高等數(shù)學（工科類）課件 第七章 多元函數(shù)微積分

新時代高職數(shù)學系列教材高等數(shù)學（工科類）知識目標了解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)極限及連續(xù)的概念，掌握二元函數(shù)極限的求法．理解偏導數(shù)的概念，掌握偏導數(shù)（一階及高階）的計算，會求多元復合函數(shù)的偏導數(shù)．理解全微分的概念，掌握全微分的計算方法．理解曲線的切線與法平面及曲面的切平面與法線等概念，并掌握它們的方程的求解方法．理解多元函數(shù)極值的概念，會求二元函數(shù)的極值．理解二重積分的概念及二重積分的性質(zhì)，掌握二重積分的簡單計算．第七章多元函數(shù)微積分

第一節(jié)多元函數(shù)微分學情景與問題

引例1身體質(zhì)量指數(shù)BMI是國際上衡量人體胖瘦程度以及是否健康的一個常用指標，它的計算與體重

(單位：千克)和身高

(單位：米)相關：BMI=

，BMI由19世紀中期比利時的通才凱特勒最先提出．BMI正常值在20至25之間，低于18.5為體重不足，超過25為超重，30以上則屬肥胖．引例2由物理學知識，運動物體的動能

與物體的質(zhì)量

和運動的速度

兩個量之間滿足以下的關系：．引例3在周長為

的所有三角形中，求出面積最大的三角形．分析設三角形的三邊長分別為

則面積為

于是，所討論問題便轉化為：在

條件下求函數(shù)的最大值問題．

上述各例所討論的函數(shù)都涉及到了多個自變量，去掉它們的具體實際意義，只保留數(shù)量關系，便可抽象出多元函數(shù)的概念．抽

象

推

理7.1.1二元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)1．二元函數(shù)的概念

定義7.1設有三個變量

和

，如果當變量

在它們的變化范圍

中任意取一對值

時，按照給定的對應關系

，變量

都有唯一確定的數(shù)值與它們對應，則稱

是關于

的二元函數(shù)，記為

其中

稱為自變量，

稱為因變量．

稱為函數(shù)的定義域，所有函數(shù)值的集合

稱為函數(shù)的值域．

類似地可以定義三元函數(shù)

以及

元函數(shù)

．多于一個自變量的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)．引例1、2得到的BMI=，是二元函數(shù)，引例3是三元函數(shù)．同一元函數(shù)一樣，定義域和對應關系是二元函數(shù)定義的兩要素．對于以解析式表示的二元函數(shù)

其定義域就是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍．

一般來說一元函數(shù)的定義域往往是一個或者幾個區(qū)間，而二元函數(shù)的定義域通常是平面上的某個區(qū)域.二元函數(shù)定義域的區(qū)域可能是全部

坐標面，可能是一條直線，也可能是由曲線所圍成的部分平面等等．圍成區(qū)域的曲線稱為該區(qū)域的邊界，包含全部邊界的區(qū)域稱為閉區(qū)域；不包括邊界上任何點的區(qū)域稱為開區(qū)域．能被包含在以原點為圓心的某一圓內(nèi)的區(qū)域稱為有界區(qū)域，否則稱為無界區(qū)域.例1求下列函數(shù)的定義域

，并畫出的

圖形

．(1)；解當根式內(nèi)的表達式非負時函數(shù)才有意義，所以定義域為

表示在平面上以原點為圓心，以3為半徑的圓以及圓的內(nèi)部全部點構成的閉區(qū)域(圖7-1)．圖7-1所以函數(shù)的定義域是

以為

邊界的矩形閉區(qū)域(圖7-2).圖7-2

解因為要使

有意義，應有即(2).例2求用形如

或

的不等式組來表示平面閉區(qū)域

，

由

所圍成．解先作出區(qū)域

的圖形(圖7-3)，再將

投影到

軸上，得到區(qū)間

，則區(qū)域

內(nèi)任一點的橫坐標滿足不等式

．在

內(nèi)任取一點

，作平行于

軸的直線，則由對于所給的

，

內(nèi)對應點的縱坐標

滿足：，因此區(qū)域

可以用不等式組表示為圖7-3另一方面，若將

投影到

軸上，則在

軸上得到區(qū)間

．在區(qū)間

內(nèi)任取一點

，作平行于

軸的直線，則由圖可知，對于所給的

，

內(nèi)對應點的橫坐標

滿足：

，因此區(qū)域

可以用不等式組表示為圖7-3

一元函數(shù)一般表示平面上的一條曲線，二元函數(shù)

