《金版教程•高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案》提升版第九章第3講圓的方程

第3講圓的方程[課程標(biāo)準(zhǔn)]回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程．1．圓的定義、方程(1)平面上到eq\x(\s\up1(01))定點(diǎn)的距離等于eq\x(\s\up1(02))定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是圓．(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中圓心為eq\x(\s\up1(03))(a，b)，半徑為eq\x(\s\up1(04))r．(3)圓的一般方程對(duì)于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0：①方程表示圓的充要條件：eq\x(\s\up1(05))D2＋E2－4F>0，其中圓心坐標(biāo)：eq\x(\s\up1(06))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑r＝eq\x(\s\up1(07))eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)；②當(dāng)D2＋E2－4F＝0時(shí)，該方程表示eq\x(\s\up1(08))點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))；③當(dāng)D2＋E2－4F<0時(shí)，該方程不表示任何圖形．2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(1)理論依據(jù)eq\x(\s\up1(09))點(diǎn)與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系．(2)三個(gè)結(jié)論圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點(diǎn)M(x0，y0)，d為圓心到點(diǎn)M的距離．①eq\x(\s\up1(10))(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?點(diǎn)在圓上?d＝r；②eq\x(\s\up1(11))(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?點(diǎn)在圓外?d>r；③eq\x(\s\up1(12))(x0－a)2＋(y0－b)2<r2?點(diǎn)在圓內(nèi)?d<r.1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF>0.))3．求圓的方程，如果借助圓的幾何性質(zhì)，能使解題思路簡(jiǎn)化減少計(jì)算量，常用的幾何性質(zhì)有：(1)圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；(2)圓心在任一弦的中垂線上；(3)兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線．1．(人教A選擇性必修第一冊(cè)2.4.2練習(xí)T1改編)圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)和半徑分別是()A．(2，3)，3 B．(－2，3)，eq\r(3)C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，eq\r(13)答案D解析圓x2＋y2－4x＋6y＝0化成標(biāo)準(zhǔn)形式為(x－2)2＋(y＋3)2＝13.故圓心坐標(biāo)為(2，－3)，半徑r＝eq\r(13).故選D.2．(人教A選擇性必修第一冊(cè)習(xí)題2.4T5改編)已知A(1，0)，B(0，3)，則以AB為直徑的圓的方程是()A．x2＋y2－x－3y＝0 B．x2＋y2＋x＋3y＝0C．x2＋y2＋x－3y＝0 D．x2＋y2－x＋3y＝0答案A解析圓的圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))，半徑r＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(1,2)×eq\r(12＋32)＝eq\f(\r(10),2)，故圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(5,2).整理得x2＋y2－x－3y＝0.故選A.3．(人教B選擇性必修第一冊(cè)2.3.1練習(xí)BT4改編)若坐標(biāo)原點(diǎn)在圓(x－m)2＋(y＋m)2＝4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－1，1) B．(－eq\r(3)，eq\r(3))C．(－eq\r(2)，eq\r(2)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))答案C解析∵原點(diǎn)(0，0)在圓(x－m)2＋(y＋m)2＝4的內(nèi)部，∴(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－eq\r(2)<m<eq\r(2).故選C.4．(多選)若k∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，0，\f(4,5)，1))，方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0不表示圓，則k的取值可以是()A．－2 B．0C.eq\f(4,5) D．1答案CD解析若方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0表示圓，則(k－1)2＋4k2－4k>0，解得k<eq\f(1,5)或k>1，結(jié)合題意可知，若方程不表示圓，則k的取值可以是eq\f(4,5)，1.故選CD.5．(2022·全國(guó)乙卷)過四點(diǎn)(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為________．