第03講 空間中的平行關(guān)系（線線平行、線面平行、面面平行）（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第03講空間中的平行關(guān)系（線線平行、線面平行、面面平行）（11類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新I卷，第17題,15分證明線面平行證明面面垂直由二面角大小求線段長(zhǎng)度2023年全國(guó)乙卷（理），第19題,12分證明線面平行證明線面垂直證明面面垂直求二面角2022年新Ⅱ卷，第20題,12分證明線面平行面面角的向量求法2022年全國(guó)甲卷（文），第19題,12分證明線面平行求組合體的體積2020年全國(guó)乙卷（理），第20題,12分證明線面平行求線面角證明面面垂直2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等，分值為5-15分【備考策略】1.理解、掌握空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系及相關(guān)的圖形和符號(hào)語(yǔ)言2.熟練掌握線面平行的判定定理和性質(zhì)定理及其應(yīng)用3.熟練掌握面面平行的判定定理和性質(zhì)定理及其應(yīng)用【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，一般在解答題中考查線面平行、面面平行的判定及其性質(zhì)，需強(qiáng)化鞏固復(fù)習(xí).知識(shí)講解常見(jiàn)立體幾何的定義、性質(zhì)及其關(guān)系棱柱：棱柱的上下底面是全等的平行圖形，側(cè)面是平行四邊形（即側(cè)棱平行且相等）斜棱柱：側(cè)棱與底面不垂直的棱柱直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體，即：平行六面體的六個(gè)面都是平行四邊形四個(gè)公理與一個(gè)定理公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線。公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系點(diǎn)與直線的位置關(guān)系點(diǎn)在直線上點(diǎn)不在直線上點(diǎn)與面的位置關(guān)系點(diǎn)在平面上點(diǎn)不在平面上線與線的位置關(guān)系平行，相交，，異面線與面的位置關(guān)系面與面的位置關(guān)系平行，相交，與重合空間中的平行關(guān)系線線平行①三角形、四邊形的中位線與第三邊平行，②平行四邊形的性質(zhì)（對(duì)邊平行且相等）③內(nèi)錯(cuò)角、同位角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行線面平行的判定定理：平面外一直線與平面內(nèi)一直線平行，則線面平行圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言線面平行的性質(zhì)定理若線面平行，經(jīng)過(guò)直線的平面與該平面相交，則直線與交線平行圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言面面平行的判定定理判定定理1：一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，則面面平行圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理2：一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別于另一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線平行，則面面平行圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言面面平行的性質(zhì)定理性質(zhì)定理1：兩平面互相平行，一個(gè)平面內(nèi)任意一條直線平行于另一個(gè)平面性質(zhì)定理2：兩平面互相平行，一平面與兩平面相交，則交線互相平行考點(diǎn)一、空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系1．（2024·全國(guó)·高考真題）設(shè)α、β為兩個(gè)平面，為兩條直線，且.下述四個(gè)命題：①若，則或

②若，則或③若且，則

④若與,所成的角相等，則其中所有真命題的編號(hào)是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④2．（2024·天津·高考真題）若為兩條不同的直線，為一個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則與相交1．（2024·河北邢臺(tái)·二模）已知兩條不同的直線a、b和平面，下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是（

）（1）若，，則

（2）若，，則（3）若，，則

（4）若，，則A．1 B．2 C．3 D．42．（2024·浙江紹興·三模）設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（

）A．若，，則m⊥βB．若m⊥β，，，則C．若，，，則D．若，，，則3．（2024·遼寧·二模）設(shè)，是兩個(gè)平面，，，是三條直線，則下列命題為真命題的是（