在幾何上通常表示空間曲面(圖7-4)．設點

是二元函數(shù)的定義域

內(nèi)的任一點，則相應的函數(shù)值是

，于是，有序數(shù)組

確定了空間一點

．當點

在

內(nèi)變動時，對應的點

就在空間變動，一般形成一張曲面，即為二元函數(shù)

的圖像，其定義域

就是空間曲面在

面的投影．圖7-42．二元函數(shù)的極限與連續(xù)定義7.2設函數(shù)

在點

的某一鄰域內(nèi)有定義（點

可以除外），如果當點

以任意方式無限趨向于點

時，對應的函數(shù)值

趨向于一個確定的常數(shù)

，則稱

為函數(shù)

當

時的極限．記為或．注意：與一元函數(shù)的極限不同的是二元函數(shù)極限要求點

以任意方式趨向于點

時，函數(shù)值

都趨向于同一個確定的常數(shù)

．因此，如果當

沿著兩條不同的路徑趨向于

時，函數(shù)

趨向于不同的值，那么可以斷定函數(shù)極限一定不存在．例3求極限：(1)(2)解(1)令

，則，(2)．本例表明，二元函數(shù)的極限問題有時可轉化為一元函數(shù)的極限問題．例4討論函數(shù)

當

時的極限．解當點

沿

趨向于點

時．顯然當

取不同的值時，

也不同，所以函數(shù)的極限不存在．

啟迪：一元函數(shù)與二元函數(shù)的極限研究方法具有很大的不同.在研究一元函數(shù)時，自變量在鄰域內(nèi)（區(qū)間）趨于某點的方式只有左右兩種，分別對應左極限和右極限，但對于二元函數(shù)來說，自變量的鄰域是在二維平面內(nèi)的區(qū)域，它趨于某點的方式是任意的，有無窮多種，我們就需要從整體的角度，去觀察函數(shù)值的變化情況.推展開來，我們在實際生活中也不能用孤立、片面的觀點來看問題，要通過持續(xù)學習來獲得足夠的判斷力，從而能整體、全面地去觀察、了解和認識事物.下面給出二元函數(shù)連續(xù)性的定義.定義7.3設函數(shù)

在點

的某個鄰域內(nèi)有定義，如果當點

趨向于點

時，函數(shù)

的極限存在，且等于它在點

處的函數(shù)值，即則稱函數(shù)

在點

處連續(xù)．在上邊的定義中，若令

，則得到連續(xù)的另一個等價定義：定義7.3’

設函數(shù)

在點

的某個鄰域內(nèi)有定義，若當自變量

的增量

趨向于零時，對應函數(shù)的全增量

也趨于零，即，

則稱函數(shù)

在點

處連續(xù)．同一元函數(shù)一樣，二元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）及復合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)；同時也有結論“多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)”．與閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)相類似，在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)也有以下結論．定理7.1

最值定理在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)在該區(qū)域上一定能取得到最大值和最小值．定理7.2

介值定理在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)可取得介于它的最大值和最小值之間的任何值至少一次．

以上關于二元函數(shù)極限與連續(xù)的討論可以推廣到三元及以上的函數(shù)．7.1.2偏導數(shù)1．一階偏導數(shù)

在一元函數(shù)微分學中，我們曾經(jīng)研究過函數(shù)

的導數(shù)，即函數(shù)

對于自變量

的變化率

．對于多元函數(shù)，我們也常常遇到研究它對某個自變量的變化率問題，這就產(chǎn)生了偏導數(shù)的概念．定義7.4設函數(shù)

在點

的某一鄰域內(nèi)有定義．若存在，則稱此極限值為函數(shù)

在點

處對

的偏導數(shù)，記為或或;即同理，可定義

在點

處對

的偏導數(shù)：如果函數(shù)

在區(qū)域

內(nèi)每一點

處對

的偏導數(shù)都存在，這個偏導數(shù)仍是

的函數(shù)，稱為函數(shù)

對自變量

的偏導函數(shù)，簡稱偏導數(shù)，記為或．類似地，可定義函數(shù)

對自變量

的偏導數(shù)，記為

或偏導數(shù)

也稱為一階偏導數(shù)．上述二元函數(shù)偏導數(shù)定義可以推廣到多元函數(shù)．如

元函數(shù)

