山東省日照市2024屆高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)解析

2021級高三模擬考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自百的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束，將試題卷和答題卡一并交回.選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意求集合A，再根據(jù)交集運算求解.【詳解】由題意可得：，所以.故選：D.2.已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，則等于（）A.24 B.48 C.72 D.96【答案】B【解析】【分析】由等比數(shù)列通項公式的性質(zhì)得出結(jié)果.【詳解】因為數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，所以，故選：B.3.已知樣本空間含有等可能的樣本點，且，，則（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意分別求得，，，結(jié)合獨立事件的定義，可判定事件與相互獨立，再結(jié)合對立事件的概念關(guān)系可運算得解.【詳解】由題意，，，，，所以事件與相互獨立，則與也相互獨立，.故選：A.4.已知l，m是兩條不同的直線，為平面，，下列說法中正確的是（）A.若l與不平行，則l與m一定是異面直線B.若，則l與m可能垂直C.若，且，則l與m可能平行D.若，且l與不垂直，則l與m一定不垂直【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間中線、面位置關(guān)系分析逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：若l與不平行，則l與的位置關(guān)系有：相交或直線在平面內(nèi)，且，則l與m的位置關(guān)系有：平行、相交或異面，故A錯誤；對于選項B：若，則l與m可能垂直，如圖所示：，可知：，故B正確；對于選項C：若，且，，則l與m異面，故C錯誤；對于選項D：若，且l與不垂直，則l與m可能垂直，如圖，取為平面，，符合題意，但，故D錯誤；故選：B.5.今年賀歲片，《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》引爆了電影市場，小明和他的同學(xué)一行四人決定去看這三部電影，則恰有兩人看同一部影片的選擇共有（）A.9種 B.36種 C.38種 D.45種【答案】B【解析】【分析】先安排2人看同一部影片，再安排剩余2人，利用排列組合知識進(jìn)行求解.【詳解】從4人中選擇2人看同一部影片，再從3部影片中選擇一部安排給這兩人觀看，剩余的2人，2部影片進(jìn)行全排列，故共有種情況.故選：B6.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不死分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.【詳解】若，例如，則，可知，即充分性不成立；若，例如，則，滿足題意，但，即必要性不成立；綜上所述：“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.7.已知函數(shù)，則（）A.B.不是周期函數(shù)C.在區(qū)間上存在極值D.在區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點【答案】D【解析】【分析】對于A，由誘導(dǎo)公式即可判斷；對于B，由三角函數(shù)周期可得，由此即可判斷；對于C，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可判斷；對于D，令，解方程即可得解.【詳解】對于A，，所以，故A錯誤；對于B，，所以是以為周期的函數(shù)，故B錯誤；對于C，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在區(qū)間上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以不存在極值，故C錯誤；對于D，令，得，所以，即該方程有唯一解（函數(shù)在內(nèi)有唯一零點），故D正確.故選：D.8.過雙曲線的右支上一點P，分別向和作切線，切點分別為M，N，則的最小值為（）A.28 B.29 C.30 D.32【答案】C【解析】【分析】求得兩圓的圓心和半徑，設(shè)雙曲線的左右焦點為，，連接，，，，運用勾股定理和雙曲線的定義，結(jié)合三點共線時，距離之和取得最小值，計算即可得到所求值．【詳解】由雙曲線方程可知：，可知雙曲線方程的左、右焦點分別為，，圓的圓心為（即），半徑為；圓的圓心為（即），半徑為．連接，，，，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)P為雙曲線的右頂點時，取得等號，即的最小值為30.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)數(shù)量積的運算律可得，結(jié)合雙曲線的定義整理得，結(jié)合幾何性質(zhì)分析求解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題正確的是（）A.復(fù)數(shù)虛部為B.設(shè)z為復(fù)數(shù)，，則C.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，D.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限【答案】AC【解析】【分析】對于ACD：根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念和幾何意義分析判斷；對于B：根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算可得，進(jìn)而結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的模長運算求解.