專題28 與圓有關的計算（練習）（21題型）

第28講與圓有關的計算目錄TOC\o"1-2"\h\u題型過關練 2題型01求正多邊形中心角 2題型02求正多邊的邊數 2題型03正多邊形與圓中求角度 2題型04正多邊形與圓中求面積 3題型05正多邊形與圓中求周長 4題型06正多邊形與圓中求邊心距、邊長 6題型07正多邊形與圓中求線段長 7題型08正多邊形與圓的規(guī)律問題 8題型09求弧長 9題型10利用弧長及扇形面積公式求半徑 10題型11利用弧長及扇形面積公式求圓心角 12題型12求某點的弧形運動路徑長度 12題型13求扇形面積 14題型14求圖形旋轉后掃過的面積 15題型15求圓錐側面積 17題型16求圓錐底面半徑 17題型17求圓錐的高 18題型18求圓錐側面積展開圖的圓心角 19題型19圓錐的實際問題 19題型20圓錐側面上的最短路徑問題 20題型21計算不規(guī)則面積 21真題實戰(zhàn)練 24

題型過關練題型01求正多邊形中心角1．（2022·河北石家莊·統(tǒng)考二模）如圖，邊AB是⊙O內接正六邊形的一邊，點C在AB上，且BC是⊙O內接正八邊形的一邊，若AC是⊙O內接正n邊形的一邊，則n的值是（）A．6 B．12 C．24 D．482．（2022·吉林長春·?？寄M預測）如圖，正五邊形ABCDE內接于⊙O，點F在DE上，則∠CFD＝_____度．3．（2022·江蘇揚州·揚州教育學院附中校考二模）如圖，在正十邊形A1A2A3A4題型02求正多邊的邊數4．（2022·上海松江·統(tǒng)考二模）如果一個正多邊形的中心角為72°，那么這個正多邊形的邊數是_______．5．（2022·上海浦東新·統(tǒng)考二模）一個正n邊形的一個內角等于它的中心角的2倍，則n=___．6．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考二模）一個正多邊形內接于半徑為4的⊙O，AB是它的一條邊，扇形OAB的面積為2π，則這個正多邊形的邊數是______．題型03正多邊形與圓中求角度7．（2022·山東青島·統(tǒng)考二模）如圖，五邊形ABCDE是⊙O的內接正五邊形，則∠EBC的度數為（

）A．54° B．60° C．71° D．72°8．（2022·河北·模擬預測）如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，連接BD．則∠CBD的度數是（

）A．30° B．45° C．60° D．90°9．（2022·河北保定·統(tǒng)考模擬預測）如圖，點O是正六邊形ABCDEF的中心，∠GOK的兩邊OG,OK，分別與AB,CB，相交于點M，N，當∠GOK+∠ABC=180A．∠GOK=60° B．MB+NB=DCC．S四邊形OMBN=112S10．（2022·廣西梧州·統(tǒng)考一模）如圖，在正五邊形ABCDE中，AC與BE相交于點F，則∠AFE的度數為_____．題型04正多邊形與圓中求面積11．（2022·河北廊坊·統(tǒng)考二模）如圖，兩張完全相同的正六邊形紙片（邊長為2a）重合在一起，下面一張保持不動，將上面一張紙片六邊形A'B'C'D'A．3:1 B．4:1 C．5:2 D．2:112．（2022·浙江寧波·統(tǒng)考二模）如圖，正六邊形ABCDEF中，點P是邊AF上的點，記圖中各三角形的面積依次為S1,SA．S1+S2=2S3 B．13．（2022·浙江杭州·杭州育才中學?？寄M預測）邊長為a的正方形的對稱軸有____________條，這個正方形的外接圓的面積是____________．14．（2022·寧夏銀川·?？既＃┤鐖D，已知⊙O的內接正六邊形ABCDEF的邊心距OM是3，則陰影部分的面積是___________．15．（2022·四川成都·?？寄M預測）求半徑為20的圓內接正三角形的邊長和面積.題型05正多邊形與圓中求周長16．（2022·河北唐山·統(tǒng)考二模）如圖，有公共頂點O的兩個邊長為5的正五邊形（不重疊），以點O為圓心，5為半徑作弧，構成一個“蘑菇”形圖案（陰影部分），則這個“蘑菇”形圖案的周長為（

）A．4π B．4πC．10π D．10π17．（2022·江西吉安·統(tǒng)考一模）某校開展“展青春風采，樹強國信念”科普大閱讀活動．小明看到黃金分割比是一種數學上的比例關系，它具有嚴格的比例性、藝術性、和諧性，蘊藏著豐富的美學價值，應用時一般取0.618．特別奇妙的是在正五邊形中，如圖所示，連接AB，AC，∠ACB的角平分線交邊AB于點D，則點D就是線段AB的一個黃金分割點，且AD>BD，已知AC=10cm，那么該正五邊形的周長為（

A．19.1cm B．25cm C．30.9cm D．40cm18．（2022·云南昆明·統(tǒng)考二模）我國魏晉時期的數學家劉徽首創(chuàng)“割圓術”：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”，即通過圓內接正多邊形割圓，從正六邊形開始，每次邊數成倍增加，依次可得圓內接正十二邊形，內接正二十四邊形，…．邊數越多割得越細，正多邊形的周長就越接近圓的周長．再根據“圓周率等于圓周長與該圓直徑的比”來計算圓周率．設圓的半徑為R，圖1中圓內接正六邊形的周長l6=6R，則π≈lA．l12=24RsinC．l12=24Rsin19．（2022·浙江·統(tǒng)考二模）如圖1是學生常用的一種圓規(guī)，其手柄AB=8mm，兩腳BC=BD=56mm，如圖2所示．當∠CBD=74°時：(1)求A離紙面CD的距離．(2)用該圓規(guī)作如圖3所示正六邊形，求該正六邊形的周長．（參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，結果精確到0.1）題型06正多邊形與圓中求邊心距、邊長20．（2022·廣東湛江·嶺師附中校聯考三模）半徑為2的圓內接正六角形的邊長是（）A．1 B．2 C．3 D．2321．（2022·河南信陽·統(tǒng)考三模）如圖1，動點P從正六邊形的A點出發(fā)，沿A→F→E→D→C以1cm/s的速度勻速運動到點C，圖2是點P運動時，△ACP的面積y（cm2）隨著時間x（s）的變化的關系圖象，則正六邊形的邊長為（

）A．2cm B．3cm C．1cm D．3cm22．（2022·四川達州·四川省渠縣中學?？级＃┤鐖D，⊙O的內接正六邊形的邊長是6，則弦心距是_________．23．（2022·陜西西安·?？寄M預測）某正多邊形的邊心距3，半徑為2，則該正多邊形的面積為________．24．（2022·遼寧沈陽·統(tǒng)考二模）半徑為6的圓內接正三角形的邊心距為__________．題型07正多邊形與圓中求線段長25．（2022·江蘇徐州·徐州市第十三中學?？既＃┤鐖D所示的正八邊形的邊長為2，則對角線AB的長為（

）A．22+2 B．4 C．2+26．（2022·吉林長春·模擬預測）如圖，正五邊形ABCDE內接于⊙O，過點A作⊙O的切線交對角線DB的延長線于點F，則下列結論不成立的是（

）A．AE∥BF B．AF∥CD C．27．（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）如圖，點P是正六邊形ABCDEF內一點，AB=4，當∠APB=90°時，連接PD，則線段PD的最小值是（

）A．211?2 B．213?2 28．（2022·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預測）在正六邊形ABCDEF中，對角線AC，BD相交于點M，則AMCM的值為______題型08正多邊形與圓的規(guī)律問題29．（2022·江蘇揚州·模擬預測）如圖，把正六邊形各邊按一定方向延長，使延長的線段與原正六邊形的邊長相等，順次連接這六條線段外端點，可以得到一個新的正六邊形，，重復上述過程，經過2018次后，所得的正六邊形的邊長是原正六邊形邊長的（