對

的偏導數(shù)被定義為：方法：從偏導數(shù)的定義可以看出，求二元函數(shù)對某一個自變量的偏導數(shù)時，實際上只需將另一個自變量看成常數(shù)，再按照一元函數(shù)的求導法則求導即可．例5求函數(shù)

在點

處的兩個偏導數(shù)．解因為

所以例6求函數(shù)

的偏導數(shù)．解按偏導數(shù)定義有例7求

的偏導數(shù)．解把

和

看成是常數(shù)，對

求導，得．觀察到此函數(shù)自變量具有對稱性，因此有

，

．例8已知理想氣體的狀態(tài)方程

(

常數(shù))，求證

．證明因為

，

；

，

；

，

，所以．注意：這個例子說明，偏導數(shù)

，

的記號是一個整體，不能看成

與

或者

與

之商．例9求二元函數(shù)

在點

處的兩個偏導數(shù)．解，類似地可求得．在例4中，我們已指出

在點

處極限不存在，所以不連續(xù)，然而本例表明該函數(shù)在

處的兩個偏導數(shù)都存在．另外也可證明函數(shù)

在點

處是連續(xù)的，但在該點的偏導數(shù)卻不存在．所以，二元函數(shù)連續(xù)與偏導數(shù)存在這兩個條件之間沒有必然關系．2．偏導數(shù)的幾何意義一元函數(shù)

在點

處導數(shù)的幾何意義是曲線在該點處切線的斜率，而二元函數(shù)

在點

處的偏導數(shù)，實際上就是一元函數(shù)

及

分別在點

及

處的導數(shù)．因此二元函數(shù)偏導數(shù)的幾何意義也是曲線切線的斜率．

是曲線

在點

處切線的斜率(圖7-5)，即

；

是曲線在點

處切線的斜率，即.2．偏導數(shù)的幾何意義圖7-53．高階偏導數(shù)

函數(shù)

的兩個偏導數(shù)

、

一般仍然是

的函數(shù)，可以對其繼續(xù)求偏導數(shù)（如果存在的話），且稱它們?yōu)楹瘮?shù)

的二階偏導數(shù)．按照對變量求導次序的不同，二元函數(shù)有下列四種二階偏導數(shù)：純偏導數(shù)：

，

；混合偏導數(shù)：

，

．類似地，可以定義多元函數(shù)的三階、四階、…、

階偏導數(shù)，二階及以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù)．例10求

的所有二階偏導數(shù)．解因為

，

，所以

，

，

，

．注意：上例中的兩個二階混合偏導數(shù)相等，這并非偶然，在此不加證明地給出二階混合偏導數(shù)相等的充分條件.定理7.3如果函數(shù)

在區(qū)域上的兩個二階混合偏導數(shù)

，

連續(xù)，那么在區(qū)域

上必有．例11求函數(shù)

的所有二階偏導數(shù)．解函數(shù)的一階偏導數(shù)為：

，，因此，

，

， .例12設

，求

．解，

7.1.3全微分1．全微分的概念

在一元函數(shù)

中，若

，那么函數(shù)的微分

是函數(shù)的增量

的線性主部，可用

近似代替

，其誤差是的高階無窮?。畬τ诙瘮?shù)來說，計算全增量

比較復雜．類似于一元函數(shù)，我們用自變量

、

的線性函數(shù)來近似地代替函數(shù)的全增量，從而引入如下定義．定義7.5設函數(shù)

在點

的某一鄰域內(nèi)有定義，且函數(shù)在該點處的全增量

可表示為其中

與

，

無關，

是

的高階無窮小，即

，則稱

為函數(shù)

在點

的全微分，記作

，即這時也稱函數(shù)

在點

處可微．

當函數(shù)

在區(qū)域

內(nèi)各點處都可微時，那么稱函數(shù)

在

內(nèi)可微．像一元函數(shù)一樣，規(guī)定

，

，則全微分也可寫為定理7.4（可微的必要條件）如果函數(shù)

在點

可微，則(1)

在點

處連續(xù)；(2)

在點

處偏導存在，且

，即

在點

的全微分為證明由函數(shù)

在點

可微，可得

，其中

．(1)因為

，所以

．即

在點處連續(xù)．(2)對于偏增量來說，

，此時的

，對偏增量除以求極限得同理可證

．定理7.5（可微的充分條件）如果函數(shù)

在點

的某一領域內(nèi)偏導數(shù)

