第04講 新高考新結(jié)構(gòu)命題下的新定義解答題綜合訓(xùn)練（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第04講新高考新結(jié)構(gòu)命題下的新定義解答題綜合訓(xùn)練（6類(lèi)核心考點(diǎn)精講精練）在新課標(biāo)、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推進(jìn)。這不僅僅是一場(chǎng)考試形式的變革，更是對(duì)教育模式和教育理念的全面革新。當(dāng)前的高考試題設(shè)計(jì)，以“三維”減量增質(zhì)為核心理念，力求在減少題目數(shù)量的同時(shí)，提升題目的質(zhì)量和考查的深度。這具體體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：三考題目設(shè)計(jì)著重考查學(xué)生的知識(shí)主干、學(xué)習(xí)能力和學(xué)科素養(yǎng)，確保試題能夠全面、客觀地反映學(xué)生的實(shí)際水平。三重強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生思維深度、創(chuàng)新精神和實(shí)際應(yīng)用能力的考查，鼓勵(lì)學(xué)生不拘泥于傳統(tǒng)模式，展現(xiàn)個(gè)人的獨(dú)特見(jiàn)解和創(chuàng)造力。三突出試題特別突出對(duì)學(xué)生思維過(guò)程、思維方法和創(chuàng)新能力的考查，通過(guò)精心設(shè)計(jì)的題目，引導(dǎo)學(xué)生深入思考和探索，培養(yǎng)邏輯思維和創(chuàng)新能力。面對(duì)新高考新結(jié)構(gòu)試卷的5個(gè)解答題，新定義版塊作為一個(gè)重要的考查領(lǐng)域，通常在第19題這樣的壓軸大題中，分值為17分，將考查學(xué)生的解題能力和思維深度，是高考數(shù)學(xué)的分水嶺，難度極大。面對(duì)如此多變的命題趨勢(shì)，教師在教學(xué)備考過(guò)程中必須與時(shí)俱進(jìn)。根據(jù)知識(shí)點(diǎn)及其命題方式，要能夠靈活應(yīng)對(duì)，根據(jù)試題的實(shí)際情況調(diào)整教學(xué)策略。本文基于新高考新結(jié)構(gòu)試卷的特點(diǎn)，結(jié)合具體的新定義解答題實(shí)例，旨在為廣大師生提供一份詳盡的新定義解答題綜合訓(xùn)練指南，以期在新高考中取得更好的成績(jī)?？键c(diǎn)一、函數(shù)及導(dǎo)數(shù)新定義綜合1．（2024·廣西·二模）已知函數(shù)fx=lnx，若存在gx(1)如果函數(shù)gx=tx?(2)設(shè)函數(shù)Fx=fx2．（2024·湖南·二模）羅爾定理是高等代數(shù)中微積分的三大定理之一，它與導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的零點(diǎn)有關(guān)，是由法國(guó)數(shù)學(xué)家米歇爾·羅爾于1691年提出的．它的表達(dá)如下：如果函數(shù)滿(mǎn)足在閉區(qū)間連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得．(1)運(yùn)用羅爾定理證明：若函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，在區(qū)間上可導(dǎo)，則存在，使得．(2)已知函數(shù)，若對(duì)于區(qū)間內(nèi)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．(3)證明：當(dāng)時(shí)，有．3．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)，，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿(mǎn)足：，，，，，注：，，，，已知函數(shù).(1)求函數(shù)在處的階帕德近似，并求的近似數(shù)精確到(2)在（1）的條件下：①求證：；②若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4．（2024·河北滄州·一模）對(duì)于函數(shù)，，若存在，使得，則稱(chēng)為函數(shù)的一階不動(dòng)點(diǎn)；若存在，使得，則稱(chēng)為函數(shù)的二階不動(dòng)點(diǎn)；依此類(lèi)推，可以定義函數(shù)的階不動(dòng)點(diǎn)．其中一階不動(dòng)點(diǎn)簡(jiǎn)稱(chēng)為“不動(dòng)點(diǎn)”，二階不動(dòng)點(diǎn)簡(jiǎn)稱(chēng)為“穩(wěn)定點(diǎn)”，函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”構(gòu)成的集合分別記為和，即，．