應力狀態(tài)課件

*

應力狀態(tài)*一、一點的應力狀態(tài)PPmm以前計算的是：桿件橫截面上各點的應力?；仡櫍骸?–1應力狀態(tài)的概念

*

PPmmnnnnPkmmPk構件一點的所有截面中應力的總體情況稱為該點的應力狀態(tài)。PPk*二、微體xyz

xy

xz

x

y

z

yx

yz

zx

zy圍繞構件內一點截取一無限小正六面體稱為微體。微體相對兩面上的應力大小相等，方向相反。若所取微體各面上只有正應力，而無剪應力，此微體稱為主微體。三、主平面和主應力*

⒉若三個主應力中，有一個等于零，兩個不等于零，稱為二向應力狀態(tài)，或平面應力狀態(tài)，如梁的彎曲。ABP

x

x

x

x

x

x

⒊若三個主應力都不等于零，稱為三向應力狀態(tài)，三向應力狀態(tài)是最復雜的應力狀態(tài)。*§8–2平面應力狀態(tài)分析的解析法一、斜截面上的應力

x

x

x

y

ynt

x

x

y

y

y

y

x

x

y*同理，由得：任意斜截面的正應力和切應力為*二、主平面的方位設主平面的方位角為

0，有三、主應力將主平面的方位角為

0代入斜截面正應力公式，得*四、最大切應力※解題注意事項：

⒈上述公式中各項均為代數(shù)量，應用公式解題時，首先應寫清已知條件。⑴

x、

y以拉為正，以壓為負；⑵

x沿微體順時針轉為正，逆時針轉為負；⑶

為斜截面的外法線與x軸正向間夾角，逆時針轉為正，順時針轉為負。*

⒉求得主應力

max、

min與0排序，確定

1、

2、

3的值。

⒊

0為主應力

ˊ所在截面的外法線與x軸正向間夾角，逆時針轉為正，順時針轉為負。在主值區(qū)間，2

0有兩個解，與此對應的

0也有兩個解，其中落在切應力箭頭所指象限內的解為真解，另一解舍掉。*

如何從構件中截取微體截取微體原則是：微體各側面上的應力可用以前各章的知識求出來。1、拉壓桿

PFNPP*mmττ2、受扭圓軸Tmτ*PMFSFSM3、梁*VMedcbaσaaσbτbbτccσdτddσeeP*[例8-1]求圖示微體a－b斜截面上的正應力和切應力。ab解：已知xn

*n

[練習1]求圖示微體a－b斜截面上的正應力和切應力。解：已知*[例8-2]求圖示微體的主應力、最大切應力、并在微體上標出主應力的方位。解：已知*

1

1

3

3

0=11.98°*[練習2]求圖示微體的主應力、最大切應力、并在微體上標出主應力的方位。解：已知*此解在第二、四象限，為本題解。此解在第一象限，不是本題解，舍掉；

3

3

1

1

0=－67.5°*[練習3]求圖示微體的主應力、最大切應力、并在微體上標出主應力的方位。解：已知*此解在第一象限，為本題解；此解在第二象限，不是本題解，舍掉。

1

1

3

3

0=18.43°*§8–3平面應力狀態(tài)分析的圖解法由解析法知，任意斜截面的應力為將第一式移項后兩邊平方與第二式兩邊平方相加*得：取橫軸為斜截面的正應力，縱軸為斜截面的切應力，則上式為一圓方程。

x

x

x

y

ynt

yr圓心坐標為半徑為*

x

x

x

y

ynt

y圓上各點與微體各斜截面一一對應，各點的橫坐標與縱坐標與各斜截面的正應力與切應力一一對應。因此，該圓稱為應力圓。圓上D1點代表x截面；D1

x

x

y-xD2D2點代表y截面；EE點代表方位為

角的斜截面；

A1、A2

點代表兩個主平面。

1

2A1A2*tD2點代表y截面；

1應力圓的畫法*

x

x

x

y

y

yD1

x

x

y-xD2B1B2應力圓的畫法步驟:⒈作橫軸為

軸，縱軸為

軸；⒉在橫軸上取OB1=

x，過B1引垂線B1D1=

x；⒊在橫軸上取OB2=

y，過B2引垂線B2D2=-

x；

⒋

連接D1D2交橫軸于C，

⒌以C為圓心，CD1為半徑作圓，此圓即為應力圓。*

x

x

x

y

y

yD1

x

x

y-xD2B1B2證明:*[例8-3]試用圖解法求圖示微體的主應力、最大切應力、并在微體上標出主應力的方位。解：已知50303030取:連接D1D2交橫軸于C，以C為圓心，CD1為半徑作圓。*50303030

1

1

3

3

0=18.43°*[例8-4]試用圖解法求圖示微體的主應力、最大切應力、并在微體上標出主應力的方位。解：已知取:連接D1D2交橫軸于C，以C為圓心，CD1為半徑作圓。2020*