連續(xù)，則函數(shù)在該點處可微．

證明從略．

以上關于二元函數(shù)全微分的定義及可微分的必要條件和充分條件，可以完全類似地推廣到三元及三元以上的多元函數(shù)．例13求函數(shù)

的全微分．解因為

，

，所以例14求函數(shù)

在點

處的全微分．解因為

，

點

處連續(xù)，所以函數(shù)點

處可微，且2．近似計算

多元函數(shù)的全微分也可以用于近似計算．對于可微的二元函數(shù)

，因為

是一個比

高階的無窮小量，所以有近似公式上式也可以寫成例15計算

的近似值．解設函數(shù)

，顯然要計算的值就是.取

，由于

，又

，

，有

.所以例16一個圓錐的底面半徑和高度分別為

和

，這兩個量的可能誤差為

，用微分的方法估計該圓錐體積的最大誤差．解設圓錐的底面半徑為

，高為

，根據(jù)圓錐的體積公式有

，得體積的全微分為取

，得即圓錐體積的最大誤差為

．3．全微分的幾何意義

類似一元微分的幾何意義，可以得到二元函數(shù)全微分(圖7-6)的幾何意義為：函數(shù)在點

處切平面上的點與曲面

上點

的

軸坐標之差．圖7-6想一想：古時候的人們?yōu)槭裁凑J為地球是方的?

函數(shù)微分是在“以直代曲，以線性代非線性”的思想下做的一種近似，根據(jù)全微分的定義有

，也就是說微分是實現(xiàn)增量線性化的一種數(shù)學模型.對于三維空間中的曲面來說，微分的的實質(zhì)就是：局部區(qū)域像張平面.當可微函數(shù)的自變量改變很小時，函數(shù)增量可以近似看作一個二維線性函數(shù)——平面.如果視地球表面為一個二元函數(shù)，那么在人的肉眼范圍內(nèi)，也就是當自變量增量很小的時候（相對于地球半徑），所看到的地球表面（就是函數(shù)的增量）幾乎就是平的.在科技欠發(fā)達的時候，人類的視野十分有限，自然會認為地球是方的.4．復合函數(shù)的微分法下面不加證明地給出多元復合函數(shù)的求導法則．定理7.6若

是關于

的可微函數(shù)，

和

是關于

的可微函數(shù)，則

是關于

的可微函數(shù)，并且．由變量關系圖7-7看到，從函數(shù)

到自變量

有兩條路徑：

和

，沿第一條路徑有

，沿第二條路徑有

，兩項相加就得到公式.我們形象地把復合函數(shù)的微分法稱為鏈式法則．鏈式法則可以根據(jù)具體情形推廣使用．圖7-7推論7.1若

，

都是可微函數(shù)，則定理7.7若

是關于

的可微函數(shù)，

和

是關于

的可微函數(shù)(圖7-8)，則

有對

的偏導數(shù)，并且，例17設

，求

．解由定理7.6得圖7-8例18設

，求

．解由定理7.7得例19設

，求

．解設

，則

，于是有該函數(shù)的變量關系實際如圖7-9．圖7-9注意：一般地，我們用

表示函數(shù)

對第個

中間變量的偏導數(shù)，如上題中將

記為

，將

記為

．啟迪：在多元復合函數(shù)求導的鏈式法則中，我們感受到了思維的魔力，整個過程結構清晰，層層遞進，在解題中體會到了數(shù)學的邏輯性和嚴謹性.“書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟”，讓我們暢游在知識的海洋中感受數(shù)學的魅力吧.7.1.4偏導數(shù)的應用1．空間曲線的切線和法平面設空間曲線

(圖7-10)的參數(shù)方程為曲線上對應于

及

的點分別為

和

假定

均可導，且

不全為零．則割線

的方程為圖7-10圖7-10當

沿著曲線

趨于

時，割線的極限位置

即是

在

處的切線．上式分母同時除以

得

當

(即

)時，對上式取極限，即得曲線在點

的切線方程向量

是切線

的方向向量，稱為切線向量．切線向量的方向余弦即為切線的方向余弦．通過點

與切線垂直的平面稱為曲線在

點的法平面，它是以切線向量

為法向量的平面．因此法平面方程為例20求螺旋線

在

對應點的切線及法平面方程．解易得

對應的點為

．因為

，所以切線向量

．因此，曲線在點

處的切線方程為在點

處的法平面方程為：即例21求曲線

上點

處的切線和法平面方程．解把

看作參數(shù)，此時曲線方程為

且所以，曲線在點

處的切線方程為：

；法平面方程為：

，即.2．曲面的切平面與法線設曲線

是曲面

：

上過點的任意一條曲線（如圖7-11），

的方程為

，與點

相對應的參數(shù)為

，假定函數(shù)的偏導數(shù)在該點連續(xù)且不同時為零，則曲線

在

處的切線向量為.

