初中數(shù)學(xué)必會幾何模型精講精練之勾股定理相關(guān)模型

初中數(shù)學(xué)常見幾何模型精講精練勾股定理相關(guān)模型模型一：勾股樹模型例1.11.如圖，以Rt△ABC的三邊為直角邊分別向外作等腰直角三角形．若AB=，則圖中陰影部分的面積為（）A. B. C. D.5【答案】D【解析】【分析】先用直角三角形的邊長表示出陰影部分的面積，再根據(jù)勾股定理可得：AB2＝AC2＋BC2，進(jìn)而可將陰影部分的面積求出．【詳解】解：，∵在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2＝，∴AB2＋AC2＋BC2＝10，∴S陰影＝×10＝5．故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理的知識，能夠運用勾股定理證明三個等腰直角三角形的面積之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．變式1.1－12.如圖，分別以Rt△ABC的三條邊為邊向外作正方形，面積分別記為S1，S2，S3．若S136，S264，則S3（）A.8 B.10 C.80 D.100【答案】D【解析】【分析】由正方形的面積公式可知S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，即S1+S2=S3，由此可求S3．【詳解】解：∵在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，又由正方形面積公式得S1=AC2，S2=BC2，S3=AB2，∴S3=S1+S2=100．故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理及正方形面積公式的運用．關(guān)鍵是明確直角三角形的邊長的平方即為相應(yīng)的正方形的面積．變式1.1－23.三個正方形的面積如圖所示，則面積為的正方形的邊長為（）A.164 B.36 C.8 D.6【答案】D【解析】【分析】已知四邊形OGMN和四邊形OBCD是正方形，面積分別為64和100，即可求得OG和OD的長，再利用勾股定理即可求得GD的長．【詳解】∵四邊形OGMN和四邊形OBCD是正方形，面積分別為64和100∴OG2=64,OD2=100∴OG=8,OD=10∴故面積為的正方形的邊長為：6故選:D【點睛】本題考查了正方形的基本性質(zhì)，四邊形各邊相等，面積等于邊長的平方，本題還考查了利用勾股定理解直角三角形．例124.下圖是一株美麗的勾股樹,其中所有的四邊形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若最大正方形G的邊長是6cm,則正方形A,B,C,D,E,F,G的面積之和是（）A.18cm2 B.36cm2 C.72cm2 D.108cm2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正方形的面積公式，運用勾股定理可以證明：6個小正方形的面積和等于最大正方形面積的3倍．【詳解】根據(jù)勾股定理得到：A與B的面積的和是E的面積；C與D的面積的和是F的面積；而E，F(xiàn)的面積的和是G的面積．即A、B、C、D、E、F的面積之和為3個G的面積．∵M(jìn)的面積是62=36cm2，∴A、B、C、D、E、F的面積之和為36×3=108cm2．故選D．【點睛】考查了勾股定理，注意運用勾股定理和正方形的面積公式證明結(jié)論：6個小正方形的面積和等于最大正方形的面積的2倍．變式1.2－15.如圖，這是一株美麗的勾股樹，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的邊長是3、5、2、3，則最大正方形E的邊長是（）

A.13 B. C.47 D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)中間兩個正方形的邊長分別為x、y，最大正方形E的邊長為z，根據(jù)勾股定理進(jìn)行求解．【詳解】設(shè)中間兩個正方形的邊長分別為x、y，最大正方形E的邊長為z，由勾股定理得：x2＝32+52＝34，y2＝22+32＝13，z2＝x2+y2＝47，即最大正方形E的面積為：z2＝47，邊長為z＝，故選B．【點睛】本題考查勾股定理，掌握以直角三角形斜邊為邊長的正方形的面積等于兩個以直角邊為邊長的正方形面積之和是解題的關(guān)鍵．變式1.2－26.有一個面積為1的正方形，經(jīng)過一次“生長”后，在他的左右肩上生出兩個小正方形，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長”后，變成了上圖，如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請你算出“生長”了2020次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（）A.1 B.2021 C.2020 D.2019【答案】B【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求出“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和，結(jié)合圖形總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．【詳解】解：由題意得，正方形A的面積為1，