）A．(2)2016倍 B．(3)2017倍 C．30．（2022·廣東湛江·?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，邊長為2的正六邊形ABCDEF的中心與原點O重合，AB∥x軸，交y軸于點P．將△OAP繞點O順時針旋轉，每次旋轉90°，則第2023次旋轉結束時，點A的坐標為______．31．（2022·廣東·模擬預測）如圖，邊長為1的正六邊形ABCDEF放置于平面直角坐標系中，邊AB在x軸正半軸上，頂點F在y軸正半軸上，將正六邊形ABCDEF繞坐標原點O順時針旋轉，每次旋轉60°，那么經過第2025次旋轉后，頂點D的坐標為（）A．（?32，?3） B．（32，?332） C．（?3，題型09求弧長32．（2022·山東棗莊·統(tǒng)考三模）一根鋼管放在V形架內，其橫截面如圖所示，鋼管的半徑是24cm，若∠ACB=60°，則劣弧AB的長是（

）A．8πcm B．16πcm C．32πcm33．（2023·甘肅天水·統(tǒng)考一模）如圖，一條公路（公路的寬度忽略不計）的轉彎處是一段圓弧（AB），點O是這段弧所在圓的圓心，半徑OA=90m，圓心角∠AOB=80°，則這段彎路（AB）的長度為（

A．20πm B．30πm C．40πm34．（2022·廣東中山·統(tǒng)考一模）某款“不倒翁”（圖1）的主視圖是圖2，PA，PB分別與AMB所在圓相切于點A，B．若該圓半徑是9cm，∠P＝40°，則AMB的長是（

）A．11πcm B．112πcm C．7πcm D．35．（2023·湖北武漢·?？家荒＃┠撤鹿艍ι显幸粋€矩形的門洞，現要將它改為一個圓弧形的門洞，圓弧所在的圓外接于矩形，如圖．已知矩形的寬為2m，高為23mA．5π3m B．8π3m C．36．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，點A，B，C，D在半徑為5的⊙O上，連接AB，BC，CD，AD．若∠ABC=108°，則劣弧AC的長為_______．

37．（2023·河北石家莊·校聯考二模）如圖是放于水平桌面上的魚缸，其主體部分的軸截面是圓心為O的弓形AMB，與桌面CD相切于點M，開口部分AB與桌面CD平行，測得開口部分AB=40cm，MB=205cm．（參考數據：tan

(1)求弓形AMB的半徑；(2)求優(yōu)弧AMB的長．題型10利用弧長及扇形面積公式求半徑38．（2021·安徽·統(tǒng)考三模）如圖，AB是⊙O的弦，點C是劣弧AB的中點，若∠BAC＝30°，劣弧AB的長為23π，則⊙O的半徑為________39．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）一個扇形的弧長是4πcm，面積是12πcm2，則此扇形的半徑是40．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）如圖，用一個圓心角為150°的扇形圍成一個無底的圓錐，如果這個圓錐底面圓的半徑為2cm，則這個扇形的半徑是________cm

41．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，在⊙O中，弦AB與CD交于點E，點C為AmB的中點，現有以下信息：

①AB為直徑；②∠ACD=60°；③∠CEB=105°．(1)從三條信息中選擇兩條作為條件，另一條作為結論，組成一個真命題．你選擇的條件是___________，結論是___________（填寫序號），請說明理由．(2)在（1）的條件下，若AD的長為43π，求題型11利用弧長及扇形面積公式求圓心角42．（2022·湖南長沙·一模）已知扇形半徑是3cm，弧長為32πcm，則扇形的圓心角為43．（2021·新疆烏魯木齊·新疆農業(yè)大學附屬中學?？家荒＃┮阎刃蚊娣e為24π，弧長為8π，則此扇形的圓心角為________度．44．（2022·河南駐馬店·校聯考二模）某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐，它的底面圓直徑ED與母線AD長之比為1:2．制作這種外包裝需要用如圖所示的等腰三角形材料，其中AB=AC，AD⊥BC．將扇形AEF圍成圓錐時，AE，AF恰好重合．（1）求這種加工材料的頂角∠BAC的大?。?）若圓錐底面圓的直徑ED為5cm，求加工材料剩余部分（圖中陰影部分）的面積．（結果保留π）題型12求某點的弧形運動路徑長度45．（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考三模）長為30?cm的細木條AB用兩個鐵釘固定在墻上，固定點為點A，B（鐵釘的大小忽略不計），當固定點B處的鐵釘脫落后，細木條順時針旋轉至與原來垂直的方向，點B落在點C的位置，則點B旋轉的路徑BC

A．450π?cm B．225π?cm C．15π?cm46．（2022·福建廈門·統(tǒng)考二模）如圖，用一個半徑為6cm的定滑輪拉動重物上升，滑輪旋轉了120°，假設繩索粗細不計，且與輪滑之間沒有滑動，則重物上升了_________cm．（結果保留π）47．（2022·山東濱州·?？家荒＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，BC=3，將△ABC繞點A逆時針旋轉角α（0°<α<180°）得到△AB'C'，并使點C'落在AB邊上，則點48．（2021·廣西河池·統(tǒng)考二模）如圖所示，將一個半徑OA=10cm，圓心角∠AOB=90°的扇形紙板放置在水平面的一條射線OM上．在沒有滑動的情況下，將扇形AOB沿射線OM翻滾至OB再次回到OM上時，則半徑OA的中點P運動的路線長為_________cm49．（2023·安徽合肥·?？寄M預測）如圖，在平面直角坐標系中，點O為原點，A?1,0，B?2,?1，(1)以原點O為位似中心，相似比為2，作△ABC的位似圖形，得到△A1B1C1，請在圖中作出△A1B1C1（點(2)若將△ABC繞原點O逆時針旋轉90°，得到△A2B2C2，請在圖中作出△A2B2C2（點A題型13求扇形面積50．（2023·湖北省直轄縣級單位·?？家荒＃┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以點B為圓心，BA長為半徑畫弧，交CD于點E，連接BE，則扇形BAE的面積為（

A．π3 B．3π5 C．2π351．（2023·福建三明·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，以B為圓心，BC的長為半徑畫弧，交AD于點E．則圖中陰影部分的面積為_________．（結果保留π）52．（2022·湖北十堰·統(tǒng)考一模）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠A=90°,BC=4．分別以點B、點C為圓心，線段BC長的一半為半徑作圓弧，交AB、BC、AC于點D、E、F，則圖中陰影部分的面積為____．53．（2023·江蘇徐州·一模）如圖，C，D是以AB為直徑的半圓上的兩點，∠CAB=∠DBA，連結(1)求證：CD∥(2)若AB=4，∠ACD=30°，求陰影部分的面積．題型14求圖形旋轉后掃過的面積54．（2017·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，將△ABC繞點C旋轉60°得到△A'B'C，已知AC=6，A．3π2 B．8π3 C．6π 55．（2020·廣東深圳·統(tǒng)考三模）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O，H分別為邊AB，AC的中點，將△ABC繞點B逆時針旋轉120°到△A1

A．73π?783 B．456．（2023·四川瀘州·瀘縣五中?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，點A在y軸的正半軸上，OA=1，將OA繞點O順時針旋轉45°到OA1，掃過的面積記為S1，A1A2⊥OA1交x軸于點A2；將OA2繞點O順時針旋轉45°到OA3，掃過的面積記為S2，A3A4⊥OA3交y軸于點A

57．（2022·安徽馬鞍山·統(tǒng)考二模）如圖，在邊長為1的正方形網格中，△ABO的頂點均在格點上，點A，B的坐標分別是A(2,2)，B(1,3)，把△ABO繞點O逆時針旋轉90°后得到△A(1)畫出△A1B1O(2)計算在旋轉過程中，△ABO所掃過的面積．(3)以原點O為位似中心，位似比為2，在第三象限畫出△ABO放大后的△A題型15求圓錐側面積58．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考二模）已知圓錐的母線長8cm，底面圓的直徑6cm，則這個圓錐的側面積是（

）A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm259．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖是一個幾何體的三視圖，主視圖和左視圖均是面積為12的等腰三角形，俯視圖是直徑為6的圓，則這個幾何體的全面積是（