【詳解】對于選項A：復(fù)數(shù)的虛部為，故A正確；對于選項B：因為，則，所以，故B錯誤；對于選項C：若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，，故C正確；對于選項D：復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，在第四象限，故D錯誤；故選：AC.10.從標(biāo)有1，2，3，…，8的8張卡片中有放回地抽取兩次，每次抽取一張，依次得到數(shù)字a，b，記點，，，則（）A.是銳角的概率為 B.是直角的概率為C.是銳角三角形的概率為 D.的面積不大于5的概率為【答案】ACD【解析】【分析】A選項，先得到種情況，數(shù)形結(jié)合得到要想為銳角，則點應(yīng)在直線下方，共有28個點滿足要求，得到是銳角的概率；B選項，求出直線，要想為直角，則點在上，列舉出滿足要求的點的個數(shù)，B正確；C選項，要想為銳角三角形，則點落在直線與直線之間，列舉出滿足要求的點，得到概率；D選項，要想的面積不大于5，則點在上，或的下方，即，列舉出滿足要求的點，得到答案.【詳解】A選項，標(biāo)有1，2，3，…，8的8張卡片中有放回地抽取兩次，每次抽取一張，共有種情況，設(shè)與直線垂直，因為，則直線，其中個點中，有8個落在直線上，剩余56個點中，一半在上方，一半在下方，要想為銳角，則點應(yīng)在直線下方，其中滿足要求的有28個點，故是銳角的概率為，A正確；B選項，過點作直線⊥，則點落在直線上，滿足為直角，其中，故直線的斜率為1，直線的方程為，即，落在上的點的坐標(biāo)有，共6個，故是直角的概率為，B錯誤；C選項，要想為銳角三角形，則點落在直線與直線之間，根據(jù)點的坐標(biāo)特征，應(yīng)落在上，滿足要求的點有，共7個，故是銳角三角形的概率為，C正確；D選項，直線的方程為，，設(shè)直線，設(shè)直線與直線的距離為，則，令，解得，故要想的面積不大于5，則點在上，或的下方，即，滿足要求的點有，，，共個，的面積不大于5的概率為，D正確.故選：ACD11.如圖是數(shù)學(xué)家GerminalDandelin用來證明一個平面截圓錐側(cè)面得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“Dandelin雙球”）．在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，截面分別與球，球切于點E，F(xiàn)（E，F(xiàn)是截口橢圓C的焦點）．設(shè)圖中球，球的半徑分別為4和1，球心距，則（）A.橢圓C的中心不在直線上B.C.直線與橢圓C所在平面所成的角的正弦值為D.橢圓C的離心率為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定的幾何體，作出軸截面，結(jié)合圓的切線性質(zhì)及勾股定理求出橢圓長軸和焦距作答.【詳解】依題意，截面橢圓的長軸與圓錐的軸相交，橢圓長軸所在直線與圓錐的軸確定的平面截此組合體，得圓錐的軸截面及球，球的截面大圓，如圖，點分別為圓與圓錐軸截面等腰三角形一腰相切的切點，線段是橢圓長軸，可知橢圓C的中心（即線段的中點）不在直線上，故A正確；橢圓長軸長，過作于D，連，顯然四邊形為矩形，又，則，過作交延長線于C，顯然四邊形為矩形，橢圓焦距，故B錯誤；所以直線與橢圓C所在平面所成的角的正弦值為，故C正確；所以橢圓的離心率，故D正確；故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：涉及與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體，作出軸截面，借助平面幾何知識解題是解決問題的關(guān)鍵.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.有一組按從小到大順序排列的數(shù)據(jù)：3，5，7，8，9，10，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為______．【答案】7【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義分析求解.【詳解】因為該組數(shù)據(jù)共6個，且，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第三位數(shù)，即為7.故答案為：7.13.設(shè)滿足：對任意，均存在，使得，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】令，由題意，利用二次函數(shù)性質(zhì)求得最值列不等式求解即可.【詳解】令.因為對任意，均存在，使得，所以的值域是值域的子集，所以，即，解得，即的取值范圍是.故答案為：14.已知正四棱錐的所有棱長都為2；點E在側(cè)棱SC上，過點E且垂直于SC的平面截該棱錐，得到截面多邊形H，則H的邊數(shù)至多為______，H的面積的最大值為______．【答案】①.5②.##【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合，作平面與平面平行，即可解決；令，用表示相關(guān)長度，整理得，結(jié)合二次函數(shù)即可解決.【詳解】取中點且，平面，可知平面，根據(jù)平面的基本性質(zhì)，作平面與平面平行，如圖至多為五邊形.令，則，可得，則，可得，所以，又因為與的夾角為與夾角，而與垂直，則，可得，可知：當(dāng)時，S取最大值.故答案為：；.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)平面的性質(zhì)分析截面的形狀，結(jié)合幾何知識求相應(yīng)的長度和面積，進(jìn)而分析求解.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在銳角中，角A，B，C．所對的邊分別為a，b，c．已知且，（1）求角B及邊b的大小；（2）求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊換角即可得，再利用余弦定理即可得；（2）利用余弦定理求得，再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系和兩角和的正弦公式即可得到答案.