2020

0=45°20

1

1

3

3*[練習4]試用圖解法求圖示微體的主應力、最大切應力、并在微體上標出主應力的方位。解：已知取:連接D1D2交橫軸于C，以C為圓心，CD1為半徑作圓。

COB1D1D2B21005050*

COB1D1D2B21005050A1A220

1

1

3

3

0=22.5°*[例8-5]已知一點處兩個斜截面上的應力如圖所示，試用圖解法求

角、該點的主應力、主平面，并在圖上畫出主應力和主平面的方位。95MPa45MPa

2

oaabbC9545*95MPa45MPa

2

oaabbC9545A1A2

1

22

a2

b

a

b*§8–4梁的主應力及主應力跡線124512345mm153

1

1

1

1

3

3

3

3234*梁的各點皆處于平面應力狀態(tài)，各點的主應力為拉主應力

1和壓主應力

3。各點的拉主應力和壓主應力的走向形成兩組互相正交的曲線族，此兩組互相正交的曲線稱為梁的主應力跡線。過一點沿兩組主應力跡線的切線則表示該點兩個主應力的方向。x11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacd主應力跡線的畫法：*拉力壓力

1

3

1

3圖示為懸臂梁的主應力跡線實線表示拉主應力跡線；虛線表示壓主應力跡線。*q

1

3

3

1圖示混凝土梁自重下的主應力跡線?；炷翆俅嘈圆牧?，抗壓不抗拉。沿拉主應力跡線方向鋪設鋼筋，可增強混凝土梁的抗拉強度。*§8–5空間應力狀態(tài)簡介

s1s2xyzs31、空間應力狀態(tài)*2、三向應力圓

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3**

max

min3、最大切應力

1

2

3最大切應力所在的截面與

2平行，與第一、第三主平面成45°角。*§8–6廣義虎克定律PP

′*=+

1′

2″

2′

1″一、平面應力狀態(tài)的廣義虎克定律*正應變只跟正應力有關，與切應力無關；剪應變只跟切應力有關，與正應力無關；*二、三向應力狀態(tài)的廣義虎克定律

1

2

3xyz

xy

xz

x

y

z

yx

yz

zx

zy*[例8-6]邊長為a的一立方鋼塊正好置于剛性槽中，鋼塊的彈性模量為E、泊桑比為

，頂面受鉛直壓力P作用，求鋼塊的應力

x、

y

、

z

和應變

x、

y、

z。Pxyz

x

y

z解：由已知可直接求得：*Pxyz

x

y

z*[例8-7]已知E=10GPa、

=0.2，求圖示梁n－n截面上

k點沿30°方向的線應變

30°。nnk1m1m2mAB2001507575k30°*nnk1m1m2mAB2001507575k30°*nnk1m1m2mAB2001507575k30°

30°

-60°30°-60°*nnk1m1m2mAB2001507575k30°

30°

-60°30°-60°*[例8-8]薄壁筒內壓容器(t/D≤1/20)，筒的平均直徑為D，壁厚為t，材料的E、

已知。已測得筒壁上

k點沿45°方向的線應變

45°，求筒內壓強p。

kptD

x

x

y

y解：筒壁一點的軸向應力：筒壁一點的環(huán)向應力：*

kptD

x

x

y

y

45°

-45°45°-45°*[練習5]受扭圓軸如圖所示，已知m、d、E、

，求圓軸外表面沿ab

方向的應變

ab。ABm

m

dab45°

解：*ABm

m

dab45°

45°

-45°*§8–7

復雜應力狀態(tài)下的體積應變、比能一、體積應變dxdydzdx+△dxdy+△dydz+△dz*略去高階微量，得微體的體積應變代入式*得：

純切應力狀態(tài)：可見切應力并不引起體積應變，對于非主應力微體，其體積應變可改寫為體積應變只與三個主應力（正應力）之和有關，而與其比例無關。*令

m稱為平均正應力，K稱為體積彈性模量。二、比能單位體積的變形能稱為變形能密度，簡稱比能。⒈單向拉壓比能dxdzdy

d(△l)*dxdzdy

⒉純剪切比能dxdydz

⒊復雜應力狀態(tài)的比能*⒋體積改變比能與形狀改變比能

1

2

3

m

m

1-

m

m

2-

m

3-

m=+u=uV+uf狀態(tài)1受平均正應力

m作用，因各向均勻受力，故只有體積改變，而無形狀改變，相應的比能稱為體積改變比能uV。狀態(tài)2的體積應變：狀態(tài)2無體積改變，只有形狀改變，相應的比能稱為形狀改變比能uf。*

1

2

3

m

m

1-

m

m

2-

m

3-

m=+u=uV+uf*[例8-9]邊長為a的一立方鋼塊正好置于剛性槽中，鋼塊的彈性模量為E、泊桑比為

，頂面受鉛直壓力P作用，求鋼塊的體積應變

V和形狀改變比能uf

。Pxyz

x

y

z解：由已知可直接求得：*

x

y

z*[例8-10]證明彈性模量E、泊桑比

、剪切彈性模量G之間的關系為