(1)若，證明：集合中有且僅有一個(gè)元素；(2)若，討論集合的子集的個(gè)數(shù)．5．（2024·山東聊城·二模）對(duì)于函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使，其中，則稱(chēng)為“可移倒數(shù)函數(shù)”，為“的可移倒數(shù)點(diǎn)”．已知．(1)設(shè)，若為“的可移倒數(shù)點(diǎn)”，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)，若函數(shù)恰有3個(gè)“可移1倒數(shù)點(diǎn)”，求的取值范圍．6．（2024·浙江寧波·二模）定義：對(duì)于定義在區(qū)間上的函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減），在區(qū)間上單調(diào)遞減（遞增），則稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為單峰函數(shù)且稱(chēng)為最優(yōu)點(diǎn).已知定義在區(qū)間上的函數(shù)是以為最優(yōu)點(diǎn)的單峰函數(shù)，在區(qū)間上選取關(guān)于區(qū)間的中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，稱(chēng)使得較小的試驗(yàn)點(diǎn)為好點(diǎn)（若相同，就任選其一），另一個(gè)稱(chēng)為差點(diǎn).容易發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)點(diǎn)與好點(diǎn)在差點(diǎn)的同一側(cè).我們以差點(diǎn)為分界點(diǎn)，把區(qū)間分成兩部分，并稱(chēng)好點(diǎn)所在的部分為存優(yōu)區(qū)間，設(shè)存優(yōu)區(qū)間為，再對(duì)區(qū)間重復(fù)以上操作，可以找到新的存優(yōu)區(qū)間，同理可依次找到存優(yōu)區(qū)間，滿(mǎn)足，可使存優(yōu)區(qū)間長(zhǎng)度逐步減小.為了方便找到最優(yōu)點(diǎn)（或者接近最優(yōu)點(diǎn)），從第二次操作起，將前一次操作中的好點(diǎn)作為本次操作的一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，若每次操作后得到的存優(yōu)區(qū)間長(zhǎng)度與操作前區(qū)間的長(zhǎng)度的比值為同一個(gè)常數(shù)，則稱(chēng)這樣的操作是“優(yōu)美的”，得到的每一個(gè)存優(yōu)區(qū)間都稱(chēng)為優(yōu)美存優(yōu)區(qū)間，稱(chēng)為優(yōu)美存優(yōu)區(qū)間常數(shù).對(duì)區(qū)間進(jìn)行次“優(yōu)美的”操作，最后得到優(yōu)美存優(yōu)區(qū)間，令，我們可任取區(qū)間內(nèi)的一個(gè)實(shí)數(shù)作為最優(yōu)點(diǎn)的近似值，稱(chēng)之為在區(qū)間上精度為的“合規(guī)近似值”，記作.已知函數(shù)，函數(shù).(1)求證：函數(shù)是單峰函數(shù)；(2)已知為函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)，為函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn).（i）求證：；（ii）求證：.注：.7．（2024·廣西·二模）設(shè)，用x表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則y=x稱(chēng)為取整函數(shù)，取整函數(shù)是德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯最先使用，也稱(chēng)高斯函數(shù)．該函數(shù)具有以下性質(zhì)：①y=x的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閆②任意實(shí)數(shù)都能表示成整數(shù)部分和純小數(shù)部分之和，即x=x+x0≤x<1，其中x為③n+x=n+④若整數(shù)a，b滿(mǎn)足a=bq+rb>0,q,r∈Z,0≤r<b(1)解方程5+6x8(2)已知實(shí)數(shù)r滿(mǎn)足r+19100+(3)證明：對(duì)于任意的大于等于3的正整數(shù)n，均有nn+18．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）歐拉函數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用．