由勾股定理得，正方形B的面積+正方形C的面積=1，

∴“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2，

同理可得，“生長”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3，

∴“生長”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4，

……

∴“生長”了2020次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2021，

故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．模型二：趙爽弦圖模型趙爽弦圖的由來：三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了這幅“趙爽弦圖”，用數(shù)形結(jié)合的方式，最早完成了對勾股定理的證明．正方形由四個全等的直角三角形和一個小正方形構(gòu)成，設(shè)的長為的長為的長為b，，整理得到．四個全等的直角三角形與一個小正方形鑲嵌而成的圖案，大正方形面積為49，小正方形面積為4，若x、y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），則有：（1）x2＋y2＝49勾股定理（2）x－y＝2小正方形邊長＝長直－短直（3）2xy＋4＝49面積算兩次例2.17.設(shè)直角三角形的較長直角邊長為x，較短直角邊長為y．若xy＝8，大正方形的面積為25，則小正方形的邊長為（）A.9 B.6 C.4 D.3【答案】D【解析】【分析】設(shè)小正方形的邊長為a，根據(jù)圖形面積關(guān)系可得S大正方形＝S小正方形＋4S直角三角形，再根據(jù)xy＝8，可列方程求解．【詳解】設(shè)小正方形的邊長為a（a＞0），∵S大正方形＝S小正方形＋4S直角三角形，S直角三角形＝x·y，∴25＝a2＋×4×8，所以a＝3.故選D．【點睛】本題考查勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練運用勾股定理以及完全平方公式，本題屬于基礎(chǔ)題型．變式2.1－18.如圖是“趙爽弦圖”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（）A.8 B.6 C.4 D.5【答案】B【解析】【詳解】根據(jù)面積的差得出a+b的值，再利用a﹣b=2，解得a，b的值代入即可．解：∵AB=10，EF=2，∴大正方形的面積是100，小正方形的面積是4，∴四個直角三角形面積和為100﹣4=96，設(shè)AE為a，DE為b，即4×ab=96，∴2ab=96，a2+b2=100，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196，∴a+b=14，∵a﹣b=2，解得：a=8，b=6，∴AE=8，DE=6，∴AH=8﹣2=6．故選B．變式2.1－29.如圖，有4個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個大正方形，若大正方形的面積是17，小正方形的面積是5，直角三角形較長直角邊為a，較短直角邊為b，則ab的值是（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】【分析】小正方形、大正方形的面積可以分別用a、b表示，進(jìn)而兩式相減即可求出ab的值．【詳解】由勾股定理，得大正方形的面積為：，又小正方形的面積為即∴∴ab=6故選：B．【點睛】本題是以弦圖為背景的計算題，考查了勾股定理，圖形的面積，關(guān)鍵是用a、b表示大小正方形的面積．變式2.1－310.“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【詳解】如圖所示，∵（a+b）2=21∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面積為13，2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面積為13﹣8=5．故選C．考點：勾股定理的證明．變式2.1－411.由4個直角邊長分別為a，b的直角三角形圍成的“趙爽弦圖”如圖所示．根據(jù)大正方形的面積c2等于小正方形的面積（a－b）2與4個直角三角形的面積2ab的和證明了勾股定理a2＋b2＝c2，還可以用來證明結(jié)論∶若a＞0，b＞0且a2＋b2為定值，則當(dāng)a____b時，ab取得最大值．拓展：如圖所示，在正方形的四邊上分別取點，使得，（1）求證：四邊形是正方形．（2）若，求證四邊形是正方形．【答案】=；拓展：（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】由可得，由此可得當(dāng)a=b時，ab取得最大值；拓展：（1）易證，從而可得結(jié)論；（2）由四個平行條件可得四邊形、四邊形、四邊形、四邊形均為長方形，從而可證得，則問題可解決．【詳解】∵由“趙爽弦圖”知，大正方形的面積c2等于小正方形的面積（a－b）2與4個直角三角形的面積2ab的和，即，∴，∴當(dāng)a=b時，ab取得最大值，且最大值為；故答案為：=；拓展：（1）在正方形中，，，又，，．，，，四邊形是正方形．（2），且，四邊形、四邊形、四邊形、四邊形均為長方形，，，，且，四邊形為正方形．【點睛】本題考查了弦圖的應(yīng)用，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)等知識，證明三角形全等是關(guān)鍵．模型三：風(fēng)吹樹折模型（雷劈模型）12.“風(fēng)吹樹折”問題又稱為“折竹抵地”，源自《九章算術(shù)》，原文為：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．問折者高幾何？”意思是：一根竹子，原高一丈，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部3尺遠(yuǎn)，則折斷后的竹子高度為多少尺？（1丈＝10尺）【答案】4.55尺【解析】【分析】已知三角形一條直角邊的長度與其余兩條邊長度之和，即可設(shè)所求的一邊長度為x，通過勾股定理建立方程，求出答案．【詳解】解：設(shè)折斷后的竹子高度為x尺，則被折斷的竹子長度為尺．由勾股定理得，解得：x＝4.55答∶折斷后竹子的高度是4.55尺．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于未知數(shù)的方程．例313.如圖，一豎直的木桿在離地面4米處折斷，木桿頂端落在地面離木桿底端3米處，木桿折斷之前的高度為（）．A.7米 B.8米 C.9米 D.12米【答案】C【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求AC的長，從而求木桿折斷前的高度．【詳解】解：由題意可知，AB=4，BC=3∴在Rt△ABC中，∴木桿在折斷前的高度為4+5=9米故選：C．【點睛】本題考查勾股定理解直角三角形，正確理解題意進(jìn)行計算是解題關(guān)鍵．變式3－114.一棵大樹在一次強臺風(fēng)中于離地面米處折斷倒下，倒下部分與地面成夾角，這棵大樹在折斷前的高度為（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】B【解析】【分析】如圖，由于倒下部分與地面成30°夾角，所以∠BAC=30°，由此得到AB=2CB，而離地面5米處折斷倒下，即BC=6米，所以得到AB=12米，然后即可求出這棵大樹在折斷前的高度．【詳解】解：如圖，∵∠BAC=30°，∠BCA=90°，

