2024年高考數學高頻考點題型總結一輪復習 基本立體幾何圖形及幾何體的表面積與體積（精練：基礎+重難點）

2024年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結

第31講基本立體幾何圖形及幾何體的表面積與體積（精練）

刷真題明導向

一、單選題

I.（2023?全國?統考高考真題）在三棱錐P-A3c中，是邊長為2的等邊三角形，PA=PB=2、PC=瓜,則

該棱錐的體積為（）

A.1B.GC.2D.3

【答案】A

【分析】證明A8上平面PEC,分割三棱錐為共底面兩個小三棱錐，其高之和為A8得解.

【詳解】取A8中點E,連接如圖，

A3C是邊長為2的等邊三角形，PA=PB=2,

:.PE1AB,CE上AB,又PE,CEu平面PEC,PECE=E,

.,.AB/平面PEC,

又PE=CE=2*2=6PC=6

2

故PC2=PE?+CE?,BPPE1CE,

=

所以V='B-PEC+^A-PECq3x,xxx21

J

故選：A

2.（2023?全國?統考高考真題）已知圓錐PO的底面半徑為石，O為底面圓心，PA,P8為圓錐的母線，403=120°,

若-幺B的面積等于外8,則該圓錐的體積為（）

4

A.乃B.瓜兀C.3兀D.3限兀

【答案】B

【分析】根據給定條件，利用三角形面積公式求出圓錐的母線長，進而求出圓錐的高，求出體積作答.

【詳解】在408中，/AOB=120°,而Q4=OB=G，取A8中點C,連接。CPC,有。C_L_LA8,如

圖，

NA8O=30,0C=—,AB=2BC=^t由的面積為拽，W-x3xPC=—

2424

解得PC=￥，于是PO=1PC?-=^（^）2—（手）2=限，

所以圓錐的體積^=，冗又。42*尸0=:兀乂（石）2米而=卡兀.

33

故選：B

3.（2023?天津?統考高考真題）在三棱錐尸-A6C中，線段FC上的點A/滿足PM="FC,線段尸6上的點N滿足

2

PN=-PB,則三楂錐P一/UW和三棱錐P-A8C的體積之比為（）

124

-C

A.9-B.9D.9-

【分析】分別過M，C作MM'_LPA.CC1PA，垂足分別為M’,U.過8作BB工平面PAC,垂足為B,連接P&，過N

MM'1

作NN'尸8’,垂足為M.先證NN'1平面PAC,則可得到BB'HNN'，再證由三角形相似得到-―^=~,

*_?V-/J

黑=|,再由詈以=旨皿即可求出體積比.

BB5VP-ABCVB-PAC

【詳解】如圖，分別過M，C作腦0_1小,（％/_1夕人,垂足分別為“（.過8作防'_1平面以。，垂足為3’，連接尸8',

過N作NN'1PB',垂足為N.

因為88_L平面PAC,8&u平面尸BB'，所以平面「88,平面以。?

又因為平面P88'「平面P4C=P8'，NN'A.PB'，NN'u平面PBB'，所以MV」平面PAC，且BB'〃NN’.

PMMM1

在"CC中，因為MM,-ACUJA'所以MMg所以記:記二3

在△PBB'中,因為BB'〃NN'，所以”="=2,

PBBB'3

1

,NN'-PA-MM'\,NN‘

V

30PAW、_2

'P-AMN_32）一

所以■1c

y\_9,

F-ABC匕-PAC?BB'-BB'

33PAC31

故選；B

4.（2022?天津?統考高考真題）如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三

棱柱的底面是頂角為120。，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（）

A.23B.24C.26D.27

【答案】D

【分析】作出幾何體直觀圖，由題意結合幾何體體積公式即可得組合體的體積.

【詳解】該幾何體由直三棱柱人所＞-8〃。及直三棱柱￡）0。-4所組成，作上CB于M,如圖,

因為CH=BH=3,NCHB=120,所以CM=BM=亞,"以=",

22

因為重疊后的底面為正方形，所以AB=BC=3X/5,

在直棱柱中，43工平面BHC,則A8J.”歷，

由A8c8c=3可得平面ADC3,

設重疊后的EG與FH交點為I，

則vi-Ba,)A=(X36義3&入1二三,VAFD-BHC=；X36百=?

J乙乙乙乙?

o197

則該幾何體的體積為V=2匕-匕_8%=2x^-y=27.

故選：D.

5.(2022?全國?統考高考真題)甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為2兀，側面積分別為際和

S乙，體積分別為％和%.若*2,則券=()

3乙y乙

A.75B.2&C.MD.

