河南省洛陽市伊濱區(qū)2024-2025學年上學期期中考試八年級數(shù)學試卷

2024-2025學年河南省洛陽市伊濱區(qū)八年級（上）期中數(shù)學試卷及解析一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）“一片甲骨驚天下”，甲骨文是迄今為止中國發(fā)現(xiàn)的年代最早的成熟文字系統(tǒng)，是漢字的源頭和中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的根脈．下面四個選項分別是用甲骨文書寫的虎、牛、龍、兔，其中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列各組圖形中，表示線段AD是△ABC中BC邊上的高的圖形為（）A． B． C． D．3．（3分）下列長度的三條線段能組成三角形的是（）A．5，5，5 B．5，5，10 C．5，6，12 D．3，4，74．（3分）在平面直角坐標系中，點P（2，﹣3）關(guān)于x軸對稱的點P′的坐標是（）A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（2，3）5．（3分）如圖是一副三角尺拼成的圖案，則∠AEB的度數(shù)為（）A．45° B．60° C．75° D．105°6．（3分）我國古代園林連廊常采用八角形的窗戶設(shè)計，如圖1所示，其輪廓是一個正八邊形，從窗戶向外觀看，景色宛如鑲嵌于一個畫框之中．圖2是八角形窗戶的示意圖，它的一個外角∠1的大小為（）A．22.5° B．45° C．60° D．135°7．（3分）如圖，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AC＝DF，要使得△ABC≌△DEF，還需要補充一個條件，則下列錯誤的條件是（）A．BF＝CE B．AC∥DF C．∠B＝∠E D．AB＝DE8．（3分）已知等腰三角形一腰上的高線與另一腰的夾角為50°，那么這個等腰三角形的頂角等于（）A．20°或70° B．40° C．140° D．40°或140°9．（3分）如圖，∠AOC＝15°，OC平分∠AOB，D是OC上一點，過點D作DE∥OB交OA于點A，DF⊥OB交OB于點F，已知DF＝1，則OE的長為（）A．1 B．2 C．3 D．410．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6cm，D為BC中點，E，F(xiàn)分別是AB，AC兩邊上的動點，且∠EDF＝90°，下列結(jié)論：①BE＝AF；②EF的長度不變；③∠BED+∠CFD的度數(shù)不變；④四邊形AEDF的面積為9cm2．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）空調(diào)安裝在墻上時，一般都會采用如圖所示的方法固定，其幾何原理是．12．（3分）如圖是某時刻在鏡子中看到準確時鐘的情況，則實際時間是．13．（3分）如圖，小明從A點出發(fā)，前進6m到點B處后向右轉(zhuǎn)20°，再前進6m到點C處后又向右轉(zhuǎn)20°，…，這樣一直走下去，他第一次回到出發(fā)點A時，一共走了m．14．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，以O(shè)為圓心，適當長為半徑畫弧，交x軸于點M，交y軸于點N，再分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在第二象限交于點P，若點P的坐標為（2a，b+1），則a與b的數(shù)量關(guān)系為．15．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A（6，0），B（0，4），點C在AB的垂直平分線上，且∠ACB＝90°，則點C的坐標為．三、解答題（本大題共8小題，共75分）16．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點坐標分別是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．（1）請畫出與△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；（2）請寫出點A1，B1，C1的坐標；（3）在x軸上找出點P，使得BP+CP的值最?。ūＡ糇鲌D痕跡）17．（9分）如圖，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分線，它們相交于點O，∠BAC＝50°，∠C＝70°．求∠DAC和∠BOA的度數(shù)．18．（9分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．（1）尺規(guī)作圖：作線段AB的垂直平分線DE，交BC于點D，交AB于點E（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）求證：BD＝DC．