設(shè)n為正整數(shù)，集合，歐拉函數(shù)的值等于集合中與n互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)；記表示x除以y的余數(shù)（x和y均為正整數(shù)），(1)求和；(2)現(xiàn)有三個(gè)素?cái)?shù)p，q，，，存在正整數(shù)d滿(mǎn)足；已知對(duì)素?cái)?shù)a和，均有，證明：若，則；(3)設(shè)n為兩個(gè)未知素?cái)?shù)的乘積，，為另兩個(gè)更大的已知素?cái)?shù)，且；又，，，試用，和n求出x的值．9．（2024·河北石家莊·二模）設(shè)集合是一個(gè)非空數(shù)集，對(duì)任意，定義，稱(chēng)為集合的一個(gè)度量，稱(chēng)集合為一個(gè)對(duì)于度量而言的度量空間，該度量空間記為.定義1：若是度量空間上的一個(gè)函數(shù)，且存在，使得對(duì)任意，均有：，則稱(chēng)是度量空間上的一個(gè)“壓縮函數(shù)”.定義2：記無(wú)窮數(shù)列為，若是度量空間上的數(shù)列，且對(duì)任意正實(shí)數(shù)，都存在一個(gè)正整數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，均有，則稱(chēng)是度量空間上的一個(gè)“基本數(shù)列”.(1)設(shè)，證明：是度量空間上的一個(gè)“壓縮函數(shù)”；(2)已知是度量空間上的一個(gè)壓縮函數(shù)，且，定義，，證明：為度量空間上的一個(gè)“基本數(shù)列”.10．（22-23高二上·上海普陀·階段練習(xí)）給出下列兩個(gè)定義：I.對(duì)于函數(shù)，定義域?yàn)?，且其在上是可?dǎo)的，若其導(dǎo)函數(shù)定義域也為，則稱(chēng)該函數(shù)是“同定義函數(shù)”.II.對(duì)于一個(gè)“同定義函數(shù)”，若有以下性質(zhì)：①；②，其中為兩個(gè)新的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù).我們將具有其中一個(gè)性質(zhì)的函數(shù)稱(chēng)之為“單向?qū)Ш瘮?shù)”，將兩個(gè)性質(zhì)都具有的函數(shù)稱(chēng)之為“雙向?qū)Ш瘮?shù)”，將稱(chēng)之為“自導(dǎo)函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)和是“單向?qū)Ш瘮?shù)”，或者“雙向?qū)Ш瘮?shù)”，說(shuō)明理由.如果具有性質(zhì)①，則寫(xiě)出其對(duì)應(yīng)的“自導(dǎo)函數(shù)”；(2)已知命題是“雙向?qū)Ш瘮?shù)”且其“自導(dǎo)函數(shù)”為常值函數(shù)，命題.判斷命題是的什么條件，證明你的結(jié)論；(3)已知函數(shù).①若的“自導(dǎo)函數(shù)”是，試求的取值范圍；②若，且定義，若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍.考點(diǎn)二、數(shù)列新定義綜合1．（2024·廣東梅州·二模）已知an是由正整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，該數(shù)列前項(xiàng)的最大值記為，即；前項(xiàng)的最小值記為，即，令（），并將數(shù)列稱(chēng)為an的“生成數(shù)列”．(1)若，求其生成數(shù)列的前項(xiàng)和；(2)設(shè)數(shù)列的“生成數(shù)列”為，求證：；(3)若是等差數(shù)列，證明：存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，，是等差數(shù)列．2．（2024·安徽池州·模擬預(yù)測(cè)）定義：若對(duì)恒成立，則稱(chēng)數(shù)列為“上凸數(shù)列”．(1)若，判斷是否為“上凸數(shù)列”，如果是，給出證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)若為“上凸數(shù)列”，則當(dāng)時(shí)，．（?。┤魯?shù)列為的前項(xiàng)和，證明：；（ⅱ）對(duì)于任意正整數(shù)序列（為常數(shù)且），若恒成立，求的最小值．3．（2024·北京東城·一模）有窮數(shù)列中，令，當(dāng)p=q時(shí)，規(guī)定.(1)已知數(shù)列，寫(xiě)出所有的有序數(shù)對(duì)，且，使得；(2)已知整數(shù)列為偶數(shù)，若，滿(mǎn)足：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.求的最小值；(3)已知數(shù)列滿(mǎn)足，定義集合.若且為非空集合，求證：.4．（2024·遼寧大連·一模）對(duì)于數(shù)列，定義“T變換”：T將數(shù)列A變換成數(shù)列，其中，且．這種“T變換”記作，繼續(xù)對(duì)數(shù)列B進(jìn)行“T變換”，得到數(shù)列，依此類(lèi)推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為0時(shí)變換結(jié)束．