答案(x－2)2＋(y－3)2＝13或(x－2)2＋(y－1)2＝5或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,3)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(7,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(65,9)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,5)))eq\s\up12(2)＋(y－1)2＝eq\f(169,25)(寫出一個(gè)即可)解析設(shè)點(diǎn)A(0，0)，B(4，0)，C(－1，1)，D(4，2)，圓過其中三點(diǎn)共有下列四種情況：①若圓過A，B，C三點(diǎn)，則圓心在直線x＝2上，設(shè)圓心坐標(biāo)為(2，a)，則4＋a2＝9＋(a－1)2?a＝3，r＝eq\r(4＋a2)＝eq\r(13)，所以圓的方程為(x－2)2＋(y－3)2＝13.②若圓過A，B，D三點(diǎn)，同①設(shè)圓心坐標(biāo)為(2，a)，則4＋a2＝4＋(a－2)2?a＝1，r＝eq\r(4＋a2)＝eq\r(5)，所以圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.③若圓過A，C，D三點(diǎn)，則線段AC的中垂線方程為y＝x＋1，線段AD的中垂線方程為y＝－2x＋5，聯(lián)立解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,3)，,y＝\f(7,3)，))所以圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(7,3)))，r＝eq\r(\f(16,9)＋\f(49,9))＝eq\f(\r(65),3)，所以圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,3)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(7,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(65,9).④若圓過B，C，D三點(diǎn)，則線段BD的中垂線方程為y＝1，線段BC的中垂線方程為y＝5x－7，聯(lián)立解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8,5)，,y＝1，))所以圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，1))，r＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)－4))\s\up12(2)＋1)＝eq\f(13,5)，所以圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,5)))eq\s\up12(2)＋(y－1)2＝eq\f(169,25).考向一求圓的方程例1(1)已知圓M與直線3x－4y＝0及3x－4y＋10＝0都相切，圓心在直線y＝－x－4上，則圓M的方程為()A．(x＋3)2＋(y－1)2＝1 B．(x－3)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1答案C解析到兩直線3x－4y＝0，3x－4y＋10＝0的距離都相等的直線方程為3x－4y＋5＝0，聯(lián)立得方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－4y＋5＝0，,y＝－x－4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－1.))又兩平行線間的距離為eq\f(10,\r(32＋（－4）2))＝2，所以圓M的半徑為1，從而圓M的方程為(x＋3)2＋(y＋1)2＝1.故選C.(2)(2022·全國(guó)甲卷)設(shè)點(diǎn)M在直線2x＋y－1＝0上，點(diǎn)(3，0)和(0，1)均在⊙M上，則⊙M的方程為________．答案(x－1)2＋(y＋1)2＝5解析∵點(diǎn)M在直線2x＋y－1＝0上，∴設(shè)點(diǎn)M為(a，1－2a)，又點(diǎn)(3，0)和(0，1)均在⊙M上，∴點(diǎn)M到兩點(diǎn)的距離相等且為半徑R，∴eq\r(（a－3）2＋（1－2a）2)＝eq\r(a2＋（－2a）2)＝R，解得a＝1，∴M(1，－1)，R＝eq\r(5)，⊙M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.求圓的方程的兩種方法(1)幾何法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程．(2)待定系數(shù)法①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇設(shè)出圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值．提醒：解答圓的有關(guān)問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)．1.已知圓E經(jīng)過兩點(diǎn)A(0，1)，B(2，0)，且圓心在x軸的正半軸上，則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(25,16)解析因?yàn)閳AE經(jīng)過點(diǎn)A(0，1)，B(2，0)，所以圓E的圓心在線段AB的垂直平分線y－eq\f(1,2)＝2(x－1)上．又圓E的圓心在x軸的正半軸上，所以圓E的圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0)).則圓E的半徑為|EB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3,4)))\s\up12(2)＋（0－0）2)＝eq\f(5,4)，所以圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(25,16).2．