19．（9分）如圖，OB、OC為△ABC的角平分線，EF∥BC交AB、AC于E、F，△AEF的周長為16，BC長為8，求△ABC的周長．20．（9分）如圖，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB＝AC，AD＝AE．試判斷BD和CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．21．（10分）小麗與小琳在公園里蕩秋千．如圖，小麗坐在秋千的起始位置A處，OA與地面垂直，兩腳在地面上用力一蹬，小琳在距OA水平距離0.9m的B處接住她后用力一推，當秋千擺動到最高點C處時，小麗距離地面的高度EM為0.9m，已知∠BOC＝90°，BD⊥OA于點D，CE⊥OA于點E．（1）求證：△CEO≌△ODB；（2）為了安全考慮規(guī)定戶外秋千設(shè)置高度在2m以下，小麗所在公園的秋千高度設(shè)置是否合理？為什么？22．（9分）下面是嘉淇同學的數(shù)學日記，請仔細閱讀，并完成相應(yīng)任務(wù)．執(zhí)“規(guī)”“矩”等分已知角《伏羲女媧圖》中女媧執(zhí)規(guī)，伏羲執(zhí)矩，規(guī)與矩中間的圖案是太陽，象征天地秩序，我是數(shù)學愛好者，在我的眼里“規(guī)”是圓規(guī)，“矩”是直角工具“”，“太陽”是被等分的360°角．要研究等分360°角，可以先從研究平分一個已知角開始．怎樣借助圓規(guī)和直角工具作一個角的平分線呢？辦法1①以點O為圓心，任意長為半徑作弧，交OA于點M，交OB于點N；②分別以M，N為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點C；③作射線OC．射線OC即為∠AOB的平分線．辦法2①兩個“矩”如圖放置，頂點重合于C，一邊重合于直線CP；②以點C為圓心，任意長為半徑作弧，交CD于點M，交CE于點N；③使點M在射線OA上，點N在射線OB上，調(diào)整“矩”直至直線CP經(jīng)過點O．射線OC即為∠AOB的平分線．經(jīng)過測量，上述兩種辦法得到的∠AOC與∠BOC相等，驗證OC平分∠AOB成立．要想作為一般性方法，僅驗證成立是不行的，還需要推理論證．任務(wù)：（1）嘉淇的“辦法1”可由作法判斷△OMC≌△ONC，因為全等三角形的對應(yīng)角相等，所以∠MOC＝∠NOC，即OC平分∠AOB．請直接寫出判斷△OMC≌△ONC的依據(jù)是；（2）請說明嘉淇的辦法2的合理性．23．（12分）【問題初探】（1）在數(shù)學課上，張老師給出如下問題：如圖1，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB，求證：CD＝CE．①如圖2，小強同學從角平分線性質(zhì)的角度出發(fā)給出如下解題思路：過點C分別作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分別為M，N．以此來證明陰影部分的三角形全等得到CD＝CE．②如圖3，小穎同學從平分90°的條件出發(fā)給出另一種解題思路：過C作CF⊥OC，交OB于點F．以此來證明陰影部分的三角形全等得到CD＝CE．請你選擇一名同學的解題思路，寫出證明過程．【類比分析】（2）張老師發(fā)現(xiàn)兩名同學都運用了作垂線的方法造的全等三角形，為了幫助學生更好地感悟，張老師將圖1進行變換并提出了下面問題，請你解答．如圖4，∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，求證：CD＝CE．【學以致用】（3）如圖5，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，D是BC邊的中點，∠EDF＝120°，DE與AB邊相交于點E，DF與AC邊相交于點F．請直接寫出線段BE，CF和AB的數(shù)量關(guān)系．

2024-2025學年河南省洛陽市八年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題3分，共30分）1．（3分）“一片甲骨驚天下”，甲骨文是迄今為止中國發(fā)現(xiàn)的年代最早的成熟文字系統(tǒng)，是漢字的源頭和中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的根脈．下面四個選項分別是用甲骨文書寫的虎、牛、龍、兔，其中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】如果一個圖形沿著某條直線對折后，直線兩旁的部分能夠重合，則稱這個圖形是軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸；根據(jù)這個概念判斷即可．【解答】解：從四個選項的甲骨文看，只有選項B中的甲骨文能找到一條直線，使直線兩旁的部分能夠重合，而其余甲骨文則不具備這樣的特性．