(1)寫(xiě)出數(shù)列A：3，6，5經(jīng)過(guò)5次“T變換”后得到的數(shù)列：(2)若不全相等，判斷數(shù)列不斷的“T變換”是否會(huì)結(jié)束，并說(shuō)明理由；(3)設(shè)數(shù)列A：2020，2，2024經(jīng)過(guò)k次“T變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)之和最小，求k的最小值．5．（2024·遼寧·三模）若實(shí)數(shù)列滿(mǎn)足，有，稱(chēng)數(shù)列為“數(shù)列”.(1)判斷是否為“數(shù)列”，并說(shuō)明理由；(2)若數(shù)列為“數(shù)列”，證明：對(duì)于任意正整數(shù)，且，都有(3)已知數(shù)列為“數(shù)列”，且.令，其中表示中的較大者.證明：，都有.6．（2024·廣東深圳·二模）無(wú)窮數(shù)列，，…，，…的定義如下：如果n是偶數(shù)，就對(duì)n盡可能多次地除以2，直到得出一個(gè)奇數(shù)，這個(gè)奇數(shù)就是﹔如果n是奇數(shù)，就對(duì)盡可能多次地除以2，直到得出一個(gè)奇數(shù)，這個(gè)奇數(shù)就是．(1)寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前7項(xiàng)；(2)如果且，求m，n的值；(3)記，，求一個(gè)正整數(shù)n，滿(mǎn)足．7．（2024·遼寧·二模）如果數(shù)列，其中，對(duì)任意正整數(shù)都有，則稱(chēng)數(shù)列為數(shù)列的“接近數(shù)列”．已知數(shù)列為數(shù)列的“接近數(shù)列”．(1)若，求的值；(2)若數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(3)若數(shù)列滿(mǎn)足，且，記數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，試判斷是否存在正整數(shù)，使得？若存在，請(qǐng)求出正整數(shù)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：）8．（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于數(shù)列，若存在，使得對(duì)任意，總有，則稱(chēng)為“有界變差數(shù)列”．(1)若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列為有界變差數(shù)列，求其公比q的取值范圍；(2)若數(shù)列滿(mǎn)足，且，證明：是有界變差數(shù)列；(3)若，均為有界變差數(shù)列，且，證明：是有界變差數(shù)列．9．（2024·江西上饒·二模）對(duì)于數(shù)列，定義“變換”：將數(shù)列變換成數(shù)列，其中，且．這種“變換”記作，繼續(xù)對(duì)數(shù)列進(jìn)行“變換”，得到數(shù)列，依此類(lèi)推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為0時(shí)變換結(jié)束．(1)寫(xiě)出數(shù)列，經(jīng)過(guò)6次“變換”后得到的數(shù)列；(2)若不全相等，判斷數(shù)列經(jīng)過(guò)不斷的“變換”是否會(huì)結(jié)束，并說(shuō)明理由；(3)設(shè)數(shù)列經(jīng)過(guò)次“變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)之和最小，求的最小值．10．（2024·河北石家莊·二模）設(shè)集合是一個(gè)非空數(shù)集，對(duì)任意，定義，稱(chēng)為集合的一個(gè)度量，稱(chēng)集合為一個(gè)對(duì)于度量而言的度量空間，該度量空間記為.定義1：若是度量空間上的一個(gè)函數(shù)，且存在，使得對(duì)任意，均有：，則稱(chēng)是度量空間上的一個(gè)“壓縮函數(shù)”.定義2：記無(wú)窮數(shù)列為，若是度量空間上的數(shù)列，且對(duì)任意正實(shí)數(shù)，都存在一個(gè)正整數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，均有，則稱(chēng)是度量空間上的一個(gè)“基本數(shù)列”.(1)設(shè)，證明：是度量空間上的一個(gè)“壓縮函數(shù)”；(2)已知是度量空間上的一個(gè)壓縮函數(shù)，且，定義，，證明：為度量空間上的一個(gè)“基本數(shù)列”.考點(diǎn)三、集合新定義綜合1．（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知集合，若存在數(shù)陣滿(mǎn)足：①；②；則稱(chēng)為“好集合”，并稱(chēng)數(shù)陣為的一個(gè)“好數(shù)陣”．