【小問1詳解】依題意，，由正弦定理得，由于銳角三角形中，所以，而是銳角，所以.由余弦定理得.【小問2詳解】由余弦定理得，而是銳角，所以，所以..16.己知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，且，，成等差．（1）求及的通項公式；（2）記集合的元素個數(shù)為，求數(shù)列的前50項和．【答案】（1），（2）2497【解析】【分析】（1）根據(jù)等差中項可得，結(jié)合與之間的關(guān)系分析可知數(shù)列為等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列通項公式運算求解；（2）根據(jù)題意可得，結(jié)合基本不等式可得，結(jié)合等差數(shù)列求和公式運算求解.【小問1詳解】因為，，成等差，則，且，當(dāng)時，可得，解得或（舍去）；當(dāng)時，可得，兩式相減得，整理得，且，則；可知數(shù)列是以首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以.【小問2詳解】因為，由（1）可得，即，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，可知；當(dāng)時，因為，所以；綜上所述：.所以數(shù)列的前50項和為.17.隨著科技的不斷發(fā)展，人工智能技術(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域也將會更加廣泛，它將會成為改變?nèi)祟惿鐣l(fā)展的重要力量．某科技公司發(fā)明了一套人機(jī)交互軟件，它會從數(shù)據(jù)庫中檢索最貼切的結(jié)果進(jìn)行應(yīng)答．在對該交互軟件進(jìn)行測試時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則軟件正確應(yīng)答的概率為；若出現(xiàn)語法錯誤，則軟件正確應(yīng)答的概率為．假設(shè)每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為．（1）求一個問題能被軟件正確應(yīng)答的概率；（2）在某次測試中，輸入了個問題，每個問題能否被軟件正確應(yīng)答相互獨立，記軟件正確應(yīng)答的個數(shù)為X，的概率記為，則n為何值時，的值最大？【答案】（1）0.75（2）7或8【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合全概率公式運算求解；（2）由題意可知：且，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性分析求解.【小問1詳解】記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件A，“回答正確”為事件B，由題意可知：，則，所以.【小問2詳解】由（1）可知：，則，可得，令，則，令，解得，可知當(dāng)，可得；令，解得，可知當(dāng)，可得；令，解得，可得；所以當(dāng)或時，最大，即n為7或8時，的值最大.18.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，若方程有三個不相等的實數(shù)根，且，證明：．【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，分和兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性；（2）根據(jù)題意分析可知：在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，，利用極值點偏離證明和，即可得結(jié)果.【小問1詳解】由題意可知：的定義域為，，且，令，可得，當(dāng)，即時，可知在內(nèi)恒成立，即在內(nèi)恒成立，所以在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，由解得或，由可知，若，；若，；所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.【小問2詳解】當(dāng)時，可得，，由（1）可知：在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，由題意可得：，因為，令，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，可得內(nèi)恒成立，因，則，且，內(nèi)單調(diào)遞減，則，即；令，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，可得在內(nèi)恒成立，因為，則，且，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即；由和可得.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟（1）作差或變形；（2）構(gòu)造新的函數(shù)；（3）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個函數(shù)的最值問題．19.已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為經(jīng)過點且傾斜角為的直線l與橢圓交于A，B兩點（其中點A在x軸上方），且的周長為8．將平面沿x軸向上折疊，使二面角為直二面角，如圖所示，折疊后A，B在新圖形中對應(yīng)點記為，．（1）當(dāng)時，①求證：；②求平面和平面所成角的余弦值；（2）是否存在，使得折疊后的周長為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）①證明過程見解析；②（2），理由見解析【解析】【分析】（1）①根據(jù)橢圓定義得到，結(jié)合離心率得到，求出，得到橢圓方程，聯(lián)立直線方程和橢圓，得到，得到⊥，結(jié)合二面角為直二面角，得到線面垂直，證明出結(jié)論；②建立