初高中數(shù)學銜接教材

初高中數(shù)學銜接教材

一、現(xiàn)有初高中數(shù)學知識存在以下“脫節(jié)”：

1.立方和與差的公式初中已刪去不講，而高中的運算還在用。

2.因式分解初中一般只限于二次項且系數(shù)為“1”的分解，對系數(shù)不為“1”

的涉及不多，而且對三次或高次多項式因式分解幾乎不作要求，但高中教材許多

化簡求值都要用到，如解方程、不等式等。

3.二次根式中對分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高

中函數(shù)、不等式常用的解題技巧。

4.初中教材對二次函數(shù)要求較低，學生處于了解水平，但二次函數(shù)卻是高中

貫穿始終的重要內(nèi)容。配方、作簡圖、求值域、解二次不等式、判斷單調(diào)區(qū)間、

求最大、最小值，研究閉區(qū)間上函數(shù)最值等等是高中數(shù)學必須掌握的基本題型與

常用方法。

5.二次函數(shù)、二次不等式與二次方程的聯(lián)系，根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）

在初中不作要求，此類題目僅限于簡單常規(guī)運算和難度不大的應用題型，而在高

中二次函數(shù)、二次不等式與二次方程相互轉(zhuǎn)化被視為重要內(nèi)容，高中教材卻未安

排專門的講授。

6.圖像的對稱、平移變換，初中只作簡單介紹，而在高中講授函數(shù)后，對其

圖像的上、下；左、右平移，兩個函數(shù)關(guān)于原點，軸、直線的對稱問題必須掌

握。

7.含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高中

這部分內(nèi)容視為重難點。方程、不等式、函數(shù)的綜合考查常成為高考綜合題。

8.幾何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行線分線段比例定

理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都沒有學習，而高中都要涉及。

另外，像配方法、換元法、待定系數(shù)法初中教學大大弱化，不利于高中知識

的講授。

二、初高中數(shù)學銜接目錄：

前百

第一講數(shù)與式的運算（兩課時）

第二講因式分解（兩課時）

第三講一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（一課時）

第四講不等式（兩課時）

第五講二次函數(shù)的最值問題（一課時）

第六講簡單的二元二次方程組（一課時）

第七講分式方程和無理方程的解法（一課時）

第八講直線、平面與常見立體圖形（一課時）

第九講直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系（一課時）

初高中數(shù)學銜接教材

初高中銜接從觀念開始

一一致即將畢業(yè)的初三同學

一、初、高中的比較

和初中數(shù)學相比，高中數(shù)學的內(nèi)容多，抽象性、理論性強，高中很注重自學

能力的培養(yǎng)的，高中不會像初中那樣老師一天到晚盯著你，在高中一定要注重自

學能力的培養(yǎng)，誰的自學能力強，那么在一定的程度上影響著你的成績以及你將

來你發(fā)展的前途。不過，要學好數(shù)學也不是很困難的，只要你跟著我的思路走，

你的數(shù)學一定會很好的。

二、學好高中數(shù)學的方法

現(xiàn)在我們來看看該如何才能學好高中數(shù)學呢？

第一：要改變一個觀念。

1、有人會說自己的基礎不好。那我問一下什么是基礎？今天所學的知識就是

明天的基礎，明天學習的知識就是后天的基礎，所以要學好每一天的內(nèi)容，那么

你打的基礎就是最扎實的了。所以現(xiàn)在你們是在同一個起跑線上的，無所謂基礎

好不好。

2、還有同學會說學數(shù)學除了高考沒啥用。其實，大千世界均蘊含數(shù)學的理性

思想；并且就單純數(shù)學知識來說，它本身的應用性就很廣泛，不僅在科學方面，

就在我們的生活中也處處要用到數(shù)學知識。

3、改變在初中學習數(shù)學的習慣。在初中，許多同學在課堂上基本可以消化

（或者是可以完全消化）老師所講述的內(nèi)容。這樣就能夠考出好的成績，也就能

夠體會到成功的喜悅。現(xiàn)在，在高中也許你會發(fā)覺：課上不能完全聽懂老師所

講，課后會有一些作業(yè)很難完成。這樣會讓同學們有了挫敗感。這是與高中數(shù)學

的特性有很大的關(guān)系。因此，同學們要改變自己的學習觀念：一、要充分做好課

前的預習，對書本的基本內(nèi)容進行了解與分析：什么內(nèi)容自己能夠?qū)W會？還有什

么是要期待課堂解決？這樣對第二天要學的內(nèi)容心里有底，在上課的時候才能做

到有的放矢，使得課堂的效率達到最大；二、要加強自己的自主學習以及合作學

習的習慣，不能萬事都依靠老師，要多和同學們進行討論交流，增強自己合作交

流的能力。三、要學會參閱課外書籍。通過閱讀，能夠擴展同學們的視野，拓廣

同學們的思路，總結(jié)學習思想方法，使得同學們能夠盡快地掌握所學知識，體會

學習的樂趣。

第二：要培養(yǎng)對數(shù)學的興趣。

有些人在初中就對數(shù)學很感興趣，希望你們能夠繼續(xù)保持下去。有些人在初

中就不大喜歡數(shù)學，為什么呢？有兩方面的可能性，一方面可能是由于討厭數(shù)學

老師，另一方面可能是數(shù)學老是考不好，越不喜歡數(shù)學就越不想學數(shù)學，越不學

數(shù)學，越考不好，如此形成一個惡性循環(huán)。我希望從今天開始你們要開始培養(yǎng)對

