高等數(shù)學（第五版）課件 3.3函數(shù)的微分

第三章

導數(shù)與微分第三章導數(shù)與微分

在自然科學的許多領域中，當研究運動的各種形式時，都需要從數(shù)量上研究函數(shù)相對于自變量的變化快慢程度，如物體運動的速度、線速度、化學反應速度以及生物繁殖率等；而當物體沿曲線運動時，還需要考慮速度的方向，即曲線的切線問題．所有這些在數(shù)量上都歸結(jié)為函數(shù)的變化率，即導數(shù)．

第一節(jié)導數(shù)的概念

第二節(jié)導數(shù)的運算法則

第三節(jié)函數(shù)的微分

第四節(jié)MATLAB數(shù)學實驗（三）

微分的概念

引例3.5

一塊正方形金屬薄片受溫度變化影響時，其邊長由

變到

，如圖所示，問此薄片的面積改變了多少？

分析

設此薄片的邊長為

，面積為

，則

，

薄片受到溫度變化的影響，面積的增量是自變量在處取得增量

時，函數(shù)

相應的增量，即從上式看出，

分成兩部分：一部分是

，它是

的線性函數(shù)，即圖中兩個小矩形的面積之和；另一部分是

的高階無窮小量.從而當時，可以用第一部分

作為

的近似值，即

.

這種做法實際上包含了一個重要思想——線性化，這是因為線性函數(shù)是最簡單的函數(shù)，同時我們還注意到第一部分中

的系數(shù)恰好是面積在點

處的導數(shù)值，

，數(shù)學上，把

的第一部分：

的線性函數(shù)

稱為面積

的微分，記為

，即微分的概念

定義3.4

由上述定義可知

，即

，

稱為自變量的微分，即自變量

的微分

等于自變量

的增量

，于是

在點

的微分

可寫成微分的概念

設函數(shù)

在點

可導，則稱

為函數(shù)

在點

的微分，記為

或者

，即

或例3.20設

，求函數(shù)的增量與微分.解：

而

，即有

，則比較

與

知，較小.習題講解

解

體積的增量為顯然有例3.21半徑為

的球，其體積為

，當半徑增大

時，求體積的增量與微分.習題講解

微分的運算法則

1.基本微分公式

由關系式

可知，只要知道函數(shù)的導數(shù)，就能立刻寫出它的微分.因此，由基本導數(shù)公式容易得出相應的基本微分公式.

（1）

（

為常數(shù)）;（2）

（3）（5）（7）基本微分公式

（4）（6）（8）（9）

（10）

（11）（13）（15）基本微分公式

（12）（14）（16）2.微分四則運算法則：（1）（2）（

為常數(shù)）；（3）微分的運算法則

3.一階微分形式不變性:

設函數(shù)

，當

是自變量時，函數(shù)

的微分為.當

不是自變量，而是

的可導函數(shù).由復合函數(shù)的求導法則得即

是中間變量，則構(gòu)成復合函數(shù).微分的運算法則微分的運算法則

3.一階微分形式不變性：可見，無論

是自變量還是中間變量，

的微分形式總可以寫為這一性質(zhì)稱為一階微分形式的不變性.所以解：

例3.22設

，求

習題講解求函數(shù)

的微分.

例3.23

解法一：利用微分的定義，解法二：利用一階微分形式的不變性，有所以習題講解

解

由微分的四則運算法則及微分形式不變性，求方程

的微分

例3.24即將

代入得即習題講解微分在近似計算中的應用

在工程問題中，經(jīng)常會遇到一些復雜的計算公式.如果直接用這些公式進行計算，那是很費力的.利用微分往往可以把一些復雜的計算公式用簡單的近似公式來代替.

我們先來看函數(shù)增量和函數(shù)微分的定義.微分在近似計算中的應用

由函數(shù)微分的定義：

（3.1）

當

很小時，我們有

（3.2）這個式子也可以寫為

（3.3）或

（3.4）

微分在近似計算中的應用

在式（3.4）中令

，即

，那么式（3.4）可以改寫為

（3.5）

式（3.2）—（3.5）四個微分近似公式中，式（3.2）是最基本的，式（3.5）式蘊含著豐富的數(shù)學思想——以直代曲或線性化的思想.

式（3.5）左端是函數(shù)，右端是直線，也就是說，當很小，即很小時，可以用直線近似的表示曲線，體現(xiàn)了以直代曲或線性化的思想，這就是近似計算的實質(zhì).微分在近似計算中的應用

特別地，當

，

很小時，有

（3.6）

由此可以推出以下幾個常用的近似計算公式：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）習題講解計算

的近似值.

例3.25

解：設

，由式（3.4）有取

，有習題講解計算

的近似值.

例3.26

解：

這里

，其值較小，利用近似公式（1）（

的情形），便得如果直接開方，可得習題講解

將兩個結(jié)果比較一下，可以看出，用1.025作為