）A．24π B．21π C．15π D．12π60．（2023·廣東汕頭·?？家荒＃﹫A錐的底面直徑是8，母線長是9，則該圓錐的全面積為（

）A．36π B．52π C．100π 61．（2023·山東東營·東營市東營區(qū)實驗中學?？家荒＃┮阎獔A錐的底面圓半徑為4，側面展開圖扇形的圓心角為120°，則它的側面展開圖面積為_____________．題型16求圓錐底面半徑62．（2021·山東臨沂·統(tǒng)考二模）如圖，從一塊半徑為1m的圓形鐵皮上剪出一個圓周角為120°的扇形ABC，如果將剪下來的扇形圍成一個圓錐，則該圓錐的底面圓的半徑為_________m．63．（2022·新疆烏魯木齊·烏魯木齊市第六十八中學?？寄M預測）如圖，沿一條母線將圓錐側面剪開并展平，得到一個扇形，若圓錐母線l=6，扇形的圓心角θ=120°，則該圓錐的底面圓的半徑r長為______．64．（2022·廣東中山·校聯考三模）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為4，以A為圓心，AC的長為半徑畫弧，得EC，連接AC、AE，用圖中陰影部分作一個圓錐的側面，則這個圓錐的底面半徑為______．題型17求圓錐的高65．（2020·山東聊城·統(tǒng)考模擬預測）如圖，有一塊半徑為1m，圓心角為90°的扇形鐵皮，要把它做成一個圓錐形容器（接縫忽略不計），那么這個圓錐形容器的高為（A．14m B．34m C．66．（2019·浙江金華·校聯考一模）如圖，AB是圓錐的母線，BC為底面半徑，已知BC=6cm，圓錐的側面積為15πcm2，則sin∠ABC的值為（）A．34 B．35 C．4567．（2021·內蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考一模）已知圓錐的母線長是9cm，它的側面展開圖的圓心角是120°，則圓錐的高為_____cm．68．（2022·廣東韶關·?？既＃┤魣A錐側面展開圖是面積為65πcm2的扇形，扇形的弧長為題型18求圓錐側面積展開圖的圓心角69．（2023·內蒙古包頭·模擬預測）若一個圓錐體的底面積是其表面積的14，則其側面展開圖圓心角的度數為______________70．（2022·湖南長沙·統(tǒng)考一模）曹老師用一張半徑為18cm的扇形紙板，做了一個圓錐形帽子（接縫忽略不計），如果圓錐形帽子的半徑是10cm，則這張扇形紙板的圓心角是_____．71．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）如圖，要用一個扇形紙片圍成一個無底蓋的圓錐（接縫處忽略不計），若該圓錐的底面圓周長為20πcm，側面積為240πcm2，則這個扇形的圓心角的度數是__________題型19圓錐的實際問題72．（2023·湖北省直轄縣級單位·校聯考模擬預測）用一張半圓形鐵皮，圍成一個底面半徑為4cm的圓錐形工件的側面（接縫忽略不計），則圓錐的母線長為（

A．4cm B．8cm C．12cm73．（2020·遼寧盤錦·統(tǒng)考二模）如圖，從一圓形紙片上剪出一個半徑為R、圓心角為90°的扇形；和一半徑為r的圓，使之恰好圍成如圖所示的圓錐，則R與r的關系為（

）A．R=2r B．R=4r C．R=22r D．R=674．（2020·云南昆明·統(tǒng)考二模）云南是全國擁有少數民族數量最多的省份，風俗文化多種多樣，使得“云南十八怪”成為云南旅游文化的一張名片，圖①是十八怪中的“草帽當鍋蓋”，圖②是一個草帽的三視圖，根據圖中所給的數據計算出該草帽的側面積為（）A．240πcm2 B．576πcm2 C．75．（2020·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，把矩形紙片ABCD分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后，分別裁出扇形BAF和半徑最大的圓，若恰好能作為一個圓錐的側面和底面，則ABAD=

76．（2023·安徽·校聯考二模）《九章算術》中有如下問題：“在屋內墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆高5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有___________斛．

題型20圓錐側面上的最短路徑問題77．（2021·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）如圖，已知圓錐的底面半徑是23，母線長是63．如果A是底面圓周上一點，從點A拉一根繩子繞圓錐側面一圈再回到A點，則這根繩子的最短長度是78．（2021·云南昆明·統(tǒng)考二模）如圖，如果一只螞蟻從圓錐底面上的點B出發(fā)，沿表面爬到母線AC的中點D處，則最短路線長為_____．79．（2019·山東泰安·統(tǒng)考二模）圓錐的底面周長為2π3，母線長為2，點P是母線OA的中點，一根細繩（無彈性）從點P繞圓錐側面一周回到點P，則細繩的最短長度為______題型21計算不規(guī)則面積80（2022·寧夏銀川·寧夏銀川二十四中?？家荒＃┤鐖D，兩個半徑長均為2的直角扇形的圓心分別在對方的圓弧上，扇形CFD的圓心C是AB的中點，且扇形CFD繞著點C旋轉，半徑AE，CF交于點G，半徑BE，CD交于點H，則圖中陰影面積等于（

）A．π2?1 B．π2?2 C．81．（2015·山東日照·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BCA=90°AC=4,BC=2兩分圓別以AC,BC為半徑畫圓，則陰影部分的面積為（

）A．5π2?4 B．10π?4 C．10π?8 82（2019·內蒙古巴彥淖爾·統(tǒng)考一模）如圖，正方形ABCD內接于⊙O，⊙O的半徑為2，以點A為圓心，以AC長為半徑畫弧交AB的延長線于點E，交AD的延長線于點F，則圖中陰影部分的面積為（）A．4π﹣4 B．4π﹣8 C．8π﹣4 D．8π﹣883（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，菱形ABCD中，分別以點A，C為圓心，AD，CB長為半徑畫弧，分別交對角線AC于點E，F．若AB=2，∠BAD=60°，則圖中陰影部分的面積為_________．（結果不取近似值）84（2023·山東棗莊·統(tǒng)考一模）如圖，將扇形AOB沿OB方向平移，使點O移到OB的中點O'處，得到扇形A'O'B'．若∠85（2022·廣東湛江·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，分別以AB、BC、AC邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數學史上稱為“希波克拉底月牙”．當AB=8，BC=4時，則陰影部分的面積為__________86（2022·重慶·重慶八中校考一模）如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，CD＝43．以點A為圓心，AD長為半徑畫弧，此弧恰好經過點O，并與AB交于點E，則圖中陰影部分的面積為________．87．（2023·湖南株洲·模擬預測）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，∠ACB=60°，AD經過圓心O交⊙O于點E，連接BD，∠ADB=30°．(1)判斷直線BD與⊙O的位置關系，并說明理由；(2)若AB=4388．（2021·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）如圖，AB是⊙O的直徑，E是⊙O上一點，AC平分∠BAE，過點C作CD⊥AE交AE延長線于點D．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若AB=6，∠BAC=30°，求陰影部分的面積．89．（2020·湖南長沙·長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學校?？级＃┤鐖D，在ΔABC中，BC＝4，且ΔABC的面積為4，以點A為圓心，2為半徑的⊙A交AB于E，交AC于F，點P是⊙A上一點，且∠EPF＝45°．（1）求證：BC為⊙A的切線；（2）求圖中陰影部分的面積．真題實戰(zhàn)練一、單選題1．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）我國魏晉時期數學家劉徽在《九章算術注》中提到了著名的“割圓術”，即利用圓的內接正多邊形逼近圓的方法來近似估算，指出“割之彌細，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．“割圓術”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率π的近似值為3.1416．如圖，⊙O的半徑為1，運用“割圓術”，以圓內接正六邊形面積近似估計⊙O的面積，可得π的估計值為332，若用圓內接正十二邊形作近似估計，可得A．3 B．22 C．3 D．2．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）將一個正六邊形繞其中心旋轉后仍與原圖形重合，旋轉角的大小不可能是（

）A．60° B．90° C．180° D．360°3．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF的外接圓⊙O的半徑為2，過圓心O的兩條直線l1、l2的夾角為60°，則圖中的陰影部分的面積為（

A．43π?3 B．43π?34．（2023·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）已知一個正多邊形的邊心距與邊長之比為32，則這個正多邊形的邊數是（

