蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊全冊教學(xué)課件

蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊全冊教學(xué)課件第9章平面向量9.1向量概念情景引入定義既有____又有____的量叫作向量表示方法(1)幾何表示：向量常用一條有向線段來表示，有向線段的長度表示向量的____，箭頭所指的方向表示向量的____，以A為起點、B為終點的向量記為_____；(2)字母表示：用小寫字母a，b，c來表示大小方向大小方向模向量的大小稱為向量的____(或稱為模)，記作______長度名稱定義表示方法零向量長度為__的向量記作0單位向量長度等于__個單位長度的向量

01相同相反非零相等相同相等相反思考4：已知A，B為平面上不同兩點，那么向量和向量相等嗎？它們共線嗎？合作探究向量的概念規(guī)律方法[跟進訓(xùn)練]1．判斷下列命題是否正確，并說明理由：(1)若向量a與b同向，且|a|＞|b|，則a＞b；(2)若向量|a|＝|b|，則a與b的長度相等且方向相同或相反；(3)對于任意向量|a|＝|b|，若a與b的方向相同，則a＝b；(4)由于0方向不確定，故0不能與任意向量平行；向量的表示

規(guī)律方法

[探究問題]1．兩向量平行，則兩向量所在的直線平行嗎？[提示]不一定平行．共線向量2．若向量a與b平行(或共線)，則向量a與b相等嗎？反之，若向量a與b相等，則向量a與b平行(或共線)嗎？[提示]向量a與b平行(或共線)，則向量a與b不一定相等；向量a與b相等，則向量a與b平行(或共線)．3．向量平行具備傳遞性嗎？舉例說明．[提示]向量的平行不具備傳遞性，即若a∥b，b∥c，則未必有a∥c，這是因為，當(dāng)b＝0時，a，c可以是任意向量，但若b≠0，必有a∥b，b∥c?a∥c.

8

[如圖所示，

規(guī)律方法課堂小結(jié)必備素養(yǎng)1同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細心.耐心，讓家長放心.孩子安心。第9章平面向量9.2向量運算第1課時向量的加法兩個向量和向量加法OA

OC

合作探究釋疑難類型一：向量加法的三角形法則和平行四邊形法則規(guī)律方法向量的加法運算2a＋b

2a＋2b

a＋2b

0規(guī)律方法向量加法在實際問題中的應(yīng)用規(guī)律方法課堂小結(jié)第2課時向量的減法情景導(dǎo)入對于實數(shù)的運算：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)，向量的減法是否也有類似的法則？兩個向量如何相減？如何理解向量的減法？向量的減法(1)向量減法的定義若__________，則向量x叫作a與b的差，記為__________，求兩個向量差的運算，叫作向量的減法b+x=aa-b×√×0合作探究釋疑難類型一向量減法的幾何作圖規(guī)律方法類型二向量減法法則的應(yīng)用規(guī)律方法規(guī)律方法類型三|a－b|與a，b之間的關(guān)系規(guī)律方法課堂小結(jié)必備素養(yǎng)9.2向量運算向量的數(shù)量積情景導(dǎo)入∠AOB

0°180°90°投影向量a在向量b上向量數(shù)量積的運算規(guī)律方法求向量的模規(guī)律方法求向量的夾角規(guī)律方法課堂小結(jié)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細心.耐心，讓家長放心.孩子安心。第9章平面向量9.3向量基本定理及坐標表示平面向量基本定理不共線基底對向量基底的理解規(guī)律方法用基底表示向量規(guī)律方法平面向量基本定理與向量共線定理的應(yīng)用規(guī)律方法課堂小結(jié)向量坐標表示與運算相同單位向量有且只有(x,y)a＝(x,y)(x1＋x2,y1＋y2)(x1－x2,y1－y2)終點起點平面向量的坐標表示規(guī)律方法平面向量的坐標運算規(guī)律方法向量的坐標與點的坐標母體探究規(guī)律方法課堂小結(jié)向量坐標表示與運算設(shè)i，j是兩個互垂直且分別與x軸，y軸的正半軸同向的單位向量．i·i，j·j，i·j分別是多少？取i，j為坐標平面內(nèi)的一組基底，設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，試將a，b用i，j表示，并計算a·b.對應(yīng)坐標的乘積的和數(shù)量積的坐標運算規(guī)律方法向量的夾角規(guī)律方法向量垂直的綜合應(yīng)用規(guī)律方法課堂小結(jié)向量平行的坐標表示情景引入向量平行的判定規(guī)律方法利用向量共線求參數(shù)的值規(guī)律方法共線向量與定比分點公式母題探究規(guī)律方法課堂小結(jié)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細心.耐心，讓家長放心.孩子安心。第9章平面向量9.4向量應(yīng)用向量在物理中的應(yīng)用規(guī)律方法向量在平面幾何中的應(yīng)用規(guī)律方法規(guī)律方法平面向量的綜合應(yīng)用規(guī)律方法課堂小結(jié)1．本節(jié)課的重點是平面向量在平面幾何中的應(yīng)用，難點是平面向量在物理中的應(yīng)用．2．要掌握平面向量的應(yīng)用(1)利用平面向量解決平面幾何中的平行、垂直問題；(2)平面向量在物理中的應(yīng)用．(3)平面向量的綜合應(yīng)用．同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細心.耐心，讓家長放心.孩子安心。第10章三角恒等變換10.1兩角和與差的三角函數(shù)兩角和與差的余弦情景引入思考：cos(90°－30°)＝cos90°－cos30°成立嗎？兩角和與差的余弦公式的簡單應(yīng)用規(guī)律方法已知三角函數(shù)值求角規(guī)律方法給值求值問題母題探究規(guī)律方法規(guī)律方法課堂小結(jié)兩角和與差的正弦問題：探究上述思考題，并回答下列問題．1．求cos(α＋β)，用到的公式是什么？2．由問題1已經(jīng)求得cos(α＋β)，那么如何求sin(α＋β)?3．是否可直接求得sin(α＋β)？如何推導(dǎo)？兩角和與差的正弦公式(1)兩角和的正弦公式：sin(α＋β)＝__________________________.(2)兩角差的正弦公式：sin(α－β)＝__________________________.sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ兩角和與差的正弦公式的簡單應(yīng)用規(guī)律方法規(guī)律方法給值求值規(guī)律方法形如asinx＋bcosx的函數(shù)的化簡及應(yīng)用母題探究規(guī)律方法必備素養(yǎng)兩角和與差的正切情境導(dǎo)入