∴AB=2CB，

而BC=6米，

∴AB=12米，

∴這棵大樹在折斷前的高度為AB+BC=18米，故選B．【點睛】本題利用了直角三角形中30°的角所對的邊是斜邊的一半解決問題，解題關(guān)鍵是善于觀察題目的信息，利用信息解決問題．變式3－215.如圖，一棵大樹在離地面3米處折斷，樹的頂端落在離樹干底部4米處，那么這棵樹折斷之前的高度是（）A.8米 B.12米 C.5米 D.5或7米【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)勾股定理求出折斷部分的長，再加上沒折斷的部分即可.【詳解】米，3+5=8米.故選A.【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，在直角三角形中，如果兩條直角邊分別為a和b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.也就是說，直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.變式3－316.如圖，一棵高為16m的大樹被臺風(fēng)刮數(shù)斷，若樹在地面6m處折斷，則樹頂端落在離樹底部()處A.5m B.7m C.8m D.10m【答案】C【解析】【分析】首先設(shè)樹頂端落在離樹底部x米，根據(jù)勾股定理可得62+x2=（16-6）2，再解即可．【詳解】設(shè)樹頂端落在離樹底部x米，由題意得：解得：x=8.故選C.【點睛】考查勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵.變式3－417.一陣大風(fēng)把一根高為9m的樹在離地4m處折斷，折斷處仍相連，此時在離樹3.9m處，一頭高1m的小馬正在吃草，小馬有危險嗎？為什么？【答案】小馬危險，理由詳見解析【解析】【分析】構(gòu)建模型進(jìn)行解題，如圖，折斷樹高為，離樹，小馬高CD=1，此時只要計算的長，即可判斷小馬是否有危險【詳解】解：如圖，過點作于點∵，∴∴在中，由勾股定理得∵樹高為∴∴小馬危險故答案是：小馬危險，理由詳見詳解【點睛】此題主要考查勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)建直角三角形模型，再利用勾股定理進(jìn)行解題．變式3－518.《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作之一，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．如圖所示是其中記載的一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”題意是：一根竹子原高1丈（1丈10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？答：折斷處離地面________尺高．【答案】【解析】【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10-x）尺，利用勾股定理解題即可．【詳解】解：設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10-x）尺，