故選：B．【點評】本題考查了軸對稱圖形，正確記憶相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵．2．（3分）下列各組圖形中，表示線段AD是△ABC中BC邊上的高的圖形為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形高的畫法知，過點A作AD⊥BC，垂足為D，其中線段AD是△ABC的高，再結(jié)合圖形進行判斷即可．【解答】解：線段AD是△ABC中BC邊上的高的圖是選項C．故選：C．【點評】本題主要考查了三角形的高，三角形的高是指從三角形的一個頂點向?qū)呑鞔咕€，連接頂點與垂足之間的線段．3．（3分）下列長度的三條線段能組成三角形的是（）A．5，5，5 B．5，5，10 C．5，6，12 D．3，4，7【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊的和一定大于第三邊，即兩個短邊的和大于最長的邊，即可進行判斷．【解答】解：A、5+5＞5，故能構(gòu)成三角形，故此選項符合題意；B、5+5＝10，故不能構(gòu)成三角形，故此選項不符合題意；C、5+6＜12，故不能構(gòu)成三角形，故此選項不合題意；D、3+4＝7，故不能構(gòu)成三角形，故此選項不符合題意．故選：A．【點評】本題考查了三角形的三邊的關(guān)系，正確理解三角形三邊關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．4．（3分）在平面直角坐標系中，點P（2，﹣3）關(guān)于x軸對稱的點P′的坐標是（）A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（2，3）【分析】根據(jù)關(guān)于x軸的對稱點的坐標特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)．即點P（x，y）關(guān)于x軸的對稱點P′的坐標是（x，﹣y），進而得出答案．【解答】解：點P（2，﹣3）關(guān)于x軸對稱的點P′的坐標是（2，3）．故選：D．【點評】此題主要考查了關(guān)于x軸對稱點的性質(zhì)，正確掌握關(guān)于x軸對稱點的坐標特點是解題關(guān)鍵．5．（3分）如圖是一副三角尺拼成的圖案，則∠AEB的度數(shù)為（）A．45° B．60° C．75° D．105°【分析】三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，由此即可計算．【解答】解：∵∠EBC＝45°，∠ECB＝30°，∴∠AEB＝∠EBC+∠ECB＝75°．故選：C．【點評】本題考查三角形的外角性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．6．（3分）我國古代園林連廊常采用八角形的窗戶設(shè)計，如圖1所示，其輪廓是一個正八邊形，從窗戶向外觀看，景色宛如鑲嵌于一個畫框之中．圖2是八角形窗戶的示意圖，它的一個外角∠1的大小為（）A．22.5° B．45° C．60° D．135°【分析】由多邊形的外角和定理直接可求出結(jié)論．【解答】解：∵正八邊形的每一個外角都相等，外角和為360°，∴它的一個外角∠1＝360°÷8＝45°．故選：B．【點評】本題考查了多邊形外角和定理，平面鑲嵌等知識點，掌握外角和定理是解題的關(guān)鍵．7．（3分）如圖，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AC＝DF，要使得△ABC≌△DEF，還需要補充一個條件，則下列錯誤的條件是（）A．BF＝CE B．AC∥DF C．∠B＝∠E D．AB＝DE【分析】分別判斷選項所添加的條件，根據(jù)三角形的判定定理：ASA、SAS、AAS進行判斷即可．【解答】解：A、添加BF＝CE，可得，BC＝EF，不能得出△ABC≌△DEF，符合題意；B、添加AC∥DF，可得，∠ACB＝∠DFE，利用ASA得出△ABC≌△DEF，不符合題意；C、添加∠B＝∠E，利用AAS得出△ABC≌△DEF，不符合題意；D、添加AB＝DE，利用SAS得出△ABC≌△DEF，不符合題意；故選：A．【點評】本題主要考查對全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，熟練地運用全等三角形的判定定理進行證明是解此題的關(guān)鍵，是一個開放型的題目，比較典型．8．（3分）已知等腰三角形一腰上的高線與另一腰的夾角為50°，那么這個等腰三角形的頂角等于（）A．20°或70° B．40° C．140° D．40°或140°【分析】分三角形是銳角三角形時，利用直角三角形兩銳角互余求解；三角形是鈍角三角形時，利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式計算即可得解．