高中數(shù)學(xué) 第二講 參數(shù)方程 2.4 漸開(kāi)線與擺線課件 新人教A版選修4-4-新人教A版高二選修4-4數(shù)學(xué)課件

四

漸開(kāi)線與擺線1.借助教具或計(jì)算機(jī)軟件,觀察圓在直線上滾動(dòng)時(shí)圓上定點(diǎn)的軌跡(平擺線)、直線在圓上滾動(dòng)時(shí)直線上定點(diǎn)的軌跡(漸開(kāi)線),了解平擺線和漸開(kāi)線的生成過(guò)程,并能推導(dǎo)出它們的參數(shù)方程.2.通過(guò)閱讀材料,了解其他擺線(外擺線、內(nèi)擺線)的生成過(guò)程;了解擺線在實(shí)際應(yīng)用中的實(shí)例.1.漸開(kāi)線的產(chǎn)生過(guò)程把一條沒(méi)有彈性的細(xì)繩繞在一個(gè)圓盤(pán)上,在繩的外端系上一支鉛筆,將繩子拉緊,保持繩子與圓相切而逐漸展開(kāi),那么鉛筆畫(huà)出的曲線就是圓的漸開(kāi)線,相應(yīng)的定圓叫做漸開(kāi)線的基圓.2.擺線的概念及產(chǎn)生過(guò)程圓的擺線就是一個(gè)圓沿著一條定直線無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí),圓周上一個(gè)定點(diǎn)的軌跡,圓的擺線又叫旋輪線.【做一做1】

關(guān)于漸開(kāi)線和擺線的敘述,正確的是(

)A.只有圓才有漸開(kāi)線B.漸開(kāi)線和擺線的定義是一樣的,只是繪圖的方法不一樣,所以才得到了不同的圖形C.正方形也可以有漸開(kāi)線D.對(duì)于同一個(gè)圓,如果建立的平面直角坐標(biāo)系的位置不同,那么畫(huà)出的漸開(kāi)線的形狀就不同解析:不僅圓有漸開(kāi)線,其他圖形如橢圓、正方形也有漸開(kāi)線;漸開(kāi)線和擺線的實(shí)質(zhì)是完全不一樣的,因此得出的圖形也不相同;對(duì)于同一個(gè)圓不論在什么位置建立平面直角坐標(biāo)系,畫(huà)出圖形的大小和形狀都是一樣的,只是方程的形式及圖形在坐標(biāo)系中的位置可能不同.答案:C3.圓的漸開(kāi)線和擺線的參數(shù)方程

【做一做2-1】

半徑為4的圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程是

.

在圓的漸開(kāi)線和擺線的參數(shù)方程中,參數(shù)φ的幾何意義剖析根據(jù)漸開(kāi)線的定義和推導(dǎo)參數(shù)方程的過(guò)程,可知其中的字母r是指基圓的半徑,而參數(shù)φ是指繩子外端運(yùn)動(dòng)時(shí)繩子與基圓的切點(diǎn)B轉(zhuǎn)過(guò)的角度,如圖,其中的∠AOB即是角φ.顯然點(diǎn)M由參數(shù)φ唯一確定.在我們解決有關(guān)問(wèn)題時(shí)可以適當(dāng)利用其幾何意義,把點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題,使求解過(guò)程更加簡(jiǎn)單.同樣,根據(jù)圓的擺線的定義和建立參數(shù)方程的過(guò)程,可知其中的字母r是指定圓的半徑,參數(shù)φ是指圓上定點(diǎn)相對(duì)于定直線與圓的切點(diǎn)所張開(kāi)的角度.參數(shù)的幾何意義可以在解決問(wèn)題中加以引用,簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.題型一題型二題型三圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程及應(yīng)用【例1】

已知圓的直徑為2,其漸開(kāi)線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程對(duì)應(yīng)的曲線上兩點(diǎn)A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別分析:先寫(xiě)出圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程,再把點(diǎn)A,B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別代入?yún)?shù)方程可得A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),然后使用兩點(diǎn)之間的距離公式可得點(diǎn)A,B之間的距離.解:根據(jù)題意可知圓的半徑是1,所以其對(duì)應(yīng)漸開(kāi)線的參數(shù)方程是題型一題型二題型三反思由圓的半徑準(zhǔn)確寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的漸開(kāi)線的參數(shù)方程是解題的關(guān)鍵.題型一題型二題型三【變式訓(xùn)練1】

有一標(biāo)準(zhǔn)的漸開(kāi)線齒輪,齒輪的齒廓線對(duì)應(yīng)的基圓直徑為32mm,求齒廓線對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程.解:因?yàn)榛鶊A的直徑為32

mm,所以基圓的半徑為16

mm,因此齒廓線對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程為題型一題型二題型三圓的擺線的參數(shù)方程及應(yīng)用【例2】

已知一個(gè)圓的擺線過(guò)一定點(diǎn)(2,0),請(qǐng)寫(xiě)出該圓半徑最大時(shí)擺線的參數(shù)方程以及對(duì)應(yīng)的漸開(kāi)線的參數(shù)方程.題型一題型二題型三題型一題型二題型三題型一題型二題型三易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn):考慮不全面而致錯(cuò)【例3】

已知一個(gè)圓的擺線過(guò)定點(diǎn)(1,0),請(qǐng)寫(xiě)出該擺線的參數(shù)方程.錯(cuò)解在擺線的參數(shù)方程中,令r(1-cos

φ)=0可得cos

φ=1,所以φ=0,代入x=r(φ-s