條件求值問題規(guī)律方法給值求角規(guī)律方法T(α±β)公式的變形及應(yīng)用tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，tan(α＋β)tan(α－β)(1＋tanαtanβ)tan(α－β)規(guī)律方法課堂小結(jié)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細心.耐心，讓家長放心.孩子安心。第10章三角恒等變換10.2二倍角的三角函數(shù)

情景引入直接應(yīng)用二倍角公式求值規(guī)律方法逆用二倍角公式化簡求值規(guī)律方法活用“倍角”關(guān)系巧解題母題探究規(guī)律方法規(guī)律方法課堂小結(jié)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細心.耐心，讓家長放心.孩子安心。第10章三角恒等變換10.3幾個三角恒等式情景引入應(yīng)用和差化積或積化和差求值規(guī)律方法萬能代換公式的應(yīng)用母題探究規(guī)律方法規(guī)律方法課堂小結(jié)必備素養(yǎng)tan20°

同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細心.耐心，讓家長放心.孩子安心。第11章解三角形11.1余弦定理情景引入直角鈍角銳角三個角A，B，C對邊a，b，c其他元素已知兩邊與一角解三角形規(guī)律方法已知三邊解三角形規(guī)律方法余弦定理的綜合應(yīng)用母題探究規(guī)律方法必備素養(yǎng)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細心.耐心，讓家長放心.孩子安心。第11章解三角形11.2正弦定理定理證明規(guī)律方法用正弦定理解三角形規(guī)律方法三角形形狀的判斷母題探究規(guī)律方法課堂小結(jié)必備素養(yǎng)第11章解三角形11.2正弦定理三角形解的個數(shù)的判斷規(guī)律方法三角形的面積規(guī)律方法正弦定理的綜合應(yīng)用母題探究規(guī)律方法課堂小結(jié)必備素養(yǎng)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細心.耐心，讓家長放心.孩子安心。第11章解三角形11.3余弦定理、正弦定理的應(yīng)用正、余弦定理在物理學(xué)中的應(yīng)用規(guī)律方法正、余弦定理在幾何中的應(yīng)用規(guī)律方法正、余弦定理在測量學(xué)中的應(yīng)用母題研究規(guī)律方法規(guī)律方法課堂小結(jié)必備素養(yǎng)必備素養(yǎng)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細心.耐心，讓家長放心.孩子安心。第12章復(fù)數(shù)12.1復(fù)數(shù)的概念情景引入虛數(shù)單位－1實數(shù)復(fù)數(shù)實部虛部實數(shù)a虛數(shù)a＝0且b≠0a＝c且b＝d實部虛部CA③2＋i復(fù)數(shù)的相關(guān)概念4

－3

規(guī)律方法③復(fù)數(shù)的分類及應(yīng)用a>0且a＝±b復(fù)數(shù)的分類及應(yīng)用母題探究規(guī)律方法復(fù)數(shù)相等的充要條件－3母題探究規(guī)律方法課堂小結(jié)必備素養(yǎng)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細心.耐心，讓家長放心.孩子安心。第12章復(fù)數(shù)12.2復(fù)數(shù)的運算第1課時

復(fù)數(shù)的加減與乘法運算情景引入復(fù)數(shù)的加、減法運算1＋i規(guī)律方法1＋i復(fù)數(shù)的乘法運算規(guī)律方法4＋3i或－4－3i共軛復(fù)數(shù)的應(yīng)用規(guī)律方法課堂小結(jié)必備素養(yǎng)4＋2i第2課時

復(fù)數(shù)的乘方與除法情景引入1－1－1－2ii的運算特征規(guī)律方法復(fù)數(shù)的除法規(guī)律方法復(fù)數(shù)四則運算的綜合應(yīng)用規(guī)律方法課堂小結(jié)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細心.耐心，讓家長放心.孩子安心。第12章復(fù)數(shù)12.3復(fù)數(shù)的幾何意義情景引入復(fù)平面實軸虛軸距離復(fù)數(shù)的幾何意義二復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)的幾何意義規(guī)律方法復(fù)數(shù)加減法的幾何意義復(fù)數(shù)加減法的幾何意義規(guī)律方法復(fù)數(shù)的模及其幾何意義母題探究母題探究規(guī)律方法課堂小結(jié)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細心.耐心，讓家長放心.孩子安心。第12章復(fù)數(shù)12.4復(fù)數(shù)的三角形式*情景引入x軸的非負半軸終邊輻角模與輻角主值復(fù)數(shù)的三角形式與輻角、輻角主值規(guī)律方法規(guī)律方法復(fù)數(shù)三角形式的乘、除法法則的運算規(guī)律方法復(fù)數(shù)三角形式的乘、除法法則的幾何意義規(guī)律方法課堂小結(jié)同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細心.耐心，讓家長放心.孩子安心。第13章立體幾何初步13.1基本立體圖形13.1.1