數(shù)學的熱愛。有人說興趣是最好的老師，只要你對某一事物有濃厚的興趣，那么

你對它的關(guān)注就超出平常，會收到意想不到的效果的。那么我們該如何培養(yǎng)興趣

呢？只要你發(fā)現(xiàn)數(shù)學是好玩的，是美的，那么你就有了濃厚的興趣。其實在我們

的周圍有很多事情都是可以用數(shù)學可以來解決的，無非很多人都沒有用數(shù)學的眼

光來看待。

比如基督教徒認為上帝是萬能的。你們認為呢？如何來證明你的結(jié)論呢？我

的觀點：上帝不是萬能的。為什么呢？仔細聽我講來。

證明：（反證法）假如上帝是萬能的，那么他能夠制作出一塊無論什么力量

都搬不動的石頭。根據(jù)假設，既然上帝是萬能的，那么他一定能夠搬的動他自己

制造的那石頭。這與“無論什么力量都搬不動的石頭”相矛盾，所以假設不成

立，所以上帝不是萬能的。

其實這樣的例子周圍還有很多，炒股，銀行存款，摸彩票等等都和數(shù)學有關(guān)

的。隨著高中數(shù)學的學習，那么上面的問題你都會有所細致的了解。

第三：學好高中數(shù)學要注意培養(yǎng)的幾個能力。

（一）獨立思考的能力：能根據(jù)所給的條件進行獨立思考，將所學的知識與

亟待解決的問題結(jié)合，尋找解決之道。

例、撲克牌中有一個算24的游戲：給出四個數(shù)，利用加、減、乘、除及括號

連接這四個數(shù)，使運算結(jié)果為24?，F(xiàn)給出3、3、8、8這四個數(shù)，請你按上述要求

列出算式，使結(jié)果為24。（美國微軟公司在復旦大學招聘人才考試題）

（二）空間想像能力：能根據(jù)條件作出正確的圖形，根據(jù)圖形想像出直觀形

象；能正確地分析出圖形中基本元素及其相互關(guān)系；能對圖形進行分解、組合；

會運用圖形與圖表等手段形象地揭示問題的本質(zhì)。

空間想像能力是對空間形式的觀察、分析、抽象的能力。主要表現(xiàn)為識圖、

畫圖和對圖形的想像能力。識圖是指觀察研究所給圖形中幾何元素之間的相互關(guān)

系；畫圖是指將文字語言和符號語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，以及對圖形添加輔助圖形

或?qū)D形進行各種變換。對圖形的想像主要包括有圖想圖和無圖想圖兩種，是空

間想像能力高層次的標志，邏輯推理能力。

（三）抽象概括能力：抽象是指舍棄事物非本質(zhì)的屬性，揭示其本質(zhì)的屬

性；概括是指把僅僅屬于某一類對象的共同屬性區(qū)分出來的思維過程。抽象和概

括是相互聯(lián)系的，沒有抽象就不可能有概括，而概括必須在抽象的基礎上得出某

一觀點或作出某項結(jié)論。抽象概括能力就是從具體的、生動的實例，在抽象概括

的過程中，發(fā)現(xiàn)研究對象的本質(zhì)；從給定的大量信息材料中，概括出一些結(jié)論，

并能應用于解決問題或作出新的判斷。

（四）推理論證能力：推理是思維的基本形式之一，它由前提和結(jié)論兩部分

組成，論證是由已有的正確的前提到被論證的結(jié)論正確的一連串的推理過程。推

理既包括演繹推理，也包括合情推理。論證方法既包括按形式劃分的演繹法和歸

納法，也包括按思考方法劃分的直接證法和間接證法。一般運用合情推理進行猜

想，再運用演繹推理進行證明。

中學數(shù)學的推理論證能力是根據(jù)已知的事實和已獲得的正確數(shù)學命題來論證

某一數(shù)學命題真實性初步的推理能力。

例、操場有100名學生排成10X10的方陣，共有10行10列，

A.在每一行中選出一個最高的，共有10個“高個子”，其中最矮的記為A；

B.在每一列中選出一個最矮的，共有10個“矮個子”，其中最高的記為B；

問：A與B孰高？

（五）運算求解能力：會根據(jù)法則、公式進行正確運算、變形和數(shù)據(jù)處理，能

根據(jù)問題的條件，尋找與設計合理、簡捷的運算途徑；能根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進行估

計和近似計算。

運算求解能力是思維能力和運算技能的結(jié)合.運算包括對數(shù)字的計算、估值和

近似計算，對式子的組合變形與分解變形，對幾何圖形各幾何量的計算求解等。

運算能力包括分析運算條件、探究運算方向、選擇運算公式、確定運算程序等一

系列過程中的思維能力，也包括在實施運算過程中遇到障礙而調(diào)整運算的能力。

（六）數(shù)據(jù)處理能力：會收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)，能從大量數(shù)據(jù)中

抽取對研究問題有用的信息，并作出判斷.數(shù)據(jù)處理能力主要依據(jù)統(tǒng)計或統(tǒng)計案例

中的方法對數(shù)據(jù)進行整理、分析，并解決給定的實際問題。

（七）數(shù)形結(jié)合的能力：能借助圖形，將抽象的問題應用圖形形象的表示出

來，使得問題更加明朗，清晰，便于更快的抓住問題的實質(zhì)，加快解決問題的速

度。

例、炎炎夏日，虔誠的老太太去山上進香，山高路遠，老太太一路走走停

停，自上午6時從家出發(fā)，下午4時方到廟中，在廟中住了一晚，第二天自原路

返回，仍是上午6時從廟中出發(fā)，下午4時方回到家中。問：這個老太太可不可

能在同一時間經(jīng)過同一地點？

（注：同一時間指的相對于一天內(nèi)的時間，如昨天的上午9點與今天的上午9點

是作為同一時間。）

（八）應用意識：能綜合應用所學數(shù)學知識、思想和方法解決問題，包括解

決在相關(guān)學科、生產(chǎn)、生活中簡單的數(shù)學問題；能理解對問題陳述的材料，并對

所提供的信息資料進行歸納、整理和分類，將實際問題抽象為數(shù)學問題，建立數(shù)