【解答】解：如圖1，三角形是銳角三角時，∵∠ACD＝50°，∴頂角∠A＝90°﹣50°＝40°；如圖2，三角形是鈍角時，∵∠ACD＝50°，∴頂角∠BAC＝50°+90°＝140°，綜上所述，頂角等于40°或140°．故選：D．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，難點在于分情況討論，作出圖形更形象直觀．9．（3分）如圖，∠AOC＝15°，OC平分∠AOB，D是OC上一點，過點D作DE∥OB交OA于點A，DF⊥OB交OB于點F，已知DF＝1，則OE的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】過點D作DG⊥OA，由角平分線的性質(zhì)得DG＝DF＝1，∠AOB＝2∠AOC＝30°，結(jié)合DE∥OB，可知∠DEG＝30°，∠EDO＝∠EOD＝15°，則OE＝DE＝2DG＝2，即可求解．【解答】解：過點D作DG⊥OA，∵OC平分∠AOB，D是OC上一點，DG⊥OA，DF⊥OB，DF＝1，∠AOC＝15°，∴DG＝DF＝1，∠AOB＝2∠AOC＝30°，又∵DE∥OB，∴∠DEG＝∠AOB＝30°，則∠EDO＝∠DEG﹣∠AOC＝15°∴DE＝2DG＝2，∠EDO＝∠EOD＝15°，∴OE＝DE＝2，故選：B．【點評】本題考查角平分線的性質(zhì)，等角對等邊，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)作輔助線得DG＝DF＝1是解決問題的關(guān)鍵．10．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6cm，D為BC中點，E，F(xiàn)分別是AB，AC兩邊上的動點，且∠EDF＝90°，下列結(jié)論：①BE＝AF；②EF的長度不變；③∠BED+∠CFD的度數(shù)不變；④四邊形AEDF的面積為9cm2．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】證明△BDE≌△ADF（ASA）即可一一判斷得出答案．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，∵∠BDA＝∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，∵∠B＝∠DAF＝45°，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF，DE＝DF，故①正確，∵DE＝DF，∠EDF＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∵DE的長度是變化的，∴EF的長度是變化的．故②不正確．∵△BDE≌△ADF，∴∠BED＝∠AFD，∴∠BED+∠CFD＝∠AFD+∠CFD＝180°，故③正確；∵△BDE≌△ADF，∴S△BDE＝S△ADF，∴S△ADE+S△ADF＝S△ADE+S△BDE＝S△ADB＝＝×6×6＝9（cm2）．故④正確．故選：C．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形面積的計算，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）空調(diào)安裝在墻上時，一般都會采用如圖所示的方法固定，其幾何原理是三角形具有穩(wěn)定性．【分析】釘在墻上的方法是構(gòu)造三角形支架，應(yīng)用了三角形的穩(wěn)定性．【解答】解：這種方法應(yīng)用的數(shù)學知識是：三角形的穩(wěn)定性，故答案為：三角形具有穩(wěn)定性．【點評】本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，正確掌握三角形的這一性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（3分）如圖是某時刻在鏡子中看到準確時鐘的情況，則實際時間是7點20分（或7：20）．【分析】根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)求解，在平面鏡中的像與現(xiàn)實中的事物恰好左右或上下順序顛倒，且關(guān)于鏡面對稱．【解答】解：根據(jù)鏡面對稱的性質(zhì)，題中所顯示的時刻成軸對稱，所以此時實際時刻為7點20分（或7：20）．故答案為：7點20分（或7：20）．【點評】本題考查鏡面反射的原理與性質(zhì)．解決此類題應(yīng)認真觀察，注意技巧．13．（3分）如圖，小明從A點出發(fā)，前進6m到點B處后向右轉(zhuǎn)20°，再前進6m到點C處后又向右轉(zhuǎn)20°，…，這樣一直走下去，他第一次回到出發(fā)點A時，一共走了108m．【分析】根據(jù)多邊形的外角和及每一個外角的度數(shù)，可求出多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)題意求出正多邊形的周長即可．