A．4 B．6 C．7 D．85．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）中國高鐵的飛速發(fā)展，已成為中國現代化建設的重要標志．如圖是高鐵線路在轉向處所設計的圓曲線（即圓?。?，高鐵列車在轉彎時的曲線起點為A，曲線終點為B，過點A,B的兩條切線相交于點C，列車在從A到B行駛的過程中轉角α為60°．若圓曲線的半徑OA=1.5km，則這段圓曲線AB的長為（

A．π4km B．π2km C．6．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD內接于⊙O，分別以AB、BC、CD、

A．414π?20 B．412π?20 7．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，陰影部分是以正方形的頂點及其對稱中心為圓心，以正方形邊長的一半為半徑作弧形成的封閉圖形．將一個小球在該正方形內自由滾動，小球隨機地停在正方形內的某一點上．若小球停在陰影部分的概率為P1，停在空白部分的概率為P2，則P1與P

A．P1<P2 B．P18．（2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，某玩具品牌的標志由半徑為1cm的三個等圓構成，且三個等圓⊙

A．14πcm2 B．13π9．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）為增強班級凝聚力，吳老師組織開展了一次主題班會．班會上，他設計了一個如圖的飛鏢靶盤，靶盤由兩個同心圓構成，小圓半徑為10cm，大圓半徑為20cm，每個扇形的圓心角為60度．如果用飛鏢擊中靶盤每一處是等可能的，那么小全同學任意投擲飛鏢1次（擊中邊界或沒有擊中靶盤，則重投1次），投中“免一次作業(yè)”的概率是（

）

A．16 B．18 C．11010．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖1是一段彎管，彎管的部分外輪廓線如圖2所示是一條圓弧AB，圓弧的半徑OA=20cm，圓心角∠AOB=90°，則AB=（

A．20π?cm B．10π?cm C．5π?cm11．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，一條公路的轉彎處是一段圓?。ˋC），點O是這段弧所在圓的圓心，B為AC上一點，OB⊥AC于D．若AC=3003m，BD=150m

A．300πm B．200πm C．150πm12．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=22，以點A為圓心，AC為半徑畫弧，交AB于點E，以點B為圓心，BC為半徑畫弧，交AB于點F

A．π?2 B．2π?2 C．213．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知點C為圓錐母線SB的中點，AB為底面圓的直徑，SB=6，AB=4，一只螞蟻沿著圓錐的側面從A點爬到C點，則螞蟻爬行的最短路程為（

）

A．5 B．33 C．32 14．（2023·內蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）某班學生表演課本劇，要制作一頂圓錐形的小丑帽．如圖，這個圓錐的底面圓周長為20πcm，母線AB長為30cm，為了使帽子更美觀，要粘貼彩帶進行裝飾，其中需要粘貼一條從點A處開始，繞側面一周又回到點A的彩帶（彩帶寬度忽略不計），這條彩帶的最短長度是（

v

A．30cm B．303cm C．60cm D．20π15．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，該幾何體是由一個大圓錐截去上部的小圓錐后剩下的部分．若該幾何體上、下兩個圓的半徑分別為1和2，原大圓錐高的剩余部分OO1為2，則其側面展開圖的面積為（

A．3π B．23π C．3二、填空題16．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內接正六邊形，設正六邊形ABCDEF的面積為S1，△ACE的面積為S2，則S

17．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，用若干個全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是其中3個正五邊形的位置．要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個數是________個．

18．（2023·內蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，以點A為圓心，AB為半徑畫弧BF，得到扇形BAF（陰影部分）．若扇形BAF正好是一個圓錐的側面展開圖，則該圓錐的底面圓的半徑是________．

19．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在?ABCD中，AB=3+1,BC=2,AH⊥CD，垂足為H,AH=3．以點A為圓心，AH長為半徑畫弧，與AB,AC,AD分別交于點E,F,G．若用扇形AEF圍成一個圓錐的側面，記這個圓錐底面圓的半徑為r1；用扇形AHG圍成另一個圓錐的側面，記這個圓錐底面圓的半徑為r

20．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓錐形煙囪帽的底面半徑為30cm，母線長為50cm，則煙囪帽的側面積為_____________cm2

21．（2023·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖①，A，B表示某游樂場摩天輪上的兩個轎廂．圖②是其示意圖，點O是圓心，半徑r為15m，點A，B是圓上的兩點，圓心角∠AOB=120°，則AB的長為_________m．（結果保留π）

22．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，小珍同學用半徑為8cm，圓心角為100°的扇形紙片，制作一個底面半徑為2cm的圓錐側面，則圓錐上粘貼部分的面積是________cm

23．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，某數學興趣小組用一張半徑為30cm的扇形紙板做成一個圓錐形帽子（接縫忽略不計），如果做成的圓錐形帽子的底面半徑為8cm，那么這張扇形紙板的面積為__________cm2．（結果保留π

24．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”，如圖．AB是以O為圓心，OA為半徑的圓弧，C是弦AB的中點，D在AB上，CD⊥AB．“會圓術”給出AB長l的近似值s計算公式：s=AB+CD2OA，當OA=2，∠AOB=90°25．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3cm，∠B=60°．將△ABC繞點A逆時針旋轉，得到△AB'C'，若點B的對應點B'恰好落在線段BC上，則點C

26．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AC=3，AB=4，BC邊上的高AD=2，將△ABC繞著BC所在的直線旋轉一周得到的幾何體的表面積為______．

三、解答題27．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）鮮艷的中華人民共和國國旗始終是當代中華兒女永不褪色的信仰，國旗上的每顆星都是標準五角星．為了增強學生的國家榮譽感、民族自豪感等．數學老師組織學生對五角星進行了較深入的研究．延長正五邊形的各邊直到不相鄰的邊相交，得到一個標準五角星．如圖，正五邊形ABCDE的邊BA、DE的延長線相交于點F，∠EAF的平分線交EF(1)求證：AE(2)若AF=1，求AE的長．(3)求S正五邊形28．（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）小軍借助反比例函數圖象設計“魚形”圖案，如圖，在平面直角坐標系中，以反比例函數y=kx圖象上的點A3,1和點B為頂點，分別作菱形AOCD和菱形OBEF，點D，E在x軸上，以點O為圓心，OA長為半徑作(1)求k的值；(2)求扇形AOC的半徑及圓心角的度數；(3)請直接寫出圖中陰影部分面積之和．29．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC，點O在AB上，以O為圓心，OA為半徑的半圓分別交AC,BC，AB于點D,E,F，且點E是弧DF

(1)求證：BC是⊙O的切線；(2)若CE=2，求圖中陰影部分的面積（結果保留π30．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）在學習完《圖形的旋轉》后，劉老師帶領學生開展了一次數學探究活動【問題情境】劉老師先引導學生回顧了華東師大版教材七年級下冊第121頁“探索”部分內容：如圖，將一個三角形紙板△ABC繞點A逆時針旋轉θ到達△AB'C'的位置，那么可以得到：AB=AB'，AC=AC'，BC=B

劉老師進一步談到：圖形的旋轉蘊含于自然界的運動變化規(guī)律中，即“變”中蘊含著“不變”，這是我們解決圖形旋轉的關鍵；故數學就是一門哲學．【問題解決】（1）上述問題情境中“（

）”處應填理由：____________________；（2）如圖，小王將一個半徑為4cm，圓心角為60°的扇形紙板ABC繞點O逆時針旋轉90°到達扇形紙板A'

①請在圖中作出點O；②如果BB'=【問題拓展】小李突發(fā)奇想，將與（2）中完全相同的兩個扇形紙板重疊，一個固定在墻上，使得一邊位于水平位置，另一個在弧的中點處固定，然后放開紙板，使其擺動到豎直位置時靜止，此時，兩個紙板重疊部分的面積是多少呢？如圖所示，請你幫助小李解決這個問題．31．（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，糧庫用傳送帶傳送糧袋，大轉動輪的半徑為10cm，傳送帶與水平面成30°角．假設傳送帶與轉動輪之間無滑動，當大轉動輪轉140°時，傳送帶上點A處的糧袋上升的高度是多少？（傳送帶厚度忽略不計）