4

【答案】C

【分析】設母線長為/,甲圓錐底面半徑為小乙圓錐底面圓半徑為4,根據圓錐的側面積公式可得4=2，。再結

合圓心角之和可將小々分別用/表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據圓錐的體積公式即可得解.

【詳解】解，設母線長為/,甲圓錐底面半徑為小乙圓錐底面圓半徑為弓，

則泮耳J,

S乙兀rjr2

所以4=2弓,

又平+竿=2-

貝IJ牛=1,

21

所以4=~f'

所以甲圓錐的高4=小寺=與,

乙圓錐的高%=j/2一%2=手/,

-^r^h-I2x—/

所以3v=—]==阮

393

故選：C.

6.（2022?北京?統考高考真題）已知正三棱錐P-A8c的六條棱長均為6,S是A5c及其內部的點構成的集合.設

集合了={QeS|PQ?5},則T表示的區(qū)域的面積為（）

A.網

B.冗C.2萬D.34

4

【答案】B

【分析】求出以P為球心，5為半徑的球與底面A8C的截面圓的半徑后可求區(qū)域的面積.

【詳解】

B

設頂點P在底面上的投影為。，連接BO,則。為三角形ABC的中心，

,aBO=-x6x—=2x/3,故。。=J36-12=2".

32

因為尸2=5,故OQ=1,

故S的軌跡為以。為圓心，1為半徑的圓，

百

而三角形A8C內切圓的圓心為。，半徑為2c36,j

3x6~-

故S的軌跡圓在三角形A8C內部，故其面積為不

故選：B

7.（2021?天津?統考高考真題）兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為率，兩個

圓錐的高之比為1:3,則這兩個圓錐的體積之和為（）

A.3/rB.4乃C.94D.127r

【答案】B

【分析】作出圖形，計算球體的半徑，可計算得出兩圓錐的高，利用三角形相似計算出圓錐的底面圓半徑，再利用

錐體體積公式可求得結果.

【詳解】如下圖所示，設兩個圓錐的底面圓圓心為點。，

設圓錐A。和圓錐的高之比為3:1,即4）=38。，

設球的半徑為R,則殍磬，可得X,所以‘日加如4四4.

所以，BD=\tA￡>=3,

,CDA.ABt則/6。+4?！?=/3?！?gt;+4。。=90,所以，ZCAD=ZBCDt

又因為ZADC=NBDC,所以，△ASS/XCB。，

工]—ADCD[廠

所以，--=■9CD=VAD-BD=V39

CDBD

因此，這兩個圓錐的體積之和為g^xCDZiAQ+/ojng用xBxdMd^.

故選：B.

8.（2021?全國?統考高考真題）正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4,側棱長為2,則其體積為（）

A.20+126B.2872C.苧D.史也

33

【答案】D

【分析】由四棱臺的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺的體積公式即可得解.

【詳解】作出圖形，連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖，

因為該四棱臺上下底面邊長分別為2,4,側棱長為2,

所以該棱臺的高力=《2?—（2&—6）—\/2,

下底面面積1=16,上底面面積多=4,

所以該棱臺的體積^=（力（5+52+品）=:乂&><（16+4+癇）=g&?

JJJ

故選：D.

9.（2021?全國?統考高考真題）北斗三號全球衛(wèi)星導航系統是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導航系統中，地球

靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36（X）Okm（軌道高度是指衛(wèi)星到地球衣面的距離）.將地

球看作是一個球心為。，半徑，?為6400km的球，其上點A的緯度是指04與赤道平面所成角的度數.地球表面上能

直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為。，記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為

S=2^-r（l-cos6Z）（單位：km2）?則S占地球表面積的百分比約為（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

【答案】C

【分析】由題意結合所給的表面積公式和球的表面積公式整理計算即可求得最終結果.

【詳解】由題意可得，S占地球表面積的百分比約為：

]6400

2+（1-cosa）=l-cosa=-6400+36000?042=42%，

4）~2~2~.一°

故選：C.

10.（2021/匕京?統考高考真題）某一時間段內，從天空降落到地面上的雨水，未經蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上

積聚的深度，稱為這個時段的降雨量（單位：mm）.24h降雨量的等級劃分如下：

等級24h降雨量（精確到0.1）

...

小雨0.1-9.9

中雨10.0-24.9

大雨25.0?49.9

暴雨50.0-99.9

..........

在綜合實踐活動中，某小組自制了一個底面直徑為200mm,高為300mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過程中，該

雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如圖所示），則這24h降雨量的等級是

A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨

【答案】B

【分析】計算出圓錐體積，除以圓面的面積即可得降雨量，即可得解.