(1)已知數(shù)陣是的一個(gè)好數(shù)陣，試寫(xiě)出，，，的值；(2)若集合為“好集合”，證明：集合的“好數(shù)陣”必有偶數(shù)個(gè)；(3)判斷是否為“好集合”．若是，求出滿(mǎn)足條件的所有“好數(shù)陣”；若不是，說(shuō)明理由．2．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知集合中含有三個(gè)元素，同時(shí)滿(mǎn)足①；②；③為偶數(shù)，那么稱(chēng)集合具有性質(zhì).已知集合，對(duì)于集合的非空子集，若中存在三個(gè)互不相同的元素，使得均屬于，則稱(chēng)集合是集合的“期待子集”.(1)試判斷集合是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；(2)若集合具有性質(zhì)，證明：集合是集合的“期待子集”；(3)證明：集合具有性質(zhì)的充要條件是集合是集合的“期待子集”.3．（2024·北京延慶·一模）已知數(shù)列，記集合.(1)若數(shù)列為，寫(xiě)出集合；(2)若，是否存在，使得？若存在，求出一組符合條件的；若不存在，說(shuō)明理由；(3)若，把集合中的元素從小到大排列，得到的新數(shù)列為，若，求的最大值．4．（2024·湖南邵陽(yáng)·二模）給定整數(shù)，由元實(shí)數(shù)集合定義其隨影數(shù)集.若，則稱(chēng)集合為一個(gè)元理想數(shù)集，并定義的理數(shù)為其中所有元素的絕對(duì)值之和.(1)分別判斷集合是不是理想數(shù)集；（結(jié)論不要求說(shuō)明理由）(2)任取一個(gè)5元理想數(shù)集，求證：；(3)當(dāng)取遍所有2024元理想數(shù)集時(shí)，求理數(shù)的最小值.注：由個(gè)實(shí)數(shù)組成的集合叫做元實(shí)數(shù)集合，分別表示數(shù)集中的最大數(shù)與最小數(shù).5．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，其中都是的子集且互不相同，記的元素個(gè)數(shù)，的元素個(gè)數(shù).(1)若，直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的集合；(2)若，且對(duì)任意，都有，求的最大值；(3)若且對(duì)任意，都有，求的最大值.6．（24-25高三上·河北滄州·階段練習(xí)）已知有限集，若中的元素滿(mǎn)足，則稱(chēng)為“元重生集”.(1)集合是否為“2元重生集”，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)是否存在集合中元素均為正整數(shù)的“3元重生集”？如果有，請(qǐng)求出有幾個(gè)，如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若，證明：“元重生集”有且只有一個(gè)，且.7．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知為有窮正整數(shù)數(shù)列，且，集合．若存在，使得，則稱(chēng)為可表數(shù)，稱(chēng)集合為可表集．(1)若，判定31，1024是否為可表數(shù)，并說(shuō)明理由；(2)若，證明：；(3)設(shè)，若，求的最小值．8．（23-24高三下·北京·階段練習(xí)）設(shè)A是正整數(shù)集的一個(gè)非空子集，如果對(duì)于任意，都有或，則稱(chēng)A為自鄰集．記集合的所有子集中的自鄰集的個(gè)數(shù)為．(1)直接寫(xiě)出的所有自鄰集；(2)若n為偶數(shù)且，求證：的所有含5個(gè)元素的子集中，自鄰集的個(gè)數(shù)是偶數(shù)；(3)若，求證：．9．（24-25高三上·四川瀘州·階段練習(xí)）已知正整數(shù)，集合，，，，，，2，，．對(duì)于中的元素，，，，，，定義．令．(1)直接寫(xiě)出的兩個(gè)元素及的元素個(gè)數(shù)；(2)已知，，，，滿(mǎn)足對(duì)任意，都有，求的最大值；(3)證明：對(duì)任意，，，，總存在，使得．10．（2024·北京豐臺(tái)·一模）已知集合（，），若存在數(shù)陣滿(mǎn)足：①；②．則稱(chēng)集合為“好集合”，并稱(chēng)數(shù)陣為的一個(gè)“好數(shù)陣”．(1)已知數(shù)陣是的一個(gè)“好數(shù)陣”，試寫(xiě)出，，，的值；(2)若集合為“好集合”，證明：集合的“好數(shù)陣”必有偶數(shù)個(gè)；(3)判斷是否為“好集合”．若是，求出滿(mǎn)足條件的所有“好數(shù)陣”；若不是，說(shuō)明理由．考點(diǎn)四、平面向量新定義綜合1．（21-22高一下·北京豐臺(tái)·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)任意兩個(gè)向量，，作，．當(dāng)，不共線時(shí)，記以，為鄰邊的平行四邊形的面積為；當(dāng)，共線時(shí)，規(guī)定．