32．（2022·內蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，以O為圓心，OB的長為半徑的圓交邊AB于點D，點C在邊OA上且CD=AC，延長CD交OB的延長線于點E．(1)求證：CD是圓的切線；(2)已知sin∠OCD=45，AB=433．（2022·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A?1,1，B?4,0，C?2,2．將△ABC繞原點O順時針旋轉90°(1)請寫出A1、B1、C1三點的坐標：A1_________，(2)求點B旋轉到點B134．（2022·山東濰坊·中考真題）在數學實驗課上，小瑩將含30°角的直角三角尺分別以兩個直角邊為軸旋轉一周，得到甲、乙兩個圓錐，并用作圖軟件Geogebra畫出如下示意圖小亮觀察后說：“甲、乙圓錐的側面都是由三角尺的斜邊AB旋轉得到，所以它們的側面積相等．”你認同小亮的說法嗎？請說明理由．35．（2022·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半徑R＝3．(1)求扇形AOB的面積S及圖中陰影部分的面積S陰；(2)在扇形AOB的內部，⊙O1與OA，OB都相切，且與弧AB只有一個交點C，此時我們稱⊙O1為扇形AOB的內切圓，試求⊙O1的面積S1．

第28講與圓有關的計算答案解析題型過關練題型01求正多邊形中心角1．（2022·河北石家莊·統(tǒng)考二模）如圖，邊AB是⊙O內接正六邊形的一邊，點C在AB上，且BC是⊙O內接正八邊形的一邊，若AC是⊙O內接正n邊形的一邊，則n的值是（）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】C【分析】根據中心角的度數=360°÷邊數，列式計算分別求出∠AOB，∠BOC的度數，可得∠AOC=15°，然后根據邊數n=360°÷中心角即可求得答案．【詳解】解：連接OC，∵AB是⊙O內接正六邊形的一邊，∴∠AOB＝360°÷6＝60°，∵BC是⊙O內接正八邊形的一邊，∴∠BOC＝360°÷8＝45°，∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°∴n＝360°÷15°＝24．故選：C．【點睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質、正八邊形、正二十四邊形的性質；根據題意求出中心角的度數是解題的關鍵．2．（2022·吉林長春·校考模擬預測）如圖，正五邊形ABCDE內接于⊙O，點F在DE上，則∠CFD＝_____度．【答案】36．【分析】連接OC，OD．求出∠COD的度數，再根據圓周角定理即可解決問題．【詳解】如圖，連接OC，OD．∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠COD=360°5∴∠CFD=12∠COD故答案為：36．【點睛】本題考查了正多邊形和圓、圓周角定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識．3．（2022·江蘇揚州·揚州教育學院附中校考二模）如圖，在正十邊形A1A2A3A4A【答案】54【分析】設正十邊形的圓心O，連接A7O、A4O，再求出∠A7OA4,最后運用圓周角定理解答即可．【詳解】解：如圖：設正十邊形的圓心O，連接A7O、A4O，∵正十邊形的各邊都相等∴∠A7OA4=310∴∠A4A故填54．【點睛】本題主要考查了正多邊形和圓以及圓周角定理，根據題意正確作出輔助線、構造出圓周角是解答本題的關鍵．題型02求正多邊的邊數4．（2022·上海松江·統(tǒng)考二模）如果一個正多邊形的中心角為72°，那么這個正多邊形的邊數是_______．【答案】5【詳解】解：∵中心角的度數=360°n72°=360°nn=5，故答案為：5．5．（2022·上海浦東新·統(tǒng)考二模）一個正n邊形的一個內角等于它的中心角的2倍，則n=___．【答案】6【分析】根據正多邊形內角和公式求出一個內角的度數，再根據中心角的求法求出中心角的度數列方程求解即可．【詳解】∵正n邊形的一個內角和=（n﹣2）?180°，∴正n邊形的一個內角=180°×（n?2）n∵正n邊形的中心角=360°∴180°×（n?2）n=解得：n=6．故答案為6．【點睛】本題比較簡單，解答此題的關鍵是熟知正多邊形的內角和公式及中心角的求法．6．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考二模）一個正多邊形內接于半徑為4的⊙O，AB是它的一條邊，扇形OAB的面積為2π，則這個正多邊形的邊數是______．【答案】8【分析】設∠AOB=n°，利用扇形面積公式列方程nπ×42360【詳解】解：設∠AOB=n°，∵扇形OAB的面積為2π，半徑為4，∴nπ×4∴n=45°，∴360°÷45°=8，∴這個正多邊形的邊數是8，故答案為8．【點睛】本題考查正多邊形與圓，扇形面積，圓心角，掌握正多邊形與圓的性質，扇形面積公式，圓心角是解題關鍵．題型03正多邊形與圓中求角度7．（2022·山東青島·統(tǒng)考二模）如圖，五邊形ABCDE是⊙O的內接正五邊形，則∠EBC的度數為（