棱柱、棱錐和棱臺情景引入1.我們生活中有不少有特色的建筑物，你能舉出一些例子嗎?2.觀察下列幾何體，它們有什么共同特點?3.上述幾何體分別由怎樣的平面圖形，按什么方向平移而得?1.棱柱的相關(guān)概念及特點(1)棱柱的相關(guān)概念一般地，由一個平面多邊形沿某一方向_______形成的空間圖形叫作棱柱。平移平移起止位置的兩個面叫作棱柱的_____，多邊形的邊平移所形成的面叫作棱柱的_____,相鄰側(cè)面的公共邊叫作_____底面?zhèn)让鎮(zhèn)壤?2)棱柱的特點棱柱的兩個底面是______的多邊形,且對應(yīng)邊互相平行.側(cè)面都是__________全等平行四邊形2.棱錐的概念及特點當(dāng)棱柱的一個收縮為一個點，得到的空間圖形叫作棱錐頂點:由棱柱的一個底面________而成的點;側(cè)棱:相鄰側(cè)面的__________底面:棱柱的未收縮為一個點的________;(2)棱錐的特點棱錐的底面是_______,側(cè)面是______________的三角形.收縮公共邊多邊形有一個公共頂點底面3.棱臺的概念及特點用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,____________之間的部分稱之為棱臺.側(cè)棱:相鄰側(cè)面的公共邊.截面和底面(2)棱臺的特點棱臺的兩個底面是__________的多邊形，側(cè)面都是______，側(cè)棱延長后都______于一點.相似梯形相交4.多面體的概念棱柱、棱錐和棱臺都是由___________________圍成的空間圖形.由若干個平面多邊形圍成的空間圖形叫作多面體。一些平面多邊形1.思考辨析(正確的畫“√”錯誤的畫“×”）(1)棱柱的側(cè)面是平行四邊形（）(2)棱臺的側(cè)棱延長后不一定交于一點（）(3)棱臺的側(cè)面是梯形.（）(4)面數(shù)最少的多面體是四面體（）2.(一題多空)如圖所示的空間圖形中，__________是棱柱,_________是棱錐，_________是棱臺。由棱柱、棱錐和棱臺的定義知，①③④符合棱柱的定義，⑥符合棱錐的定義，②一個三棱柱被截去了一段，⑤符合棱臺的定義，故①③④是棱柱，⑥是棱錐，⑤是棱臺3.下列敘述是棱臺性質(zhì)的是(填所有正確的序號)_______①兩底面相似②側(cè)面都是梯形③側(cè)棱都平行④側(cè)棱延長后交于一點4.三棱錐是__________面體。因為三棱錐有四個面，故三棱錐是四面體棱柱、棱錐和棱臺的概念[例1](1)下列命題中，正確的是①五棱柱中五條側(cè)棱長度相同②三棱柱中底面三條邊長度都相同;③三棱錐的四個面可以都是鈍角三角形:④棱臺的上底面的面積與下底面的面積之比一定小于1.[(1)由棱柱的特點知命題①正確；三棱柱的底面不一定為等邊三角形，所以命題②不正確；如圖所示，取以點O為端點的三條線段OA，OB，OC，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝100°，且OA＝OB＝OC，這時△AOB，△BOC，△COA都是鈍角三角形，只有△ABC為等邊三角形，可讓點C沿OC無限靠近點O，則∠ACB就可趨近于100°，所以每個面都可以是鈍角三角形，故命題③正確；由棱臺的定義知，棱臺是由棱錐截得的，截面是棱臺的上底面，故上底面的面積一定小于下底面的面積，所以命題④正確．(2)下列說法正確的是________①棱錐的側(cè)面不一定是三角形:②棱錐的各側(cè)棱長一定相等;③棱臺的各側(cè)棱的延長線交于一點.(2)棱錐的側(cè)面是有公共頂點的三角形，但是各側(cè)棱不一定相等故①②不正確:棱臺是由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到的，故各個側(cè)棱的延長線一定交于一點，③正確3)下列三個命題，其中不正確的是_________①用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺②兩個底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺③有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺①用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺必須用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分才是棱臺，故①不正確。②兩個底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺兩個底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體并不能說明各條側(cè)棱是否交于一點，故不能判定②正確③有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體不一定是棱臺，③不正確。規(guī)律方法對于判定關(guān)于棱柱、棱錐、棱臺的命題真假的問題，求解的關(guān)鍵是抓住棱柱、棱錐、棱臺的概念與特征.除此之外，還可以利用舉例或找反例的方法來判斷。1.給出下列幾個命題:①棱柱的側(cè)面不可能是三角形②棱錐的側(cè)面為三角形，且所有側(cè)面都有一個公共頂點③多面體至少有4個面④將一個正方形沿不同方向平移得到的空間圖形都是正方體其中真命題是__________①②均為真命題:對于③，一個圖形要成為空間空間圖形，則它至少需有4個頂點，3個頂點只能構(gòu)成平面圖形，當(dāng)有4個頂點時，可圍成4個面，所以一個多面體至少應(yīng)有4個面，而且這樣的面必是三角形，故③也是真命題:對于④，當(dāng)正方形沿與其所在平面垂直的方向平移，且平移的長度恰好等于正方形的邊長時，得到的空間圖形才是正方體，故④不正確。故填①②③簡單多面體的結(jié)構(gòu)特點及截面[例2]如圖，四邊形AABB為邊長為3的正方形，CC1=2,CC1∥AA1;CC1∥BB1，請你判斷這個空間圖形是棱柱嗎?若是棱柱指出是幾棱柱.若不是棱柱，請你試用一個平面截去一部分，使剩余部分是一個側(cè)棱長為2的三棱柱，并指出截去的空間圖形的特征，在立體圖中畫出截面(1)因為這個空間圖形的所有面中沒有兩個互相平行的面所以這個空間圖形不是棱柱.(2)在四邊形ABB1A1中，在AA1上取E點，使AE=2;在BB1上取F點，使BF=2，連接C1E，EF，C1F。則過C1，E，F(xiàn)的截面將空間圖形分成兩部分，其中一部分是三棱柱ABC-EFC1，其側(cè)棱長為2;截去部分是一個四棱錐C1-EA1B1F規(guī)律方法認識一個空間圖形，需要看它的結(jié)構(gòu)特征，并且要結(jié)合它各面的具體形狀，棱與棱之間的關(guān)系，分析它是由哪些空間圖形組成的組合體，并能用平面分割開.2.如圖所示，已知長方體ABCD-A1B1C1D1(1)這個長方體是棱柱嗎?如果是，是幾棱柱?為什么?是棱柱，并且是四棱柱。因為它可以看成由四邊形ADD1A1沿AB方向平移至四邊形BC1CB1形成的空間圖形，符合棱柱的定義.(2)用平面BCFE把這個長方體分成兩部分后，各部分形成的空間圖形是棱柱嗎?如果是，是幾棱柱?并指出底面，如果不是，請說明理由(2)截面BCFE右邊的部分是主棱柱BEB-CFC，其中ABEB與ACFC是底面截面BCFE左邊的部分是四棱柱ABEA1-DCFD1，其中四邊形ABEA和四邊形DCFD是底面。多面體及多面體的表面展開1.觀察下面四個空間圖形，這些空間圖形都是多面體嗎?怎樣定義多面體?2.多面體哪些性質(zhì)可以作為它的特征性質(zhì)?多面體的每一個面都是多邊形3.根據(jù)圖(1)(2)所給的空間圖形的表面展開圖，畫出立體圖形將各平面圖折起來的空間圖形如圖所示[例3]畫出如圖所示的空間圖形的表面展開圖表面展開圖如圖所示:多面體表面展開圖問題的解題策略(1)繪制展開圖:繪制多面體的表面展開圖要結(jié)合多面體的幾何特征，發(fā)揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型。在解題過程中常常給多面體的頂點標上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側(cè)面，便可得到其表面展開圖。規(guī)律方法(2)已知展開圖:若是給出多面體的表面展開圖，來判斷是由哪個多面體展開的，則可把上述過程逆推。同一個空間圖形的表面展開圖可能是不一樣的，也就是說，一個多面體可有多個表面展開圖。規(guī)律方法3.給出如圖所示的正三角形紙片，要求剪拼成一個正三棱柱模型，使它的表面積與原三角形的面積相等，請設(shè)計一種剪拼方法，用虛線標在圖中，并寫出簡要說明。