(1)分別根據(jù)下列已知條件求：①，；②，；(2)若向量，求證：；(3)若A，B，C是以О為圓心的單位圓上不同的點(diǎn)，記，，．（i）當(dāng)時(shí)，求的最大值；（ii）寫(xiě)出的最大值．（只需寫(xiě)出結(jié)果）2．（21-22高一下·山東日照·期末）已知在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，定義非零向量的“相伴函數(shù)”為，向量稱(chēng)為函數(shù)的“相伴向量”；記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為(1)已知，，若函數(shù)為集合中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范圍；(2)已知點(diǎn)滿(mǎn)足條件：，，若向量的“相伴函數(shù)”在處取得最大值，當(dāng)在區(qū)間變化時(shí)，求的取值范圍；(3)當(dāng)向量時(shí)，“相伴函數(shù)”為，若，方程存在4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)有維向量，，稱(chēng)為向量和的內(nèi)積，當(dāng)，稱(chēng)向量和正交．設(shè)為全體由和1構(gòu)成的元數(shù)組對(duì)應(yīng)的向量的集合．(1)若，寫(xiě)出一個(gè)向量，使得．(2)令．若，證明：為偶數(shù)．(3)若，是從中選出向量的個(gè)數(shù)的最大值，且選出的向量均滿(mǎn)足，猜測(cè)的值，并給出一個(gè)實(shí)例．4．（23-24高一下·福建福州·期中）對(duì)于向量集，記向量．如果存在向量，使得，那么稱(chēng)是向量集的“長(zhǎng)向量”．(1)設(shè)向量，．若是向量集的“長(zhǎng)向量”，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；(2)設(shè)向量，，則向量集是否存在“長(zhǎng)向量”？給出你的結(jié)論并說(shuō)明理由；(3)已知均是向量集的“長(zhǎng)向量”，其中，．設(shè)在平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)集，其中，，且與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求的最小值．5．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）我們知道，在平面內(nèi)取定單位正交基底建立坐標(biāo)系后，任意一個(gè)平面向量，都可以用二元有序?qū)崝?shù)對(duì)表示．平面向量又稱(chēng)為二維向量．一般地，n元有序?qū)崝?shù)組稱(chēng)為n維向量，它是二維向量的推廣．類(lèi)似二維向量，對(duì)于n維向量，也可定義兩個(gè)向量的數(shù)量積、向量的長(zhǎng)度（模）等：設(shè)，，則；．已知向量滿(mǎn)足，向量滿(mǎn)足．(1)求的值；(2)若，其中，當(dāng)且時(shí)，證明：．6．（22-23高一下·北京·階段練習(xí)）對(duì)于向量，若，，三數(shù)互不相等，令向量，其中，，，.(1)當(dāng)時(shí)，試寫(xiě)出向量；(2)證明：對(duì)于任意的，向量中的三個(gè)數(shù)，，至多有一個(gè)為0；(3)若，證明：存在正整數(shù)，使得.7．（22-23高一下·北京東城·期末）對(duì)于三維向量，定義“變換”：，其中，．記，．(1)若，求及；(2)證明：對(duì)于任意，經(jīng)過(guò)若干次變換后，必存在，使；(3)已知，將再經(jīng)過(guò)次變換后，最小，求的最小值．8．（23-24高三下·湖南常德·階段練習(xí)）對(duì)于給定的正整數(shù)n，記集合，其中元素稱(chēng)為一個(gè)n維向量.特別地，稱(chēng)為零向量.設(shè)，，，定義加法和數(shù)乘：，.對(duì)一組向量，，…，，若存在一組不全為零的實(shí)數(shù)，，…，，使得，則稱(chēng)這組向量線性相關(guān).否則，稱(chēng)為線性無(wú)關(guān).(1)對(duì)，判斷下列各組向量是線性相關(guān)還是線性無(wú)關(guān)，并說(shuō)明理由.①，；②，，.(2)已知，，線性無(wú)關(guān)，判斷，，是線性相關(guān)還是線性無(wú)關(guān)，并說(shuō)明理由.(3)已知個(gè)向量，，…，線性相關(guān)，但其中任意個(gè)都線性無(wú)關(guān)，證明：①如果存在等式（，，2，3，…，m），則這些系數(shù)，，…，或者全為零，或者全不為零；②如果兩個(gè)等式，（，，，2，3，…，m）同時(shí)成立，其中，則.9．（23-24高二下·江蘇淮安·階段練習(xí)）n個(gè)有次序的實(shí)數(shù)，，…，所組成的有序數(shù)組稱(chēng)為一個(gè)n維向量，其中稱(chēng)為該向量的第i個(gè)分量.