

",4上的值域為［然2乩則稱區(qū)間值A(chǔ)］為好/U）的“倍值區(qū)間”.下列函數(shù)中

存在“倍值區(qū)間”的有

①Hx）=/（%是。；②Hx）二？（xe月；

③?力二三（x叫；④Hx）-|J|（X

【變式11T】4.（2023秋?湖北-高三校聯(lián)考階段練習(xí)）小王準備在單位附近

的某小區(qū)買房，若小王看中的高層住宅總共有n層（20W刀W%,〃GN'）,

設(shè)第1層的“環(huán)境滿意度”為1,且第k層（2WkW匕,★GN*）比第層

的“環(huán)境滿意度”多*成+7；又已知小王有“恐高癥”，設(shè)第1層的“高

層恐懼度”為1,且第k層（2WNW幾AGN"）比第47層的“高層恐懼度”

高出三倍.在上述條件下，若第k層“環(huán)境滿意度”與“高層恐懼度”分別為必，

記小干對第k層“購買滿意度”為G,且.二高則小干最想買第（）

層住宅.

（參考公式及數(shù)據(jù)：H竽…，+/=”：廣,1^20,6931,

098tf電?6

【變式11-1]5.（2022?全國-高三專題練習(xí)）若存在實數(shù)人對任意

xC成立，則稱雙外是式外在區(qū)間[上的倍函數(shù)”.已知函數(shù)

-『-21-4,x0

f（x）-j

Inx*p和虱x）二x,若烈x）是Kx）在力上的五倍函數(shù)，則式的取值

范圍是

題型12二次型函數(shù)問題

換元為主要切入點.注意借助于雙坐標系來轉(zhuǎn)換

【例題12】（2023?江蘇南京?南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)

f+x+2,x<0

I=，x》O,若函數(shù)式力二2c/（力■處）。合有6個零點，則實

數(shù)與的取值范圍為.

【變式12-111.（2023?全國-校聯(lián)考二模）已知函數(shù)五力二（i-x）e」，若關(guān)

于x的方程須了）產(chǎn)-44力，/二t有兩個不同的實數(shù)根時，實數(shù)a的取值范圍

是?

【變式12-112.（2023?全國-高三專題練習(xí)）函數(shù)真,）=二若關(guān)于丁的

方程尸（x）.如有6個不同的實數(shù)解-則實數(shù)1的取值范圍

為

+3/JTW0

Hx）-<?,、八

【變式12-113.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（二，

若關(guān)于』的方程出劃"日式幻一"。有3個不同的實數(shù)根，則占的取值范圍

為—.

【變式12-1]4.（2023秋?廣東東莞?高三校考期末）已知函數(shù)

c1,xl,x>0

{-e-“-X?x<0,若關(guān)于x的方程尸（力:2MH力-2有8個不同的實數(shù)

解，則整數(shù)m的值為.（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）

【變式12-1]5.（2022秋?山西運城?高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)

Hx）二3八一

—^>0,若汽X）二產(chǎn)（X）-必不）打的零點個數(shù)為3,則實數(shù)4勺取

值范圍是.

題型13嵌套函數(shù)問題

換元為主要切入點.注意借助于雙坐標系來轉(zhuǎn)換

【例題13]（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)=若曲

線/二--?為上存在點（XQM）使得/（1為））二九則a的取值范圍是.

[變式13-1]1.（2020春?浙江?高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)

（xx>a,&⑴=f⑴-瓦h（x）=-I,記函數(shù)g（x）

和h（x）的零點個數(shù)分別是M,N,則（）

A.若M=L則NW2B.若M=2,則N22

C.若M=3,則N=4D.若N=3,則M=2

Jinx/

【變式13-1]2.（2023?天津?二模）已知函數(shù)”",若

網(wǎng)力二HWl）+力+瓦有兩個零點X。無，則的取值范圍是（）

A.\4-21nZ+叼B(yǎng).I”花，叼c\4-21nZ/阿D.?嗎何

【變式13-113.（2023?浙江?二模）已知函數(shù)兵力=則/（五力）二a

至多有個實數(shù)解.