圖7-11因

在

上，故有

．此恒等式左端為復合函數(shù)，在

時的導數(shù)為記

，上式則說明

，即

與

互相垂直．由于曲線

是曲面上過

的任意一條曲線，所以在曲面

上所有過

點的曲線的切線都與同一向量

垂直，故這些切線位于同一個平面上．這個平面稱為曲面在

處的切平面．向量

是切平面的法向量，稱為曲面在

處的法向量．切平面方程為過點

且與切平面垂直的直線稱為曲面

在點

處的法線，其方程為

若曲面方程

由給出，則可令

．于是，此時，曲面在

處的切平面方程為法線方程為例22求橢球面

在點

處的切平面和法線方程．解

設

，則故在點

處橢球面的切平面方程為即

．法線方程為．例23求旋轉拋物面

在點

處的切平面方程和法線方程．解由

得

．則切平面方程為

，即

．法線方程為.3．二元函數(shù)的極值在實際問題中，會遇到求多元函數(shù)最大值或最小值的問題，這里我們只討論二元函數(shù)的情形，三元以上函數(shù)的情形可類似討論．與一元函數(shù)相類似，二元函數(shù)的最大值、最小值常與極大值、極小值相聯(lián)系，因此下面先討論極值問題．定義7.6設函數(shù)

在點

的某一鄰域內(nèi)有定義，如果對于該鄰域內(nèi)異于

的任意一點

，都有或，則稱函數(shù)在

處有極大值（或極小值）．稱點

為函數(shù)的極大值點（或極小值點）．極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點．定理7.8（極值點的必要條件）設函數(shù)

在點

的兩個一階偏導數(shù)都存在，且點

為極值點，則證明因為點

是函數(shù)

的極值點，所以當

固定為

時，

為一元函數(shù)

的極值點．由一元函數(shù)極值點的必要條件，有

，幾何上表現(xiàn)為：對應于

的曲面

上的點

有平行于

軸的切線．同理可證

．滿足方程組

的點

稱為函數(shù)

的駐點．與一元函數(shù)一樣，駐點不一定是極值點．那么，如何判斷一個駐點是否是極值點呢？下面不加證明地給出極值點的判定定理．定理7.9（極值存在的充分條件）設函數(shù)

在點

的某個領域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，且

是駐點．令

，

，

，

，則（1）當

時，點

是函數(shù)

的極值點，且當

時，點

是極大值點；當

時，點

是極小值點．（2）當

時，點

不是極值點．（3）當

時，點

可能是極值點，也可能不是極值點．例24求函數(shù)

的極值．解(1)求偏導數(shù)，解方程組得駐點：

、

、

、

．(2)求出二階偏導數(shù) (3)列表判斷極值點討論如下：駐點結論1206-72極小值120-672無極值-120672無極值-120-6-72極大值與一元函數(shù)類似，二元可微函數(shù)的極值點一定是駐點，但對不可微函數(shù)來說卻不一定．例如：點

是函數(shù)

的極小值點，但它并不是駐點，因為函數(shù)在該點的偏導數(shù)并不存在．4．二元函數(shù)的最值

我們已經(jīng)知道，有界閉區(qū)域

上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值．如果使函數(shù)取得最值的點在區(qū)域

的內(nèi)部，則對可微函數(shù)來講，這個點必然是函數(shù)的駐點，然而，函數(shù)的最值也可能在該區(qū)域的邊界上取得．因此，求有界閉區(qū)域

上可微的二元函數(shù)的最值時，求出函數(shù)在

內(nèi)的駐點及在

的邊界上的最值，比較這些值，其中最大（小）者，就是該函數(shù)在區(qū)域上

的最大（?。┲担▽τ诓豢晌⒑瘮?shù)，還應求出連續(xù)而不可微點處的函數(shù)值加以比較．）求二元函數(shù)在區(qū)域上的最值往往比較復雜，但在實際問題中，若由分析可知二元函數(shù)的最值一定存在時，如果目標函數(shù)的駐點唯一，且無其他可疑極值點，那么這個駐點即是極值點．例25在

