吉林省2024-2025學年高二上學期11月期中聯(lián)考 數(shù)學試題（含解析）

吉林省2024?2025學年高二上學期11月期中聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．若直線與直線平行，則（

）A． B． C．1 D．3．已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．若構成空間的一個基底，則下列選項中能作為基底的是（

）A． B．C． D．5．空間內(nèi)有三點，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．6．已知橢圓的右焦點為，上頂點為，點是上一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．如圖，在棱長為3的正四面體中，為的中心，為PA的中點，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．68．如圖，已知半橢圓與半橢圓組成的曲線稱為“果圓”，其中.“果圓”與軸的交點分別為，與軸的交點分別為，點為半橢圓上一點（不與重合），若存在.，則半橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知曲線，則下列說法正確的是（

）A．若，則是橢圓，其焦點在軸上B．若，則是雙曲線，其漸近線方程為C．若，則是橢圓，其離心率為D．若，則是雙曲線，其離心率為10．已知球的半徑為，則（

）A．球的內(nèi)接正方體的內(nèi)切球表面積為B．球的內(nèi)接正方體的內(nèi)切球體積為C．球的內(nèi)接正四面體的內(nèi)切球半徑為D．球的內(nèi)接正四面體的內(nèi)切球半徑為11．如圖，正方體的棱長為分別為的中點，為底面內(nèi)的動點，且，則（

）A．動點的軌跡長度為B．存在點，使異面直線與所成的角為C．點到平面的距離的最小值為D．點到平面的距離的最大值為三、填空題（本大題共3小題）12．在平行六面體中，設，則.（用表示）13．若點在圓的外部，則正實數(shù)的取值范圍是.14．已知圓，直線，為直線上一動點，為圓上一動點，定點，則的最小值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知直線，圓.(1)證明：直線與圓相交.(2)記直線與圓的交點為，求AB的最小值.16．已知橢圓的焦距為12，長半軸長為.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓相交于兩點，若線段的中點坐標為，求直線的方程.17．如圖，在體積為的三棱柱中，平面平面，，.

(1)證明：平面.(2)求平面與平面夾角的余弦值18．如圖，在三棱臺中，平面，，，，是棱的中點，為棱上一動點.(1)若，證明：平面；(2)是否存在，使平面平面？若存在，求此時與平面所成角的正弦值；若不存在，說明理由.19．已知分別為橢圓的左?右焦點，分別為橢圓的左?右頂點，Px0,y0為橢圓上的動點，過動點Px0,y0作橢圓的切線.分別與直線和相交于兩點，四邊形的對角線相交于點，記動點的軌跡為.(1)證明：橢圓在點處的切線方程為.(2)求動點的軌跡的方程.(3)過點作斜率不為的直線與相交于點，直線與的交點為，判斷點是否在定直線上.

參考答案1．【答案】B【詳解】由，可得，則直線斜率為，故傾斜角為.故選：B.2．【答案】C【詳解】因為，所以，解得或.當時，重合，不合題意；當時，，符合題意.故選：C.3．【答案】A【詳解】向量在向量上的投影向量為．故選：A4．【答案】D【詳解】對于A，由，可知共面，故不能作為基底，即A錯誤；對于B，由，可知共面，故B錯誤；對于C，由，可知共面，故C錯誤；對于D，因為不存在，使得，所以不共面，即可以作為基底，故D正確.故選：D.5．【答案】A【詳解】因為，所以的一個單位方向向量為.因為，所以點到直線的距離為.故選：A6．【答案】C【詳解】設橢圓的左焦點為，則由橢圓的定義知，所以.當三點共線時，，所以的最小值為.故選：C.7．【答案】B【詳解】連接AO，AE，PE．因為，，所以．故選：B.8．【答案】D【詳解】（解法1）設，因為，所以.，所以.因為，所以.因為，所以，即，解得.（解法2）設，因為，所以，所以.因為，所以.因為存在.，所以在上有解.因為，且，所以在上有解，即在上有解.因為，所以，即解得.9．【答案】ACD【詳解】若，則的方程可整理成，其表示焦點在軸上的橢圓，所以A正確；若，則的方程可整理成，其表示雙曲線，漸近線方程為，所以B不正確；若，則的方程可整理成，其表示橢圓，離心率為，所以C正確；若，則的方程可整理成，其表示雙曲線，離心率為，所以D正確.故選：ACD10．【答案】BC【詳解】對于A，B，設球的內(nèi)接正方體的棱長為，球的內(nèi)接正方體的內(nèi)切球的半徑為，則球的內(nèi)接正方體的內(nèi)切球半徑，球的半徑，所以，所以表面積，體積，故A不正確，B正確；對于C，D，設球的內(nèi)接正四面體的棱長為，球的內(nèi)接正四面體的內(nèi)切球半徑為，如圖，可知，，，由可得，解得，因為球的內(nèi)接正四面體的體積，球的內(nèi)接正四面體的表面積，又因為，所以球的內(nèi)接正四面體的內(nèi)切球半徑，故C正確，D不正確．故選：BC.11．【答案】ACD【詳解】因為為底面內(nèi)的動點，且，所以，所以動點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓落在底面內(nèi)的部分，所以動點的軌跡長度為，故A正確.如圖，建立空間直角坐標系，則，設，因為，所以.因為無解，所以不存在滿足條件的點，故B錯誤.設平面的法向量為n=x,y,z，因為，所以令，得.因，所以點到平面的距離，當時，，所以C確.當或時，，所以D正確.故選：ACD.12．【答案】【詳解】.故答案為：.13．【答案】【詳解】由題意可得，解得，故正實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14．【答案】【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，則直線與圓相離，設點關于的對稱點為，則，解得，即，由對稱性可知，，,因為為圓上一點，則，所以.當且僅當、、三點共線，且為線段與圓的交點時，上述兩個等號同時成立，故的最小值為.故答案為：.15．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）直線：，令，解得，則直線過定點，圓的圓心，半徑，而，因此點在圓的內(nèi)部，所以直線與圓相交.（2）由（1）知，，當且僅當時，弦長最短，所以AB的最小值為.16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可知則，所以橢圓的方程為.（2）

由題意直線l的斜率存在，如圖，設Ax1兩式相減得，整理可得.因為線段的中點坐標為，所以，所以直線的斜率，故直線的方程為，即.17．【答案】(1)證明見解析(2).【詳解】（1）證明：取的中點，連接.由為正三角形，得.因為平面平面且交于，所以平面，即為該三棱柱的高.因為三棱柱的體積，且，所以.因為，所以，即.由平面平面且交于，平面，可得平面.因為平面，所以.因為，所以.在菱形中，.又因，平面，平面，所以平面.（2）如圖，過作直線平行于交于，以為原點，以的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，B1,0,0，，.

設平面的法向量為，因為.所以令，得.設平面的法向量為，因為，所以令，得.因為，所以平面與平面夾角的余弦值為.18．【答案】(1)證明見解析(2)存在，且與平面所成角的正弦值為【詳解】（1）因為平面，如圖，以為原點，以、的方向分別為、軸的正方向建立空間直角坐標系，則、、、、、，.因為，設點，則，則，解得，則，設平面的法向量為，因為，，所以，令，得.因為，所以，因為平面，所以，平面.（2）設平面的法向量為，因為，，所以，令，得.設，則，設平面的法向量為，因為，，所以，令，可得，假設平面平面，則.由，解得，所以.設與平面所成的角為，則，所以存在，使平面平面，此時與平面所成角的正弦值為.19．【答案】(1)證明見解析(2)(3)在【詳解】（1）證明：聯(lián)立方程組，消去整理得，又，即