[變式13-1]4.（2023?江蘇?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)

f，jJi—JT,XW0

IIrLT.,若/=有六個零點，則實數(shù)f的取值范圍

是-

[變式13-115.（2023?四川-校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)

開.J

“司+若關(guān)于X的方程真式X））二3恰有兩個不相等的實數(shù)根

五，七，且，＜均，則器的取值范圍是.

題型14切線放縮法

【例題14]（2022高三專題練習(xí)）己知乙方￡」,若關(guān)于，的不等式

2x-dln"a-b26恒成立，則時的最大值為.

【變式14-1]1.（2022?湖南-校聯(lián)考模擬預(yù)測）若關(guān)于x的不等式

恒成立，則減的最大值是.

【變式14-1】2.（2018秋?江蘇南京-高三統(tǒng)考期中）存在使

h-2k+b2Iru對任意的x-6恒成立，則%勺最小值為.

【變式14-113.（2020春?湖北荊門?高三荊門市龍泉中學(xué)校考階段練習(xí)）若

關(guān)于X的不等式手恒成立，則二的最小值是_.

1.（2023-全國-模擬預(yù)測）已知當X'】時，關(guān)于邛勺不等式三■亙成立，

則實數(shù)日的值不可能是（）

A.0B.1C.2D.3

2.（2023?江西-校聯(lián)考二模）已知函數(shù)?幻二e———,當尸金（〃*°°）

時，X力2/恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.「8,1B.「8,/?兀（-8j|D.「8,團

3.（2022?山東?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)若

f份J對任意X〉。恒成立，則實數(shù)a的最小值為（）

2；

A.一工B."；C.-WD.yR

4.（2023?山東?山東省實驗中學(xué)?？级＃┘褐坏仁揭齨x.尸對

任意x七（Z+8）恒成立，則實數(shù)日的最小值是.

5.（2022?江西?校聯(lián)考模擬預(yù)測）若不等式為-函產(chǎn)Me'.工對任意xGE

恒成立，則實數(shù)石的值為一.

6.（2023?江西上饒?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知不等式肥”.三：24對

Lxe（/,+8）恒成立，則實數(shù)石的最小值為.

7.（2023?河南-校聯(lián)考模擬預(yù)測）若憶丫￡[2?8）,不等式9nx一戶WC

恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是.

8.（2023?青海西寧?統(tǒng)考二模）設(shè)實數(shù)若對任意的不eG，回,不

等式?？凇霎斣贫愠闪?，則實數(shù)力的取值范圍為.

9.（2023?福建泉州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）方程三二三滿足*Wj的正整數(shù)解的組數(shù)

為（）

A.0B.1C.2D.無數(shù)組

10.（2021?天津薊州?天津市薊州區(qū)第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）偶函數(shù)H力滿足