坐標面上找出點

，使它到三點

距離的平方和為最小．解設

到三點距離的平方和為

，有對

求偏導數(shù)，解方程組

得駐點

．由問題的實際意義，到三點距離平方和最小的點一定存在，函數(shù)

可微且只有一個駐點，因此

即為所求之點．例26某工廠要用鐵板做一個體積為

的有蓋長方體水箱，問當長、寬、高各取怎樣的尺寸時，才能使用料最省?解設水箱的長、寬分別為x、y，則高為

，水箱所用材料的面積為令

得駐點

．

根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內(nèi)必存在，可斷定此唯一駐點就是最小值點．即當長、寬均為

，高為

時，水箱所用材料最?。畱门c實踐案例1邊緣檢測是圖像處理和計算機視覺中的基本問題，檢測的目的是標識數(shù)字圖像中亮度變化明顯的點，是特征提取中的一個重要研究領域，它能大幅度地減少數(shù)據(jù)量，并且剔除可能不相關的信息，保留圖像重要的結構屬性.幾種最常用的經(jīng)典圖像邊緣提取算子，都是基于微分的理論得以實現(xiàn)的.以圖7-12為例，簡要分析圖像邊緣檢測原理.圖7-12解在圖像處理中認為，灰度值變化劇烈的地方就是邊緣.變化劇烈程度，其實就是函數(shù)的一階導數(shù).函數(shù)

的偏導數(shù)定義為，但數(shù)字圖像是離散的二維函數(shù)，

和

不能無限小，圖像是按照像素來離散的，因此最小的

和

就是1像素，于是圖像的微分就可以記為它們分別是圖像在點

處

方向和

方向上的梯度，即兩個相鄰像素之間的差值.設圖像在某區(qū)域的灰度值為

，則

方向上的微分相減的結果能反映圖像亮度的變化率：像素值保持不變的區(qū)域，相減的結果為0，即像素為黑；像素值變化劇烈的區(qū)域，相減的差越大，則得到的像素就越亮，圖像的豎直邊緣得到增強.但對于二維圖像來說，僅僅得到

或者

方向的邊緣是不夠的，更需要考慮的是邊緣到底是什么走向，所以要用到不同方向上的梯度，并由此衍生出一系列的算子，圖7-13展示了不同算子的邊緣檢測效果.歡迎有興趣的同學參閱專業(yè)書籍進行更深入學習.圖7-13幾種經(jīng)典圖像邊緣提取算子效果圖案例2日常生活中罐裝食品很多，如飲料，調(diào)味品，熟食等，體積相同的罐頭可做成尺寸不同的形狀．設有一個半徑為

，高為

的圓柱形罐頭外殼，當其半徑

或高

有微小改變量時，都會引起容積產(chǎn)生相應的改變量．試比較容積

對半徑

和高

的微小變化的敏感度．解計算

的全微分，有于是容積的改變量這表明半徑

的變化要比高

的變化所造成的容積

的改變約敏感10倍，也表明，當半徑有微小減少時，必須使高明顯地增加，才能保持容積不變．因此，將一個罐頭外殼的半徑取得比標準的小一些，小得使人不易注意到，而增加高度使容積保持不變，可使人感到容積比原來標準的大了許多，這也是將啤酒罐做得又細又高的原因，當然，將它做得又細又高也便于握持.案例3某零售商公司為提高產(chǎn)品銷量，通過報紙和電視臺做銷售產(chǎn)品廣告．根據(jù)統(tǒng)計資料，銷售收入R（萬元）與報紙廣告費用

（萬元）和電視廣告費用

（萬元）的關系有如下的公式：

．如果零售商公司有足夠的廣告費用支出預算，求最優(yōu)廣告策略．解零售商公司的純銷售收入為令

得駐點

（萬元）；

(萬元）．又因為，

，

，

，所以，函數(shù)

在點

取得極大值，又因為是唯一極值點，故為最大值．因此，即最優(yōu)廣告策略為報紙廣告費用為0.75萬元，而電視廣告費用為1.25萬元．第七章多元函數(shù)微積分

第二節(jié)多重積分情景與問題引例1曲頂柱體的體積．設有一曲頂柱體，它的底面

是平面上的有界閉區(qū)域

，側面是以

的邊界曲線為準線，母線平行

于軸的柱面，它的頂是由二元非負連續(xù)函數(shù)