學模型；應用相關(guān)的數(shù)學方法解決問題并加以驗證，并能用數(shù)學語言正確地表達

和說明。主要過程是依據(jù)現(xiàn)實的生活背景，提煉相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造數(shù)學模

型，將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，并加以解決。

（九）創(chuàng)新意識：能發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，綜合與靈活地應用所學的數(shù)學知

識、思想方法，選擇有效的方法和手段分析信息，進行獨立的思考、探索和研

究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題.創(chuàng)新意識是理性思維的高層次表

現(xiàn)，對數(shù)學問題的“觀察、猜測、抽象、概括、證明”，是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題

的重要途徑，對數(shù)學知識的遷移、組合、融會的程度越高，顯示出的創(chuàng)新意識也

就越強。

第四：對數(shù)學科目的幾個要求

（-）課前預習。怎樣預習呢？就是自己在上課之前把內(nèi)容先看一邊，把自

己不懂的地方做個記號或者打個問號，以至于上課的時候重點聽，這樣才能夠很

快提高自己的水平。但是預習不是很隨便的把課本看一遍，預習要有個目標：

（1）就是通過預習可以把書本后面的練習題可以自己獨立的完成；（2）并思考

與本節(jié)課有關(guān)的舊知識以及如何將新知識融合在里面；（3）問自己幾個問題：課

本的例題有什么特性？可否發(fā)展？如何發(fā)展？

（二）上課認真聽講。上課的時候準備課本，一只筆，一本草稿，一本筆

記。做不做筆記你們自己決定，不過我提倡數(shù)學課做筆記的。有些知識點比較重

要，課本上又沒有的，你們可以補充在你預習時已有的相應知識點的位置；另

外，在預習中不能解決或者是還存在的問題現(xiàn)在通過課堂的聽講有所感悟也可以

記錄下來；再來就是，如果你覺得某個例題比較新或者比較重要，也可以把它記

在相應位置上，這樣以后復習起來就一目了然了。那么草稿要來干什么的呢？課

堂上你可以自己演算還有做課堂練習。

（三）關(guān)于作業(yè)，絕對不允許有抄作業(yè)的情況發(fā)生。課后要先復習今天所學

的知識點然后再做作業(yè)，這樣才能收到上課的效果，收到事半功倍的效果。那有

人會問，碰到不會做的題目怎么辦？有兩個辦法：一、向同學請教，請教做題目

的思路，而不是整個過程和答案。同學之間也要相互幫助，如果你讓他抄襲你的

作業(yè)這樣不是幫助他而是害他，這個道理大家應該明白吧。我非常提倡同學之間

的相互討論問題的，這樣才能夠相互促進提高。二、向老師請教，我希望我每天

下課的時候都有學生上來請教我，要養(yǎng)成問的習慣。我高中的時候，我們班級的

學生的問題最多，結(jié)果每次考試的成績都是最好的，我希望這樣的事情發(fā)生在你

們當中。

（四）準備一本筆記本，作為自己的問題集。把平時自己不懂的和不大理解

的還有易錯的記錄下來，并且要及時的消化，不懂的地方問老師。這是一個很好

的辦法，到考試的時候就可以有重點、有針對性的自己復習了。

相信你如果認真做到以上幾點，那么在高中學習數(shù)學就會非常輕松，成績

就能大幅度地提升，最終到達高考成功的彼岸！

張正茂

2012.12.7

第一講數(shù)與式的運算(兩課時)

在初中，我們已學習了實數(shù)，知道字母可以表示數(shù)用代數(shù)式也可以表示數(shù)，

我們把實數(shù)和代數(shù)式簡稱為數(shù)與式.代數(shù)式中有整式(多項式、單項式)、分

式、根式。它們具有實數(shù)的屬性，可以進行運算。在多項式的乘法運算中，我們

學習了乘法公式(平方差公式與完全平方公式)，并且知道乘法公式可以使多項

式的運算簡便。由于在高中學習中還會遇到更復雜的多項式乘法運算，因此本節(jié)

中將拓展乘法公式的內(nèi)容，補充三個數(shù)和的完全平方公式、立方和、立方差公

式。在根式的運算中，我們已學過被開方數(shù)是實數(shù)的根式運算，而在高中數(shù)學學

習中，經(jīng)常會接觸到被開方數(shù)是字母的情形，但在初中卻沒有涉及，因此本節(jié)中

要補充。基于同樣的原因，還要補充“繁分式”等有關(guān)內(nèi)容。

一、乘法公式

[公式1](a+c)’=/+/+/+2ab+2bc+2ca

證明：

+6+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2

=a2+lab++lac+2bc+c2=a2+b2+c2+lab+2bc+2ca

等式成立

(r-V2x+-)2

【例1】計算：3

說明：多項式乘法的結(jié)果一般是按某個字母的降幕或升幕排列。

【公式2](a'b)(a(立方和公式)

證明：

(a+b)(a2-ab+b2)=ay-b+ab2+a2b-ab2+b'=a3+b'

【例2]計算：.*Xa'+ab+b2)

【公式3】Sb)(a-ab.心=J°'(立方差公式)