根據(jù)勾股定理得：x2+32=（10-x）2，解得：；故答案為：．【點睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用題目信息構(gòu)造直角三角形，從而運用勾股定理解題．模型四：出水芙蓉方法說明：根據(jù)題意構(gòu)造出直角三角形（即荷花吹歪與不歪時恰好構(gòu)成直角三角形），再根據(jù)已知條件運用勾股定理求解．例419.讀詩求解“出水3尺一紅蓮，風(fēng)吹花朵齊水面，水面移動有6尺，求水深幾何請你算”．【答案】4.5尺【解析】【分析】設(shè)出水深A(yù)P的高，PB＝PC＝（x＋3），根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】設(shè)水深A(yù)P＝x尺，PB＝PC＝（x＋3）尺，根據(jù)勾股定理得：PA2＋AC2＝PC2，x2＋62＝（x＋3）2．解得：x＝4.5，答∶水深4.5尺．【點睛】本題比較簡單，考查的是勾股定理在實際生活中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是設(shè)出AP的長，再根據(jù)勾股定理求出AP的值．變式4－120.在平靜的湖面上，有一枝荷花，高出水面1米．一陣風(fēng)吹過來，荷花被吹到一邊，花朵齊及水面.已知荷花移動的水平距離為2米，問這里的水深多少米？【答案】這里水深為米【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)題意，AD=AB，設(shè)這里水深為xm，可以知道DC和BC的長度，從而構(gòu)造直角三角形，根據(jù)勾股定理就可求出AC的距離．試題解析：如圖，設(shè)這里水深為xm；在Rt△ABC中，（x+1）2=22+x2解之得：x=米．答：這里水深為米．【點睛】本題考查正確運用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．變式4－221.如圖是一個飲料罐，下底面半徑是5，上底面半徑是8，高是12，上底面蓋子的中心有一個小圓孔，則一條到達(dá)底部的直吸管在罐內(nèi)部分a的長度（罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計）的取值范圍是（）A.12≤a≤13 B.12≤a≤15 C.5≤a≤12 D.5≤a≤13【答案】A【解析】【分析】最短距離就是飲料罐的高度，最大距離可根據(jù)勾股定理解答．【詳解】解：由題意可得：a的最小長度為飲料罐的高，即為12，當(dāng)吸管斜放時，如圖，此時a的長度最大，即為AB，∵下底面半徑是5，∴AB==13，∴a的取值范圍是12≤a≤13，故選A【點睛】本題考查正確運用勾股定理．主要是運用勾股定理求得a的最大值，此題比較常見，難度不大．變式4－322.《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)名著，作者是我國明代數(shù)學(xué)家程大位．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾．”(注：1步＝5尺)譯文：“有一架秋千，當(dāng)它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推送10尺(水平距離)時，秋千的踏板就和人一樣高，這個人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直，問繩索有多長．”【答案】尺【解析】【分析】設(shè)秋千的繩索長為x尺，根據(jù)題意可得AB=（x-4）尺，利用勾股定理可得x2=102+（x-4）2，解之即可．【詳解】解：設(shè)秋千的繩索長為x尺，根據(jù)題意可列方程為：x2=102+（x-4）2，解得：x=，∴秋千的繩索長為尺．【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，表示出AB、AC的長，掌握直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．變式4－423.我國古代算書《九章算術(shù)》中第九章第六題是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深葭長各幾何？你讀懂題意了嗎？請回答水深______尺，葭長_____尺．解：根據(jù)題意，設(shè)水深OB＝x尺，則葭長OA'＝（x+1）尺．可列方程正確的是（）A.x2+52＝（x+1）2 B.x2+52＝（x﹣1）2C.x2+（x+1）2＝102 D.x2+（x﹣1）2＝52【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)圖形將題目中的數(shù)字對應(yīng)起來，再根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，用勾股定理求解即可.【詳解】解：設(shè)水池的深度為x尺，由題意得：x2+52＝（x+1）2，解得：x＝12，則x+1＝13，答：水深12尺，蘆葦長13尺，故選A．【點睛】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理列出方程，將其化簡成一元一次方程.模型五：梯子滑動模型例524.如圖，一根長5米的竹竿斜靠在豎直的墻上，這時為4米，若竹竿的頂端沿墻下滑2米至處，則竹竿底端外移的距離（）A.小于2米 B.等于2米 C.大于2米 D.以上都不對【答案】A【解析】【分析】利用勾股定理可求出OB、OD的長，即可得出BD的長，再根據(jù)無理數(shù)的估算，估算出BD的長即可得答案．【詳解】∵AB=5，OA=4，AC=2，AB=CD=5，∴OB==3，OD==，∴BD=-3，∵16＜21＜25，∴4＜＜5，∴1＜-3＜2，即BD的長小于2米，故選：A．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用及無理數(shù)的估算，靈活運用勾股定理、熟練運用“夾逼法”估算無理數(shù)是解題關(guān)鍵．變式5－125.如圖，一個梯子斜靠在一豎直的墻上，測得米．若梯子的頂端沿墻面向下滑動2米，這時梯子的底端在水平的地面也恰好向外移動2米，則梯子的長度為()A.10米 B.6米 C.米7 D.8米【答案】A【解析】【分析】設(shè)BO=xm，利用勾股定理用x表示出AB和CD的長，進(jìn)而求出x的值，即可求出AB的長度．【詳解】解：設(shè)BO=xm，依題意，得AC=2，BD=2，AO=8．在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理得，在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理∴解得x=6，∴AB=答：梯子AB的長為10m．故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理在實際生活中的應(yīng)用，本題中找到AB=CD是解題的關(guān)鍵．變式5－226.一架25米長的云梯，斜立在一豎直的墻上，這時梯腳距離墻底端7米．如果梯子的頂端沿墻下滑4米，那么梯腳將水平滑動（）A.9米 B.15米 C.5米 D.8米【答案】D【解析】【分析】利用勾股定理進(jìn)行解答．求出下滑后梯子低端距離低端的距離，再計算梯子低端滑動的距離．【詳解】梯子頂端距離墻角的距離為=24m，24-4=20m，梯子下滑后梯子底端距離墻角的距離為=15m，15m-7m=8m，即梯角水平滑動8m，故選D．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵，注意梯子的長度是不變的.變式5－327.如圖，一架長的梯子斜靠在垂直的墻上，這時為.如果梯子的頂端沿墻下滑，那么梯子的底端向外移動_________.【答案】0.5【解析】【分析】由題意先根據(jù)勾股定理求出OB的長，再根據(jù)梯子的長度不變求出OD的長，根據(jù)BD=OD-OB即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵Rt△OAB中，AB=2.5m，AO=2m，∴；同理，Rt△OCD中，∵CD=2.5m，OC=2-0.5=1.5m，∴，∴BD=OD-OB=2-1.5=0.5（m）．答：梯子底端B向外移了0.5米．故答案為：0.5．【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，解題的關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．變式5－428.如圖，一架13m長的梯子AB斜靠在一豎直的墻AC上，這時AC為12m．如果子的頂端A沿墻下滑7m，那么梯子底端B向外移___m．【答案】7．【解析】【分析】先根據(jù)勾股定理求出CB的長，在根據(jù)勾股定理求出CD的長，進(jìn)而求解．【詳解】∵∠ACB＝90°，AB＝13m，AC＝12m，∴BC＝＝5m，∵AE＝7m，∴CE＝12﹣7＝5m，∴CD＝＝12m，∴BD＝CD﹣BC＝7m，∴梯子底端B向外移7m，故答案為：7．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型．模型六：最短路徑模型（螞蟻爬行模型）模型1（長方體）螞蟻沿著長方體的表面爬行，從A到B的最短路徑怎么算？【作法】螞蟻爬行的方式有6種，但是匯總起來，每兩種的爬行長度一樣，所以共有三大類（圖1，圖2，圖3）．假設(shè)長方體的長、寬、高分別為，則這三大類的爬行長度分別為①；②；③．由此可見，誰小，該類爬行方式所得結(jié)果就?。?.129.如圖，長方體的長為3，寬為2，高為4，一只螞蟻從點出發(fā)，沿長方體表面到點處吃食物，那么它爬行最短路程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】要求長方體中兩點之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長方體展開，然后利用兩點之間線段最短解答．【詳解】如圖：

