人教版初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第四章幾何初步知識(shí)與三角形第16課時(shí)直角三角形課件

第16課時(shí)直角三角形基礎(chǔ)自主導(dǎo)學(xué)考點(diǎn)一

直角三角形的性質(zhì)1.直角三角形的兩銳角互余.2.在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.3.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.4.勾股定理:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.考點(diǎn)二

直角三角形的判定1.有一個(gè)角等于90°的三角形是直角三角形.2.有兩角互余的三角形是直角三角形.3.如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半,則該三角形是直角三角形.4.勾股定理的逆定理:如果三角形一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和,那么這個(gè)三角形是直角三角形.規(guī)律方法探究命題點(diǎn)1勾股定理【例1】

如圖,有一塊直角三角形紙片,兩直角邊AC=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊,使它落在斜邊AB上,且與AE重合,求CD的長.解:設(shè)CD長為x

cm,由折疊得△ACD≌△AED.∴AE=AC=6

cm,∠AED=∠C=90°,DE=CD=x

cm.在Rt△ABC中,AC=6

cm,BC=8

cm,∴EB=AB-AE=10-6=4(cm),BD=BC-CD=(8-x)cm.在Rt△DEB中,由勾股定理得DE2+BE2=DB2.∴x2+42=(8-x)2,解得x=3.∴CD的長為3

cm.變式訓(xùn)練有一塊直角三角形的綠地,量得兩直角邊的長分別為6m,8m,現(xiàn)在要將綠地?cái)U(kuò)充成等腰三角形,且擴(kuò)充部分是以8m為直角邊的直角三角形,求擴(kuò)充后等腰三角形綠地的周長.解:在Rt△ABC中,AC=8,BC=6,由勾股定理得AB==10,擴(kuò)充部分為Rt△ACD,擴(kuò)成等腰三角形ABD,應(yīng)分以下三種情況:(1)如圖①,當(dāng)AB=AD=10時(shí),可求得CD=CB=6,故△ABD的周長為32

m.圖①

圖②

圖③

(2)如圖②,當(dāng)AB=BD=10時(shí),可求得CD=4,由勾股定理得

(3)如圖③,當(dāng)AB為底時(shí),設(shè)AD=BD=x,則CD=x-6,命題點(diǎn)2勾股定理的逆定理【例2】

如圖,在四邊形ABCD中,∠A=90°,AB=3,AD=4,CD=13,CB=12,求四邊形ABCD的面積.在△BCD中,CD=13,CB=12,BD=5,∴CB2+BD2=CD2.∴∠DBC=90°.命題點(diǎn)3勾股定理的實(shí)際應(yīng)用【例3】

如圖,鐵路上A,B兩站(視為直線上兩點(diǎn))相距14km,C,D為兩村莊(可看為兩個(gè)點(diǎn)),DA⊥AB于點(diǎn)A,CB⊥AB于點(diǎn)B,已知DA=8km,CB=6km,現(xiàn)要在鐵路上建一個(gè)土特產(chǎn)收購站E,使C,D兩村到E站的距離相等,則E站應(yīng)建在距A站多少千米處?分析:因?yàn)镈A⊥AB于點(diǎn)A,CB⊥AB于點(diǎn)B,在AB上找一點(diǎn)可構(gòu)成兩個(gè)直角三角形,我們可想到通過勾股定理列方程進(jìn)行求解.解:設(shè)E站應(yīng)建在距A站x

km處.根據(jù)勾股定理有82+x2=62+(14-x)2,解得x=6.所以E站應(yīng)建在距A站6

km處.命題點(diǎn)4直角三角形性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例4】

已知在△ABC中,AB=AC,過點(diǎn)A的直線α從與邊AC重合的位置開始繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角θ,直線α交BC邊于點(diǎn)P(點(diǎn)P不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合),△BMN的邊MN始終在直線α上(點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方),且BM=BN,連接CN.(1)當(dāng)∠BAC=∠MBN=90°時(shí),①如圖a,當(dāng)θ=45°時(shí),∠ANC的度數(shù)為

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②如圖b,當(dāng)θ≠45°時(shí),①中的結(jié)論是否發(fā)生變化?說明理由.(2)如圖c,當(dāng)∠BAC=∠MBN≠90°時(shí),請(qǐng)直接寫出∠ANC與∠BAC之間的數(shù)量關(guān)系,不必證明.分析:在(1)中,①由AB=AC,∠BAC=∠MBN=90°,θ=45°,可得AN垂直平分BC,同理可得BC垂直平分AN,因此AC=CN,所以有∠ANC=θ=45°;②求角的度數(shù),一般要想辦法把它放到直角三角形中進(jìn)行,因此可分別過B,C兩點(diǎn)作MN的垂線,用三角形全等作為橋梁找到解決問題所需要的邊角關(guān)系;(2)根據(jù)②的思路得出結(jié)論.解:(1)①45°;②不變.理由:過B,C分別作BD⊥AP于點(diǎn)D,CE⊥AP于點(diǎn)E.∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠EAC=90°.∵BD⊥AE,∴∠ADB=90°,∴∠ABD+∠BAD=90°,∴∠ABD=∠EAC.又AB=AC,∠ADB=∠CEA=90°,∴△ABD≌△CAE,∴AD=CE,BD=AE.∵BD是等腰直角三角形N