4.5-函數(shù)的最大值最小值及其應(yīng)用

(完整版)4.5函數(shù)的最大值最小值及其應(yīng)用(完整版)4.5函數(shù)的最大值最小值及其應(yīng)用(完整版)4.5函數(shù)的最大值最小值及其應(yīng)用4.5函數(shù)的最大值最小值及其應(yīng)用當(dāng)前講授一、對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，如何求其最值？

函數(shù)的最大值最小值統(tǒng)稱為最值

1、最值是否存在？

第二章的定理指出:閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值．2、最值從哪里去尋找?(1)當(dāng)最值在區(qū)間內(nèi)部取得時(shí)，必然在某個(gè)極值點(diǎn)處達(dá)到，即最值可能在駐點(diǎn)和不可導(dǎo)的點(diǎn)處取得．

(2）最值也可能在區(qū)間的端點(diǎn)處取得．

結(jié)論:最大（?。┲悼赡茉趨^(qū)間內(nèi)部的駐點(diǎn)、不可導(dǎo)的點(diǎn)及區(qū)間的端點(diǎn)處取得．3、求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的具體步驟

（1）求出在內(nèi)的所有的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)的點(diǎn)（注意：這些點(diǎn)均應(yīng)在所給的區(qū)間內(nèi)）．

(2）計(jì)算上述各點(diǎn)以及區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值．

(3)比較以上各函數(shù)值,最大的即為最大值，最小的即為最小值．

幾點(diǎn)說明:

(1）若在上單調(diào)增加，則在上的最小值為，最大值為．

（2)若在上單調(diào)減少，則在上的最小值為,最大值為．

(3）若函數(shù)在某區(qū)間I上只有唯一駐點(diǎn)，則當(dāng)該駐點(diǎn)是極小值點(diǎn)時(shí),也一定是最小值點(diǎn);當(dāng)該駐點(diǎn)是極大值點(diǎn)時(shí)，也一定是最大值點(diǎn)．例如，拋物線只有唯一駐點(diǎn),這是一個(gè)極小值點(diǎn),同時(shí)也是函數(shù)在其定義域內(nèi)的最小值點(diǎn)．典型例題

例4．5．1求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值．HYPERLINK"http：///lesson_crs78/self/j_0022/soft/ch0405。html”\l”＃＃?！碧崾尽?gt;

解函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)且可導(dǎo),其導(dǎo)數(shù)為令，得駐點(diǎn)：,，（舍去）．無不可導(dǎo)的點(diǎn)．

計(jì)算：，,，．

比較可得：函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為．二、對于實(shí)際問題，如何求其最值？

（1）首先需根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)關(guān)系，即數(shù)學(xué)模型或目標(biāo)函數(shù)．

(2)求目標(biāo)函數(shù)的最大（小）值．若目標(biāo)函數(shù)只有一個(gè)駐點(diǎn)，且實(shí)際問題最大(小）值是存在的，則可以直接斷定這個(gè)駐點(diǎn)就是要找的最大(小）值點(diǎn)．典型例題

例4．5．2從一塊邊長為a的正方形鐵皮的四角各截去一個(gè)大小相等的小正方形,做成一個(gè)無蓋的盒子．問截去的小正方形邊長為多少時(shí)，所做成的盒子容積最大．

解設(shè)截去的小正方形的邊長為，盒子容積為,如圖所示．(1)建立目標(biāo)函數(shù)

盒子的底面積為，高為,于是盒子的容積為，于是問題轉(zhuǎn)化為求目標(biāo)函數(shù)

的最大值問題．

（2)求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)的點(diǎn)令，得駐點(diǎn),（舍去）．

(3)作結(jié)論

因?yàn)槭呛瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)的唯一駐點(diǎn)，且容積存在最大值,所以就是最大值點(diǎn)，即邊長時(shí)，盒子的容積最大，最大容積為．

例4．5．3要用鐵皮做一個(gè)容積為v的圓柱形密封容器，試問這個(gè)容器的底面半徑和高取多大時(shí)，該容器的造價(jià)最低？

解:

（1）建立目標(biāo)函數(shù)

設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，表面積為．

頂圓和底圓的面積均為，側(cè)面積為，而容器的表面積為上底面積、下底面積及側(cè)面積之和，所以,表面積由解得，代入上式，得目標(biāo)函數(shù)(2)求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)的點(diǎn)令，求得駐點(diǎn)，此外有不可導(dǎo)的點(diǎn)（舍去）．

（3）作結(jié)論

因?yàn)槭潜砻娣e函數(shù)在所定義區(qū)間內(nèi)的唯一駐點(diǎn),而在容積固定時(shí)，容器的表面積有最小值,所以駐點(diǎn)就是的最小值點(diǎn)．

此時(shí)容器的高度

故當(dāng)容器的底面半徑取，高取時(shí),該容器的表面積最小,從而造價(jià)最低．

利用最大值和最小值也可以證明一些不等式．例4．5．4證明:當(dāng)時(shí)，．

分析要證明，就是要證明，如果設(shè),則有,問題就轉(zhuǎn)化為要證明：時(shí)，．如果能證明函數(shù)在單調(diào)增加，在