所表示的曲面(圖7-14)，求其體積．分析采用類似于求曲邊梯形面積的方法，通過分割、局部近似、累加求和、取極限來研究曲頂柱體的體積．圖7-14分析采用類似于求曲邊梯形面積的方法，通過分割、局部近似、累加求和、取極限來研究曲頂柱體的體積．(1)分割：將區(qū)域

任意分割成個

小區(qū)域(子域)：

，并用

表示第

個子域的面積．然后對每個子域，作以它的邊界為準線，母線平行于

軸的柱面，這些柱面把原來的曲頂柱體分成

個小曲頂柱體．(2)近似：在將小曲頂柱體近似地看成平頂柱體，用子域

內(nèi)的任意一點

對應的函數(shù)值

為它的高，則小曲頂柱體的體積：(3)求和：將這

個小平頂柱體的體積

相加，得到原曲頂柱體體積的近似值，即(4)極限：將區(qū)域

無限細分，每個子域趨向于縮成一點，這個近似值就趨向于原曲頂柱休的體積，即其中

是這

個子域的最大直徑(有界閉區(qū)域的直徑是指區(qū)域中任意兩點間距離的最大值)．引例2平面薄片的質(zhì)量．設有一平面薄板，在

平面上占有區(qū)域

，其質(zhì)量分布的面密度(單位面積上的質(zhì)量)函數(shù)是

上的連續(xù)函數(shù)，，試求薄板的質(zhì)量

．分析仍然采用微元法的思想．圖7-15(1)分割：將區(qū)域

任意分割成

個小塊(圖7-15)：

，并用

表示第

個小塊的面積．(2)近似：當

直徑很小時，可以認為在

上的質(zhì)量分布是均勻的，用

內(nèi)的任意一點

處的密度

為它的面密度，則第

個小塊的質(zhì)量為：(3)求和：薄板的質(zhì)量可以表示為(4)極限：用

表示這

個小塊的最大直徑，當

時，上邊和式的極限就是薄片的質(zhì)量，即抽象推理7.2.1二重積分的概念與性質(zhì)上面兩個例子雖然來自不同的領域，但解決問題的辦法卻是一樣的，都歸結為二元函數(shù)在平面區(qū)域上和式的極限．而這種案例在物理、力學、幾何及工程技術中有許多，抽去它們的具體意義，我們就得到二重積分的定義．定義7.7設函數(shù)

是定義在有界閉區(qū)域

上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域

任意分割成

個子域

，其面積也用

表示．在每個子域

上任取一點

，作和

．如果當各個子域的直徑的最大值

趨于零時，上邊和式的極限存在，且此極限與區(qū)域

的分割方法以及點

的取法無關，則稱此極限為函

數(shù)

在閉區(qū)域

上的二重積分，記作

或

，即

此時稱

在

上可積，其中

稱為二重積分號，

稱為被積函數(shù)，

稱為積分表達式，

稱為面積微元，

為積分區(qū)域，

為積分變量．當

時，二重積分

的幾何意義就是圖7-14所示的曲頂柱體的體積；當

時，柱體在

平面的下方，二重積分表示該柱體體積的相反值，所以

的值是

平面上下方柱體體積的代數(shù)和．由于二重積分和定積分本質(zhì)都是和式的極限，所以它們有著相似的性質(zhì)，下面給出二重積分的基本性質(zhì)（以下所遇到的函數(shù)假設均可積）．性質(zhì)1被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到二重積分號前面，即性質(zhì)2函數(shù)和或差的二重積分等于各個函數(shù)二重積分的和或差，即性質(zhì)3如果積分區(qū)域

被分成兩個子區(qū)域

，則在

上的二重積分等于各個子區(qū)域

上二重積分的和，即性質(zhì)4如果在區(qū)域

上，

，且

的面積為

，則性質(zhì)5如果在區(qū)域

上，

，則有

．性質(zhì)6假設

在閉區(qū)域

上的最大值和最小值分別為

和

，

的面積為

，則

性質(zhì)7（二重積分中值定理）假設

在閉區(qū)域

上連續(xù)，

的面積為

，則在

上至少存在一點，使得

．例1試估計二重積分

的值．

解被積函數(shù)

在

處取得最小值

，在

處取得最大值

，積分區(qū)域的面積

．根據(jù)性質(zhì)6，7.2.2二重積分的計算用二重積分的定義（即和式的極限）來計算二重積分比較困難，我們通常用計算兩次定積分的辦法來解決．由二重積分定義知當