）A．54° B．60° C．71° D．72°【答案】D【分析】先根據正五邊形的內角和求出每個內角，再根據等邊對等角得出∠ABE=∠AEB，然后利用三角形內角和求出∠ABE=12【詳解】解：∵五邊形ABCDE是⊙O的內接正五邊形，∴∠A=∠ABC=155?2×180°=108°，AB∴∠ABE=∠AEB，∴∠ABE=12∴∠EBC=∠ABC?∠ABE=108°?36°=72°．故選：D．【點睛】本題考查圓內接正五邊形的性質，等腰三角形性質，三角形內角和公式，角的和差計算，掌握圓內接正五邊形的性質，等腰三角形性質，三角形內角和公式，角的和差計算是解題關鍵．8．（2022·河北·模擬預測）如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，連接BD．則∠CBD的度數是（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】根據正六邊形的內角和求得∠BCD，然后根據等腰三角形的性質即可得到結論．【詳解】∵在正六邊形ABCDEF中，∠BCD＝(6?2)×180°6＝120°，BC∴∠CBD＝12故選A．【點睛】本題考查的是正多邊形和圓、等腰三角形的性質，三角形的內角和，熟記多邊形的內角和是解題的關鍵．9．（2022·河北保定·統(tǒng)考模擬預測）如圖，點O是正六邊形ABCDEF的中心，∠GOK的兩邊OG,OK，分別與AB,CB，相交于點M，N，當∠GOK+∠ABC=180A．∠GOK=60° B．MB+NB=DCC．S四邊形OMBN=112S【答案】C【分析】根據正六邊形的性質以及全等三角形的判定和性質逐項進行證明即可．【詳解】解：如下圖所示，連接OA，∵點O是正六邊形ABCDEF的中心，∴OA=OB=OC，∠FAB=∠ABC=180°×6?26=120°，∴∠OAM=180°?∠AOB∴∠OAM=∠OBN．∵∠GOK+∠ABC=180∴∠OMB+∠ONB=360°?(∠GOK+∠ABC)=故A選項不符合題意．∵∠OMA+∠OMB=180∴∠OMA=∠ONB．∴△OAM≌△OBN（AAS）．∴∠OMA=∠ONB，MA=NB，故D選項不符合題意．∴MB+NB=MB+MA=AB=DC．故B選項不符合題意．∴S四邊形∴S四邊形故C選項符合題意．故選：C【點睛】此題考查正六邊形的性質以及全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定和性質是解題關鍵．10．（2022·廣西梧州·統(tǒng)考一模）如圖，在正五邊形ABCDE中，AC與BE相交于點F，則∠AFE的度數為_____．【答案】72°【分析】首先根據正五邊形的性質得到AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，然后利用三角形內角和定理得∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°?108°）÷2=36°，最后利用三角形的外角的性質得到∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°．【詳解】∵五邊形ABCDE為正五邊形，∴AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°?108°）÷2=36°，∴∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°，故答案為72°．【點睛】本題考查的是正多邊形和圓，利用數形結合求解是解答此題的關鍵．題型04正多邊形與圓中求面積11．（2022·河北廊坊·統(tǒng)考二模）如圖，兩張完全相同的正六邊形紙片（邊長為2a）重合在一起，下面一張保持不動，將上面一張紙片六邊形A'B'C'D'A．3:1 B．4:1 C．5:2 D．2:1【答案】A【分析】求出正六邊形和陰影部分的面積即可解決問題．【詳解】解：如下圖，正六邊形由六個等邊三角形組成，過點O作OH⊥CD于點H，OG⊥AF于點G，根據題意，正六邊形紙片邊長為2a，即CD=2a，∴OC=OD=CD=2a，∵OH⊥CD，∴CH=DH=1∴在Rt△OCH中，OH=同理，OG=3∴S△OCD∴正六邊形的面積=6×3∵將上面一張紙片六邊形A'B'又∵GH=OG+OH=23∴陰影部分的面積=a×23∴空白部分與陰影部分面積之比是=63故選：A．【點睛】本題主要考查了多邊形的性質、等邊三角形的性質、勾股定理、平移變換等知識，解題關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．12．（2022·浙江寧波·統(tǒng)考二模）如圖，正六邊形ABCDEF中，點P是邊AF上的點，記圖中各三角形的面積依次為S1,SA．S1+S2=2S3 B．【答案】B【分析】正六邊形ABCDEF中，點P是邊AF上的點，記圖中各三角形的面積依次為S1,S2,【詳解】解：正六邊形ABCDEF中，點P是邊AF上的點，記圖中各三角形的面積依次為S1則有S3=1∴S3故選：B．【點睛】本題考查正多邊形與圓，三角形的面積等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．13．（2022·浙江杭州·杭州育才中學校考模擬預測）邊長為a的正方形的對稱軸有____________條，這個正方形的外接圓的面積是____________．【答案】41【分析】正方形的對稱軸有4條，然后根據正方形的對角線長就是外接圓的直徑求得外接圓的半徑，從而計算面積即可．【詳解】任何正方形的對稱軸都有4條；∵正方形的邊長為a，∴正方形的對角線長為：2a∵正方形的對角線是正方形的外接圓的半徑，∴正方形的外接圓的半徑為22∴正方形的外接圓的面積為：πr故答案為：4，12【點睛】本題考查了正多邊形和圓的知識，解題的關鍵是弄清正多邊形的有關元素與圓的關系，如本題中的外接圓的半徑就是正方形對角線長的一半．14．（2022·寧夏銀川·?？既＃┤鐖D，已知⊙O的內接正六邊形ABCDEF的邊心距OM是3，則陰影部分的面積是___________．【答案】4π?6【分析】根據圓內接正六邊形的性質可求出∠DOE=60°，進而得出△DOE是正三角形，由圓內接正六邊形的性質以及直角三角形的邊角關系可求出半徑OD，邊長DE，再根據面積公式求出正六邊形ABCDEF的面積，最后由陰影部分的面積等于圓的面積減去正六邊形【詳解】解：如圖，連接OD，OE，∵六邊形ABCDEF是⊙O的內接正六邊形，∴∠DOE=∵OD=OE∴△DOE是正三角形，∵⊙O的內接正六邊形ABCDEF的邊心距OM是3，∴OD=OMsin60∴S∴S故答案為4【點睛】本題考查正多邊形面積與圓面積的計算，掌握圓內接正六邊形的性質以及圓的面積的計算方法是解決問題的關鍵15．（2022·四川成都·?？寄M預測）求半徑為20的圓內接正三角形的邊長和面積.【答案】它的內接正三角形的邊長為203，面積為【分析】作正三角形ABC關于⊙O的內接三角形，過點O作BC的垂線AD，垂足為D，連接OB，根據正三角形的性質，得出∠OBD=30°，再根據銳角三角函數的定義，得出BD的長，再根據垂徑定理，得出BC=2BD，從而求正三角形的邊長，再根據銳角三角函數的定義，求出AD的長，進而得出其面積．【詳解】解：如圖，作正三角形ABC關于⊙O的內接三角形，過點O作BC的垂線AD，垂足為D，連接OB，∵半徑為20的圓的內接正三角形，∴OB=20，∵AD⊥BC，∴AD是∠BAC的角平分線，∴∠BAD=30°，又∵BO=OA，∴∠ABO=30°，∴∠OBD=30°，在Rt△OBD∴BD=cos∵BD=CD，∴BC=2BD=203∴AD=AB?sin∴S∴它的內接正三角形的邊長為203，面積為300【點睛】本題主要考查了正多邊形和圓，解直角三角形，根據正三角形的性質得出∠OBD=30°是解題關鍵．題型05正多邊形與圓中求周長16．（2022·河北唐山·統(tǒng)考二模）如圖，有公共頂點O的兩個邊長為5的正五邊形（不重疊），以點O為圓心，5為半徑作弧，構成一個“蘑菇”形圖案（陰影部分），則這個“蘑菇”形圖案的周長為（

）A．4π B．4πC．10π D．10π【答案】B【分析】根據多邊形的內角和求出正五邊形的內角和，可求得每個內角的度數，則可求得陰影部分的度數，再利用圓弧的周長計算公式即可求得答案．【詳解】解：正五邊形的內角和為：(n?2)?180°=(5?2)×180°=540°，∴每個角為540°÷5=108°，則圖中陰影部分的度數為：360°?2×108°=144°，則圓弧的長：144360∴“蘑菇”形圖案的周長為：4π+4×5=4π+20，故選B．【點睛】本題考查了正多邊形與圓，圓弧的周長計算，解題的關鍵是熟練掌握圓弧的周長計算公式．17．（2022·江西吉安·統(tǒng)考一模）某校開展“展青春風采，樹強國信念”科普大閱讀活動．小明看到黃金分割比是一種數學上的比例關系，它具有嚴格的比例性、藝術性、和諧性，蘊藏著豐富的美學價值，應用時一般取0.618．特別奇妙的是在正五邊形中，如圖所示，連接AB，AC，∠ACB的角平分線交邊AB于點D，則點D就是線段AB的一個黃金分割點，且AD>BD，已知AC=10cm，那么該正五邊形的周長為（

A．19.1cm B．25cm C．30.9cm D．40cm【答案】C【分析】證明BC=CD=AD=6.18（cm），可得結論．【詳解】解：由題意，點D是線段AB的黃金分割點，∴ADAB∵AB=AC=10cm，∴AD=6.18（cm），∵∠ABC=∠ACB=72°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=∠CAD=36°，∠CDB=∠CBD=72°，∴BC=CD=AD=6.18（cm），∴五邊形的周長為6.18×5=30.90（cm），故選：C．【點睛】本題考查正多邊形的性質，黃金分割等知識，解題的關鍵是靈活應用所學知識解決問題．18．（2022·云南昆明·統(tǒng)考二模）我國魏晉時期的數學家劉徽首創(chuàng)“割圓術”：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”，即通過圓內接正多邊形割圓，從正六邊形開始，每次邊數成倍增加，依次可得圓內接正十二邊形，內接正二十四邊形，…．邊數越多割得越細，正多邊形的周長就越接近圓的周長．再根據“圓周率等于圓周長與該圓直徑的比”來計算圓周率．設圓的半徑為R，圖1中圓內接正六邊形的周長l6=6R，則π≈lA．l12=24RsinC．l12=24Rsin【答案】A【分析】求出正多邊形的中心角，利用三角形周長公式求解即可．【詳解】解：∵十二邊形A1∴∠A∵OM⊥A1A2于∴∠A∵正n邊形的周長=n?2Rsin∴圓內接正十二邊形的周長l12故選：A．【點睛】本題考查的是正多邊形和圓、等腰三角形的性質，求出正十二邊形的周長是解題的關鍵．19．（2022·浙江·統(tǒng)考二模）如圖1是學生常用的一種圓規(guī)，其手柄AB=8mm，兩腳BC=BD=56mm，如圖2所示．當∠CBD=74°時：(1)求A離紙面CD的距離．(2)用該圓規(guī)作如圖3所示正六邊形，求該正六邊形的周長．（參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，結果精確到0.1）【答案】(1)52.8(2)403.2mm【分析】（1）連接CD，過點B點作BE⊥CD，垂足為E，根據等邊三角形的性質求得∠CBE=37°，解直角三角形CBE，分別求得CE,BE，根據AE=AB+BE，即可求解．（2）根據正六邊形的性質，正六邊形的邊長等于半徑，等于CD的長，即可求得正六邊形的周長．【詳解】（1）如圖，連接CD，過點B點作BE⊥CD，垂足為E，∵BC=BD，∴CE=DE,∠CBE=∠DBE=1∴BE=BC?cos∴AE=AB+BE=8+44.8=52.8mm即A離紙面CD的距離為52.8mm（2）∵CE=BC?sin∴CD=2CE=67.2mm．∵正六邊形的邊長等于外接圓的半徑，則正六邊形周長=6CD=6×67.2=403.2mm．【點睛】本題考查了正六邊形的性質，解直角三角形的應用，掌握直角三角形中的邊角關系是解題的關鍵．題型06正多邊形與圓中求邊心距、邊長20．（2022·廣東湛江·嶺師附中校聯考三模）半徑為2的圓內接正六角形的邊長是（）A．1 B．2 C．3 D．23【答案】B【分析】根據正六邊形的性質可知∠COD=60°，再根據等邊三角形的判定與性質可知OC=OD=CD進而即可解答．【詳解】解：如圖，連接OC、OD，