已知圓C經(jīng)過P(－2，4)，Q(3，－1)兩點(diǎn)，且在x軸上截得的弦長(zhǎng)等于6，則圓C的一般方程為________________．答案x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0解析設(shè)圓C的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2D－4E－F＝20，①,3D－E＋F＝－10.②))在圓C的方程中，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③設(shè)x1，x2是方程③的兩根，由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④聯(lián)立①②④得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－8或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0.故圓C的一般方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.考向二與圓有關(guān)的軌跡問題例2(2024·武漢模擬)已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程．解(1)解法一：設(shè)C(x，y)，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，所以y≠0.因?yàn)锳C⊥BC，且BC，AC的斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝eq\f(y,x＋1)，kBC＝eq\f(y,x－3)，所以eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－3)＝－1，化簡(jiǎn)得x2＋y2－2x－3＝0.因此直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．解法二：設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(1，0)，由直角三角形的性質(zhì)知|CD|＝eq\f(1,2)|AB|＝2.由圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以D(1，0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn))．所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)設(shè)M(x，y)，C(x0，y0)，因?yàn)锽(3，0)，且M是線段BC的中點(diǎn)，所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x＝eq\f(x0＋3,2)，y＝eq\f(y0＋0,2)，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，點(diǎn)C(x0，y0)滿足(x0－1)2＋yeq\o\al(2,0)＝4(y≠0)，將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．因此直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．求與圓有關(guān)的軌跡方程的方法(2024·合肥質(zhì)檢)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)M(－2，0)與到點(diǎn)N(1，0)的距離之比為2∶1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為________；若動(dòng)點(diǎn)A滿足eq\o(MA,\s\up6(→))＝2eq\o(MP,\s\up6(→))，則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程為________．答案(x－2)2＋y2＝4(x－6)2＋y2＝16解析設(shè)P(x，y)，則|PM|＝eq\r(（x＋2）2＋y2)，|PN|＝eq\r(（x－1）2＋y2)，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)M(－2，0)與到點(diǎn)N(1，0)的距離之比為2∶1，所以eq\f(\r(（x＋2）2＋y2),\r(（x－1）2＋y2))＝eq\f(2,1)，所以(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，化簡(jiǎn)得x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝4.設(shè)點(diǎn)A(x，y)，P(x0，y0)，則eq\o(MA,\s\up6(→))＝(x＋2，y)，eq\o(MP,\s\up6(→))＝(x0＋2，y0)，因?yàn)閑q\o(MA,\s\up6(→))＝2eq\o(MP,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2＝2（x0＋2），,y＝2y0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(1,2)x－1，,y0＝\f(1,2)y，))所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－1－2))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)y))eq\s\up12(2)＝4，化簡(jiǎn)得(x－6)2＋y2＝16，所以動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程為(x－6)2＋y2＝16.多角度探究突破考向三與圓有關(guān)的最值問題角度借助幾何性質(zhì)求最值例3已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．