課堂小結(jié)必備素養(yǎng)1.本節(jié)課的重點是理解并掌握棱柱、棱錐、棱臺的定義和結(jié)構(gòu)特征，難點是在描述和判斷空間圖形結(jié)構(gòu)特征的過程中培養(yǎng)觀察能力和空間想象能力.2。本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法(1)有關(guān)棱柱結(jié)構(gòu)特征的解題策略(2)判斷棱錐、棱臺形狀的方法(3)繪制展開圖和由展開圖還原空間圖形的方法3.本節(jié)課的易錯點是理解棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征及其關(guān)系中出現(xiàn)偏差而致錯1.下列四個命題中正確的是(）A.棱柱的底面一定是平行四邊形B.棱錐的底面一定是三角形C.棱錐被平面分成的兩部分不可能都是棱錐D.棱柱被平面分成的兩部分可以都是棱柱A中棱柱的底面可以是任何平面多邊形,B中棱錐的底面可以是任何平面多邊形，C中棱錐被經(jīng)過頂點和底面的平面分成的兩部分都是棱錐，D中棱柱被平行于底面的平面分成兩個棱柱.2.(一題兩空)棱柱的側(cè)棱最少有________條，棱柱的側(cè)棱長之間的大小關(guān)系是______3.如圖所示，不是正四面體的展開圖的是_________.可選擇陰影三角形作為底面進行折疊，發(fā)現(xiàn)①②可折成正四面體，③④不論選哪一個三角形作底面折疊都不能折成正四面體4.畫一個六面體:(1)使它是一個四棱柱。(2)使它由兩個三棱錐組成。(3)使它是五棱錐.13.1.2

圓柱、圓錐、圓臺和球情景引入1.數(shù)學(xué)來源于生活，指出圖中的空間圖形是由哪些簡單空間圖形構(gòu)成的?2.仔細觀察下面的空間圖形，它們有什么共同特點或生成規(guī)律?1.圓柱、圓錐和圓臺的概念(1)圓柱、圓錐和圓臺的定義將矩形、直角三角形、直角梯形分別繞著它的一邊、__________、________________所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，形成的空問圖形分別叫作圓柱、圓錐、圓臺一直角邊垂直于底邊的腰(2)與圓柱、圓錐、臺有關(guān)的概念繞著旋轉(zhuǎn)的這條直線叫作_______.垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫作______.不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫作______，無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，這條邊都叫作______軸底面?zhèn)让婺妇€2.球的定義及其有關(guān)的概念半圓繞著________所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫作球.______圍成的空間圖形叫作球體，簡稱球，如圖所示它的直徑球面思考:球和球面的區(qū)別?球與球面是完全不同的兩個概念，球是指球面及其圍成的空間構(gòu)成的空間圖形，而球面只指球的表面部分.3．旋轉(zhuǎn)體平面曲線一條定直線旋轉(zhuǎn)面旋轉(zhuǎn)體1.思考辨析(正確的畫“√”錯誤的畫“×”(1)以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐（）(2)圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓（）(3)用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，得到一個圓錐和個圓臺.（）[解析]

(1)直角三角形的斜邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體不是圓錐．(2)圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面．(3)用一個平行于底面的平面去截圓錐得到一個圓錐與圓臺．2．如圖將圖ABCD所示的三角形繞直線l旋轉(zhuǎn)一周，可以得到如圖所示的空間圖形的是哪一個圖形(

)A

B

C

D3．下列說法中正確的是(

)A．半圓弧以其直徑為軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫球B．空間中到定點的距離等于定長的所有點的集合叫球面C．球面和球是同一個概念D．經(jīng)過球面上不同的兩點只能作一個最大的圓半圓弧以其直徑為軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫球面，球面圍成的空間圖形，叫球，A不正確；B正確；球面和球是兩個不同的概念，C錯誤；若球面上不同的兩點恰好為最大的圓的直徑的端點，則過此兩點的大圓有無數(shù)個，故D錯誤．4．下列各命題：①圓錐的軸截面是等腰三角形，且只有一個；②球的任意截面都是圓面；③圓臺所有母線的延長線交于一點．其中正確命題的序號是________．(寫出所有正確命題的序號)圓錐的軸截面是等腰三角形，但其軸截面有無數(shù)個，故①錯誤；由球的特征性質(zhì)可知②正確；由圓臺的特征性質(zhì)可知③正確．旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征【例1】下列說法：①以直角梯形的一腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體為圓臺；②分別以矩形兩條相鄰邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周，所得到的兩個圓柱可能是不同的圓柱；③用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺．其中正確說法的序號是________．[思路]要緊扣住圓柱、圓錐、圓臺的形成過程進行判斷．①錯誤．若以直角梯形的不垂直于底邊的腰為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體不是圓臺，是圓錐和圓臺的組合體．②正確．若矩形的兩鄰邊長不相等，則其旋轉(zhuǎn)形成的曲面或圓面的半徑也不一樣，故所得圓柱也不同．③錯誤．當(dāng)此平面與圓錐的底面平行時，才能截得一個圓錐和一個圓臺，否則不能得到．簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的計算問題課堂小結(jié)1．本節(jié)課的重點是了解圓柱、圓錐、圓臺、球的定義及結(jié)構(gòu)特征，難點是能根據(jù)結(jié)構(gòu)特征識別和區(qū)分這些空間圖形．2．本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法(1)判斷旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征的方法及旋轉(zhuǎn)體軸截面的應(yīng)用．(2)簡單組合體的構(gòu)成形式及識別方法．3．本節(jié)課的易錯點是對概念理解不到位而致錯．1．下列命題中正確的是(

)A．圓柱上底面圓上任一點與下底面上任一點的連線都是圓柱的母線B．一直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的曲面圍成的空間圖形是圓臺C．圓錐、圓臺中過軸的截面是軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形D．在空間中，到定點的距離等于定長的點的集合是球A錯，由圓柱母線的定義知，圓柱的母線應(yīng)平行于軸；B錯．直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間圖形是由一個圓柱與一個圓錐組成的空間圖形；C正確；D錯，點的集合應(yīng)為球面．2．下面空間圖形的截面一定是圓面的是(

)A．圓臺B．球C．圓柱D．棱柱截面可以從各個不同的部位截取，截得的截面都是圓面的空間圖形只有球．3．一個圓臺的母線長為12cm，兩底面面積分別為4πcm2和25πcm2.則此圓臺還原成圓錐的母線長為______cm.圓臺的軸截面是等腰梯形ABCD(如圖所示)．由已知可得上底面半徑O1A＝2(cm)，下底面半徑OB＝5(cm)，又因為腰長為12cm，4．如圖所示的圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周后形成的立體圖形分別是由哪些簡單空間圖形組成的？(1)