【詳解】由題意，一個半徑為—二100（mm）的圓面內的降雨充滿一個底面半徑為拳x/=50（mm）,高為

150（mm）的圓錐，

所以積水厚度仁加5。2：5匕），屬于中雨?

TTXlOO?'）

故選：B.

11.（2021?全國?統考高考真題）已知圓錐的底面半徑為g,其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（）

A.2B.2&C.4D.4&

【答案】B

【分析】設圓錐的母線長為,,根據圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長可求得/的值，即為所求.

【詳解】設圓錐的母線長為/,由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則M=2乃x&,解得/=2近.

故選：B.

二、多選題

12.（2022?全國?統考高考真題）如圖，四邊形A8C力為正方形，皿平面ABCD,FB〃ED,AB=ED=2FB,記三

棱錐E-ACO,F-ABC,尸-ACE的體積分別為乙匕,匕，則（）

A.匕=2匕B.匕=K

C.匕=匕+匕D.2匕=3乂

【答案】CD

【分析】直接由體積公式計算九匕，連接80交AC于點例，連接由匕=匕.”+匕一力”計算出匕，依

次判斷選項即可.

【詳解】

^AB=ED=2FB=2af因為楨，平面ABC。，FBED,則V；=；￡OS“9=、2。,(2。丫=3。3,

3323

匕=g/8SA8C=：",連接80交AC于點“，連接易得30_LAC,

又EQJ.平面A8CO,ACu平面A8C。，則EO_LAC,又EDBD=D,石2b力匚平面^八片/^則/^工平面^。所,

又BM=DM=/。=后,過尸作?GJLDE于G,易得四邊形BDGb為矩形，則FG=BD=2&a,EG=a,

貝|JEM=J(2a『+(x/2f/)?=瓜i,FM=J/+(缶)'=舄,EF=J/+(2&〃丫=3a,

2

EM'FM?=EF?，則SEf.M=-EM-FM=—afAC=2小,

則匕=匕t-EFM十^C-EFM=^AC-SEFM=2a\貝IJ2匕=3匕，匕二3匕，匕=K十匕，故A、B錯誤；C、D正確.

故選：CD.

三、填空題

13.(2。21?全國?高考真題)已知一個圓錐的底面半徑為6,其體積為30乃則該圓錐的側面積為.

【答案】39萬

【分析】利用體積公式求出圓錐的高，進一步求出母線長，最終利用側面積公式求出答案.

【詳解】VV=-^62-/z=3()7r

3

：.h=-c

/.S劃=兀"=兀乂6又一^=39冗.

故答案為：39乃.

14.（2023?全國?統考高考真題）在正四棱臺ABC。-A8cA中，A3=2,4旦=1,例=應，則該棱臺的體積為

【答案】華

【分析】結合圖像，依次求得Aa，AO，A”,從而利用棱臺的體積公式即可得解.

【詳解】如圖，過A作AM_LAC,垂足為易知AM為四棱臺的高,

因為A8=2，A片=1,A41=友,

貝|JAG.AG=￥，A0=gAC=gx&A8=&,

故AM=；（AC—A￡）=冬則AM=辦4一加=^^=乎,

所以所求體積為V=lx（4+1+疝T）x^=友.

326

故答案為：墳.

6

15.（2023?全國?統考高考真題）底面邊長為4的正四楂錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2,高

為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為.

【答案】28

【分析】方法一：割補法，根據正四棱錐的幾何性質以及棱錐體積公式求得正確答案；方法二：根據臺體的體積公

式直接運算求解.

【詳解】方法一：由于彳=而截去的正四棱錐的高為3,所以原正四棱錐的高為6,

42

所以正四棱錐的體積為gx（4x4）x6=32,

截去的正四棱錐的體積為:x（2x2）x3=4,

所以棱臺的體積為32-4=28.

方法二：棱臺的體積為gx3x（16+4+Vi^）=28.

故答案為：28.

E

【A組在基礎中考查功底】

一、單選題

1.（2023?全國?高三專題練習）已知某圓錐的高為2j，cm，體積為逅cm\則該圓錐的側面積為（）

3

3兀）

A.—cm2B.371cm2C.671cm?D.12冗cm?

【答案】B

【分析】由圓錐的體積和高，得到底面半徑，勾股定理得母線長，由圓錐的側面積公式計算結果.

【詳解】設該圓錐的底面半徑與母線長分別為「，/,由里二x2夜=3紅，得P,

33

所以/="+（2&）2=3,從而該圓錐的側面積S="/=37r.