根據(jù)題意，如上圖所示，最短路徑有以下三種情況：

（1）AB2=（2+3）2+42=41；

（2）AB2=32+（4+2）2=45；

（3）AB2=22+（4+3）2=53；

綜上所述，最短路徑應(yīng)為（1）所示，所以AB2=41，即AB=故選：B【點睛】此題考查的是勾股定理的應(yīng)用，將長方體從不同角度展開，是解決此類問題的關(guān)鍵，注意不要漏解．變式6.1－130.如圖，長方體的長為，寬為，高為，點到點的距離為，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點爬到點，需要爬行的最短距離是（）A.4 B.5 C. D.【答案】B【解析】【分析】求螞蟻爬行的最短距離，需將長方體的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結(jié)果．【詳解】解:將長方體展開，連接A、B，根據(jù)兩點之間線段最短，BD＝1＋2＝3，AD＝4，由勾股定理得：AB＝＝＝5．故選B．【點睛】考查了軸對稱?最短路線問題，將長方體展開，根據(jù)兩點之間線段最短，運用勾股定理解答是關(guān)鍵．變式6.1－231.如圖，正方體的棱長為2，B為一條棱的中點．已知螞蟻沿正方體的表面從A點出發(fā)，到達(dá)B點，則它運動的最短路程為()A. B.4 C. D.5【答案】C【解析】【分析】正方體側(cè)面展開為長方形，確定螞蟻的起點和終點，根據(jù)兩點之間線段最短、勾股定理即可求出最短路徑長．【詳解】解：如圖，它運動的最短路程AB=＝故選：C【點睛】本題考查了正方體的側(cè)面展開圖、兩點之間線段最短、勾股定理，掌握正方體的側(cè)面展開圖是解題關(guān)鍵．變式6.1－332.如圖，一只螞蟻從實心長方體的頂點出發(fā)，沿長方體的表面爬到對角頂點處（三條棱長如圖所示），問最短路線長為_________．【答案】5【解析】【分析】長方體展開是長方形，根據(jù)題意可知，螞蟻爬的路徑有三種可能，根據(jù)兩點之間線段最短，可求出解．【詳解】如圖1，當(dāng)展開的長方形的長是AC=4+2=6，寬是AD=1，路徑長為AG=；如圖2，當(dāng)展開的長方形的長是AB=4，寬是BG=2+1，路徑長為AG=；如圖3，當(dāng)展開的長方形的長是CD=4+1=5，寬是AD=2，路徑長為AG=；故沿長方體的表面爬到對面頂點G處，只有圖2最短，

其最短路線長為：5．故答案為：5．【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，平面展開最短路徑問題，展成平面，確定起點和終點的位置，根據(jù)兩點之間線段最短從而可求出解．變式6.1－433.如圖是放在地面上的一個長方體盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，點M在棱AB上，且AM＝6cm，點N是FG的中點，一只螞蟻要沿著長方體盒子的表面從點M爬行到點N，它需要爬行的最短路程為（）A.20cm B.2cm C.（12+2）cm D.18cm【答案】A【解析】【分析】平面展開圖有兩種情況，畫出圖形利用勾股定理求出MN的長即可．【詳解】解：如圖1，∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，點N是FG的中點，∴BM＝18﹣6＝12cm，BN＝10+6＝16cm，∴MN＝＝20cm；如圖2，∵AB＝18cm，BC＝GF＝12cm，BF＝10cm，點N是FG的中點，∴PM＝18﹣6+6＝18cm，NP＝10cm，∴MN＝＝＝2cm．∵20＜2，∴螞蟻需要爬行的最短路程為20cm．故選：A．【點睛】本題考查平面展開圖的最短路徑問題和勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將立體圖形展為平面圖形，利用勾股定理的知識求解．模型2（圓柱或圓錐）螞蟻沿著圓柱體表面爬行，從A到C的最短路徑怎么算？【作法】將圓柱的側(cè)面展開如圖所示．由圖可知螞蟻爬行的最短路徑的長度為直角三角形的斜邊長，所以．注：關(guān)于螞蟻爬行的最短距離問題，我們通常是通過展開立體圖形，化立體為平面，化曲線或折線為直線，利用“兩點之間，線段最短”解決問題．例6.234.如圖，圓柱的底面半徑是4，高是5，一只在A點的螞蟻想吃到B點的食物，需要爬行的最短路徑是（π取3）（）A.9 B.13 C.14 D.25【答案】B【解析】【分析】要想求得最短路程，首先要把A和B展開到一個平面內(nèi)．根據(jù)兩點之間，線段最短求出螞蟻爬行的最短路程．【詳解】解：展開圓柱的半個側(cè)面是矩形，矩形的長是圓柱的底面周長的一半，即4π≈12，矩形的寬是圓柱的高5．根據(jù)兩點之間線段最短，知最短路程是矩形的對角線的長，即故選：B．【點睛】本題主要考查了平面展開圖中最短路徑求法，兩個不在同一平面內(nèi)的兩個點之間的最短距離時，一定要展開到一個平面內(nèi)．根據(jù)兩點之間，線段最短．確定要求的長，再運用勾股定理進(jìn)行計算．變式6.2－135.如圖，一個底面直徑為cm，高為20cm的糖罐子，一只螞蟻從A處沿著糖罐的表面爬行到B處，則螞蟻爬行的最短距離是（）A.24cm B.10cm C.25cm D.30cm【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意首先將此圓柱展成平面圖，根據(jù)兩點間線段最短，可得AB最短，由勾股定理即可求得需要爬行的最短路程．【詳解】解：將此圓柱展成平面圖得：∵有一圓柱，它的高等于20cm，底面直徑等于cm，∴底面周長＝cm，∴BC＝20cm，AC＝×30＝15（cm），∴AB＝（cm）．答：它需要爬行的最短路程為25cm．故選：C．【點睛】本題主要考查平面展開圖求最短路徑問題，將圓柱體展開，根據(jù)兩點之間線段最短，運用勾股定理解答是解題關(guān)鍵．變式6.2－236.如圖，圓柱形容器的高為0.9m，底面周長為1.2m，在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m處的點B處有一蚊子．此時，一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.2m與蚊子相對的點A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為（）A.1m B.1.1m C.1.2m D.1.3m【答案】A【解析】【分析】將容器側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對稱點A′，根據(jù)兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求．【詳解】解：如圖，將容器側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點A′，連接A′B，則A′B即為最短距離，由題意知，A′D＝0.6m，A′E＝AE=0.2m，∴BD＝0.9-0.3+0.2=0.8m，∴A′B＝＝＝1（m）．故選：A．【點睛】本題考查了平面展開-最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．同時也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．變式6.2－337.如圖，圓柱體的高為8cm，底面周長為4cm，小螞蟻在圓柱表面爬行，從A點到B點，路線如圖所示，則最短路程為_____．【答案】10cm【解析】【分析】將圓柱沿過點A和點B的母線剪開，展開成平面，由圓柱路線可知小螞蟻在水平方向爬行的路程等于個底面周長，從而求出解題中的AC，連接AB，根據(jù)兩點之間線段最短可得小螞蟻爬行的最短路程為此時AB的長，然后根據(jù)勾股定理即可求出結(jié)論．【詳解】解：將圓柱沿過點A和點B的母線剪開，展開成平面，由圓柱路線可知小螞蟻在水平方向爬行的路程等于個底面周長，如下圖所示：AC=1．5×4=6cm，連接AB，根據(jù)兩點之間線段最短，∴小螞蟻爬行的最短路程為此時AB的長∵圓柱體的高為8cm，∴BC=8cm在Rt△ABC中，AB=cm故答案為：10cm．【點睛】此題考查的是利用勾股定理求最短路徑問題，將圓柱的側(cè)面展開，根據(jù)兩點之間線段最短即可找出最短路徑，然后利用勾股定理求值是解決此題的關(guān)鍵．38.如圖所示，在中，，已知是的角平分線，求的長．【答案】3【解析】【分析】作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE＝DC，AE＝AC＝6，根據(jù)勾股定理計算即可．【詳解】解：作DE⊥AB于E，