特別地，對(duì)一個(gè)n維向量，若，稱(chēng)為n維信號(hào)向量.設(shè)，，則和的內(nèi)積定義為，且.(1)直接寫(xiě)出4個(gè)兩兩垂直的4維信號(hào)向量；(2)證明：不存在10個(gè)兩兩垂直的10維信號(hào)向量；(3)已知k個(gè)兩兩垂直的2024維信號(hào)向量，，…，滿(mǎn)足它們的前m個(gè)分量都是相同的，求證：.10．（20-21高一下·北京·期中）我們學(xué)過(guò)二維的平面向量，其坐標(biāo)為，那么對(duì)于維向量，其坐標(biāo)為.設(shè)維向量的所有向量組成集合.當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為的“特征向量”，如的“特征向量”有，，，.設(shè)和為的“特征向量”，定義.（1）若，，且，，計(jì)算，的值；（2）設(shè)且中向量均為的“特征向量”，且滿(mǎn)足：，，當(dāng)時(shí)，為奇數(shù)；當(dāng)時(shí)，為偶數(shù).求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值；（3）設(shè)，且中向量均為的“特征向量”，且滿(mǎn)足：，，且時(shí)，.寫(xiě)出一個(gè)集合，使其元素最多，并說(shuō)明理由.考點(diǎn)五、立體幾何新定義綜合1．（22-23高三上·河北·階段練習(xí)）已知，，，定義一種運(yùn)算：，在平行六面體中，，，.(1)證明：平行六面體是直四棱柱；(2)計(jì)算，并求該平行六面體的體積，說(shuō)明的值與平行六面體體積的關(guān)系.2．（22-23高二上·北京·期中）“曼哈頓幾何”也叫“出租車(chē)幾何”，是在19世紀(jì)由赫爾曼·閔可夫斯基提出來(lái)的．如圖是抽象的城市路網(wǎng)，其中線段是歐式空間中定義的兩點(diǎn)最短距離，但在城市路網(wǎng)中，我們只能走有路的地方，不能“穿墻”而過(guò)，所以在“曼哈頓幾何”中，這兩點(diǎn)最短距離用表示，又稱(chēng)“曼哈頓距離”，即，因此“曼哈頓兩點(diǎn)間距離公式”：若，，則(1)①點(diǎn)，，求的值．②求圓心在原點(diǎn)，半徑為1的“曼哈頓單位圓”方程．(2)已知點(diǎn)，直線，求B點(diǎn)到直線的“曼哈頓距離”最小值；(3)設(shè)三維空間4個(gè)點(diǎn)為，，且，，．設(shè)其中所有兩點(diǎn)“曼哈頓距離”的平均值即，求最大值，并列舉最值成立時(shí)的一組坐標(biāo)．3．（20-21高一下·福建泉州·期末）球面三角學(xué)是球面幾何學(xué)的一部分，主要研究球面多邊形(特別是三角形)的角?邊?面積等問(wèn)題，其在航海?航空?衛(wèi)星定位等方面都有廣泛的應(yīng)用.定義：球的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)稱(chēng)為球的一對(duì)對(duì)徑點(diǎn)；過(guò)球心的平面與球面的交線稱(chēng)為該球的大圓；對(duì)于球面上不在同一個(gè)大圓上的點(diǎn)，，，過(guò)任意兩點(diǎn)的大圓上的劣弧，，所組成的圖形稱(chēng)為球面，記其面積為.易知：球的任意兩個(gè)大圓均可交于一對(duì)對(duì)徑點(diǎn)，如圖1的和；若球面上，，的對(duì)徑點(diǎn)分別為，，，則球面與球面全等.如圖2，已知球的半徑為，圓弧和所在平面交成的銳二面角的大小為，圓弧和所在平面?圓弧和所在平面交成的銳二面角的大小分別為，.記.（1）請(qǐng)寫(xiě)出，，的值，并猜測(cè)函數(shù)的表達(dá)式；（2）求(用，，，表示).4．（22-23高二上·上海徐匯·期中）設(shè)P為多面體M的一個(gè)頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為，其中（，2，…，k，）為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的頂點(diǎn)，且平面，平面，…，平面和平面為多面體M的所有以P為公共點(diǎn)的面．已知在直四棱柱中，底面ABCD為菱形，且．(1)求直四棱柱在各個(gè)頂點(diǎn)的離散曲率之和；(2)若直四棱柱在點(diǎn)A處的離散曲率為x，直四棱柱體積為，求函數(shù)的解析式及單調(diào)區(qū)間．考點(diǎn)六、解析幾何新定義綜合1．（22-23高二下·江蘇鹽城·期末）焦距為2c的橢圓（a＞b＞0），如果滿(mǎn)足“2b=a+c”，則稱(chēng)此橢圓為“等差橢圓”．(1)如果橢圓（a＞b＞0）是“等差橢圓”，求的值；(2)對(duì)于焦距為12的“等差橢圓”，點(diǎn)A為橢圓短軸的上頂點(diǎn)，P為橢圓上異于A點(diǎn)的任一點(diǎn)，Q為P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（Q也異于A），直線AP、AQ分別與x軸交于M、N兩點(diǎn)，判斷以線段MN為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？