故選：B

2.（2023?寧夏銀川?銀川一中校考三模）燈罩的更新換代比較快，而且燈具大部分都是設計師精心設計，對于燈來

說，不用將燈整個都換掉，只需要把燈具的外部燈罩進行替換就可以改變燈的風格.杰斯決定更換臥室內的兩個燈罩

來換換氛圍，已知該燈罩呈圓臺結構，上下底皆挖空，上底半徑為10cm,下底半徑為18cm,母線長為17cm,側

面計劃選用絲綢材質布料制作，若不計做工布料的浪費，則更換兩個燈罩需要的絲綢材質布料面積為（）

T

1

A.9697tcm2B.952ncm2C.8647rcm2D.476?rcm2

【答案】B

【分析】運用圓臺的側面積公式計算即可.

【詳解】由題意可得更換兩個燈罩需要的絲綢材質布料面積S=2TV（10+18）X17=952兀cm?.

故選：B.

3.（2023?全國?高三專題練習）如圖，將一個圓柱2〃（〃cN“）等分切割，再將其重新組合成一個與圓柱等底等高的

幾何體，〃越大，重新組合成的幾何體就越接近一個“長方體若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了1（）,

則圓柱的側面積為（）

C.1O/77CD.18兀

【答案】A

【分析】新幾何體的表面積比原幾何體的表面積多了原幾何體的軸截面面積，列出方程求解即可.

【詳解】顯然新幾何體的表面積比原幾何體的表面積多了原幾何體的軸截面面積，

設圓柱的底面半徑為高為力，貝IJ2泌=10,

所以圓柱的側面積為2兀汕=10兀.

故選：A.

4.（2023春,重慶沙坪壩?高三重慶八中?？奸_學考試）石碾子是我國傳統糧食加工工具，如圖是石碾子的實物圖，

石碾子主要由碾盤、碾滾（圓柱形）和碾架組成.碾盤中心設豎軸（碾柱），連碾架，架中裝碾滾，以人推或畜拉

的方式，通過碾滾在碾盤上的滾動達到碾軋加工糧食作物的目的.若推動拉桿繞碾盤轉動2周，碾滾的外邊緣恰好

滾動了5圈，碾滾與碾柱間的距離忽略不計，則該圓柱形碾滾的高與其底面圓的直徑之比約為（）

C.5：3D.4：3

【答案】B

【分析】繞碾盤轉動2周的距離等于碾滾滾動5圈的距離，列出方程即可求解.

【詳解】由題意知，2x2兀力=5x2”；

h5h5

.??—__——9???_-_-—-—?

r22r4

故選：B.

5.（2023?江西鷹潭?貴溪市實驗中學?？寄M預測）轉子發(fā)動機采用三角轉子旋轉運動來控制壓縮和排放.如圖，

三角轉子的外形是有三條側棱的曲面棱柱，且惻棱垂直于底面，底面是以正三角形的三個頂點為圓心，正三角形的

邊長為半徑畫圓構成的曲面三角形，正三角形的頂點稱為曲面三角形的頂點，側棱長為曲面棱柱的高，記該曲面棱

柱的底面積為S,高為爪已知曲面楂柱的體積V=S〃，若AB=8,h=\,則曲面棱柱的體積為（）

A

A.37t—3GB.2兀一2夜

C.3兀一2夜D.271-343

【答案】A

【分析】根據題意和圖中三角形的面積是由三塊相同的扇形疊加而成的，其面積等于三塊扇形的面積相加，再減去

兩個等邊三角形的面積，進而求解.

【詳解】扇形ACB的面積SACB=』X叵又#=冗，

ACB23

s△，.=：x屁屁Sing=乎，

則底面積

S=3sAZIeVo+2s4AUBVe-=3n-3y/3,

所以曲面棱柱的體積丫=S〃=3冗-36,

故選：A.

6.（2023?全國?高三專題練習）《九章算術?商功》中記載：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉膈，

不易之率也我們可以翻譯為：取一長方體，分成兩個一模一樣的直三棱柱，稱為塹堵.再沿塹堵的一頂點與相對的

樓剖開，得一個四棱錐和一個三楂錐，這個四棱錐稱為陽馬，這個三棱錐稱為鱉膈.現己知某個鱉腐的體積是1,則

原長方體的體積是（）

A.8B.6C.4D.3

【答案】B

【分析】根據柱體和錐體體積公式求得正確答案.

【詳解】如圖所示，原長方體ABCO-AAGA，

設矩形BCC4的面積為S,C,D、=h,

鱉腐D「BCCX的體積為I,

即:卜力=1,所以sa=6,

即原長方體的體積是6?