∵AD是角平分線，DE⊥AB，∠ACB＝90°，

∴DE＝DC，∵∴∴AE＝AC＝6，

∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，

∴AB＝，

∴，設(shè)DE＝DC=x，則，

在Rt△DEB中，，

即，解得：x=3，

則CD=3．【點睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、勾股定理，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．模型七：翻折問題一：三角形中的折疊問題例7.139.如圖，在中，，，，將折疊，使點恰好落在斜邊上，與點重合，為折痕，則的長度是__________．【答案】3【解析】【分析】首先根據(jù)折疊可得BE=EB′，AB′=AB=6，然后設(shè)BE=EB′=x，則EC=8-x，在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC的值，再在Rt△B′EC中，由勾股定理列方程即可算出答案．【詳解】解：根據(jù)折疊可得BE=EB′，AB′=AB=6，設(shè)BE=EB′=x，則EC=8-x，∵∠B=90°，AB=6，BC=8，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝＝10，∴B′C=10-6=4，在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+42=（8-x）2，解得x=3，故答案為：3．【點睛】此題主要考查了翻折變換，以及勾股定理，關(guān)鍵是分析清楚折疊以后哪些線段是相等的．直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.變式7.1－140.如圖所示，有一塊直角三角形紙片，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，將斜邊AB翻折，使點B落在直角邊AC的延長線上的點E處，折痕為AD，則CE的長為（）A.1cm B.1．5cm C.2cm D.3cm【答案】A【解析】【分析】根據(jù)勾股定理可將斜邊AB的長求出，根據(jù)折疊的性質(zhì)知，AE=AB，已知AC的長，可將CE的長求出．【詳解】解：在Rt△ABC中，AB=根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：AE=AB=5∵AC=4∴CE=AE﹣AC=1即CE的長為1故選A．考點：勾股定理；翻折變換（折疊問題）．變式7.1－241.如圖所示的三角形紙片中，．現(xiàn)將紙片進(jìn)行折疊，使得頂點B落在邊上的點D處，折痕為，則的長為（）A.2.4 B.2.5 C.2.8 D.3【答案】A【解析】【分析】由∠B＝90°，AC＝13，BC＝5，可求得AB的長，設(shè)BE＝x，由折疊的性質(zhì)可得：△DEC是直角三角形，ED＝BE＝x，EC＝5?x，CD＝1，然后由勾股定理求得BE的長．【詳解】解：∵∠B＝90°，AC＝13，BC＝5，