+=/14-x）,當目時，尤X）=不等式聲⑶。巴外〉0在

1-2%,20。上有且只有2戊個整數(shù)解，則實數(shù)z的取值范圍是（）

A.H1n￡1/B.卜】n2?軻6）

c.（FZD.（一%61M

11.（2020?河北衡水??？家荒＃┰O(shè)函數(shù)fW二折而7不，若曲線

產(chǎn)二.5inx+9上存在點仕力y總使得七〃二乂成立，則實數(shù)＜3的取值范圍為

（）

A.J-e+1iB.【6,c.R,口-L力D.1,J

參考答案與試題解析

重難點專題14導(dǎo)數(shù)壓軸小題十四大題型匯總

題型1恒成立問題之直接求導(dǎo)型.......................................18

題型2恒成立問題之分離參數(shù)型.......................................24

題型3恒成立問題之隱零點型.........................................29

題型4恒成立問題之洛必達法則.......................................34

題型5恒成立問題之兩個函數(shù)問題.....................................40

?類型1同變量型................................................40

?類型2不同變量型.............................................46

?類型3函數(shù)相等型.............................................50

題型6恒成立問題之構(gòu)造函數(shù).........................................55

題型7零點問題......................................................60

題型8同構(gòu)問題......................................................66

題型9整數(shù)解問題....................................................72

題型10函數(shù)凹凸性問題...............................................79

題型11倍函數(shù)問題...................................................84

題型12二次型函數(shù)問題...............................................91

題型13嵌套函數(shù)問題................................................101

題型14切線放縮法..................................................109

題型1恒成立問題之直接求導(dǎo)型

無論大題小題，分類討論求參是導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)，也是第習(xí)訓(xùn)練重點之一：

1.移項含參討論是所有導(dǎo)數(shù)討論題的基礎(chǔ)，也是學(xué)生日常訓(xùn)練的重點.

2.討論點的尋找是關(guān)鍵.

3.一些題型，可以適當?shù)慕柚它c值來〃壓縮〃參數(shù)的討論范圍

【例題1]（2023春?四川綿陽-高三綿陽南山中學(xué)實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已

知3*R,設(shè)函數(shù)IX-alnxx>1，若關(guān)于邛勺不等式fGJ呈￡在XGE

上恒成立，則與的取值范圍為（）

A.[0fljB.IL2\c.lAe]D.[2,e|

【答案】D

【分析】由函數(shù)解析式，在xWj時應(yīng)用二次函數(shù)性質(zhì)及恒成立有

f⑴a=2S-I）》《得a》，再利用導(dǎo)數(shù)研究fGJ在的最小值，結(jié)合不

等式恒成立只需保證力3Ln",即可求出參數(shù)范圍.

【詳解】當xWl時，f/的開口向上且對稱軸尸:”,此時

八八二f⑴二2d）,

要使則a云J；

當時f"J二號，顯然3二1時，6^20恒成立，即fGJ在億，8）上遞增，

所以f&A:n;？匕＞二滿足題設(shè)；

若a＞】,則億人上，/＜。即遞減，匕上，⑴乂，即f㈤遞增;

所以f6&B=f?=a-爪M,要使f份）24則a-alna學(xué)，即InaWi,

所以aWe；

綜上，日的取值范圍為1工日

故選：D

【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)分段函數(shù)解析式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)研究不同

定義域下最小值，由不等式恒成立，保證最小值都非負即可.

【變式1-1]1.（2023春?浙江杭州-高三浙江省杭州第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）

對正實數(shù)a有"X）-e^-alnx-ln5在定義域內(nèi)恒成立，則a的取值范圍

為（）

A.（?！?B.izgC.（0，TD.（。?8）

【答案】C

【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究fej單調(diào)性，得極小值"^="弓:'與.且訶'刃，將

問題轉(zhuǎn)化為孫在位，.8）上恒成立，再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究左側(cè)的最小

值，即可求解.

【詳解】由題設(shè)‘⑴二廣'7且2＞。]乂，令g（x）=fG）,則

g'⑴二門+3）0,

所以g3二f㈤在佃，+8J上遞增，顯然，趨向0時f31趨向-8,

/㈤=

故三的e（Q,+8%吏f（Xn）=o,即F'''公則In孫=lna-（孫+力，

所以，在上f色1遞減；在作“+8)上ff3l遞增；

故/Yx)2f(xj二1，"-aLnj0-ln^~a(Y^x:-21na/2)

要fG)“在9+8)上恒成立，則:一廠且n"2N,即上*心云且IMV恒

成立，

令X：〃且Xe(Q+8),則/，后，故xES,乙時"1,Xe仇+8廚

y>0,

所以尸eS,L上y遞減,不￡億+8)上y遞增，則7呈川心"

且當X*?時，°二1所2-"艮，

綜上，且nd-2W外打=2,可得

故選：c

【變式1-1]2.(2022秋?安徽六安-高三六安市裕安區(qū)新安中學(xué)?？茧A段練

習(xí))若不等式eE-m-2h-3，對Hr￡力恒成立，其中期±4則;的最大值為

()

lcJ?IEJI

A.一"7B.-In%C.In先D.~

【答案】A

【分析】先求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)參數(shù)大同的取值，分類討論，求得函

數(shù)的最小值，再利用分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，求最值，可得答案.