故選：B

7.（2023春?寧夏銀川?高三寧夏育才中學?？奸_學考試）已知側棱長為26的正四棱錐各頂點都在同一球面上.若

該球的表面積為36），則該正四棱錐的體積為（）

【答案】D

【分析】作圖，分外接球的球心在錐內和錐外2種情況，運用勾股定理分別計算.

【詳解】設四棱錐為Q-4BC。，底面A8CQ的中心為O,

設外接球的半徑為R,底面正方形的邊長為2a,四棱錐的高為=〃，則4乃/?2=36m/?=3,BO=缶，

當外接球的球心在錐內時為。1,在中，iiO2+PO2=m2,

即2/+〃2=[2…①,在RiBOO,中，OO；+BO2=BO；,即（/-3）2+2/=3?…②，

聯立①?,解得，=2J?=2<R（舍、

22

當外接球的球心在錐外時為。2，在RL/8。中，BO+PO=PB'f

即2/+〃2之2…③，在RtBOO】中，BO2+OOi=BOi,即2/+（3—爐=3???.④，

聯立③?解得〃=2,力=2,四棱錐的體積聯83=京（2><2）2>2=與；

故選：D.

8.（2023春?湖南長沙?高三校聯考階段練習）為了給熱愛朗讀的師生提供一個安靜獨立的環(huán)境，某學校修建了若干“朗

讀亭”.如圖所示，該朗讀亭的外形是一個正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對側棱所在的軸截面為正

方形，若正六棱錐的高與底面邊長的比為2:3,則正六棱錐與正六棱柱的側面積的比值為（）

r答案】B

【分析】設出相關棱長，利用面積公式求出正六棱錐與正六棱柱的側面積，然后可得答案.

【詳解】設正六邊形的邊長為明由題意正六棱柱的高為物,

因為正六棱錐的高與底面邊長的比為2:3,所以正六棱錐的高為|明正六棱錐的母線長為孚4,

正六棱錐的側面積5.=6x1、但a—/=星，/；

2V942

正六棱柱的側面積邑-6?a?2a-12a2,

所以9綜

故選：B.

9.（2023?云南?高三校聯考階段練習）擬柱體（所有頂點均在兩個平行平面內的多面體）可以用辛普森（Simpson）

公式V=，/7（$+4SO+S2）求體積，其中人是高，，是上底面面積，邑是下底面面積，S。是中截面（到上、下底面

6

距離相等的截面）面積，如圖所示，在五面體ABCDE”中，底面A8C。是邊長為4的正方形，EF=2,且直線E?

到底面A8CO的距離為3,則該五面體的體積為（）

C.24D.25

【答案】B

【分析】根據題意，利用辛普森（Simpson）公式V=!/?0+4S°+邑）求解.

6

【詳解】解：如圖所示:

E

分別取邊AE,BF,CF,DE的中點G,H,J,K,

由題意知4=3,5=032=4x4=16,GH=KJ=%=3,HJ=GK=2,

則S0=3x2=6,

所以V=LZ(S1+4SO+S,)=LX3X(O+4X6+16)=2O,

66

故選：B

10.(2023?全國?校聯考三模)如圖為?個火箭的整流罩的簡單模型的軸截面，整流罩是空心的，無下底面，由兩個

部分組成，上部分近似為圓錐，下部分為圓柱，則該整流罩的外表面的面積約為()

A.2.018xl077tnim2B.1.824xl077imm2

C.1.468x10?71mm*D.1.28x1077rmm'

【答案】B

【分析】根據題意分上部分為圓錐，利用其側面積公式求出其側面積；下部分為圓柱，利用其側面積公式求出其側

面積，最后得到正面外表面面積.

【詳解】根據題意，上部分圓錐的母線長為廊5幣旃=3400Cmm)，

所以圓錐的側面積為gx3400x2兀xl600=5.44xl()6Mmm2),

下部分圓柱的側面積為2"1600x4000=1.28xlO'Mmnf),

所以該整流罩的外表面的面積約為5.44x10"兀+1.28x10?兀=1.824x1()味mm).

故選：B.

II.(2023?北京通州?統考模擬預測)如圖，某幾何體的上半部分是長方體，下半部分是正四棱錐，AA=1,=

A8=2,則該幾何體的體積為()

D,G

c*

r答案】B

【分析】先利用勾股定理求出正四棱錐P-A8co的高，再根據棱柱與棱錐的體積公式即可得解.

【詳解】在正四棱錐P-A8c。中，連接ACB/）交于點。，連接AP,

則OP即為正四棱錐尸-A8co的高，

OA=^AC=y/2,OP=\IAP2-OA1=b

所以^p-ABct）=TX2X2X1=—,匕BCO-ABC。］=2x2x1=4,

所以該幾何體的體積為g+4若.