(2)[解]旋轉(zhuǎn)后的圖形草圖分別如圖①②所示．其中圖①是由一個圓柱O1O2和兩個圓臺O2O3，O3O4組成的；圖②是由一個圓錐O5O4、一個圓柱O3O4及一個圓臺O1O3中挖去一個圓錐O2O1組成的．13.1.3

直觀圖的斜二測畫法在工程制圖中，正投影被廣泛應(yīng)用于繪制三視圖，但三視圖的直觀性較差．如何把立體圖形畫在紙上？思考

平面圖形水平放置圖應(yīng)怎么畫圖，才能體現(xiàn)圖形的立體感？1．用斜二測畫法畫水平放置平面圖形的直觀圖的規(guī)則(1)畫軸：在已知圖形中取互相________的x軸和y軸，兩軸相交于點O.畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸交于點O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面．垂直(2)畫線：已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成______于x′軸或y′軸的線段．(3)取長度：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度_____，平行于y軸的線段，長度為原來的____．平行不變一半2．空間圖形的直觀圖的斜二測畫法規(guī)則(1)在空間圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸交于O點，再取z軸，使∠xOz＝____，且∠yOz＝____.90°90°(2)畫直觀圖時把它們畫成對應(yīng)的x′軸、y′軸和z′軸，它們相交于O′，并使∠x′O′y′＝____________，∠x′O′z′＝____，x′軸和y′軸所確定的平面表示水平面．45°(或135°)90°(3)已知圖形中平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于_____、_____或_____的線段．(4)已知圖形中平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中______________；平行于y軸的線段，長度為__________．保持原長度不變原來的一半思考：畫平面圖形直觀圖的關(guān)鍵和注意點是什么？提示：(1)畫水平放置的平面圖形的直觀圖，關(guān)鍵是確定多邊形頂點的位置，借助于平面直角坐標系確定頂點后，只需把這些頂點順次連接即可．(2)用斜二測畫法畫直觀圖要掌握水平長度不變，垂線長度減半，直角畫45°(或135°)．

1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)原圖形中平行于x軸的線段，其對應(yīng)線段平行于x′軸，長度不變． (

)(2)原圖形中平行于y軸的線段，其對應(yīng)線段平行于y′軸，長度變?yōu)樵瓉淼模?(

)(3)畫與直角坐標系xOy對應(yīng)的坐標系x′O′y′時，∠x′O′y′必須是45°． (

)(4)在畫直觀圖時，由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同． (

)2．下列說法正確的是(

)A．相等的角，在直觀圖中仍相等B．長度相等的線段，在直觀圖中長度仍相等C．若兩條線段平行，在直觀圖中對應(yīng)的線段仍平行D．若兩條線段垂直，則在直觀圖中對應(yīng)的線段也互相垂直C

[由斜二測畫法規(guī)則知，角度、長度都可能改變，平行性不變，所以A、B、D錯誤，C正確．]3．已知兩個圓錐，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一個圓錐頂點到底面的距離為2cm，另一個圓錐頂點到底面的距離為3cm，則其直觀圖中這兩個頂點之間的距離為________cm.由空間直觀圖的畫法知，在z軸上或平行于z軸的線段長度保持不變，所以兩頂點間的距離為2cm＋3cm＝5cm由斜二測畫法規(guī)則知，在直觀圖中，AB⊥BC，所以△ABC是直角三角形．直角畫水平放置的平面圖形的直觀圖【例1】畫出如圖所示水平放置的等腰梯形的直觀圖．[解]畫法：(1)如圖所示，取AB所在直線為x軸，AB中點O為原點，

建立直角坐標系，畫對應(yīng)的坐標系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.(2)以O(shè)′為中點在x′軸上取A′B′＝AB，在y′軸上取O′E′＝OE，以E′為中點畫C′D′∥x′軸，并使C′D′＝CD．(3)連接B′C′，D′A′，所得的四邊形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖．規(guī)律方法1．在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取適當(dāng)?shù)淖鴺讼凳顷P(guān)鍵，一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點在坐標軸上，以便于畫點．2．畫平面圖形的直觀圖，首先畫與坐標軸平行的線段(平行性不變)，與坐標軸不平行的線段通過與坐標軸平行的線段確定它的兩個端點，然后連接成線段．1．畫一個銳角為45°的平行四邊形的直觀圖(尺寸自定)．(1)

(2)

畫空間圖形的直觀圖【例2】有一個正三棱錐，底面邊長為3cm，高為3cm，畫出這個正三棱錐的直觀圖．[思路]根據(jù)斜二測畫法，選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺讼诞嫵稣切蔚闹庇^圖，進而確定出正三棱錐的頂點即可．[解]

(1)先畫出水平放置的邊長為3cm的正三角形的直觀圖，如圖(1)所示．(2)過正三角形中心O′建立z′軸，畫出正三棱錐頂點V′，使V′O′＝3cm，連接V′A′，V′B′，V′C′，如圖(2)所示．(3)擦去輔助線，遮住部分用虛線表示，得到正三棱錐的直觀圖，如圖(3)．規(guī)律方法1．用斜二測畫法作空間圖形的直觀圖時，應(yīng)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系，常尋找原圖中共點且互相垂直的三條直線為坐標軸，或利用圖形的對稱性建系．2．在畫棱柱、棱臺的直觀圖時，可確定下底面的直觀圖，確定好高度后，把坐標系平移上來，再畫上底面的直觀圖即可．3．z′軸方向上的線段，方向與長度都與原來保持一致．2．用斜二測畫法畫正六棱柱(底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面)的直觀圖．[解]

(1)畫軸：畫x′軸、y′軸、z′軸，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.(2)畫底面：在平面x′O′y′內(nèi)，畫出正六邊形的直觀圖ABCDEF.(3)畫側(cè)棱：過A，B，C，D，E，F(xiàn)分別作z′軸的平行線，在這些平行線上分別截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，F(xiàn)F′都等于側(cè)棱長．(4)成圖：順次連接A′，B′，C′，D′，E′，F(xiàn)′，并加以整理就得到正六棱柱的直觀圖，如圖(2)所示．將直觀圖還原為原平面圖形1．如圖所示，一個平面圖形的直觀圖為平行四邊形，則四邊形ABCD的實際形狀是什么圖形？[提示]矩形．因為∠D′A′B′＝45°，由斜二測畫法規(guī)則知∠DAB＝90°，又因四邊形A′B′C′D′為平行四邊形，所以原四邊形ABCD為矩形．2．如圖，一個平面圖形的水平放置的斜二測直觀圖是一個等腰梯形，它的底角為45°，兩腰和上底邊長均為1，這個平面圖形本身是等腰梯形嗎？其面積是多少？【例3】如圖，△A′B′C′是水平放置的平面圖形的直觀圖，將其還原成平面圖形．[解]