請同學觀察立方和、立方差公式的區(qū)別與聯(lián)系，公式1、2、3均稱為乘法公

式。

【例3】計算:

(])(4+/77)(164mm\(2)

111II2、

(-n7--n)(——"2+—mn+—/1*)

5225104

(3)軟,學心第E廣電篇"(4)<A十21『十1-xy-y

說明：(1)在進行代數(shù)式的乘法、除法運算時，要觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)是否

滿

足乘法公式的結(jié)構(gòu)。

(2)為了更好地使用乘法公式，記住1、2、3、4、…、20的平方

數(shù)

和1、2、3、4、…、10的立方數(shù)，是非常有好處的。

/【例4】已知/-3x+l=O,求的值。

說明：本題若先從方程『-3、+】=0中解出*的值后，再代入代數(shù)式求值，則

計算較煩瑣.本題是根據(jù)條件式與求值式的聯(lián)系，用整體代換的方法計算，簡化

了計算。請注意整體代換法。本題的解法，體現(xiàn)了“正難則反”的解題策略，根

據(jù)題求利用題知，是明智之舉。

1I、，IL11

;?(-4—)+b(—4—)4cf—+—)

【例5】已知a+b+c=。，求bc%aab的值。

說明：注意字母的整體代換技巧的應用。

引申：同學可以探求并證明：

-3abe=(a+6+c)(a2+b1+c2-ab-be-ca)

根式

式子K(a?°)叫做二次根式，其性質(zhì)如下：

⑴(>/a)'=a(a>0)(2)后=1aI

⑶\[ab=Va\[b(a>0,b>0)⑷

【例6】化簡下列各式:

J(百-(2)-*)2+J(2-4(X2l)

(1)

說明：請注意性質(zhì)4'的使用：當化去絕對值符號但字母的范圍未知

時，要對字母的取值分類討論。

【例7】計算（沒有特殊說明，本節(jié)中出現(xiàn)的字母均為正數(shù)）:

_2_1+1

（1）2+6（2）Vab（3）

2祗一口+癡

說明：（1）二次根式的化簡結(jié)果應滿足：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整

式；②被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式。

（2）二次根式的化簡常見類型有下列兩種：①被開方數(shù)是整數(shù)或整式?；?/p>

時，先將它分解因數(shù)或因式，然后把開得盡方的因數(shù)或因式開出來；②分母中有

3l~xl'x

根式（如2777）或被開方數(shù)有分母（如行）.這時可將其化為國形式（如VI可化

在

為無），轉(zhuǎn)化為“分母中有根式”的情況.化簡時，要把分母中的根式化為有

理式，采取分子、分母同乘以一個根式進行化簡.（如2+石化為

3（2-揚

（2+5）（2一日,其中2+6與2-右叫做互為有理化因式）。

【例8】計算:

⑴(0+"+I)。-G+Vfr)-(y/a+\[b)2

說明：有理數(shù)的的運算法則都適用于加法、乘法的運算律以及多項式的乘法

公式、分式二次根式的運算。

2+口2-5

【例9】設'-，求V+尸的值.

說明：有關(guān)代數(shù)式的求值問題：（1）先化簡后求值；（2）當直接代入運算較復

雜時，可根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點，倒推幾步，再代入條件，有時整體代入可簡化計

算量。

三、分式

AA

當分式萬的分子、分母中至少有一個是分式時，力就叫做繁分式，繁分式的

化簡常用以下兩種方法：（1）利用除法法則；（2）利用分式的基本性質(zhì).

【例10］化簡X

說明：解法一的運算方法是從最內(nèi)部的分式入手，采取通分的方式逐步脫掉

AAxm

繁分式，解法二則是利用分式的基本性質(zhì)萬一瓦谷進行化簡.一般根據(jù)題目特點

綜合使用兩種方法。

寸+3X+96xx-1

+------

【例11】化簡丁-27---9x-/6+2x

說明：（1）分式的乘除運算一般化為乘法進行，當分子、分母為多項式時，

應先因式分解再進行約分化簡；（2）分式的計算結(jié)果應是最簡分式或整式。

練習

第二講因式分解（兩課時）

因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變

形。在分式運算、解方程及各種恒等變形中起著重要的作用。是一種重要的基本

技能。

因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差

公式和完全平方公式）外，還有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分組

分解法等等。

一、公式法（立方和、立方差公式）

在第一講里，我們已經(jīng)學習了乘法公式中的立方和、立方差公式：

-ab+b（立方和公式）

（&-蛛/+ab+*）=2'-b'（立方差公式）

由于因式分解與整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過來

寫，就得到：

a'+ft'=（a+b）（a2-ab+b2）

a'-6'=（a-b）（a2+ab+b'>

這就是說，兩個數(shù)的立方和（差），等于這兩個數(shù)的和（差）乘以它們的平方和

與它們積的差（和）。

運用這兩個公式，可以把形式是立方和或立方差的多項式進行因式分解。

［例1］用立方和或立方差公式分解下列各多項式：

（1）8+父（2）0.125-276

分析：⑴中，8=2',⑵中場1幽一逐譚=袋球。

說明：（1）在運用立方和（差）公式分解因式時，經(jīng)常要逆用塞的運算法則，

如8/6'=（2a6）',這里逆用了法則（ab）"="'方；（2）在運用立方和（差）公式分解

因式時，一定要看準因式中各項的符號。

【例2】分解因式：

（1）3a%-81/（2）a7-ab"

分析：（1）中應先提取公因式再進一步分解；（2）中提取公因式后，括號內(nèi)

出現(xiàn)/_尸，可看作是）-（/，、；或山）:

二、分組分解法

從前面可以看出，能夠直接運用公式法分解的多項式，主要是二項式和三項

式。而對于四項以上的多項式，如“恒-mb+ca▼汕既沒有公式可用，也沒有公因

式可以提取。因此，可以先將多項式分組處理。這種利用分組來因式分解的方法

叫做分組分解法。分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組。

1.分組后能提取公因式

【例3】把2ax-10”+56尸以分解因式。

分析：把多項式的四項按前兩項與后兩項分成兩組，并使兩組的項按*的降幕

排列，然后從兩組分別提出公因式2a與"，這時另一個因式正好都是5y,這

樣可以繼續(xù)提取公因式。

說明：用分組分解法，一定要想想分組后能否繼續(xù)完成因式分解，由此合理

選擇分組的方法。本題也可以將一、四項為一組，二、三項為一組，同學不妨一

試。

［例4］把d）-（/_h）cd分解因式。

分析：按照原先分組方式，無公因式可提，需要把括號打開后重新分組，然

后再分解因式。

說明：由例3、例4可以看出，分組時運用了加法結(jié)合律，而為了合理分組，

先運用了加法交換律，分組后，為了提公因式，又運用了分配律。由此可以看出

運算律在因式分解中所起的作用。

2.分組后能直接運用公式

【例5】把/"x+a，分解因式。

分析：把第一、二項為一組，這兩項雖然沒有公因式，但可以運用平方差公

式分解因式，其中一個因式是把第三、四項作為另一組，在提出公因式a

后，另一個因式也是戶上

【例6］把2丁+4xy+2/-8Z分解因式。

分析：先將系數(shù)2提出后，得到其中前三項作為一組，

它是一個完全平方式，再和第四項形成平方差形式，可繼續(xù)分解因式。

說明：從例5、例6可以看出：如果一個多項式的項分組后，各組都能直接運

用公式或提取公因式進行分解，并且各組在分解后，它們之間又能運用公式或有

公因式，那么這個多項式就可以分組分解法來分解因式。

三、十字相乘法

1..+(P,g)x+pq型的因式分解

這類式子在許多問題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點是：

(1)二次項系數(shù)是1;(2)常數(shù)項是兩個數(shù)之積；(3)一次項系數(shù)是常數(shù)項的

兩個因數(shù)之和。

x2+(p+g)x+pq=x2+px+qx+pq=A(X+p)+g(x+p)=(x+p)(x+g)

因此，--S*?!?-牘*指牘*，3

運用這個公式，可以把某些二次項系數(shù)為1的二次三項式分解因式。

【例71把下列各式因式分解：

(1)x2-lx+6⑵

x2+13x+36

說明：此例可以看出，常數(shù)項為正數(shù)時，應分解為兩個同號因數(shù)，它們的符

號與一次項系數(shù)的符號相同。

【例8】把下列各式因式分解：

(1)/+5X-24(2)

?-2x-15

說明：此例可以看出，常數(shù)項為負數(shù)時，應分解為兩個異號的因數(shù)，其中絕

對值較大的因數(shù)與一次項系數(shù)的符號相同。

【例9】把下列各式因式分解：

(1)丁+D-6〉(2)

(X2+xy-8(X1+x)+12

分析：(1)把F+xy6/看成X的二次三項式，這時常數(shù)項是-6J,一次

項系數(shù)是，，把6V分解成“與2y的積，而3y+(-2y)=y,正好是一次項系

數(shù)。

(2)由換元思想，只要把'，+'整體看作一個字母心可不必寫出，只當作分

解二次三項式/-8a+12。

2.一般二次三項式ax'+bx+c型的因式分解

大家知道，

(%x+q)=以町/+(耳。2+%q)*+cj

.反過來，就得到：

2

a[a2x+(atc2+a2ct)x^qq=(%*+G)(%x+c2)

我們發(fā)現(xiàn)，二次項系數(shù)a分解成為%,常數(shù)項。分解成2,,把可，小，G，c寫成

%七,這里按斜線交叉相乘，再相加，就得到4J+%q,如果它正好等于

江+bx+c的一次項系數(shù)6,那么K+bx+c就可以分解成(%x+cJ(i+G),其

中位于上一行，%,q位于下一行。

這種借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而將二次三項式分解因式的方法，叫做

十字相乘法。

必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過多次嘗

試，才能確定一個二次三項式能否用十字相乘法分解。

【例10]把下列各式因式分解：

(1)12x-5x-2(2)

5x2+6Ay-8y

說明：用十字相乘法分解二次三項式很重要.當二次項系數(shù)不是1時較困

難，具體分解時，為提高速度，可先對有關(guān)常數(shù)分解，交叉相乘后，若原常數(shù)為

負數(shù)，用減法“湊"，看是否符合一次項系數(shù)，否則用加法“湊“，先“湊“絕

對值，然后調(diào)整，添加正、負號。

四、其它因式分解的方法

1.配方法

【例11】分解因式丁+6.”16

說明：這種設法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后將二次三項式

化為兩個平方式，然后用平方差公式分解。當然，本題還有其它方法，請大家試

驗。

2.拆、添項法

【例12】分解因式3/+4

分析：此多項式顯然不能直接提取公因式或運用公式，分組也不易進行.細

查式中無一次項，如果它能分解成幾個因式的積，那么進行乘法運算時，必是把

一次項系數(shù)合并為0了，可考慮通過添項或拆項解決。

說明：本解法把原常數(shù)4拆成1與3的和，將多項式分成兩組，滿足系數(shù)對

應成比例，造成可以用公式法及提取公因式的條件。本題還可以將3寸拆成

父一4父，將多項式分成兩組(x'+V)和一49+4。

一般地，把一個多項式因式分解，可以按照下列步驟進行：

(1)如果多項式各項有公因式，那么先提取公因式；

(2)如果各項沒有公因式，那么可以嘗試運用公式來分解；

(3)如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組或其它方法(如十字相乘

法)來分解；

(4)分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。

練習

第三講一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(一課時)

