第13講 泰勒展開式及相關(guān)不等式放縮在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用（高階拓展、競賽適用）（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第13講泰勒展開式及相關(guān)不等式放縮在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用（高階拓展、競賽適用）（2類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2022年新I卷，第7題,5分泰勒展開式及相關(guān)不等式放縮比較指數(shù)冪的大小比較對數(shù)式的大小2022年全國甲卷理科，第12題,5分泰勒展開式及相關(guān)不等式放縮比較三角函數(shù)值大小2021年全國乙卷理科，第12題,5分泰勒展開式及相關(guān)不等式放縮比較對數(shù)式的大小2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的載體內(nèi)容，設(shè)題不定，難度較大，分值為5分【備考策略】1能理解泰勒公式的本質(zhì)2能運(yùn)用泰勒公式求解【命題預(yù)測】泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)，也是一個難點(diǎn)，它貫穿于高等數(shù)學(xué)的始終．泰勒公式的重點(diǎn)就在于使用一個次多項式，去逼近一個已知的函數(shù)，而且這種逼近有很好的性質(zhì)：與在點(diǎn)具有相同的直到階的導(dǎo)數(shù)，所以泰勒公式能很好的集中體現(xiàn)高等數(shù)學(xué)中的“逼近”這一思想精髓．泰勒公式的難點(diǎn)就在于它的理論性比較強(qiáng)，一般很難接受，更不用說應(yīng)用了．但泰勒公式無論在科研領(lǐng)域還是在證明、計算應(yīng)用等方面，它都起著很重要的作用．運(yùn)用泰勒公式，對不等式問題進(jìn)行分析、構(gòu)造、轉(zhuǎn)化、放縮是解決不等式證明問題的常用方法與基本思想．在高中階段，會基本運(yùn)用即可知識講解1．泰勒公式：泰勒公式是將一個在處具有階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)利用關(guān)于的次多項式來逼近函數(shù)的方法．【定理1】若函數(shù)在包含的某個閉區(qū)間上具有階導(dǎo)數(shù)，且在開區(qū)間上具有階導(dǎo)數(shù)，則對閉區(qū)間上任意一點(diǎn)，成立下式：其中：表示在處的階導(dǎo)數(shù)，等號后的多項式稱為函數(shù)在處的泰勒展開式，剩余的是泰勒公式的余項，是的高階無窮小量．2．常見函數(shù)的泰勒展開式：（1），其中；（2），其中；（3），其中；（4），其中；（5）；（6）；（7）；（8）．由泰勒公式，我們得到如下常用的不等式：，，，，，，，，．3．常見函數(shù)的泰勒展開式的結(jié)論：結(jié)論1．結(jié)論2．結(jié)論3（）．結(jié)論4．結(jié)論5；；．結(jié)論6；結(jié)論7結(jié)論8．結(jié)論9．考點(diǎn)一、泰勒展開式的初步認(rèn)知1．（2023·遼寧·二模）（多選）泰勒公式通俗的講就是用一個多項式函數(shù)去逼近一個給定的函數(shù)，也叫泰勒展開式，下面給出兩個泰勒展開式由此可以判斷下列各式正確的是（

）．A．（i是虛數(shù)單位） B．（i是虛數(shù)單位）C． D．2．（2022·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）在高等數(shù)學(xué)中，我們將在處可以用一個多項式函數(shù)近似表示，具體形式為：（其中表示的n次導(dǎo)數(shù)），以上公式我們稱為函數(shù)在處的泰勒展開式.(1)分別求，，在處的泰勒展開式；(2)若上述泰勒展開式中的x可以推廣至復(fù)數(shù)域，試證明：.（其中為虛數(shù)單位）；(3)若，恒成立，求a的范圍.（參考數(shù)據(jù)）1．（2023·遼寧丹東·一模）計算器計算，，，等函數(shù)的函數(shù)值，是通過寫入“泰勒展開式”程序的芯片完成的．“泰勒展開式”是：如果函數(shù)在含有的某個開區(qū)間內(nèi)可以多次進(jìn)行求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，則當(dāng)，且時，有．其中是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)……．取，則的“泰勒展開式”中第三個非零項為，精確到0.01的近似值為．2．（23-24高二下·山西長治·期末）對于函數(shù)，規(guī)定，，…，，叫做函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)．若函數(shù)在包含的某個閉區(qū)間上具有n階導(dǎo)數(shù)，且在開區(qū)間上具有階導(dǎo)數(shù)，則對閉區(qū)間上任意一點(diǎn)x，，該公式稱為函數(shù)在處的n階泰勒展開式，是此泰勒展開式的n階余項．已知函數(shù)．(1)寫出函數(shù)在處的3階泰勒展開式（用表示即可）；(2)設(shè)函數(shù)在處的3階余項為，求證：對任意的，；(3)求證：．考點(diǎn)二、泰勒展開式的綜合應(yīng)用1．（2022年新Ⅰ卷高考真題第7題）設(shè)，，則（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，，．則（

）A． B． C． D．1．（2023·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）已知，，則（

）A． B． C． D．2．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．3．（2024·全國·模擬預(yù)測）若，，，則（

）A． B．C． D．4．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知，，，則（

）A． B． C． D．5．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）設(shè)，則（

）A． B．C． D．1．（2024·遼寧·一模）設(shè)則（

）A． B．C． D．2．（2024·遼寧·二模）若，則（

）A． B．C． D．3．（2024·山西·二模）設(shè)，，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．5．（23-24高三上·陜西西安·階段練習(xí)）若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．6．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，，，則（

）A． B． C． D．7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，，則（

）A． B． C． D．8．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．9．（2024·湖南邵陽·一模）設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．10．（23-24高三上·安徽·期末）已知，，，則（

）A． B．C． D．11．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．12．（2024·湖南長沙·一模）已知實(shí)數(shù)分別滿足，，且，則（

）A． B．C． D．13．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知，，，則（

）A． B． C． D．14．（23-24高三下·安徽·階段練習(xí)）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．15．（2024·甘肅隴南·一模）若，則（

）A． B． C． D．16．（23-24高三下·全國·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B．C． D．17．（2024·遼寧沈陽·一模）已知，則（

）A． B．C． D．1．2．3．4．18．（2024·全國·模擬預(yù)測）下列正確結(jié)論的個數(shù)為（

）①