(1)畫直角坐標系xOy，在x軸的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；(2)過B′作B′D′∥y′軸，交x′軸于D′，如圖(1)所示．在OA上取OD＝O′D′，過D作DB∥y軸，且使DB＝2D′B′；(3)連接AB，BC，得△ABC．則△ABC即為△A′B′C′對應(yīng)的平面圖形，如圖(2)所示．規(guī)律方法由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與x′軸，y′軸平行的直線或線段，且平行于x′軸的線段還原時長度不變，平行于y′軸的線段還原時放大為直觀圖中相應(yīng)線段長度的2倍，由此確定圖形的各個頂點，順次連接即可．3．已知△ABC的直觀圖△A′B′C′是邊長為a的正三角形，求原△ABC的面積．把y′軸繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)45°得y軸，在y軸上取點C，使OC＝2OC′，A，B點即為A′，B′點，長度不變．課堂小結(jié)必備素養(yǎng)1．本節(jié)課的重點是了解“斜二測畫法”的概念并掌握斜二測畫法的步驟，會用斜二測畫法畫出一些簡單平面圖形和立體圖形的直觀圖，難點是用斜二測畫法畫出一些簡單平面圖形和立體圖形的直觀圖．2．本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法(1)畫平面圖形直觀圖的方法步驟．(2)畫簡單空間圖形直觀圖的方法步驟．(3)直觀圖與原圖形之間的關(guān)系．3．本節(jié)課的易錯點是直觀圖、原空間圖形形狀之間的相互轉(zhuǎn)換．1．用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，對其中的線段說法錯誤的是(

)A．原來相交的仍相交 B．原來垂直的仍垂直C．原來平行的仍平行 D．原來共點的仍共點B

[根據(jù)斜二測畫法，原來垂直的未必垂直．]

A

[根據(jù)斜二測畫法還原三角形在直角坐標系中的圖形，如圖所示：由圖易得AB＝BC＝AC＝2，故△ABC為等邊三角形，故選A．]

[解]如圖，建立直角坐標系xOy，在x軸上截取OD＝O′D′＝1，OC＝O′C′＝2.在過點D的y軸的平行線上截取DA＝2D′A′＝2.在過點A的x軸的平行線上截取AB＝A′B′＝2.連接BC，即得到了原圖形(如圖)．同學(xué)們，通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲呢？謝謝大家愛心.誠心.細心.耐心，讓家長放心.孩子安心。第13章立體幾何初步13.2基本圖形位置關(guān)系13.2.1

平面的基本性質(zhì)一望無盡的草原、平靜的湖面給我們以平面的形象，它們的共同特征主要有哪些？你能想象數(shù)學(xué)中“平面”的描述嗎？生活中用兩個合頁和一把鎖就可以將一扇門固定，為什么？木匠師傅將一把直尺置于桌面上，通過檢查桌面是否平整，你能從數(shù)學(xué)的角度加以解釋么？1．平面的概念及表示(1)平面的概念平面是從現(xiàn)實世界中抽象出來的幾何概念．它沒有厚薄，是無限延展的．(2)平面的表示方法①圖形表示平面通常用____________來表示，當(dāng)平面水平放置的時候，一般用水平放置的_______的直觀圖作為平面的直觀圖(如圖所示)．平行四邊形正方形②字母表示平面通常用______________________表示，也可以用平行四邊形的________________________表示，如平面α、平面AC等．兩個相對頂點的字母希臘字母α，β，γ，…(3)點、線、面位置關(guān)系的符號表示位置關(guān)系符號表示點P在直線AB上P∈AB點C不在直線AB上C?AB點M在平面AC內(nèi)M∈平面AC點A1不在平面AC內(nèi)A1?平面AC直線AB與直線BC交于點BAB∩BC＝B直線AB在平面AC內(nèi)AB?平面AC直線AA1不在平面AC內(nèi)AA1?平面AC2．平面的基本性質(zhì)(1)平面的基本性質(zhì)①基本事實1：過不在一條直線上的三點，________一個平面．基本事實1也可簡單地說成，不共線的三點確定一個平面．有且只有兩個點③基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．(2)基本事實的推論①推論1：經(jīng)過__________________________，有且只有一個平面．②推論2：經(jīng)過____________，有且只有一個平面．③推論3：經(jīng)過____________，有且只有一個平面．一條直線和這條直線外的一點兩條相交直線兩條平行直線1．如果直線a?平面α，直線b?平面α，M∈a，N∈b，且M∈l，N∈l，那么下列說法正確的是(

)A．l?α

B．l?αC．l∩α＝M D．l∩α＝N∵M∈a，N∈b，a?α，b?α，∴M∈α，N∈α.而M，N確定直線l，根據(jù)基本事實2可知l?α.故選A．2．下列說法正確的是(

)A．三點可以確定一個平面B．一條直線和一個點可以確定一個平面C．四邊形是平面圖形D．兩條相交直線可以確定一個平面D

[A錯誤，不共線的三點可以確定一個平面．B錯誤，一條直線和直線外一個點可以確定一個平面．C錯誤，四邊形不一定是平面圖形．D正確，兩條相交直線可以確定一個平面．]3．如圖所示，用符號可表達為______________________．由題圖可知平面α與平面β相交于直線m，且直線n在平面α內(nèi)，且與直線m相交于點A，故用符號可表示為：α∩β＝m，n?α且m∩n＝A三種語言的轉(zhuǎn)換【例1】(1)如圖所示，用符號表示下列圖形中點、直線、平面之間的位置關(guān)系．[解]