在閉區(qū)域

上可積時，其積分值與區(qū)域的分割方式無關，因此可以采取特殊的分割方法來簡化計算.1.在直角坐標下計算二重積分在直角坐標系中，用分別平行于

軸和

軸的直線將區(qū)域

分成許多小矩形，這時面積元素

，二重積分也可記為．圖7-16(2)若區(qū)域

可用不等式組表示為

，其中

在

上連續(xù)，則稱

為

型區(qū)域(圖7-17).在討論二重積分之前，先介紹下面兩種類型的區(qū)域．(1)若區(qū)域

可用不等式組表示為

，其中

在

上連續(xù)，則稱

為

型區(qū)域(圖7-16).圖7-17由二重積分幾何意義知，

的值等于一個以

為底，以曲面

為頂?shù)那斨w的體積，我們用微元法解決二重積分的計算.下面以

型區(qū)域為例進行講解.圖7-18選

為積分變量，

，任取子區(qū)間

.設

表示過點

且垂直

軸的平面與曲頂柱體相交的截面的面積(圖7-18)，則曲頂柱體體積

的微元為于是曲頂柱體體積為 由圖可見該截面是一個以區(qū)間

為底邊，以曲線

(此時

是固定的)為曲邊的曲邊梯形，其面積可表示為 .

將

代入上邊曲頂柱體的體積，就得到二重積分在上邊的積分過程中，第一次積分時，把

視為常量，對變量

進行積分，它的積分限一般是關于

的函數(shù)；第二次是對變量

積分，它的積分限是常量.這種先對一個變量積分，再對另一個變量積分的方法，稱為累次積分(二次積分)法，上邊先積

后積

的積分通常也可以寫成拾趣：大家有沒有注意到，上述求二重積分的過程，就如同求一個面包的體積呢？如果把面包坐落在

坐標面上，將上表面視為函數(shù)

，則一小片面包的切面面積就是

，其體積就是我們的體積微元

，將所有面包片的體積加起來(積分)就是整個面包的體積了（如圖7-19所示）.數(shù)學與生活聯(lián)系如此緊密，讓我們在生活中學習數(shù)學，并用數(shù)學的眼光和思維，讓生活變得更美好吧!圖7-19對于

型區(qū)域，先積

后積

，我們可以類似得到例2將二重積分

化為兩種不同次序的累次積分.其中

是由

所圍成的矩形區(qū)域.解先畫出積分區(qū)域

(圖7-20).如果先積

后積

，有如果先積

后積

，有圖7-20 例3將二重積分

化為兩種不同次序的累次積分.其中

是由

和

軸所圍成的區(qū)域.解先畫出積分區(qū)域

(圖7-21).求出邊界曲線交點

、

和

.

如果先積

后積

，可以將區(qū)域

投影到

軸上得區(qū)間

，0和2就是對

積分的下限和上限，在

上任取一點

，過

作與

軸平行的直線，發(fā)現(xiàn)

在不同的區(qū)間

，

上時，區(qū)域

的邊界曲線是不同的，因此要將

分成兩個區(qū)域

和

(圖7-21)，分別在兩個小區(qū)域上進行累次積分，并由積分域的可加性，得圖7-21 如果先積

后積

，可以將

區(qū)域投影到

軸上得區(qū)間

，0和1就是對

積分的下限和上限，在

上任取一點

，過

作與

軸平行的直線，與

的邊界交兩點

和

，它們就是對

積分的下限和上限(圖7-22)，所以有累次積分的計算關鍵是根據(jù)所給積分域，定出兩次定積分的上下限，可以根據(jù)以上例題的方法進行直觀的確定.圖7-22例4計算二重積分

，其中區(qū)域

為由

圍成的區(qū)域．解先畫出積分區(qū)域

的圖形(如圖7-23)，這是一個

型區(qū)域，則思考：如果化為先

后

的二次積分，又應該怎么計算（提示：

）．圖7-23例5計算二重積分

，其中區(qū)域

為由

圍成的區(qū)域．解先畫出

區(qū)域的圖形(如圖7-24)，這是一個

型區(qū)域．則此題若先積

后積

，則需分塊考慮，計算較麻煩，讀者不妨嘗試一下．圖7-24例6計算

，其中

由直線

與

軸所圍成．解求出邊界區(qū)域交點

、

和