說(shuō)明理由．2．（23-24高二上·北京昌平·期中）在平面上，我們把與定點(diǎn)距離之積等于的動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為伯努利雙紐線，為該曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)．已知曲線是一條伯努利雙紐線．(1)求曲線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)判斷曲線上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)、（異于坐標(biāo)原點(diǎn)），使得以為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)．如果存在，求點(diǎn)、坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（23-24高二上·貴州貴陽(yáng)·期末）閱讀材料：在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)與定點(diǎn)（或的距離和它到定直線（或）的距離之比是常數(shù)，則，化簡(jiǎn)可得，設(shè)，則得到方程，所以點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓，這是從另一個(gè)角度給出了橢圓的定義.這里定點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，直線稱(chēng)為相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線；定點(diǎn)是橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，直線稱(chēng)為相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線.根據(jù)橢圓的這個(gè)定義，我們可以把到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離.若點(diǎn)在橢圓上，是橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓的離心率，則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以，我們把這個(gè)公式稱(chēng)為橢圓的焦半徑公式.結(jié)合閱讀材料回答下面的問(wèn)題：已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)是該橢圓上第一象限的點(diǎn)，且軸，若直線是橢圓右準(zhǔn)線方程，點(diǎn)到直線的距離為8.(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)也在橢圓上且的重心為，判斷是否能構(gòu)成等差數(shù)列？如果能，求出該等差數(shù)列的公差，如果不能，說(shuō)明理由.4．（2021高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于直線和點(diǎn)，，記，若，則稱(chēng)點(diǎn)，被直線l分離，若曲線c與直線l沒(méi)有公共點(diǎn)，且曲線c上存在點(diǎn)，被直線l分隔，則稱(chēng)直線l為曲線c的一條分隔線．（1）求證：點(diǎn)，被直線分隔；（2）若直線是曲線的分隔線，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)的距離與到y(tǒng)軸的距離之積為1，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線E，求證：通過(guò)原點(diǎn)的直線中，有且僅有一條直線是E的分隔線．5．（22-23高三上·上海虹口·階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，直線l的斜率為k，在y軸上的截距為m.(1)設(shè)，若的焦距為2，l過(guò)點(diǎn)，求l的方程；(2)設(shè)，若是上的一點(diǎn)，且，l與交于不同的兩點(diǎn)A、B，Q為的上頂點(diǎn)，求面積的最大值；(3)設(shè)是l的一個(gè)法向量，M是l上一點(diǎn)，對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)的定點(diǎn)N，定義.用a、b、k、m表示，并利用與的大小關(guān)系，提出一個(gè)關(guān)于l與位置關(guān)系的真命題，給出該命題的證明.6．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）定義：一般地，當(dāng)且時(shí)，我們把方程表示的橢圓稱(chēng)為橢圓的相似