(1)①α∩β＝l，m?α，n?β，l∩n＝P，l∥m.②α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，a∩b∩c＝O，a∩γ＝O.(2)用符號語言表示語句：“平面ABD與平面BDC相交于BD，平面ABC與平面ADC相交于AC”，并畫出圖形．(2)符號語言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC．圖形表示如圖．規(guī)律方法1．用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示．2．要注意符號語言的意義．如點與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”表示，直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”表示．3．由符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別．1．根據(jù)圖形，寫出圖形中點、直線和平面之間的關(guān)系．圖(1)可以用幾何符號表示為1．根據(jù)圖形，寫出圖形中點、直線和平面之間的關(guān)系．圖(2)可以用幾何符號表示為點線共面問題【例2】已知一條直線與另外三條互相平行的直線都相交，證明：這四條直線共面．[證明]如圖．法一：∵a∥b，∴a，b確定平面α.又∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴l(xiāng)上有兩點A，B在α內(nèi)，即直線l?α.∴a，b，l共面．同理，a，c，l共面，即c也在a，l確定的平面內(nèi)．故a，b，c，l共面．法二：∵a∥b，∴過a，b確定平面α，又∵A∈a，B∈b，∴AB?α，即l?α.又∵b∥c，∴過b，c確定平面β，而B∈b，C∈c，∴BC?β，即l?β.∴b，l?α，b，l?β，而b∩l＝B，∴α與β重合，故a，b，c，l共面．規(guī)律方法在證明多線共面時，可用下面的兩種方法來證明：(1)納入法：先由部分直線確定一個平面，再證明其他直線在這個平面內(nèi)．確定一個平面的方法有：①直線和直線外一點確定一個平面；②兩條平行線確定一個平面；③兩條相交直線確定一個平面．(2)重合法：先說明一些直線在一個平面內(nèi)，另一些直線在另一個平面內(nèi)，再證明兩個平面重合．2．證明：兩兩相交且不共點的三條直線在同一平面內(nèi)．法一：∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1和l2確定一個平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2?α，∴B∈α.同理可證C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3?α.∴直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．法二：∵l1∩l2＝A，∴l(xiāng)1，l2確定一個平面α.∵l2∩l3＝B，∴l(xiāng)2，l3確定一個平面β.∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.∵A∈l2，l2∈β，∴A∈β.同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共線的三個點A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)．∴平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．共線，共點問題1．把三角板的一個角立在課桌面上，三角板所在平面與桌面所在平面是否只相交于一點？為什么？2．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AB的中點，F(xiàn)為AA1的中點．試問CE，D1F，DA三線是否交于一點？為什么？證明：如圖所示，連接EF，D1C，A1B．∵E為AB的中點，F(xiàn)為AA1的中點，

∴P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點．又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，根據(jù)基本事實，可得P∈DA，即CE，D1F，DA相交于一點．【例3】如圖所示，在四面體ABCD中，E，G分別為BC，AB的中點，F(xiàn)在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3，求證：EF，GH，BD交于一點．[思路]先證明GH和EF共面且交于一點O，然后說明O是平面ABD和平面BCD的公共點，而平面ABD和平面BCD相交于直線BD，根據(jù)基本事實3，兩平面相交，有且只有一條交線．因此點O在交線上，即點O在直線BD上．從而證明了直線EF，GH，BD都過點O.

∴四邊形EFHG是一個梯形，GH和EF交于一點O.∵O在平面ABD內(nèi)，又在平面BCD內(nèi)，∴O在這兩平面的交線上．而這兩個平面的交線是BD，且交線只有這一條，∴點O在直線BD上．∴EF，GH，BD交于一點．規(guī)律方法證明點共線、線共點的關(guān)鍵是構(gòu)造相交平面后，證明點在相交平面的交線上，即由基本事實3完成證明，先說明兩直線共面交于一點，然后說明該點在兩個平面內(nèi)，從而該點又在這兩個平面的交線上．3．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R分別在棱AB，BB1，CC1上，且DP，RQ相交于點O.求證：O，B，C三點共線．[證明]如圖，可知平面AC∩平面BC1＝BC．又∵平面AC∩平面BC1＝BC，∴O∈BC，即O，B，C三點共線.課堂小結(jié)1．已知點A，直線a，平面α，以下命題表述不正確的個數(shù)(

)①A∈a，a?α?A?α；②A∈a，a∈α?A∈α；③A?a，a?α?A?α；④A∈a，a?α?A?α.A．1

B．2

C．3

D．4D

①不正確，如a∩α＝A；②不正確，“a∈α”表述錯誤；③不正確，如圖所示，A?a，a?α，但A∈α；④不正確，“A?α”表述錯誤．2．(多選題)下列命題正確的是(

)A．梯形一定是平面圖形B．若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線平行C．兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面D．若兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合對于A，由于兩條平行直線確定一個平面，所以梯形可以確定一個平面，故A正確；對于B，兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線平行或異面或相交，故B錯誤；對于C，兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面，故C正確；對于D，若兩個平面有三個公共點，則這兩個平面相交或重合，故D錯誤．故選AC．3．空間三條直線a，b，c，若它們兩兩平行，則最多能確定平面的個數(shù)為________．3

[當(dāng)三條直線不共面時確定平面?zhèn)€數(shù)最多，為3個．]4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，畫出平面ACD1與平面BDC1的交線，并說明理由．[解]設(shè)AC∩BD＝M，C1D∩CD1＝N，連接MN，則平面ACD1∩平面BDC1＝MN，如圖．理由如下：∵點M∈平面ACD1，點N?平面ACD1，所以MN?平面ACD1.同理，MN?平面BDC1，∴平面ACD1∩平面BDC1＝MN，即MN是平面ACD1與平面BDC1的交線．13.2.2

空間兩條直線的位置關(guān)系1．空間兩條直線的位置關(guān)系平行(2)等角定理：如果空間中一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別____并且____相同，那么這兩個角____．平行方向相等3．異面直線的判定及其所成的角(1)異面直線的判定定理思考：不在同一平面內(nèi)的兩條直線是否是異面直線？提示：(1)異面直線的定義表明異面直線不具備確定平面的條件．異面直線既不相交，也不平行．(2)不能把異面直線誤認為分別在不同平面內(nèi)的兩條直線，如圖中，雖然有a?α，b?β，即a、b分別在兩個不同的平面內(nèi)，但是因為a∩b＝O，所以a與b不是異面直線．(2)異面直線所成的角①定義：a與b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′和b′所成的________(或__________)叫作異面直線a，b所成的角或夾角．銳角直角②異面直線所成的角θ的取值范圍：____________.③當(dāng)θ＝時，a與b互相垂直，記作______.1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)如果a⊥b，b⊥c，則a∥c.

(

)(2)如果a，b是異面直線，b，c是異面直線，則a，c也是異面直線． (

)(3)如果a，b相交，b，c相交，則a，c也相交． (

)(4)如果a，b共面，b，c共面，則a，c也共面． (

)2．已知棱長為a的正方體ABCD-A′B′C′D′中，M，N分別為CD，AD的中點，則MN與A′C′的位置關(guān)系是________．3.已知AB//PO，BC//OR，∠ABC=30°，則∠POR等于__________∠ABC的兩邊與∠POR的兩邊分別平行，但方向不能確定是否相同，所以∠POR=30°或150°30°或150°4.已知a，b是異面直線，直線c//直線a，則c與b的位置關(guān)系是_______________.a，b是異面直線，直線c//直線a，因而c不平行于b，若c//b，則a//b，與已知矛盾，因而c不平行于b，即c與6相交或異面.相交或異面空間中直線的位置關(guān)系【例1】(1)下列命題中正確的有________．(填序號)①兩條直線無公共點，則這兩條直線平行；②兩條不重合的直線若不是異面直線，則必相交或平行；③過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)的任意一條直線均構(gòu)成異面直線；④和兩條異面直線都相交的兩直線必是異面直線．(1)對于①，空間兩直線無公共點，則可能平行，也可能異面，因此①不正確；對于②，因為空間兩條不重合的直線的位置關(guān)系只有三種：平行、相交或異面，所以②正確；對于③，過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線和過平面內(nèi)這點的直線是相交直線，因此③不正確；對于④，和兩條異面直線都相交的兩直線可能是相交直線，也可能是異面直線，因此④不正確．(2)a，b，c是空間中三條直線，下列給出幾個說法：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②a∥b是指直線a，b在同一平面內(nèi)且沒有公共點；③若a，b分別在兩個相交平面內(nèi)，則這兩條直線不可能平行．其中正確的有________．(填序號)