解(1)原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)為圓心，eq\r(3)為半徑的圓，eq\f(y,x)的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè)eq\f(y,x)＝k，即y＝kx.當(dāng)直線y＝kx與圓相切時(shí)，斜率k取最大值或最小值，此時(shí)eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3).所以eq\f(y,x)的最大值為eq\r(3)，最小值為－eq\r(3).(2)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)eq\f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，解得b＝－2±eq\r(6).所以y－x的最大值為－2＋eq\r(6)，最小值為－2－eq\r(6).(3)x2＋y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)與圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值．又圓心到原點(diǎn)的距離為2，所以x2＋y2的最大值是(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).角度構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)求最值例4設(shè)點(diǎn)P(x，y)是圓x2＋(y－3)2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A(2，0)，B(－2，0)．則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最大值為________．答案12解析解法一：由題意，得eq\o(PA,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝x2＋y2－4，由于點(diǎn)P(x，y)是圓上的點(diǎn)，故其坐標(biāo)滿足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以當(dāng)y＝4時(shí)，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的值最大，最大值為6×4－12＝12.解法二：設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，易知eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|2－|eq\o(OA,\s\up6(→))|2＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|2－4，又|eq\o(PO,\s\up6(→))|max＝3＋1＝4，故(eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→)))max＝42－4＝12.角度利用對(duì)稱性求最值例5(2024·濟(jì)寧模擬)已知圓C：x2＋y2－4y＋3＝0，點(diǎn)M(7，12)，直線l：y＝x.點(diǎn)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是l上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|＋|QM|的最小值為()A．11 B．12C．13 D．14答案B解析由題設(shè)圓C：x2＋(y－2)2＝1，即圓心為C(0，2)，半徑為1，又72＋(12－2)2＝149>1，所以點(diǎn)M在圓外同時(shí)不在直線l：y＝x上，如圖所示，若M′為M關(guān)于l：y＝x的對(duì)稱點(diǎn)，則M′(12，7)，則|PQ|＋|QM|＝|PQ|＋|QM′|≥|PM′|，而|PM′|min＝|CM′|－1，所以|PQ|＋|QM|≥|CM′|－1＝12，當(dāng)且僅當(dāng)C，P，Q，M′共線且P在C，Q之間時(shí)，等號(hào)成立，故|PQ|＋|QM|的最小值為12.故選B.與圓有關(guān)的最值問題的求解方法方法適用類型借助幾何性質(zhì)求最值形如μ＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題形如t＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題建立函數(shù)關(guān)系式求最值根據(jù)題目條件列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、基本不等式法等求最值動(dòng)化定、曲化直法求最值求解形如|PM|±|PN|(其中M，N均為動(dòng)點(diǎn))且與圓C有關(guān)的折線段的最值問題1.直線x＋y＋2＝0分別與x軸、y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是()A．[2，6] B．[4，8]C．[eq\r(2)，3eq\r(2)] D．[2eq\r(2)，3eq\r(2)]答案A解析∵直線x＋y＋2＝0分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A，B，∴A(－2，0)，B(0，－2)，則|AB|＝2eq\r(2).∵點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝2上，圓心為(2，0)，∴圓心到直線的距離d1＝eq\f(|2＋0＋2|,\r(2))＝2eq\r(2)，故點(diǎn)P到直線x＋y＋2＝0的距離d2的范圍為[eq\r(2)，3eq\r(2)]，則S△ABP＝eq\f(1,2)|AB|d2＝eq\r(2)d2∈[2，6]．故選A.2．設(shè)點(diǎn)P(x，y)是圓(x－3)2＋y2＝4上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A(0，2)，B(0，－2)，則|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的最大值為________．