【解答】解：由題意可知，當她第一次回到出發(fā)點A時，所走過的圖形是一個正多邊形，由于正多邊形的外角和是360°，且每一個外角為20°，360°÷20°＝18，所以它是一個正18邊形，因此所走的路程為18×6＝108（m），故答案為：108．【點評】本題考查多邊形的外角和，掌握多邊形的外角和定理以及正多邊形的判定是解決問題的前提．14．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，以O(shè)為圓心，適當長為半徑畫弧，交x軸于點M，交y軸于點N，再分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在第二象限交于點P，若點P的坐標為（2a，b+1），則a與b的數(shù)量關(guān)系為2a+b＝﹣1．【分析】根據(jù)作圖方法可得點P在第二象限的角平分線上，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和第二象限內(nèi)點的坐標符號可得2a+b+1＝0，然后再整理可得答案．【解答】解：根據(jù)作圖方法可得點P在第二象限的角平分線上，因此2a+b+1＝0，即：2a+b＝﹣1．故答案為：2a+b＝﹣1．【點評】此題主要考查了基本作圖，關(guān)鍵是掌握角平分線的做法．15．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A（6，0），B（0，4），點C在AB的垂直平分線上，且∠ACB＝90°，則點C的坐標為（5，5）或（1，﹣1）．【分析】分兩種情況，結(jié)合全等三角形的判定和性質(zhì)，即可求解．【解答】解：∵A（6，0），B（0，4），∴OA＝6，OB＝4，分兩種情況：①如圖所示，過點C作CD⊥OB于D，CE⊥OA于E，則∠CDO＝∠CEO＝∠DOE＝90°，∴四邊形ODCE是矩形，∠DCE＝90°，∵∠BCA＝∠DCE＝90°，∴∠BCD＝∠ACE＝90°﹣∠BCE，∵點C在AB的垂直平分線上，∴BC＝AC，在△BCD與△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（AAS），∴AE＝BD，CE＝CD，∴4+AE＝6﹣AE，四邊形ODCE是正方形，∴AE＝1，CE＝CD＝OE，∴OE＝OD＝5，∴點C坐標為（5，5）．②如圖所示，過點C作CD⊥OB于D，CE⊥OA于E，則∠CDO＝∠CEO＝∠DOE＝90°，∴四邊形ODCE是矩形，∠DCE＝90°，∵∠BCA＝∠DCE＝90°，∴∠BCD＝∠ACE＝90°﹣∠BCE，∵點C在AB的垂直平分線上，∴BC＝AC，在△BCD與△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（AAS），∴AE＝BD，CE＝CD，∴4+OE＝6﹣OE，四邊形ODCE是正方形，∴OE＝1，CE＝CD＝OE，∴點C坐標為（1，﹣1）．綜上可知點C坐標為：（5，5）或（1，﹣1）．故答案為：（5，5）或（1，﹣1）．【點評】本題考查了坐標與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，注意分類思想的運用，有一定的難度．三、解答題（本大題共8小題，共75分）16．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點坐標分別是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．（1）請畫出與△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；（2）請寫出點A1，B1，C1的坐標；（3）在x軸上找出點P，使得BP+CP的值最?。ūＡ糇鲌D痕跡）【分析】（1）利用軸對稱變換的性質(zhì)分別分別作出A，B，C的對應(yīng)點A1，B1，C1即可；（2）根據(jù)圖形可得三點的坐標；（3）作B點關(guān)于x軸的對稱點B′，連接B′C交x軸于P點．【解答】解：（1）如圖所示△A1B1C1即為所求；（2）如圖所示A1，B1，C1的坐標分別為（﹣2，﹣2）、（﹣1，﹣2）、（﹣3，﹣3）．（3）如圖，點P為所作．【點評】本題考查了作圖﹣軸對稱變換：幾何圖形都可看作是由點組成，我們在畫一個圖形的軸對稱圖形時，也是先從確定一些特殊的對稱點開始的，17．（9分）如圖，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分線，它們相交于點O，∠BAC＝50°，∠C＝70°．求∠DAC和∠BOA的度數(shù)．