專題12 類比歸納專題：圓中利用轉化思想求角度壓軸題四種模型全攻略（解析版）

專題12類比歸納專題：圓中利用轉化思想求角度壓軸題四種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一利用同弧或等弧轉化圓周角與圓心角】 1【類型二構造圓內接四邊形轉化角】 6【類型三利用直徑構造直角三角形轉化角】 10【類型四利用特殊數量關系構造特殊角轉化角】 16【典型例題】【類型一利用同弧或等弧轉化圓周角與圓心角】例題：（2023·北京·九年級專題練習）如圖，為的直徑，C，D為上的點，．若，則的度數為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據等弧所對的圓周角相等可得，根據直徑所對的圓周角為90度可得，進而可得，．【詳解】解：如圖，連接，，

，，，為的直徑，，，，故選A．【點睛】本題考查圓周角定理，解題的關鍵是掌握：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，半圓（或直徑）所對的圓周角是直角．【變式訓練】1．（2022秋·浙江溫州·九年級校考階段練習）如圖，在中，點A是的中點，若，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用圓周角定理求解．【詳解】解：點是的中點，，．故選：D．【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．2．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，則的度數為．

【答案】/30度【分析】根據垂徑定理得到，根據圓周角定理解答即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查的是垂徑定理和圓周角定理，掌握同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解題的關鍵．3．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，是的直徑，，，則．

【答案】75【分析】此題考查了弧與圓心角的關系．注意在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．由，根據弧與圓心角的關系，可得，繼而求得答案．【詳解】解：，，．故答案為：75．4．（2023上·浙江杭州·九年級校聯考期中）已知：如圖，在中，，與相交于點M．求證：

(1)；(2)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由可證，再根據弧、弦、圓心角的關系即可證；（2）連接，，由弧、弦、圓心角的關系可得出，根據等弧所對圓周角相等可得出，結合對頂角相等可證，即得出．【詳解】（1）證明：∵，∴，即，∴；（2）證明：如圖，連接，．

∵，∴，．又∵，∴∴．【點睛】本題考查弧、弦、圓心角的關系，圓周角定理的推論，三角形全等的判定和性質．掌握在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等是解題關鍵．5．（2023上·浙江杭州·九年級?？茧A段練習）如圖，中，弦與相交于點E，，連接．

(1)求證：；(2)連結，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由得，從而，據此可得答案；（2）由得，，再證明，根據可證．【詳解】（1）∵，∴，∴，∴；（2）連接

∵，∴，,又∵，∴,∴．【點睛】本題主要考查圓心角、弧、弦的關系，圓心角、弧、弦三者的關系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．也考查了全等三角形的判定.【類型二構造圓內接四邊形轉化角】例題：（2022秋·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期末）是的外接圓，連接，若，則的度數為（

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A． B． C． D．【答案】B【分析】在優(yōu)弧上取一點E，連接，由是的外接圓，，利用在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半，即可求得的度數，最后由圓內接四邊形的性質可得答案．【詳解】解：如圖，在優(yōu)弧上取一點E，連接，

，，，．∵四邊形是圓內接四邊形，∴，∴，

故選：B．【點睛】本題考查了圓周角定理及圓內接四邊形的性質．此題比較簡單，注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半定理的應用．【變式訓練】1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，點A，B，C，D，E均在上，且經過圓心O，連接，若，則弧所對的圓心角的度數為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，根據圓內接四邊形的性質可得，從而得到，進而得到，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵四邊形是的內接四邊形，∴，∵，∴，∴，∴弧所對的圓心角的度數為．故選：D．【點睛】本題主要考查了圓內接四邊形的性質，圓周角定理，熟練掌握圓內接四邊形的性質，圓周角定理是解題的關鍵．2．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）如圖，點A、B、C都在上，如果，那么的度數為．【答案】【分析】如圖：在優(yōu)弧AC上取一點D，連接，由圓周角定理和圓的內接四邊形可得，，再結合求得．【詳解】解：如圖所示，在優(yōu)弧上取一點D，連接，∴，，∵，∴∴，∴故答案為：．【點睛】本題主要考查了圓周角定理、圓的內接四邊形的性質，掌握圓的內接四邊形對角互補是解答本題的關鍵．3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）如圖，在⊙O中，C為上的點，．若，則．

【答案】50°【分析】在優(yōu)弧上取一點D，連接，，，根據圓周角定理即可得到結論．【詳解】解：在優(yōu)弧上取一點D，連接，，，∵，∴，∴，

∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：50°．【點睛】本題考查了圓周角定理，添加輔助線構造圓心角和圓周角是解題的關鍵．4．（2023·吉林松原·校聯考三模）如圖，點A，B，C，D，E都是上的點，，，則．

【答案】116【分析】連接、，根據圓內接四邊形的性質求出，根據圓心角、弧、弦之間的關系定理求出，根據圓內接四邊形的性質計算，得到答案．【詳解】解：連接、，

∵點A、C、D、E都是上的點，∴，∴，∵，∴，∵點A、B、C、E都是⊙O上的點，∴，∴，故答案為：116．【點睛】本題考查的是圓內接四邊形的性質、等腰三角形的性質、掌握圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵．【類型三利用直徑構造直角三角形轉化角】例題：（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考一模）如圖，為的直徑，點，點是上的兩點，連接，，．若，則的度數是°．