答案10解析由題意，知eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－x，2－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－x，－2－y)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－2x，－2y)，所以|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|＝2eq\r(x2＋y2).因?yàn)辄c(diǎn)P(x，y)是圓(x－3)2＋y2＝4上的點(diǎn)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足方程(x－3)2＋y2＝4，1≤x≤5，所以y2＝－(x－3)2＋4，所以|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|＝2eq\r(x2－（x－3）2＋4)＝2eq\r(6x－5).因?yàn)?≤x≤5，所以當(dāng)x＝5時(shí)，|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的值最大，最大值為2eq\r(6×5－5)＝10.3．已知圓C1：(x＋2)2＋(y－1)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值為________．答案5eq\r(2)－4解析圓C1：(x＋2)2＋(y－1)2＝1的圓心為(－2，1)，半徑為1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9的圓心為(3，4)，半徑為3.如圖，圓C1關(guān)于x軸的對(duì)稱圓為圓C1′：(x＋2)2＋(y＋1)2＝1.連接C1′C2，交x軸于P，則P為使|PM|＋|PN|最小的點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)M為線段PC1與圓C1的交點(diǎn)，N為線段PC2與圓C2的交點(diǎn)，最小值為|C1′C2|－(3＋1)，而|C1′C2|＝eq\r(（3＋2）2＋（4＋1）2)＝5eq\r(2)，∴|PM|＋|PN|的最小值為5eq\r(2)－4.課時(shí)作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1．(2022·北京高考)若直線2x＋y－1＝0是圓(x－a)2＋y2＝1的一條對(duì)稱軸，則a＝()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．1 D．－1答案A解析由題意可知，圓心為(a，0)，因?yàn)橹本€2x＋y－1＝0是圓的一條對(duì)稱軸，所以圓心在直線上，即2a＋0－1＝0，解得a＝eq\f(1,2).故選A.2．設(shè)甲：實(shí)數(shù)a<3；乙：方程x2＋y2－x＋3y＋a＝0表示圓，則甲是乙的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案B解析若方程x2＋y2－x＋3y＋a＝0表示圓，則(－1)2＋32－4a＝10－4a>0，解得a<eq\f(5,2).∵a<3a<eq\f(5,2)，a<eq\f(5,2)?a<3，∴甲是乙的必要不充分條件．故選B.3．(2024·日照模擬)已知圓C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，那么與圓C有相同的圓心，且經(jīng)過點(diǎn)(－2，2)的圓的方程是()A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝25C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5 D．(x＋1)2＋(y－2)2＝25答案B解析圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝4，圓心C(1，－2)，故排除C，D；設(shè)要求的圓的方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝r2，代入點(diǎn)(－2，2)，得r2＝25.故選B.4．已知點(diǎn)P(1，2)和圓C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，過點(diǎn)P作圓C的切線有兩條，則k的取值范圍是()A．(－∞，＋∞) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2\r(3),3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，0))答案C解析圓C：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k,2)))eq\s\up12(2)＋(y＋1)2＝1－eq\f(3,4)k2，因?yàn)檫^點(diǎn)P有兩條切線，所以點(diǎn)P在圓外，從而eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋4＋k＋4＋k2>0，,1－\f(3,4)k2>0，))解得－eq\f(2\r(3),3)<k<eq\f(2\r(3),3).故選C.5．(2023·全國(guó)乙卷)已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2－4x－2y－4＝0，則x－y的最大值是()A．1＋eq\f(3\r(2),2) B．4C．1＋3eq\r(2) D．7答案C解析解法一：令x－y＝k，則x＝k＋y，代入原式，化簡(jiǎn)得2y2＋(2k－6)y＋k2－4k－4＝0，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)y，則Δ≥0，即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0，化簡(jiǎn)得k2－2k－17≤0，解得1－3eq\r(2)≤k≤1＋3eq\r(2)，故x－y的最大值是1＋3eq\r(2).故選C.