∴AB＝，設(shè)BE＝x，

由折疊的性質(zhì)可得：CD＝AC?AD＝13?12＝1，DE＝BE＝x，∠ADE＝∠B＝90°，

∴EC＝BC?BE＝5?x，

在Rt△DEC中，EC2＝CD2＋DE2，

∴(5?x)2＝1＋x2，

解得：x＝2.4，

∴BE＝2.4．

故選：A．【點睛】此題考查了折疊的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．二：矩形中的折疊問題解決矩形翻折問題：1利用折疊和矩形性質(zhì)找出線段之間的關(guān)系；2在折疊后形成的直角三角形中設(shè)未知數(shù)，利用勾股定理列方程求解．例7.2（折在里）42.已知，如圖所示，折疊矩形的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，如果AB=3cm，BC=5cm，求FC的長．【答案】1cm【解析】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得AF＝AD＝BC=5cm，DE＝EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理計算出BF，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC＝5cm，∠B＝90°，∵折疊矩形的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，∴AF＝AD＝5cm，在Rt△ABF中，BF＝cm，∴FC＝BC?BF＝1cm．【點睛】本題主要考查了折疊變換問題，解決本題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形根據(jù)翻折的性質(zhì)得到一些相等的線段，然后靈活運用勾股定理進(jìn)行解答．變式7.2－143.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝6，AD＝8，折疊該紙片，使得AB邊落在對角線AC上，點B落在點F處，折痕為AE，則線段EF的長為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得BC=AD，∠B=90°，利用勾股定理可求出AC的長，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AF=AB，∠B=∠AFE=90°，BE=EF，在Rt△CEF中利用勾股定理列方程求出EF的長即可得答案．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，AD＝8，∴∠B=90°，BC=AD=8，∴AC＝＝10，∵折疊該紙片，使得AB邊落在對角線AC上，點B落在點F處，折痕為AE，∴BE＝EF，AF＝AB＝6，∠AFE=∠B=90°，∴CF＝AC-AF=10﹣6＝4，在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2+CF2＝CE2，∴EF2+CF2=（BC-EF）2，即EF2+42=（8-EF）2，解得：EF＝3，故選：A．【點睛】本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識點及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運用翻折變換的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識點來分析、判斷、推理或解答．變式7.2－244.如圖所示，沿著AE折疊長方形，使點D落在邊BC上的點F處，已知AB＝8cm，BC＝10cm，則EC的長為（）A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm【答案】A【解析】【分析】利用矩形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)求得AB＝CD＝8cm，AD＝BC＝10cm，∠B＝∠C＝∠90°，AF＝AD＝10cm，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理可得BF，在Rt△CEF中，由勾股定理可得CE的長．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8cm，AD＝BC＝10cm，∠B＝∠90°由折疊的性質(zhì)可得：AF＝AD＝10cm，EF＝DE，在Rt△ABF中，由勾股定理可得：在Rt△CEF中，設(shè)EC＝xcm，則EF＝DE＝（8－x）cm，F(xiàn)C＝BC－BF＝4cm，由勾股定理得：,即，解得：∴的長為．故選：A．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握上述性質(zhì)，熟練掌握勾股定理解直角三角形．變式7.2－345.如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一點E，連接BE，將△BCE沿BE折疊，使點C恰好落在AD邊上的點F處，則CE的長為_____．【答案】【解析】【分析】設(shè)CE=x，由矩形的性質(zhì)得出AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．由折疊的性質(zhì)得出BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x．在Rt△ABF中利用勾股定理求出AF的長度，進(jìn)而求出DF的長度；然后在Rt△DEF根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程即可解決問題．【詳解】設(shè)CE=x．∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．∵將△BCE沿BE折疊，使點C恰好落在AD邊上的點F處，∴BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x．在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF2=52-32=16，∴AF=4，DF=5-4=1．在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF2=DE2+DF2，即x2=（3-x）2+12，解得：x=，故答案為．例7.3（折出去）46.如圖所示，矩形沿直線折疊，使點C落在邊的中點處，點B落在處，其中，求的長．【答案】10【解析】【分析】設(shè)，則由折疊的性質(zhì)得：FC=x，從而DF=18-x，在Rt△中，由勾股定理建立關(guān)于x的方程，解方程即可．【詳解】∵四邊形ABCD為矩形∴AD=BC=12，CD=AB=18∵為AD的中點∴由折疊的性質(zhì)，設(shè)，則FC=x∴DF=CD-FC=18-x在Rt△中，由勾股定理得：解得：x=10，即FC'=10【點睛】本題是矩形的折疊問題，考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識，用到了方程思想．變式7.3－147.如圖所示，矩形紙片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將其沿EF對折，使得點C與點A重合，則AF長為（）A.cm B.cm C.cm D.8cm【答案】B【解析】【詳解】試題解析：設(shè)AF=xcm，則DF=（8-x）cm，∵矩形紙片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將其沿EF對折，使得點C與點A重合，∴DF=D′F，在Rt△AD′F中，∵AF2=AD′2+D′F2，∴x2=62+（8-x）2，解得：x=（cm）．故選B．考點：翻折變換（折疊問題）．變式7.3－248.如圖，已知矩形沿著直線折疊，使點落在處，交于點，，，則的長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)矩形的性質(zhì)知道AD∥BC，所以∠1=∠3，由于折疊得到∠1=∠2，C′D=CD、BC′=BC，所以∠2=∠3，進(jìn)而得出BE=DE，設(shè)DE=x，在Rt△DEC′中利用勾股定理即可求出DE的長．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，即∠1=∠3，