現(xiàn)行初中數(shù)學教材主要要求學生掌握一元二次方程的概念、解法及應用，而

一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關(guān)系，在高中教材中的二次函數(shù)、不等

式及解析幾何等章節(jié)有著許多應用。本節(jié)將對一元二次方程根的判別式、根與系

數(shù)的關(guān)系進行闡述。

一、一元二次方程的根的判斷式

一元二次方程ax；版+c=0(a=0),用配方法將其變形為：

2a4a~

(1)當從-4女＞0時，右端是正數(shù)。因唬之程有兩個不相等的實數(shù)根：

-d±\Jb2-4ac

x-----------

2a

(2)當//-4ac=0時，右端是零。因此，方程有兩個相等的實數(shù)根：

b

2a

(3)當Z/-4ac＜0時，右端是負數(shù)。因此，方程沒有實數(shù)根。

由于可以用4ac的取值情況來判定一元二次方程的根的情況。因此，把

//-420叫做一元二次方程/+打+。=0("0)的根的判別式，表示為：

&=b'-4ac

【例11不解方程，判斷下列方程的實數(shù)根的個數(shù)：

(1)2r-3x+l=o(2)4「+9=l2y(3)

5(x2+3)-6A=0

說明：在求判斷式時，務必先把方程變形為一元二次方程的一般形式。

［例2］已知關(guān)于x的一元二次方程3X=2X+A=O,根據(jù)下列條件，分別求

出女的范圍：

(1)方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)方程有兩個相

等的實數(shù)根；

(3)方程有實數(shù)根；(4)方程無實

數(shù)根。

【例3】已知實數(shù)X、＞滿足x+J；-H+2A-J+I=O,試求x、，的值。

二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

一元二次方程“解+"0(a/0)的兩個根為:

-b-、b-4QC-b-個b—4ac

X\=2(i,

所以：

yjb2-4ac-b-^Jb2-4acb

-b+y/b2-4ac-b-\/b2-4ac(.-b)2-(vft2-4ac)24acc

x-xI--------------------------------------------------------------------；----------------=—

}la2a(2a)24a2a

定理：如果一元二次方程ax：，=°(”°)的兩個根為,那么：

bc

%+毛=—,%%=一

a"a

說明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀的法國數(shù)學家韋達發(fā)現(xiàn)，所

以通常把此定理稱為“韋達定理”。上述定理成立的前提是A20。

【例4】若'」是方程f+2x-2007-0的兩個根，試求下列各式的值：

1+±

(1)xj+xj；(2)X、xz；(3)

(占-5)(x,-5).⑷|A,_&I。

分析：本題若直接用求根公式求出方程的兩根，再代入求值，將會出現(xiàn)復雜

的計算。這里，可以利用韋達定理來解答。

說明：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：

11再+與

22

X：+X；=(%+劣尸-2、￡X[X2X/](A；-)=(X)+X,)-4A,A,

2

|%-七1=+毛)’-4%x；j,+X,A,=+X,))

X：+X；=(A；+七)、3、與(,\+")等等。韋達定理體現(xiàn)了整體思想。

V-(A+l)x+—內(nèi)+1=0

[例5]已知關(guān)于X的方程4,根據(jù)下列條件，分別求

出人的值。

⑴方程兩實根的積為5；⑵方程的兩實根斗與滿足

分析：（1）由韋達定理即可求之；（2）有兩種可能，一是二是

=所以要分類討論。

說明：根據(jù)一元二次方程兩實根滿足的條件，求待定字母的值，務必要注意

方程有兩實根的條件，即所求的字母應滿足△20。

［例6］已知牛三是一元二次方程4k+八”0的兩個實數(shù)根。

/2x—Ywx—2x>）=——>

（1）是否存在實數(shù)3使--2成立？若存在，求出A的值；

若不存在，請您說明理由。

（2）求使4外的值為整數(shù)的實數(shù)A的整數(shù)值。

說明：（1）存在性問題的題型，通常是先假設存在，然后推導其值，若能求

出，則說明存在，否則即不存在。

（2）本題綜合性較強，要學會對《+?為整數(shù)的分析方法。

練習

第四講不等式（兩課時）

初中階段已經(jīng)學習了一元一次不等式和一元一次不等式組的解法。高中階段

將進一步學習一元二次不等式和分式不等式等知識。本講先介紹一些高中新課標

中關(guān)于不等式的必備知識。

一、一元二次不等式及其解法

1.形如小+A+c>0（或<0）（其中a工0）的不等式稱為關(guān)于x的一元二次不

等式。

2.一元二次不等式八'+桁+c>0（或<。）與二次函數(shù)｝=ax'+bx+c（a工0）

及一元二次方程K+b*+c=o的關(guān)系（簡稱：三個二次）。以二次函數(shù)

y=/+x6為例：

yf

-3.\0/2

（1）作出圖象;