解法二：x2＋y2－4x－2y－4＝0，整理得(x－2)2＋(y－1)2＝9，令x＝3cosθ＋2，y＝3sinθ＋1，其中θ∈[0，2π]，則x－y＝3cosθ－3sinθ＋1＝3eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＋1，因?yàn)棣取蔥0，2π]，所以θ＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(9π,4)))，當(dāng)θ＋eq\f(π,4)＝2π，即θ＝eq\f(7π,4)時(shí)，x－y取得最大值1＋3eq\r(2).故選C.解法三：由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得(x－2)2＋(y－1)2＝9，設(shè)x－y＝k，則圓心到直線x－y＝k的距離d＝eq\f(|2－1－k|,\r(2))≤3，解得1－3eq\r(2)≤k≤1＋3eq\r(2).故選C.6．(2024·湖南郴州模擬)已知A，B是⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P是線段AB的中點(diǎn)，若|AB|＝6，則點(diǎn)P的軌跡方程為()A．(x－4)2＋(y－2)2＝16 B．(x－2)2＋(y－4)2＝11C．(x－2)2＋(y－4)2＝16 D．(x－4)2＋(y－2)2＝11答案C解析A，B是⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P是線段AB的中點(diǎn)，|AB|＝6，圓的半徑為5，可得|PC|＝eq\r(25－9)＝4，所以點(diǎn)P的軌跡方程為(x－2)2＋(y－4)2＝16.故選C.7．(2023·北京昌平二模)已知點(diǎn)P在直線eq\r(3)x－y－10＝0上，點(diǎn)Q(2cosθ，2sinθ)(θ∈R)，則|PQ|的最小值為()A．1 B．3C．5 D．7答案B解析設(shè)Q(x，y)，由Q(2cosθ，2sinθ)(θ∈R)可知x＝2cosθ，y＝2sinθ，所以x2＋y2＝4，即Q是圓心為(0，0)，半徑為2的圓上的動(dòng)點(diǎn)，圓心到直線eq\r(3)x－y－10＝0的距離d＝eq\f(|0－0－10|,\r(3＋1))＝5，所以|PQ|min＝5－2＝3.故選B.8．(2023·邯鄲三模)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知A(－3，4)，B(－3，1)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足|PA|＝2|PB|，則(x－1)2＋(y－t)2(t∈R)的最小值是()A.eq\r(2) B．2C．4 D．16答案C解析因?yàn)锳(－3，4)，B(－3，1)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足|PA|＝2|PB|，則(x＋3)2＋(y－4)2＝4(x＋3)2＋4(y－1)2，整理得(x＋3)2＋y2＝4，eq\r(（x－1）2＋（y－t）2)可以看成圓(x＋3)2＋y2＝4上的動(dòng)點(diǎn)P(x，y)與定直線x＝1上的動(dòng)點(diǎn)Q(1，t)的距離，其最小值為圓心M(－3，0)到直線x＝1的距離減去圓的半徑2，即|PQ|≥4－2＝2，因此(x－1)2＋(y－t)2的最小值是22＝4.故選C.二、多項(xiàng)選擇題9．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，則下列關(guān)于△ABC的外接圓圓M的說法正確的是()A．圓M的圓心坐標(biāo)為(1，3) B．圓M的半徑為eq\r(5)C．圓M關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱 D．點(diǎn)(2，3)在圓M內(nèi)答案ABD解析設(shè)△ABC的外接圓圓M的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋4－D＋2E＋F＝0，,4＋1＋2D＋E＋F＝0，,9＋16＋3D＋4E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝－6，,F＝5.))所以△ABC的外接圓圓M的方程為x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝5.故圓M的圓心坐標(biāo)為(1，3)，半徑為eq\r(5)，因?yàn)橹本€x＋y＝0不經(jīng)過圓M的圓心(1，3)，所以圓M不關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱．因?yàn)?2－1)2＋(3－3)2＝1<5，故點(diǎn)(2，3)在圓M內(nèi)．故選ABD.10．(2023·常德模擬)已知圓x2＋y2＝16與x軸的左、右交點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)M(1，1)在圓內(nèi)，以下說法正確的是()A．過M的圓的最短弦長(zhǎng)為2eq\r(14)B．若P為圓上的動(dòng)點(diǎn)，且與B不重合，則BP的中點(diǎn)N的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠4)C．若P為圓上的動(dòng)點(diǎn)，且與B不重合，則BP的中點(diǎn)N的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝4(y≠0)D．若P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)，且PM⊥QM，則PQ的中點(diǎn)T的軌跡方程為x2＋y2－x－y－7＝0答案ABD解析對(duì)于A，過M的圓的最短弦與OM(O為坐標(biāo)原點(diǎn))垂直，其長(zhǎng)度為2eq\r(16－2)＝2eq\r(14)，故A正確；對(duì)于B，C，若P為圓上的動(dòng)點(diǎn)，且與B不重合，則BP的中點(diǎn)N滿足ON⊥BN，N在以O(shè)B為直徑的圓上，但點(diǎn)B除外，故點(diǎn)N的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠4)，故B正確，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)，且PM⊥QM，設(shè)PQ的中點(diǎn)T(x，y)，則|PT|＝|MT|，OT⊥PQ，|MT|2＋|OT|2＝|PT|2＋|OT|2＝16，可得x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝16，整理可得x2＋y2－x－y－7＝0，故D正確．