故選:B.

12.（2023?全國?高三專題練習）黃地綠彩云龍紋盤是收藏于中國國家博物館的一件明代國寶級瓷器.該龍紋盤敞口，

弧壁，廣底，圈足.器內施白釉，外壁以黃釉為地，刻云龍紋并填綠彩，美不勝收.黃地綠彩云龍紋楹可近似看作是

圓臺和圓柱的組合體,其口徑22.5cm,足徑14.4cm,高3.8cm,其中底部圓柱高0.8cm,則黃地綠彩云龍紋盤的側

面積約為（M附：圓臺的側面積5=武/?+r）/,R,「為兩底面半徑，/為母線長，其中兀的值取3,亞旃=5.04）

C.327.24cm2D.344.52cm2

【答案】B

【分析】首先求圓臺母線長，再代入圓臺和圓柱側面積公式，即可求解.

【詳解】設該圓臺的母線長為/,兩底面圓半杼分別為R.〃（其中尸）,

貝|J2R=22.5,2r=14.4,/?=3.8-0.8=3,

2R-2r

所以1=.而+=V32+4.052=V25.4025?5.04,

~2~

故圓臺部分的側面積為S=7i（/?+r）/?3x（11.25+7.2）x5.04=278.964cm2,

2

圓柱部分的側面積為S2=2“-0.8=6x7.2x0.8=34.56cm,

故該黃地綠彩云龍紋盤的側面積約為，+S2a278.964+34.56=313.524cm2.

故選：B.

13.（2D23?湖南?湖南師大附中校聯考模擬預測）如圖所示，一個球內接圓臺，己知圓臺上、下底面的半徑分別為3

和4,球的表面積為10（比，則該圓臺的體積為（）

【答案】D

【分析】由球的表面積求出球的半徑，然后通過軸截面求出圓臺的高，進一步求出圓臺的體積.

【詳解】因為圓臺外接球的表面積5=4冗產=]00兀，所以球的半徑，=5,

設圓臺的上、下底面圓心分別為。2，。1，在上、下底面圓周上分別取點A3,

連接。?！??,。4,08,0/,0乃，如圖，

因為圓臺上、下底面的半徑分別為3和4,

所以|0同=|。4|=4,閨=|。/|=3,

所以|00j=J。卻2_|?婕=3,依勾==4,

所以|Q0j=7,

所以圓臺體積V=gx（97i+16兀+12冗）、7=^^

故選：D.

14.（2023?全國?高三專題練習）正多直體共有5種，統稱為柏拉圖體，它們分別是正四面體、正六面體（即正力體）、

正八面體、正十二面體、正二十面體.若連接某正方體的相鄰面的中心，就可以得到一個正八面體，已知該正八面

體的體積為36,則生成它的正方體的棱長為（）

A.8B.6C.4D.3

【答案】B

【分析】設正方體的棱長為射，由條件結合錐體體積公式列方程求解即可.

【詳解】設正方體棱長為射，可得正八面體是由兩個四棱錐構成，

四棱錐的底面為邊長為J5a的正方形，高為。，

則正八面體體積為2x；x（2"）xa=36,解得a=3,??.2a=6.

故選：B.

15.（2。23?全國?高三專題練習）如圖①，“球缺”是指一個球被平面所截后剩下的部分，截得的圓而叫做球缺的底，

垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球缺的高?已知球缺的體積公式為卜二］（3/?-/?）42,其中是球的半徑，力是球

缺的高.某航空制造公司研發(fā)一種新的機械插件，其左右兩部分為圓柱，中間為球切除兩個相同的“球缺”剩余的部分,

制作尺寸如圖②所示（單位：cm）.則該機械插件中間部分的體積約為（。3）（

圖①

A.62326cm，

C.62352cm3D.62356cm3

【答案】C

【分析】根據球的截面的性質由條件求出球的半徑，切除掉的“球缺”的高，結合球的體積公式和“球缺”的體積公式

可得結論.

【詳解】過球心和“球缺”的底面圓的圓心作該幾何體的截面，可得截面圖如下:

由已知可得AB=14,設。為A3的中點，

則4)=7,

由已知可得2X(OD+AE)=58,又AE=5,

所以OD=24,

由求得截面性質可得V9AA為以。4為斜邊的直角三角形，

所以。4=后爐二折=25,即球的半徑R=25，

所以以。為球心，為半徑的球的體積匕=為肥=等3兀，

又兀。3,所以乂，62500,

因為球的半徑R=25,8=24,

所以“球缺”的高為1,

所以一個“球缺”的體積匕=?3R-〃)"。74,

所以該機械插件中間部分的體積約為62500-74x2=62352(cm)

故選：C.