（2）根據(jù)圖象容易看到，圖象與x軸的交點是（-3,0）.（2,0）,即當,”-3或2

時，y一°。就是說對應的一元二次方程x'+x-6=0的兩實根是'=-3或2。

（3）當x<-3或x>2時，y>0,對應圖像位于x軸的上方。就是說

x2+A-6>0的解是X<-3或X>2。

當-3<x<2時，"0,對應圖像位于x軸的下方。就是說丁+乂-6<0的

解是-3Vx<2。

一般地，一元二次不等式可以結(jié)合相應的二次函數(shù)、一元二次方程求解，步

驟如下：

（1）將二次項系數(shù)先化為正數(shù)；

（2）觀測相應的二次函數(shù)圖象。

①如果圖象與x軸有兩個交點（牛°），（&，°）,此時對應的一元二次方程有兩個

不相等的實數(shù)根**（也可由根的判別式A>。來判斷）。

捋口么（圖1）?+bx+c>0（a>0）=A<%或才\

（---,0）

②如果圖象與'軸只有一個交點2a此時對應的一元二次方程有兩個

b

相的實數(shù)根''一萬（也可由根的判別式A=。來判斷）o

、.b

c>0（s>0）<=>x=---

那么（圖2）：2a

ax'++c<0（a>0）<=>無解

③如果圖象與X軸沒有交點，此時對應的一元二次方程沒有實數(shù)根（也可由

根的判別式A<0來判斷）。

那么（圖3）：afc>°（a>0）=x取一切實數(shù)

ax2+c<0(a>0)<=>無解

如果單純的解一個一元二次不等式的話，可以按照一下步驟處理：

(1)化二次項系數(shù)為正；

(2)若二次三項式能分解成兩個一次因式的積，則求出兩根'…占.那么

“>0”

型的解為X<M或X>X2(俗稱兩根之外)；“<0”型的解為一’(俗稱兩根之

間)；

(3)否則，對二次三項式進行配方，變成

1b248c—b

a)C+c=a(x+—)+-------------

2a4a,

結(jié)合完全平方式為非負數(shù)的性質(zhì)求解。

【例11解不等式丁+x-6>0。

分析：不等式左邊可以因式分解，根據(jù)“符號法則一一正正(負負)得正、

正負得負”的原則，將其轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組。

說明：當把一元二次不等式化為ax'""。>0(或<。)的形式后，只要左邊可

以分解為兩個一次因式，即可運用本題的解法。

［例2］解下列不等式：

(1)(x+2)(x-3)<6(2)(x-1)(x+2)4(x-

2)(2x+l)

分析：要先將不等式化為ax'c>。(或<。)的形式，通常使二次項系數(shù)

為正數(shù)。

【例3】解下列不等式：

(1)x2-2x-8<0(2)X2-4,v+4^0(3)

X2-A+2<0

【例4】已知對于任意實數(shù)X,A/-2X+A恒為正數(shù)，求實數(shù)*的取值范圍。

［例5］已知關(guān)于x的不等式TH-0的解為求北的

值。

分析：對應的一元二次方程的根是I和3,且對應的二次函數(shù)的圖象開口向

上。根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以求解。

說明：本例也可以根據(jù)方程有兩根1和3,用代入法得：

仆1)2-d+1)(-1)-3=0,?3-*〃+1一=0,且注意《>0,從而《=1。

二、簡單分式不等式的解法

【例6】解下列不等式：

(1)

2x-3八

-----<0

x+1(2)

X2-X+1

分析：(1)類似于一元二次不等式的解法，運用“符號法則”將之化為兩個

一元一次不等式組處理；或者因為兩個數(shù)(式)相除異號，那么這兩個數(shù)(式)乘也

異號，可將分式不等式直接轉(zhuǎn)化為整式不等式求解。

(2)注意到經(jīng)過配方法，分母實際上是一個正數(shù)。

【例7】解不等式x+2

說明：(1)轉(zhuǎn)化為整式不等式時，一定要先將右端變?yōu)?。

(2)本例也可以直接去分母，但應注意討論分母的符號：

上，3n「+2>?；颉?2<?；蚧?

x+23(x+2)>13(x+2)<1——3

'1I3I3

三、含有字母系數(shù)的一元二次不等式

一元一次不等式最終可以化為">°工0)的形式。

b

(1)當a>。時，不等式的解為：一三；

色

(2)當"0時，不等式的解為：“:；

(3)當&=0時，不等式化為：0x>b；

①若b?0,則不等式無解；②若b<0,則不等式的解是全體實數(shù)。

【例8】求關(guān)于x的不等式nrx+2>2mx+m的解。

【例9】已知關(guān)于*的不等式〃-Ax>x+2的解為'-3,求實數(shù)人的值。

分析：將不等式整理成。的形式，可以考慮只有當">0時，才有形如

b_b

a的解，從而令a2。

練習

第五講二次函數(shù)的最值問題(一課時)

二次函數(shù)尸=a『.6x+c（aN0）是初中函數(shù)的主要內(nèi)容，也是高中學習的重要

基礎。在初中階段大家已經(jīng)知道：二次函數(shù)在自變量'取任意實數(shù)時的最值情況

b4ac-b2

（當a>0時，函數(shù)在'一焉處取得最小值4a,無最大值；當&<。時，函數(shù)

b4ac-b2

在'2a處取得最大值4a,無最小值。

本節(jié)我們將在這個基礎上繼續(xù)學習當自變量'在某個范圍內(nèi)取值時，函數(shù)的最

值問題。同時還將學習二次函數(shù)的最值問題在實際生活中的簡單應用。

【例1】當-2vxv2時，求函數(shù)，2、一的最大值和最小值。

分析：作出函數(shù)在所給范圍的及其對稱軸的草圖，觀察圖象的最高點和最低

點，由此得到函數(shù)的最大值、最小值及函數(shù)取到最值時相應自變量、的值。

【例2】當叱xv2時，求函數(shù)J，-一「1的最大值和最小值。

【例3】當CO時，求函數(shù)-M2-X）的取值范圍。

125

y--x—x—

【例4】當rvxvr+l時，求函數(shù)22的最小值（其中，為常數(shù)）。

分析：由于x所給的范圍隨著，的變化而變化，所以需要比較對稱軸與其范圍

的相對位置。

［例5］某商場以每件30元的價格購進一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天

的銷售量（件）與每件的銷售價x（元）滿足一次函數(shù)，"1623x,3O￡x<54o

（1）寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤，與每件銷售價、之間的函數(shù)關(guān)系