）A．若，，l⊥m，則B．若l//α，，，則C．若，，，則D．若，，則考點(diǎn)二、空間中線面平行的判定（直接型）1．（2024·全國(guó)·高考真題）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值．1．（23-24高三上·遼寧朝陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖所示，在三棱錐中，，直線兩兩垂直，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求平面與平面所成角的余弦值.2．（2024·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若，求點(diǎn)到平面AEC的距離.考點(diǎn)三、空間中線面平行的判定（中位線型）1．（浙江·高考真題）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分別為PB，PD的中點(diǎn)．(1)證明：MN∥平面ABCD；(2)過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥PC，垂足為點(diǎn)Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．1．（23-24高二上·廣西·階段練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，，是的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)若正四棱柱的外接球的表面積是24π，求三棱錐的體積.2．（2024·陜西渭南·三模）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，平面ABCD，，，且M，N分別為PD，AC的中點(diǎn)．(1)求證：平面PBC；(2)求三棱錐的體積．3．（2024·河北·二模）如圖，在四棱錐中，底面是菱形且，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，，分別為，，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．考點(diǎn)四、空間中線面平行的判定（平行四邊形型）1．（2024·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，BC//AD，AB=BC=1，,點(diǎn)在上，且，．(1)若為線段中點(diǎn)，求證：平面．(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值．2．（2024·天津·高考真題）已知四棱柱中，底面為梯形，AB//CD，平面，，其中．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．(1)求證平面；(2)求平面與平面的夾角余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．1．（23-24高二上·廣東深圳·期末）如圖，在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，，.

(1)設(shè)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，證明：平面.(2)求平面與平面的夾角的大小.2．（2024·天津·二模）如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在棱和棱上，且．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．3．（2024·西藏拉薩·二模）如圖，在四棱臺(tái)中，平面，兩底面均為正方形，，點(diǎn)在線段上，且.(1)證明：//平面A1B(2)求點(diǎn)到平面A1B考點(diǎn)五、空間中線面平行的判定（相似型）1．（23-24高一下·廣東茂名·期中）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為矩形．(1)設(shè)為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，求證：PM//平面；(2)若二面角的大小為，且，求直線和平面所成角的正弦值．2．（23-24高三上·江蘇常州·期中）已知三棱柱，，，為線段上的點(diǎn)，且滿足．

(1)求證：平面；(2)求證：；(3)設(shè)平面平面，已知二面角的正弦值為，求的值．3．（2023·山東濰坊·三模）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，且邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在母線上，且，．

(1)求證：平面；(2)求證：平面BED⊥平面(3)若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離．1．（22-23高二上·貴州六盤(pán)水·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)在以為直徑的圓上不同于，，垂直于圓所在平面，為的重心，，在線段上，且.

(1)證明：∥平面；(2)在圓上是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由.2．（2022高二下·浙江溫州·學(xué)業(yè)考試）已知三棱錐中，平面，，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，在上，.二面角的平面角大小為.

(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.考點(diǎn)六、空間中線面平行的判定（向量型）1．（2023·全國(guó)·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.

(1)證明：平面；(2)證明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的對(duì)角線交于點(diǎn)為的中點(diǎn)，.

(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與平面SCD所成角的大小為？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.考點(diǎn)七、空間中線面平行的性質(zhì)1．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）在正四棱柱中，，，E為中點(diǎn)，直線與平面交于點(diǎn)F．(1)證明：F為的中點(diǎn)；(2)求直線AC與平面所成角的余弦值．

2．（2024·河北保定·三模）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面，且.E，F(xiàn)分別是PA，PD的中點(diǎn)，平面與PB，PC分別交于M，N兩點(diǎn).(1)證明：；(2)若平面平面，求平面與平面所成銳二面角的正弦值.1．（2024·廣東·三模）如圖，邊長(zhǎng)為4的兩個(gè)正三角形，所在平面互相垂直，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，，直線與平面相交于點(diǎn).(1)證明：；(2)求直線與平面的距離.2．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）如圖,在三棱臺(tái)中,和都為等邊三角形,且邊長(zhǎng)分別為2和4，G為線段AC的中點(diǎn),H為線段BC上的點(diǎn),平面.(1)求證:點(diǎn)H為線段BC的中點(diǎn);(2)求二面角的余弦值.3．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·三模）如圖，在三棱臺(tái)中，和都為等邊三角形，且邊長(zhǎng)分別為2和4，,為線段的中點(diǎn)，為線段上的點(diǎn)，平面.