【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠ADC＝90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠DAC＝90°﹣60°＝30°，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAO＝BAC＝25°，∠ABO＝ABC＝35°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝70°，∴∠DAC＝90°﹣70°＝20°，∵AE平分∠BAC，∠BAC＝50°，∴∠BAO＝BAC＝25°，∵∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝60°，BF平分∠ABC，∴∠ABO＝ABC＝30°，∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝125°故∠DAC和∠BOA的度數(shù)分別為20°和125°．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．18．（9分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．（1）尺規(guī)作圖：作線段AB的垂直平分線DE，交BC于點D，交AB于點E（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）求證：BD＝DC．【分析】（1）利用基本作圖（作已知線段的垂直平分線）作出DE垂直平分AB；（2）連接AD，如圖，先利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計算出∠B＝∠C＝30°，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得DA＝DB，則∠DAB＝∠B＝30°，接著計算出∠CAD＝90°，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AD＝CD，從而得到結(jié)論．∴BD＝CD．【解答】（1）解：如圖，DE為所作；（2）證明：連接AD，如圖，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣120°）＝30°，∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝30°，∴∠CAD＝120°﹣30°＝90°，在Rt△ADC中，AD＝CD，∴BD＝CD．【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握5種基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線）．19．（9分）如圖，OB、OC為△ABC的角平分線，EF∥BC交AB、AC于E、F，△AEF的周長為16，BC長為8，求△ABC的周長．【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠ABO＝∠CBO，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠CBO＝∠EOB，從而得到∠ABO＝∠EOB，根據(jù)等角對等邊可得BE＝OE，同理可證CF＝OF，然后求出△AEF的周長＝AB+AC，最后根據(jù)三角形的周長的定義解答．【解答】解：∵OB平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO，∵EF∥BC，∴∠CBO＝∠EBO，∴∠ABO＝∠EOB，∴BE＝OE，同理可得，CF＝OF，∵△AEF的周長為16，∴AE+OE+OF+AF＝AE+BE+CF+AF＝AB+AC＝16，∵BC＝8，∴△ABC的周長＝16+8＝24．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記性質(zhì)并求出△AEF的周長＝AB+AC是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．20．（9分）如圖，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB＝AC，AD＝AE．試判斷BD和CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．【分析】證明△ABD≌△ACE（SAS），得∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，然后利用直角三角形兩個銳角互余得∠ACO+∠AOC＝90°，再等量代換即可解決問題．【解答】解：結(jié)論：BD＝CE，BD⊥CE，理由：如圖，設(shè)AB，BD與CE交于點O，Q，∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，∵∠ACO+∠AOC＝90°，∴∠OBQ+∠BOQ＝90°，∴∠BQO＝90°，∴BD⊥CE．【點評】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的兩個銳角互余，解決本題的關(guān)鍵是得到△ABD≌△ACE．