二、多選題

16.(2023.全國?高三專題練習)用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，得到上、下兩部分空間圖形上上、下兩部分的

高之比為1:2,則關于上、下兩空間圖形的說法正確的是()

A.側面枳之比為1:4B.側面積之比為1:8

C.體積之比為1:27D.體積之比為1:26

【答案】BD

【分析】計算出小棱錐與原棱錐的相似比，結合兩個棱錐側面積之積為相似比的平方、體積之比為相似比的立方可

求得結果.

【詳解】依題意知，上部分為小棱錐，下部分為棱臺，

所以小棱錐與原棱錐的底面邊長之比為1:3,高之比為1:3,

所以小棱錐與原棱錐的側面積之比為1：9,體積之比為1:27,

即小棱錐與棱臺的側面積之比為1：8,體積之比為1:26.

故選：BD.

17.（2023?全國?高三專題練習）“阿基米德多面體”也稱為半正多面體^emi-regularsolid）,是由邊數不全相同的正

多邊形為面圍成的多面體，它體現了數學的對稱美.如圖所示，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱

錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形、六個面為正方形的一種半正多面體，已知=也，則關于如

圖半正多面體的下列說法中，正確的有（）

B.該半正多面體過4,B,C三點的截面面積為3后

C.該半正多面體外接球的表面積為12%

D.該半正多面體的頂點數V、面數尸、棱數E滿足關系式V+尸-E=2

【答案】ABD

【分析】根據幾何體的構成可判斷A,由截面為正六邊形可求面積判斷B,根據外接球為正四棱柱的外接球即可判

斷C,根據頂點，面數，棱數判斷D.

【詳解】如圖，

該半正多面體，是由棱長為2的正方，本沿各棱中點截去8個三棱錐所得到的.

對于A,因為由正方體沿各棱中點截去8個三棱錐所得到的，所以該幾何體的體積為：V=2x2x2-8x3；xlxl=v,

故正確;

對于B,過A,B,C三點的截面為正六邊形ABCFED,所以S=6x^x（及［=，故正確.

對于C根據該幾何體的對稱性可知，該幾何體的外接球即為底面棱長為上，側棱長為2的正四棱柱的外接球，

所以該半正多面體外接球的表面積S=4兀R?=4乃x（&丫=8不，故錯誤；

對于D,幾何體頂點數為12,有14個面，24條棱，滿足12+14-24=2,故正確.

故選：ABD

18.（2023?重慶?二模）“端午節(jié)”為中國國家法定節(jié)假日之一，已被列入世界非物質文化遺產名錄，吃粽子便是端午

節(jié)食俗之一.全國各地的粽子包法各有不同.如圖，粽子可包成棱長為6cm的正四面體狀的二角粽，也可做成底面

半徑為:cm,高為6cm（不含外殼）的圓柱狀竹筒粽.現有兩碗餡料，若一個碗的容積等于半徑為6cm的半球的

體積，則（）（參考數據：岳.444）

A.這兩碗餡料最多可包三角粽35個

B.這兩碗餡料最多可包三角粽36個

C.這兩碗餡料最多可包竹筒粽21個

D.這兩碗餡料最多可包竹筒粽20個

【答案】AC

【分析】分別求出一個正四面體狀的三角粽的體積，一個圓柱狀竹筒粽得體積及兩碗餡料得體積，即可得出答案.

【詳解】解：兩碗餡料得體積為：2xlx^x65=288^-cm3,

如圖，在正四面體。-/AAC中，CM為AB邊上得中線，O為三角形ABC的中心，則OD即為正四面體的高，

CM=6x立=3Gcm,OC=|cM=2>/3cm,0。=，36-12=2瘋m,

23

所以正四面體的體積為k,x6x3Gx2指=18拒cm，,

32

即一個正四面體狀的三角粽的體積為18億0?，

因為288乃+18/力35.52,

所以這兩碗餡料最多可包三角粽35個，故A正確，B錯誤;

一個圓柱狀竹筒粽得體積為1I、27

萬x6=J;rcni’,

2

因為288乃+—乃=21.33,

2

所以這兩碗餡料最多可包竹筒粽21個，故C正確，D錯誤.

故選：AC.

19.（2023?全國?高三專題練習）已知某圓錐的母線長為2,其軸截面為直角三角形，則下列關于該圓錐的說法中正

確的有（）

A.圓錐的體積為越乃

3

B.圓錐的表面積為20乃

C.圓錐的側面展開圖是圓心角為缶的扇形

D.圓錐的內切球表面積為僅4-16⑹乃

【答案】ACD

【分析】根據勾股定理求出圓錐的底面半徑，再由圓錐的體積公式以及表面積公式可判斷A、B、C；根據球的表

面積公式可判斷D.