(2)由基本事實4知①正確；由平行線的定義知②正確；若α∩β＝l，a?α，b?β，a∥l，b∥l，則a∥b，③錯誤．規(guī)律方法空間兩直線的位置關(guān)系為相交、平行、異面，若兩直線有交點則為相交，若兩直線共面且無交點則為平行，若以上情況均不滿足則為異面．1．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，判斷下列直線的位置關(guān)系：①直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是________；②直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是________；③直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是________；④直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是________．直線A1B與直線D1C在平面A1BCD1中，且沒有交點，則兩直線平行，所以①應(yīng)該填“平行”；點A1，B，B1在一個平面A1BB1內(nèi)，而C不在平面A1BB1內(nèi)，則直線A1B與直線B1C異面．同理，直線AB與直線B1C異面，所以②④都應(yīng)該填“異面”；直線D1D與直線D1C顯然相交于點D1，所以③應(yīng)該填“相交”．基本事實4與等角定理的應(yīng)用1．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，若E，F(xiàn)，G，H分別為PA，PB，PC，PD的中點．那么四邊形EFGH是什么四邊形？為什么？2．如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么由等角定理能推出什么結(jié)論？這兩條直線所成的銳角(或直角)與另兩條直線所成的角相等或互補．【例2】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1分別為棱AD，AB，B1C1，C1D1的中點．求證：∠EA1F＝∠E1CF1.[證明]如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，取A1B1的中點M，連接BM，MF1，

∴四邊形A1NDE為平行四邊形，∴A1E∥DN.又E1N∥CD，且E1N＝CD，∴四邊形E1NDC為平行四邊形，∴DN∥CE1，∴A1E∥CE1.∴∠EA1F與∠E1CF1的兩邊分別對應(yīng)平行．即A1E∥CE1，A1F∥CF1，且∠EA1F與∠E1CF1均為銳角，∴∠EA1F＝∠E1CF1.規(guī)律方法運用基本事實4的關(guān)鍵是尋找“中間量”即第三條直線．證明角相等的常用方法是等角定理，另外也可以通過證明三角形相似或全等來實現(xiàn)．2．如圖，已知棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，AD的中點．(1)求證：四邊形MNA1C1是梯形；(2)求證：∠DNM＝∠D1A1C1.(1)求證：四邊形MNA1C1是梯形；(2)求證：∠DNM＝∠D1A1C1.(2)由(1)可知MN∥A1C1，又∵ND∥A1D1，而∠DNM與∠D1A1C1均是直角三角形的銳角，∴∠DNM＝∠D1A1C1.求異面直線所成的角【例3】如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是A1B1，B1C1的中點，求異面直線DB1與EF所成角的大?。甗解]法一：如圖(1)，連接A1C1，B1D1，并設(shè)它們相交于點O，取DD1的中點G，連接OG，A1G，C1G，則OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1為異面直線DB1與EF所成的角或其補角．∵GA1＝GC1，O為A1C1的中點．∴GO⊥A1C1.∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.

法三：如圖(3)，在原正方體的右側(cè)補上一個全等的正方體，連接DQ，B1Q，則B1Q∥EF.于是∠DB1Q為異面直線DB1與EF所成的角或其補角．規(guī)律方法求兩條異面直線所成角的步驟(1)恰當(dāng)選點，用平移法構(gòu)造出一個相交角．(2)證明這個角就是異面直線所成的角(或補角)．(3)把相交角放在平面圖形中，一般是放在三角形中，通過解三角形求出所構(gòu)造的角的度數(shù)．(4)給出結(jié)論：若求出的平面角是銳角或直角，則它就是兩條異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補角才是兩條異面直線所成的角．3．如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，求異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為________．課堂小結(jié)1．分別在兩個相交平面內(nèi)的兩條直線間的位置關(guān)系是(

)A．平行 B．相交C．異面 D．以上皆有可能3．空間中有一個∠A的兩邊和另一個∠B的兩邊分別平行，∠A＝70°，則∠B＝______________.

∵∠A的兩邊和∠B的兩邊分別平行，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°，又∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°70°或110°

4．如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD各邊上的點，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.(1)證明：E，F(xiàn)，G，H四點共面；[解]證明：因為AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD．又CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥BD，所以EH∥FG，所以E，F(xiàn)，G，H四點共面．(2)m，n滿足什么條件時，四邊形EFGH是平行四邊形？(3)在(2)的條件下，若AC⊥BD，試證明：EG＝FH.證明：當(dāng)m＝n時，AE∶EB＝CF∶FB，所以EF∥AC，又EH∥BD，所以∠FEH是AC與BD所成的角(或其補角)，因為AC⊥BD，所以∠FEH＝90°，從而平行四邊形EFGH為矩形，所以EG＝FH.13.2.3

直線與平面的位置關(guān)系1．觀察你手中的筆所在直線和作業(yè)本所在的平面可能的位置關(guān)系，概括空間直線和平面的三種位置關(guān)系．2．觀察長方體ABCD-A1B1C1D1，說出棱AB所在的直線與長方體六個面所在平面的位置關(guān)系，并說明理由．有無數(shù)個有且只有一個沒有2.直線與平面平行的判定定理(1)自然語言：如果平面外一條直線和此_________的一條直線平行，那么該直線和此平面平行．平面內(nèi)(2)圖形語言：如圖所示．(3)符號語言：.3．直線與平面平行的性質(zhì)定理(1)自然語言：一條直線與一個平面平行，如果________的平面與此平面相交，那么該直線與____平行．過該直線交線(2)圖形語言：如圖所示．(3)符號語言：

1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則l∥α.(

)(2)若直線a在平面α外，則a∥α.

(

)(3)若直線a∩b＝?，b?α，則a∥α.

(

)(4)若直線a∥平面α，則直線a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線． (

)[解析]