式；

（2）若商場要想每天獲得最大銷售利潤，每件商品的售價定為多少最合適？

最大銷售利潤為多少？

練習

第六講簡單的二元二次方程組（一課時）

在初中我們已經(jīng)學習了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程組的解

法，掌握了用消元法解二元一次方程組.高中新課標必修2中學習圓錐曲線時，

需要用到二元二次方程組的解法.因此，本講講介紹簡單的二元二次方程組的解

法。

含有兩個未知數(shù)、且含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做二元

二次方程。

由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組，或由兩個二元二次

方程組組成的方程組，叫做二元二次方程組。

一、由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組

一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組一般都可以用代入法

求解.其蘊含著轉(zhuǎn)化思想：將二元一次方程化歸為熟悉的一元二次方程求解。

\2x-y=0(1)

【例1】解方程組〔解-爐+3=°⑵

分析：由于方程⑴是二元一次方程，故可由方程Q),得，=2x,代入方程

⑵消去九

說明：

(1)解由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組的步驟：

①由二元一次方程變形為用x表示產(chǎn)的方程，或用￥表示x的方程(3)；

②把方程(3)代入二元二次方程，得一個一元二次方程；

③解消元后得到的一元二次方程；

④把一元二次方程的根，代入變形后的二元一次方程(3),求相應的未

知

數(shù)的值；

⑤寫出答案。

(2)消x,還是消幾應由二元一次方程的系數(shù)來決定.若系數(shù)均為整數(shù)，那

么最好消去系數(shù)絕對值較小的，如方程x-2y+l-0,可以消去、,變形得

、二2尸I,再代入消元。

(3)消元后，求出一元二次方程的根，應代入二元一次方程求另一未知數(shù)的

值，不能代入二元二次方程求另一未知數(shù)的值，因為這樣可能產(chǎn)生增根，這一點

切記。

*+y=|1(1)

【例2】解方程組I28(2)

分析：本題可以用代入消元法解方程組，但注意到方程組的特點，可以把,*、

，看成是方程？-?lz+28=0的兩根，則更容易求解。

(x+y=a

說明：(D對于這種對稱性的方程組'-11h,利用一元二次方程的根與系

數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程時，未知數(shù)要換成異于X、的字母，如z。

fx=4Lv=7

(2)對稱形方程組的解也應是對稱的，即有解,,則必有解14。

二、由兩個二元二次方程組成的方程組

1.可因式分解型的方程組

方程組中的一個方程可以因式分解化為兩個二元一次方程，則原方程組可轉(zhuǎn)

化為兩個方程組，其中每個方程組都是由一個二元二次方程和一個二元一次方程

組成。

V-/=5(x+y)(1)

［例3］解方程組X?+個+爐=43(2)

分析：注意到方程=j),可分解成(x+y)(x-y-5)=°,即得

*+^-°或、y5=0,則可得到兩個二元二次方程組，且每個方程組中均有一

個方程為二元一次方程。

說明：由兩個二元二次方程組成的方程組中，有一個方程可以通過因式分

解，化為兩個二元一次方程，則原方程組轉(zhuǎn)化為解兩個方程組，其中每一個方程

組均有一個方程是二元一次方程。

X2+xy=12(1)

［例4］解方程組xy+「=4(2)

分析：本題的特點是方程組中的兩個方程均缺一次項，我們可以消去常數(shù)

項，可得到一個二次三項式的方程.對其因式分解，就可以轉(zhuǎn)化為例3的類型。

說明：若方程組的兩個方程均缺一次項，則消去常數(shù)項，得到一個二元二次方

程.此方程與原方程組中的任一個方程聯(lián)立，得到一個可因式分解型的二元二次

方程組。

fX2+/=26(1)

【例5】解方程組1刈=5⑵

分析：⑴+(2)x2得："+.療=36,，(1)_(2)x2得：

(xy)2=16(4),分別分解(3)、(4)可得四個二元一次方程組。

fZ+K=f+y=<?

說明：對稱型方程組，如1x+y=6、m都可以通過變形轉(zhuǎn)化為

x+y=m

xy=n的形式，通過構(gòu)造一元二次方程求解。

2.可消二次項型的方程組

j懸新*巽:二ri；

【例6】解方程組1%尸俾密：

分析：注意到兩個方程都有廿項，所以可用加減法消之，得到一個二元一次

方程，即轉(zhuǎn)化為由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組.

說明：若方程組的兩個方程的二次項系數(shù)對應成比例，則可用加減法消去二

次項，得到一個二元一次方程，把它與原方程組的任意一個方程聯(lián)立，解此方程

組，即得原方程組的解.二元二次方程組類型多樣，消元與降次是兩種基本方

法，具體問題具體解決。

練習

第七講分式方程和無理方程的解法（一課時）

初中大家已經(jīng)學習了可化為一元一次方程的分式方程的解法。本講將要學習

可化為一元二次方程的分式方程的解法以及無理方程的解法.并且只要求掌握（1）

不超過三個分式構(gòu)成的分式方