【詳解】

2x/2

由題意圓錐的底面半徑廠=&,圓錐的高力="^=夜，

所以圓錐的體積V=L乃產.a=2亙，故A正確；

33

圓錐的表面積5=乃〃+不產=2正乃+2笈，故B錯誤；

圓錐的側面展開圖是圓心角口=口巨=缶，故C正確；

2

D

2y/2

作出圓錐內切球的軸截面，設圓錐的內切球半徑為a,

四邊形A8CO為正方形，所以（2-a）x2=2a,解得〃=2-&,

圓錐的內切球表面積S=4萬/=4乃（2-正丫=（24-16五）乃，故D正確,故選：ACD

20.（2023?全國?高三專題練習）《九章算術》是中國古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數學專著，是《算經十書》中最

重要的一部，其中將有三條棱互相平行且有一個面為梯形的五面體稱之為“羨除”，則（）

A.“羨除”有且僅有兩個面為三角形；B.“羨除”一定不是臺體；

C.不存在有兩個面為平行四邊形的“羨除”：D.“羨除”至多有兩個面為梯形.

【答案】ABC

【分析】畫出圖形，利用新定義判斷A；通過AEHBFHCD,判斷“羨除”一定不是臺體，判斷B；利用反證法判

斷C；通過AE,8F,C。兩兩不相等，則“羨除”有三個面為梯形，判斷D.

【詳解】由題意知：AE//BF//CD,四邊形AC。七為梯形，如圖所示：

對于A：由題意知：“羨除”有且僅有兩個面為三角形，故A正確；

對于B：由于AE//BF//CD,所以：“羨除”一定不是臺體，故B正確；

對于C：假設四邊形和四邊形BCDF為平行四邊形，則且A￡=4￡=C。，則四邊形ACOE

為平行四邊形，與已知的四邊形ACQE為梯形矛盾，故不存在，故C正確；

對于D：若AEwBF/CD,貝心羨除”三個面為梯形，故D錯誤.

故選：ABC.

三、填空題

21.（2023?全國?高三專題練習）若圓錐的軸截面是邊長為1的正三角形，則圓錐的側面積是.（結果用含兀的

式子表示）

【答案】y

【分析】根據題意可得圓錐的底面半徑和母線長，進而根據圓錐側面積公式S=”/求得結果.

【詳解】解：圓錐的軸截面是邊長為1的正三角形,

.,?圓錐的底面半徑廠=3,母線

故圓錐的側面積5="/=].

故答案為：y.

22.（2023?上海?高三專題練習）已知圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，圓柱的體積為16兀，則球的表面積為.

【答案】167r

【分析】設球的半徑為，,根據圓柱的體積可求得L利用球的表面積公式即可求得答案.

【詳解】設球的半徑為J則圓柱的底面直徑和高皆為2r,

故圓柱的體積為兀，x2r=16兀.r=2,

故球的表面積為4兀r=16兀，

故答案為：16兀

23.（2023?全國?高三專題練習）若長方體的對角線的長為9cm,其長、寬、高的和是15cm,則長方體的全面積是.

【答案】144cm2

【分析】設長方體的長、寬、高分別為利用（x+y+z）2可構造方程求得2冷，+2宓+2廣，即為所求的全面積.

x+y+z=15

{>Jx2+y-+z=9

（x+y+z1=x2+/+z?+2xy+2xz+2yz=81+2xy+2xz+2yz=225,

2xy+2xz+2yz=l44,即長方體的全面積為144cm2.

故答案為：I44cm'.

24.（2023?全國?高三專題練習）《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有委米依

垣內角，下周八尺，高五尺，問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四

分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知I斛米的體積約為1.62

立方尺，圓周率約為3,則堆放的米約有斛（結果精確到個位）.

【答案】22

【詳解】依題意有體積為3151Q片1丁，故一共有.9浮0+1.62。22（斛）米.

23兀

25.（2023?全國?高三專題練習）如圖，將一個長方體用過相鄰三條棱的中點的平面截出一個棱錐，則該棱錐的體枳

與剩下的幾何體體積的比為.

【分析】求出長方體體積與三棱錐的體積后即可得到棱錐的體積與剩下的幾何體體積之比.

【詳解】設長方體長寬高分別為2a，2b,2c,

所以長方體體積Vi=2ax2bx2c=8abe,

三棱錐體積匕=：x：xaxbxc=3abc,

326

所以棱錐的體積與剩下的幾何體體積的之