【詳解】令Wx)二『7-加-幻-J,求導(dǎo)得，(為二/；一“，

當時，易知函數(shù)★x)單調(diào)遞增，函數(shù)值域為R,則不合題意；

當而>。時，令f(x)=Q解得X=1的+1,可列下表：

(-8/的+/)

Inifff7(lrw*/y+8)

f(力一C二

Hx)/極小值)

則真力-/(lnw/2)二jr-jiGnjw+l)一幻一3》4,

可得=WTu-

令烈力＞9面咤，求導(dǎo)得g（x）A—二三

令g'（刑可得加=4可得下表

(0』ia+8)

g'(力C—

烈X）/極大值/

則H向3=8（3=2”■與則:云■如&,

故選：A.

【變式1-113.（2023春?四川南充?高三闿中中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一般地,

對于函數(shù)/二f（，）和，=g（?復(fù)合而成的函數(shù)y二f（從⑼，它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)

V二f（f）,/二外外的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為%‘=匕’?若關(guān)于）的不等式

對于任意xGE恒成立，貝后的最大值為（）

A.1B.1C.1D.e

【答案】C

【分析［構(gòu)造函數(shù)a力二利用導(dǎo)數(shù)研究Hx）的最小值，由此列不等式,

再利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得1的最大值.

【詳解】依題意恒成立，即（恒成立，

設(shè)#了）=e"-j-4/（x）

設(shè)式力二況”-1，則晨（幻二熱所以f（用在R上單調(diào)遞增，

當dW4時，,（幻二ae"-］《?！铩暝赗上遞減，沒有最小值，不符合題意.

Im

當a，。時，由，（力二二C解得^二一二，

所以犬力在區(qū)間（-8,-1"⑶＜。式團遞減；

在區(qū)間F（x）M疝域增.

所以真0的最小值是小省學(xué)-2,

依題意可知—‘52’，

即61丁，即:￡丁，

設(shè)富力二號

//⑶二f；5二七羿

所以人力在區(qū)間僅代-1方⑶M,水力遞增；

在區(qū)間（門+8）,萬G）C）遞減，

.j，4n卜■號.

所以"力的最大值為'）二J三，

所以為勺最大值為:

故選：C

【點睛】利用導(dǎo)數(shù)求解不等式問題，首先將不等式轉(zhuǎn)化為一邊為C的形式，然后

利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等性質(zhì)，從

而對問題進行求解.

【變式1-114.（2023?安徽合肥?合肥市第七中學(xué)校考三模）已知函數(shù)

五?二底*-F一刀-"朝刀￡用，若升力2一」對任意的x￡/恒成立，則亞的最

大值是（）

A.B.c.e-JD.-u-

【答案】B

【分析】討論思乂,利用導(dǎo)數(shù)得出戚liw〃）2/T,構(gòu)造函數(shù)

A（而二由導(dǎo)數(shù)得出融質(zhì)』，進而得出的的最大值.

【詳解】"力二心“一l一“一4f⑶二恥"7,

當mW1時，/（J）＜6恒成立，則H力單調(diào)遞減，二面一刀一」，顯然?力》一」

不恒成立；

當加20時，￥￡（-8,-1由時，/（J）（of函數(shù)Hx）單調(diào)遞減；

不￡（一打叫+8）時，八力乂，函數(shù)Hx）單調(diào)遞增