21．（10分）小麗與小琳在公園里蕩秋千．如圖，小麗坐在秋千的起始位置A處，OA與地面垂直，兩腳在地面上用力一蹬，小琳在距OA水平距離0.9m的B處接住她后用力一推，當秋千擺動到最高點C處時，小麗距離地面的高度EM為0.9m，已知∠BOC＝90°，BD⊥OA于點D，CE⊥OA于點E．（1）求證：△CEO≌△ODB；（2）為了安全考慮規(guī)定戶外秋千設(shè)置高度在2m以下，小麗所在公園的秋千高度設(shè)置是否合理？為什么？【分析】（1）由∠CEO＝∠ODB＝∠BOC＝90°，推導出∠COE＝∠OBD＝90°﹣∠BOD，而CO＝OB，即可根據(jù)“AAS”證明△CEO≌△ODB；（2）由點B到OA的水平距離為0.9m，可知BD＝0.9m，由全等三角形的性質(zhì)得OE＝BD＝0.9m，而EM＝0.9m，所以O(shè)M＝1.8m＜2m，可知小麗所在公園的秋千高度設(shè)置合理．【解答】（1）證明：根據(jù)題意得CO＝OB，∵CE⊥OA于點E，BD⊥OA于點D，∴∠CEO＝∠ODB＝90°，∵∠BOC＝90°，∴∠COE＝∠OBD＝90°﹣∠BOD，在△CEO和△ODB中，，∴△CEO≌△ODB（AAS）．（2）解：小麗所在公園的秋千高度設(shè)置合理，理由：∵點B到OA的水平距離為0.9m，BD⊥OA于點D，∴BD＝0.9m，由（1）得△CEO≌△ODB，∴OE＝BD＝0.9m，∵EM＝0.9m，∴OM＝OE+EM＝0.9+0.9＝1.8（m），∵1.8m＜2m，∴小麗所在公園的秋千高度設(shè)置合理．【點評】此題重點考查全等三角形的判定與性質(zhì)，推導出∠COE＝∠OBD并且適當選擇全等三角形的判定定理證明△CEO≌△ODB是解題的關(guān)鍵．22．（9分）下面是嘉淇同學的數(shù)學日記，請仔細閱讀，并完成相應(yīng)任務(wù)．執(zhí)“規(guī)”“矩”等分已知角《伏羲女媧圖》中女媧執(zhí)規(guī)，伏羲執(zhí)矩，規(guī)與矩中間的圖案是太陽，象征天地秩序，我是數(shù)學愛好者，在我的眼里“規(guī)”是圓規(guī)，“矩”是直角工具“”，“太陽”是被等分的360°角．要研究等分360°角，可以先從研究平分一個已知角開始．怎樣借助圓規(guī)和直角工具作一個角的平分線呢？辦法1①以點O為圓心，任意長為半徑作弧，交OA于點M，交OB于點N；②分別以M，N為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點C；③作射線OC．射線OC即為∠AOB的平分線．辦法2①兩個“矩”如圖放置，頂點重合于C，一邊重合于直線CP；②以點C為圓心，任意長為半徑作弧，交CD于點M，交CE于點N；③使點M在射線OA上，點N在射線OB上，調(diào)整“矩”直至直線CP經(jīng)過點O．射線OC即為∠AOB的平分線．經(jīng)過測量，上述兩種辦法得到的∠AOC與∠BOC相等，驗證OC平分∠AOB成立．要想作為一般性方法，僅驗證成立是不行的，還需要推理論證．任務(wù)：（1）嘉淇的“辦法1”可由作法判斷△OMC≌△ONC，因為全等三角形的對應(yīng)角相等，所以∠MOC＝∠NOC，即OC平分∠AOB．請直接寫出判斷△OMC≌△ONC的依據(jù)是SSS；（2）請說明嘉淇的辦法2的合理性．【分析】（1）根據(jù)SSS證明三角形全等即可；（2）根據(jù)SAS證明三角形全等即可．【解答】解：（1）在△OMC和△ONC中，，∴△OMC≌△ONC（SSS），∴∠MOC＝∠NOC，∴射線OC平分∠AOB．故答案為：SSS；（2）由題意，得CM＝CN，∠OCM＝∠OCN＝90°，OC＝OC，∴△OMC≌△ONC（SAS）∴∠AOC＝∠BOC，即OC平分∠AOB．【點評】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖，全等三角形的應(yīng)用，角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．23．（12分）【問題初探】（1）在數(shù)學課上，張老師給出如下問題：如圖1，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB，求證：CD＝CE．①如圖2，小強同學從角平分線性質(zhì)的角度出發(fā)給出如下解題思路：過點C分別作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分別為M，N．以此來證明陰影部分的三角形全等得到CD＝CE．②如圖3，小穎同學從平分90°的條件出發(fā)給出另一種解題思路：過C作CF⊥OC，交OB于點F．以此來證明陰影部分的三角形全等得到CD＝CE．請你選擇一名同學的解題思路，寫出證明過程．【類比分析】（2）張老師發(fā)現(xiàn)兩名同學都運用了作垂線的方法造的全等三角形，為了幫助學生更好地感悟，張老師將圖1進行變換并提出了