【答案】【分析】連接，如圖，利用圓周角定理得到，則，然后利用圓的內接四邊形的性質求的度數．【詳解】解：如圖，連接，

為的直徑，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑．【變式訓練】1．（2023上·廣東陽江·九年級校考期中）如圖，是的直徑，弦交于點E，連接．若，則的度數是（

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A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角．連接，根據直徑所對的圓周角是，可得，由，可得，進而可得．【詳解】解：連接，

∵是的直徑，∴，，，．故選：D．2．（2023上·江蘇南京·九年級南京鐘英中學?？茧A段練習）如圖，是半圓的直徑，O為圓心，B、C是半圓上的兩點，，則°．

【答案】【分析】連接，如圖，根據直徑所對的圓周角是直角得到，則可計算出，然后根據同弧所對的圓周角相等即可得到．【詳解】如圖所示，連接，

∵是直徑，∴，∵，∴，∵，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，正確作出輔助線是解題的關鍵．3．（2023上·浙江溫州·九年級校聯考期中）如圖，在中，以為直徑作半圓O，分別交，于點D，E，．

(1)求證：．(2)若，求，的度數．【答案】(1)見解析(2)，【分析】（1）連結根據直徑所對圓周是直角，結合即可得到證明；（2）根據同弧或等弧所對圓心角等于周角的兩倍直接計算即可得到答案；【詳解】（1）證明：連結，∵是直徑，

∴，∵，

∴是的中垂線，∴，；（2）解：∵，，，∴，∴，∴，∴；【點睛】本題考查直徑所對圓周角是直角及同弧或等弧所對圓心角等于周角的兩倍，垂直平分線的性質，解題的關鍵是作出輔助線．4．（2023上·江蘇蘇州·九年級?？茧A段練習）如圖，在中，以點為圓心畫弧分別交，的延長線和于，，，連接并延長交于，．(1)求證：；(2)連接，判斷與的位置關系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【分析】（1）通過等腰對等角，對頂角相等，垂線性質可以推出，即可得出結論；（2）通過直徑所對圓周角為直角可得到，根據同位角相等即可得到．【詳解】（1）證明：，，，，，，，，；（2）如圖，連接，為以點為圓心的圓的直徑，，，，．【點睛】本題考查了圓周角定理，平行線的判定，等腰三角形的判定，熟練掌握相關定理性質是解答本題的關鍵．5．（2023上·遼寧盤錦·九年級?？计谥校┤鐖D，D是等腰三角形底邊的中點，過點A、B、D作．

(1)求證：是的直徑；(2)延長交于點E，連接，求證：；(3)若，求長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)長是【分析】（1）連接，由，根據等腰三角形的“三線合一”證明，則，所以是的直徑；（2）根據圓周角定理證明，根據“等邊對等角”得，所以，則；（3）可由，，證明，根據相似三角形的對應邊成比例求的長，再由求的長．【詳解】（1）證明：連接，如圖，

∵D是等腰三角形底邊的中點，∴，∴，∴，∴是的直徑．（2）證明：∵是等腰三角形，∴，∵，∴，∴．（3）解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴長是．【點睛】此題重點考查等腰三角形的判定與性質、圓周角定理、相似三角形的判定與性質、根據面積等式求線段的長度等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．【類型四利用特殊數量關系構造特殊角轉化角】例題：（2023·江蘇連云港·校聯考三模）如圖，已知：四個邊長為1的小正方形拼成一個大正方形，A、B、O是小正方形頂點，的半徑為1，P是上的點，且位于右上方的小正方形內，則等于（

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A． B． C． D．【答案】B【分析】根據圓周角定理求解即可．【詳解】，故選：B．【點睛】本題考查圓周角定理，熟記同圓中一條弧所對的圓周角等于所對圓心角的一半是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023·遼寧朝陽·校聯考三模）如圖，點A、B、C、D在上，四邊形是平行四邊形，則的大小為（

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A． B． C． D．無法確定【答案】A【分析】連接，證明為等邊三角形，得出，根據圓周角定理得出即可．【詳解】解：連接，如圖所示：

∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，故A正確．故選：A．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，平行四邊形的性質，等邊三角形的判定和性質，解題的關鍵是證明為等邊三角形，求出．2．（2023·廣西防城港·統(tǒng)考一模）如圖，點A，B，C，D都在上，，，則的度數為（

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A． B． C． D．【答案】D【分析】由，根據垂徑定理的即可求得：，然后由圓周角定理，即可求得的度數．【詳解】解：，，，．故選：D．【點睛】此題考查了圓周角定理以及垂徑定理，解題的關鍵是掌握數形結合思想的應用．3．（2023·廣東佛山·?？既＃┤鐖D，四邊形內接于，連接，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，證明，得出，則，再根據圓內接四邊形對角互補，即可求解．【詳解】解：連接，在和中，，∴，∵，，∴，∴，∵四邊形內接于，∴，故選：A．

【點睛】本題