∵正六邊形ABCDEF內接于圓O，∴∠COD=360°∵OC=OD，∴△OCD是等邊三角形，∴OC=OD=CD，∵OC=OD=2，∴CD=2，故選B．【點睛】本題考查了正六邊形的性質，等邊三角形的判定與性質，掌握等邊三角形的判定與性質是解題的關鍵．21．（2022·河南信陽·統(tǒng)考三模）如圖1，動點P從正六邊形的A點出發(fā)，沿A→F→E→D→C以1cm/s的速度勻速運動到點C，圖2是點P運動時，△ACP的面積y（cm2）隨著時間x（s）的變化的關系圖象，則正六邊形的邊長為（

）A．2cm B．3cm C．1cm D．3cm【答案】A【分析】如圖，連接BE，AE，CE，BE交AC于點G，證明△ACE為等邊三角形，根據y的最大值求得△ACE的邊長，再在直角三角形ABG中用三角函數求得AB的長即可．【詳解】】解：如圖，連接BE，AE，CE，BE交AC于點G由正六邊形的對稱性可得BE⊥AC，△ABC≌△CDE≌△AFE∴△ACE為等邊三角形，GE為AC邊上的高線∵動點P從正六邊形的A點出發(fā)，沿A→F→E→D→C以1cm/s的速度勻速運動∴當點P運動到點E時△ACP的面積y取最大值33設AG=CG=a（cm），則AC=AE=CE=2a（cm），GE=3a（cm）∴2a×3a÷2=33（cm）∴a2=3∴a=3（cm）或a=-3（舍）∵正六邊形的每個內角均為120°∴∠ABG=12∴在Rt△ABG中，AGAB=sin∴3∴AB=2（cm）∴正六邊形的邊長為2cm故選：A．【點睛】本題考查了動點問題的函數圖象，以圖中y值的最大值為突破口，求得等邊三角形△ACE的邊長，是解題的關鍵．22．（2022·四川達州·四川省渠縣中學校考二模）如圖，⊙O的內接正六邊形的邊長是6，則弦心距是______．【答案】3【分析】連接OB、OC，過點O作OM⊥BC，交BC于點M，證明△OBC為等邊三角形，根據等邊三角形的性質，得出BM=12BC=3【詳解】解：連接OB、OC，過點O作OM⊥BC，交BC于點M，如圖所示：∵六邊形ABCDEF為圓內接正六邊形，∴∠BOC=1∵OB=OC，∴Δ∴OB=OC=BC=6，∵OM⊥BC，∴BM=1∴OM=O即弦心距是33故答案為：33【點睛】本題主要考查了正多邊形的性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理，作出輔助線，熟練掌握等邊三角形的判定和性質是解題的關鍵．23．（2022·陜西西安·?？寄M預測）某正多邊形的邊心距3，半徑為2，則該正多邊形的面積為_____．【答案】6【分析】根據題意畫出圖形，得出OE⊥AB，OE=3，OA=2，OA=OB，求出∠AOB=2∠AOE=60°【詳解】解：如圖所示：由題意可得，OE⊥AB，OE=3，OA=2，OA=OB則cos∠AOE=故∠AOE=30°，∴AE=1∴∠AOB=2∠AOE=60°，AB=2AE=2，∵360°60°∴正多邊形是正六邊形，則該正多邊形的面積為：6×1故答案為：63【點睛】本題主要考查了三角函數的應用，正多邊形的性質，等腰三角形的性質，解題的關鍵是證明正多邊形是正六邊形．24．（2022·遼寧沈陽·統(tǒng)考二模）半徑為6的圓內接正三角形的邊心距為__________．【答案】3【分析】根據題意畫出圖形，連接OB、OC，作OD⊥BC于D，由含30°的直角三角形的性質得出OD即可．【詳解】如圖所示，連接OB、OC，作OD⊥BC于D，則∠ODC=90°，∵∠BOC=13×360°=120°，OB=∴∠OBC=∠OCB=30°，∴OD=1即邊心距為3，故答案為：3．

【點睛】本題考查了正多邊形和圓，等邊三角形的性質，含30°角的直角三角形的性質，解題的關鍵是正確作出輔助線，構造直角三角形來解答．題型07正多邊形與圓中求線段長25．（2022·江蘇徐州·徐州市第十三中學?？既＃┤鐖D所示的正八邊形的邊長為2，則對角線AB的長為（

）A．22+2 B．4 C．2+【答案】A【分析】標出點C，D，E，F，連接CD，連接AC，BD交于點O，過點E作EG⊥AB于G，過點F作FH⊥AB于H，根據正多邊形和圓的性質，矩形的判定定理和性質確定∠DAB=∠ABC=90°，根據多邊形的內角和定理確定∠DAE=∠AEF=∠FBC=135°，根據角的和差關系，平行線的判定定理確定EF∥AB，根據平行線的性質，矩形的判定定理和性質求出GH的長度，根據三角形內角和定理，等角對等邊，勾股定理求出GA和HB的長度，最后根據線段的和差關系即可求出AB的長度．【詳解】解：如下圖所示，標出點C，D，E，F，連接CD，連接AC，BD交于點O，過點E作EG⊥AB于G，過點F作FH⊥AB于H．根據圖形可知直線AC和直線BD是正八邊形的對稱軸．∴AC和BD是該正八邊形外接圓的直徑．∴AC=BD，點O為該正八邊形外接圓的圓心．∴OA=OB=OC=OD．∴四邊形ABCD是平行四邊形．∴四邊形ABCD是矩形．∴∠BAD=∠ABC=90°．∵正八邊形的邊長為2，∴AE=EF=FB=2，∠DAE=∠AEF=∠FBC=180°×∴∠GAE=∠DAE-∠DAB=45°，∠HBF=∠FBC-∠ABC=45°．∴∠AEF+∠GAE=180°．∴EF∥AB．∴∠EGH+∠GEF=180°．∵EG⊥AB，FH⊥AB，∴∠EGH=∠FHG=∠EGA=∠FHB=90°．∴∠GEF=180°-∠EGH=90°，∠GEA=180°-∠EGA-∠GAE=45°，∠HFB=180°-∠FHB-∠HBF=45°，AE2=G∴四邊形EGHF是矩形，∠GAE=∠GEA，∠HFB=∠HBF．∴GH=EF=2，GA=GE，HB=HF．∴22=GA∴GA=2，HB=∴AB=GA+GH+HB=22故選：A．【點睛】本題考查正多邊形與圓的性質，多邊形的內角和定理，矩形的判定定理和性質，平行線的判定定理和性質，三角形內角和定理，等角對等邊，勾股定理，熟練掌握這些知識點是解題關鍵．26．（2022·吉林長春·模擬預測）如圖，正五邊形ABCDE內接于⊙O，過點A作⊙O的切線交對角線DB的延長線于點F，則下列結論不成立的是（