故選ABD.11．(2023·武漢模擬)已知直線l：x－y＋1＝0與圓CK：(x＋k－1)2＋(y＋2k)2＝1，下列說法正確的是()A．所有圓CK均不經(jīng)過點(diǎn)(0，3)B．若圓CK關(guān)于直線l對(duì)稱，則k＝－2C．若直線l與圓CK交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝eq\r(2)，則k＝－1D．不存在圓CK與x軸、y軸均相切答案ABD解析對(duì)于A，將(0，3)代入(x＋k－1)2＋(y＋2k)2＝1，則(k－1)2＋(2k＋3)2＝1，所以5k2＋10k＋9＝0，此時(shí)Δ＝100－4×5×9＝－80<0，所以不存在k值，使圓CK經(jīng)過點(diǎn)(0，3)，A正確；對(duì)于B，若圓CK關(guān)于直線l對(duì)稱，則(1－k，－2k)在直線l：x－y＋1＝0上，所以1－k＋2k＋1＝0，則k＝－2，B正確；對(duì)于C，由題意，圓心CK到直線l的距離d＝eq\r(1－\f(|AB|2,4))＝eq\f(\r(2),2)，所以eq\f(|1－k＋2k＋1|,\r(2))＝eq\f(|k＋2|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，則|k＋2|＝1，可得k＝－3或k＝－1，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若圓CK與x軸、y軸均相切，則|1－k|＝2|k|＝1，顯然無解，即不存在這樣的圓CK，D正確．故選ABD.三、填空題12．(2023·昆明模擬)已知點(diǎn)A(－2，0)，B(0，2)，動(dòng)點(diǎn)M滿足eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝0，則點(diǎn)M到直線y＝x＋2的距離可以是________．(寫出一個(gè)符合題意的整數(shù)值)答案0或1(只寫一個(gè)即可)解析由題設(shè)知eq\o(AM,\s\up6(→))⊥eq\o(MB,\s\up6(→))，即點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上，且圓心為(－1，1)，半徑為eq\r(2)，所以點(diǎn)M的軌跡方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝2，而直線y＝x＋2過圓心(－1，1)，所以點(diǎn)M到直線y＝x＋2的距離的取值范圍為[0，eq\r(2)]，所以點(diǎn)M到直線y＝x＋2的距離的整數(shù)值可以是0或1.13．已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，設(shè)點(diǎn)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)．記d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0，1)，B(0，－1)，則d的最大值為________．答案74解析設(shè)P(x，y)，則d＝|PB|2＋|PA|2＝x2＋(y＋1)2＋x2＋(y－1)2＝2(x2＋y2)＋2，x2＋y2表示圓上任一點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，∴(x2＋y2)max＝(5＋1)2＝36，∴dmax＝74.14．阿波羅尼斯(古希臘數(shù)學(xué)家，約公元前262～190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地．他證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(k>0，k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓．(1)若定點(diǎn)為A(－1，0)，B(1，0)，寫出k＝eq\f(1,2)的一個(gè)阿波羅尼斯圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________；(2)△ABC中，|AB|＝2，|AC|＝k|BC|(k>1)，則當(dāng)△ABC面積的最大值為2eq\r(2)時(shí)，k＝________．答案(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x±\f(5,3)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(16,9)(填一個(gè)即可)(2)eq\r(2)解析(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為P(x，y)，則eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\f(1,2)或eq\f(|PB|,|PA|)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(\r(（x＋1）2＋y2),\r(（x－1）2＋y2))＝eq\f(1,2)或eq\f(\r(（x－1）2＋y2),\r(（x＋1）2＋y2))＝eq\f(1,2)，化簡(jiǎn)得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x±\f(5,3)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(16,9).所以k＝eq\f(1,2)的阿波羅尼斯圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x±\f(5,3)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(16,9).(2)設(shè)A(－1，0)，B(1，0)，C(x，y)，因?yàn)閨A