(1)求證:點(diǎn)H為線段的中點(diǎn);(2)求三棱錐的體積.考點(diǎn)八、空間中面面平行的判定1．（2024·重慶·二模）如圖，直棱柱中，底面為梯形，AB//DC，且分別是棱，的中點(diǎn).

(1)證明：平面平面；(2)已知，求直線與平面所成角的正弦值.2．（2024·江蘇宿遷·三模）如圖所示的幾何體是由等高的直三棱柱和半個(gè)圓柱組合而成，為半個(gè)圓柱上底面的直徑，，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)若是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．1．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）已知正三棱柱中分別為的中點(diǎn)，.(1)證明:平面平面;(2)求與平面所成角的正弦值.2．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為矩形，M，N分別為AC，的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)若二面角的余弦值為，，為正三角形，求直線和平面所成角的正弦值．3．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在圓錐中，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，四邊形是底面的內(nèi)接正方形，分別為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的平面為.(1)證明：平面平面；(2)若圓錐的底面圓半徑為2，高為，設(shè)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，求三棱錐的體積.考點(diǎn)九、空間中面面平行的性質(zhì)1．（2020·山東·高考真題）已知點(diǎn)，分別是正方形的邊，的中點(diǎn).現(xiàn)將四邊形沿折起，使二面角為直二面角，如圖所示.（1）若點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，求證：平面；（2）求直線與平面ABFE所成角的正弦值.2．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，以正方形的邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)120°形成的面圍成一個(gè)幾何體．設(shè)是上的一點(diǎn)，，分別為線段，的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值．1．（23-24高三上·北京東城·期末）如圖，在直三棱柱中，分別為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長(zhǎng).2．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在六棱錐中，平面是邊長(zhǎng)為的正六邊形，平面為棱上一點(diǎn)，且.(1)證明：平面PAC；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值.3．（2024·山東濰坊·三模）如圖，在直三棱柱中，，是棱的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求二面角的大?。键c(diǎn)十、補(bǔ)全條件證空間中的平行關(guān)系1．（2023·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測(cè)）三棱柱中，四邊形是菱形，，平面平面，是等腰三角形，∠ACB=120°，，與交于點(diǎn)M，，的中點(diǎn)分別為N，O，如圖所示.(1)在平面內(nèi)找一點(diǎn)D，使平面，并加以證明；(2)求二面角的正弦值.2．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，四邊形為直角梯形，且，，，，．為等邊三角形，平面ABE⊥平面．

(1)線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面，若存在，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)空間中有一動(dòng)點(diǎn)，滿足，且．求點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度．3．（2023·浙江·三模）如圖，三棱臺(tái)中，，，為線段上靠近的三等分點(diǎn).(1)線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，請(qǐng)求出的值；(2)若，，點(diǎn)到平面的距離為，且點(diǎn)在底面的射影落在內(nèi)部，求直線與平面所成角的正弦值.1．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，點(diǎn)在邊上，且滿足，將沿向上翻折，使點(diǎn)到點(diǎn)的位置，構(gòu)成四棱錐.(1)若點(diǎn)在線段上，且平面，試確定點(diǎn)的位置；(2)若，求銳二面角的大小.2．（23-24高一下·陜西咸陽(yáng)·期中）如圖，在直四棱柱中，底面為正方形，為棱的中點(diǎn)，．(1)求三棱錐的體積．(2)在上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面.如果存在，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)位置并證明.如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.3．（2022·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）如圖，多面體中，平面，(1)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面AFC？如果存在，請(qǐng)指出點(diǎn)位置并證明；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)當(dāng)三棱錐的體積為8時(shí)，求平面與平面AFC夾角的余弦值.考點(diǎn)十一、補(bǔ)全圖形證空間中的平行關(guān)系1．（2024·山東臨沂·一模）如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)分別在棱上，為的中點(diǎn).