）A．AE∥BF B．AF∥CD C．【答案】C【分析】連接OA、OB、AD，根據正五邊形的性質求出各個角的度數，結合平行線的判定方法，再逐個判斷即可．【詳解】∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠BAE=∠ABC=∠C=∠EDC=∠E=5?2×180°5∴∠CBD=∠CDB=1∴∠ABD=108°?36°=72°，∴∠EAB+∠ABD=180°，∴AE∥∵∠F=∠CDB=36°，∴AF∥連接AD，過點A作AH⊥DF于點H，則∠AHF=∠AHD=90°，∵∠EDC=108°，∠CDB=∠EDA=36°，∴∠ADF=108°?36°?36°=36°=∠F，∴AD=AF，故C符合題意；連接OA、OB，∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠AOB=360°∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=1∵FA相切于⊙O，∴∠OAF=90°，∴∠FAB=90°?54°=36°，∵∠ABD=72°，∴∠F=72°?36°=∠FAB，∴AB=BF，故D不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查切線的性質、圓周角定理、正多邊形與圓、等腰三角形的性質和判定、平行線的判定等知識點，能綜合運用定理進行推理是解題的關鍵．27．（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）如圖，點P是正六邊形ABCDEF內一點，AB=4，當∠APB=90°時，連接PD，則線段PD的最小值是（

）A．211?2 B．213?2 【答案】B【分析】取AB中點G，連接BD，過點C作CH⊥BD于H，則BG=2，先求出BD=43，然后根據∠APB=90°，得到點P在以G為圓心，AB為直徑的圓上運動，則當D、P、G三點共線時，DP【詳解】解：取AB中點G，連接BD，過點C作CH⊥BD于H，則BG=2，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BCD=6?2∴BH=DH，∴DH=CD?sin∴BD=43∵∠APB=90°，∴點P在以G為圓心，AB為直徑的圓上運動，∴當D、P、G三點共線時，DP有最小值，在Rt△BDG中，DG=B∴PD=DG?PG=213故選B．【點睛】本題主要考查了正多邊形與圓，等腰三角形的性質，解直角三角形，圓外一點到圓上一點的最值問題，確定當D、P、G三點共線時，DP有最小值是解題的關鍵．28．（2022·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預測）在正六邊形ABCDEF中，對角線AC，BD相交于點M，則AMCM的值為______【答案】2【分析】根據多邊形的內角和公式即可得出∠ABC，∠BCD的度數，再根據等腰三角形的性質證明BM=CM，∠ABM=90°,設BM=a,則CM=a,則AM=2a,從而可得答案．【詳解】解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BCD=∠ABC=16（6-2）×180°=120°，AB=BC=CD∴∠BAC=∠ACB=∠CBD=∠CDB=12∴CM=BM,∠ABM=90°，設BM=a,則CM=a,∴AM=2BM=2a,∴AM故答案為2．【點睛】本題考查了正多邊形和圓、多邊形的內角與外角以及等腰三角形的性質，含30°的直角三角形的性質等知識，熟記多邊形的內角和公式是解答本題的關鍵．題型08正多邊形與圓的規(guī)律問題29．（2022·江蘇揚州·模擬預測）如圖，把正六邊形各邊按一定方向延長，使延長的線段與原正六邊形的邊長相等，順次連接這六條線段外端點，可以得到一個新的正六邊形，，重復上述過程，經過2018次后，所得的正六邊形的邊長是原正六邊形邊長的（

）A．(2)2016倍 B．(3)2017倍 C．【答案】C【分析】先根據正六邊形的性質得出∠1的度數，再根據AD=CD=BC判斷出△ABC的形狀及∠2的度數，求出AB的長，進而可得出，經過2018次后，即可得出所得到的正六邊形的邊長．【詳解】∵此六邊形是正六邊形，∴∠1=180°-120°=60°，∵AD=CD=BC，∴△BCD為等邊三角形，∴BD=12AC∴△ABC是直角三角形又∵BC=12AC∴∠2=30°，∴AB=3BC=3CD，同理可得，經過2次后，所得到的正六邊形是原正六邊形邊長（3）2倍，∴經過2018次后，所得到的正六邊形是原正六邊形邊長的（3）2018，故選：C．【點睛】本題考查的是正多邊形和圓，解答此題的關鍵是熟知正多邊形內角的性質及直角三角形的判定定理，此題有一定的難度．30．（2022·廣東湛江·?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，邊長為2的正六邊形ABCDEF的中心與原點O重合，AB∥x軸，交y軸于點P．將△OAP繞點O順時針旋轉，每次旋轉90°，則第2023次旋轉結束時，點A的坐標為______．【答案】?【分析】首先確定點A的坐標，再根據4次一個循環(huán)，推出經過第2023次旋轉后點的坐標即可．【詳解】解：∵正六邊形ABCDEF邊長為2，中心與原點O重合，AB∥∴AP=1，∴OP=A∴第1次旋轉結束時，點A的坐標為3,?1第2次旋轉結束時，點A的坐標為?1,?3第3次旋轉結束時，點A的坐標為?3第4次旋轉結束時，點A的坐標為1,3∴4次一個循環(huán)，∵2023÷4=∴第2023次旋轉結束時，點A的坐標為?3故答案為：?3【點睛】本題考查正多邊形的性質，規(guī)律型問題，坐標與圖形變化——旋轉等知識，解題的關鍵是學會探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．31．（2022·廣東·模擬預測）如圖，邊長為1的正六邊形ABCDEF放置于平面直角坐標系中，邊AB在x軸正半軸上，頂點F在y軸正半軸上，將正六邊形ABCDEF繞坐標原點O順時針旋轉，每次旋轉60°，那么經過第2025次旋轉后，頂點D的坐標為（）A．（?32，?3） B．（32，?332） C．（?3，【答案】A【分析】如圖，連接AD，BD．首先確定點D的坐標，再根據6次一個循環(huán)，由2025÷6=337???3，推出經過第2025次旋轉后，頂點D的坐標與第三次旋轉得到的D3【詳解】解：如圖，連接AD，BD．在正六邊形ABCDEF中，AB=1，AD=2，∠ABD=90°，∴BD=A在RtΔAOF中，AF=1，∴∠OFA=30°，∴OA=1∴OB=OA+AB=3∴D(32，∵將正六邊形ABCDEF繞坐標原點O順時針旋轉，每次旋轉60°，∴6次一個循環(huán)，∵2025÷6=337???3，∴經過第2025次旋轉后，頂點D的坐標與第三次旋轉得到的D3∵D與D3∴D3(?∴經過第2025次旋轉后，頂點D的坐標(?32，故選：A．【點睛】本題考查正多邊形與圓，規(guī)律型問題，坐標與圖形變化-旋轉等知識，解題的關鍵是學會探究規(guī)律的方法，屬于中考常考題型．題型09求弧長32．（2022·山東棗莊·統(tǒng)考三模）一根鋼管放在V形架內，其橫截面如圖所示，鋼管的半徑是24cm，若∠ACB=60°，則劣弧AB的長是（

）A．8πcm B．16πcm C．32πcm【答案】B【分析】先利用v形架與圓的關系求出∠C+∠AOB=180°，由∠C=60°，可求∠AOB=120°，由OB=24cm，利用弧長公式求即可．【詳解】解：∵AC與BC是圓的切線，∴OA⊥AC，OB⊥CB，∴∠OAC=∠OBC=90°，∴∠C+∠AOB=360°-∠OAC-∠OBC=360°-90°-90°=180°，∵∠C=60°，∴∠AOB=180°-60°=120°，∵OB=24cm,∴l(xiāng)AB=120×π×24故選擇B．【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，四邊形內角和，弧長公式，掌握直線與圓的位置關系，四邊形內角和，弧長公式是解題關鍵．33．（2023·甘肅天水·統(tǒng)考一模）如圖，一條公路（公路的寬度忽略不計）的轉彎處是一段圓弧（AB），點O是這段弧所在圓的圓心，半徑OA=90m，圓心角∠AOB=80°，則這段彎路（AB）的長度為（

A．20πm B．30πm C．40πm【答案】C【分析】根據題目中的數據和弧長公式，可以計算出這段彎路（AB）的長度．【詳解】解：∵半徑OA=90m，圓心角∠AOB=80°，∴這段彎路（AB）的長度為：80π×90180故選C【點睛】本題考查了弧長的計算，解答本題的關鍵是明確弧長計算公式l=34．（2022·廣東中山·統(tǒng)考一模）某款“不倒翁”（圖1）的主視圖是圖2，PA，PB分別與AMB所在圓相切于點A，B．若該圓半徑是9cm，∠P＝40°