(1)在平面內(nèi)，過(guò)作一條直線與平面平行，并說(shuō)明理由；(2)當(dāng)三棱柱的體積最大時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.1．（2024·福建龍巖·一模）如圖，在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，，設(shè)平面平面.(1)作出（不要求寫(xiě)作法）；(2)線段上是否存在一點(diǎn)，使平面？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若，求平面與平面的夾角的余弦值.2．（2024·貴州遵義·三模）如圖，在多面體中，四邊形為正方形，，且，M為中點(diǎn)．(1)過(guò)M作平面，使得平面與平面的平行（只需作圖，無(wú)需證明）(2)試確定（1）中的平面與線段的交點(diǎn)所在的位置；(3)若平面，在線段是否存在點(diǎn)P，使得二面角的平面角為余弦值為，若存在求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．1．（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在多面體中，四邊形為菱形，，，⊥，且平面⊥平面.(1)在DE上確定一點(diǎn)M，使得平面；(2)若，且，求多面體的體積.2．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知球內(nèi)接正四棱錐的高為，、相交于，球的表面積為，若為中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積.3．（2024·上海普陀·二模）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，，、分別是、的中點(diǎn).(1)求證：平面SAB；(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的大小.4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱臺(tái)中，平面，為等腰直角三角形，，分別為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面平面，，分別為的中點(diǎn)．(1)判斷與平面的位置關(guān)系，并給予證明；(2)求平面與平面所成二面角的正弦值．6．（2024·天津紅橋·二模）在如圖所示的幾何體中，平面，，四邊形為平行四邊形，，，，．(1)求證：直線PB//平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面夾角的正弦值．7．（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知等腰梯形，，，取的中點(diǎn)，將等腰梯形沿線段翻折，使得二面角為，連接、得到如圖所示的四棱錐A?BCDE，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求四棱錐A?BCDE的體積．8．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）已知在正三棱柱中，，.(1)已知，分別為棱，的中點(diǎn)，求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.9．（2024·北京海淀·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形，，平面，AB//CD，，，，平面與棱交于點(diǎn).再?gòu)臈l件①、條件②、條件③，這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知.(1)求證：；(2)求直線與平面夾角的正弦值；(3)求的值.條件①：；條件②：；條件③：.10．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在正四棱柱中，是底面的中心，底面邊長(zhǎng)為2，正四棱柱的體積為16(1)求證：直線平行于平面(2)求與平面所成的角的正弦值.1．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，棱柱中，側(cè)棱底面，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)設(shè)，在平面上是否存在點(diǎn)P，使？若存在，指出P點(diǎn)的位置：若不存，請(qǐng)說(shuō)明理由.2．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，三棱柱中，分別為棱的中點(diǎn)，分別是棱上的點(diǎn)，.(1)求證：直線平面；(2)若三棱柱為正三棱柱，求平面和平面的夾角的大小.3．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四棱錐中，平面平面，，分別為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若側(cè)面為等邊三角形，求四面體的體積．4．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，平面平面．

(1)求證：是的中點(diǎn)；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．5．（2024·貴州六盤(pán)水·三模）已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為和的正方形，平面平面，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且．(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值．6．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在五邊形中，，，且，將沿折成圖2，使得，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若與平面所成的角為，求二面角的正弦值．7．（2024·山東日照·三模）在五面體中，，.

(1)求證：；(2)若，，，點(diǎn)到平面ABFE的距離為，求二面角的余弦值.8．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）如圖，在四棱錐中，平面，，底面為直角梯形，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在線段與上，且，.(1)若平面平面，求、的值；(2)若平面，求的最小值.9．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，，，的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，.(1)證明：平面；(2)證明：平面平面；(3)求二面角的大小.10．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，平面，是上一點(diǎn)，