由折疊可知，∠1=∠2，C′D=CD=4、BC′=BC=8，

∴∠2=∠3，即DE=BE，

設(shè)DE=x，則EC′=8-x，

在Rt△DEC′中，DC'2+EC'2=DE2

∴42+（8-x）2=x2解得：x=5，

∴DE的長為5．【點睛】本題主要考查了圖形的折疊問題，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)和折疊的特點，利用勾股定理解題．變式7.3－349.如圖，將矩形ABCD沿EF折疊，使頂點C恰好落在AB邊的中點C′上．若AB＝6，BC＝9，則BF的長為（）A.4 B.3 C.4.5 D.5【答案】A【解析】【分析】先求出BC′，再由圖形折疊特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，在Rt△C′BF中，運用勾股定理BF2+BC′2＝C′F2求解．【詳解】解：∵點C′是AB邊的中點，AB＝6，∴BC′＝3，由圖形折疊特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，在Rt△C′BF中，BF2+BC′2＝C′F2，∴BF2+9＝（9﹣BF）2，解得，BF＝4，故選：A．【點睛】本題考查了折疊問題及勾股定理的應(yīng)用，綜合能力要求較高．同時也考查了列方程求解的能力．解題的關(guān)鍵是找出線段的關(guān)系．變式7.3－450.如圖，在矩形中，，在上任取一點E，連接，將沿折疊，點C恰好落在邊上的點F處，則的長為_________．【答案】【解析】【分析】設(shè)CE=x，由矩形的性質(zhì)得出AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°；由折疊的性質(zhì)得出BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x.在Rt△ABF中，利用勾股定理求出AF的長度，進(jìn)而求出DF的長度；然后在Rt△DEF中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，即可解決問題．【詳解】解：設(shè)CE=x.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°，∵將△BCE沿BE折疊，使點C恰好落在AD邊上的點F處，∴BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x。在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF2=BF2-AB2=52-32=16，∴AF=4，DF=5-4=1，在Rt△DEF中，由勾股定理得：EF2=DE2+DF2，即x2=（3-x）2+12，解得：．故答案為：．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等，也考查了勾股定理、矩形的性質(zhì)、方程思想等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，找準(zhǔn)對應(yīng)邊．模型八：378和578模型當(dāng)我們遇到兩個三角形的三邊長分別為3，7，8和5，7，8的時候，通常不會對它們進(jìn)行處理，實際是因為我們對于這兩組數(shù)字不敏感，但如果將這兩個三角形拼在一起，你將驚喜地發(fā)現(xiàn)這是一個邊長為8的等邊三角形．【模型】當(dāng)兩個三角形的邊長分別為3，7，8和5，7，8時，①這兩個三角形的面積6、10．②3、8與5、8夾角都是60例851.在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，則△ABC的面積為（）A.24 B.56 C.48 D.112【答案】A【解析】【分析】如圖，過作于，設(shè)，則，根據(jù)中，利用勾股定理建立方程，求得，繼而用勾股定理求得，從而求得面積．【詳解】如圖，過作于，設(shè)，則，在中解得故選A【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．變式8－152.已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，則∠B＝（）．A.45° B.37° C.60° D.90°【答案】C【解析】【分析】過點A作交BC延長線于點D，設(shè)CD=x，則BC=3+x，在和中，利用勾股定理求出，可求出CD的長，從而得到BD的長，然后利用直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，過點A作交BC延長線于點D，∵在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，可設(shè)CD=x，則BC=3+x，在中，，在中，，∴，解得：，∴BC=3+x=4，∴在中，，∴，∴．故選C．【定睛】本題主要考查了勾股定理及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形中若一條直角邊等于斜邊的一半，則這條直角邊所對的銳角等于是解題的關(guān)鍵．變式8－253.已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，則∠C＝（）．A.45° B.37° C.60° D.90°【答案】C【解析】【分析】過點A作AD⊥BC于D，設(shè)CD＝x，則BD＝BC?CD＝5?x，由勾股定理得72?（5?x）2＝82?x2，得出CD＝4，則CD＝AC，再證∠CAD＝30°，即可求解．【詳解】解：過點A作AD⊥BC于D，如圖所示：

設(shè)CD＝x，

則BD＝BC?CD＝5?x，

在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2?BD2，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2?CD2，

∴AB2?BD2＝AC2?CD2，

即：72?（5?x）2＝82?x2，

解得：x＝4，

∴CD＝4，

∴CD＝AC，

∴∠CAD＝30°，

∴∠C＝90°?30°＝60°，

故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的判定、三角形內(nèi)角和定理等知識；熟練掌握勾股定理，證出∠CAD＝30°是解題的關(guān)鍵．變式8－354.如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA的長度分別為3，7，8，則△ABC的內(nèi)切圓Ⅰ的半徑為_________．【答案】【解析】【分析】先過點B作BD⊥AC，用勾股定理求出AD和BD，再用等面積求出IE即可．【詳解】解：如圖，過點B作BD⊥AC，

∵△ABC的三邊AB，BC，CA的長度分別為3，7，8，

∴設(shè)AD＝x，則CD＝8?x，

在△ABD與△CBD中，BD2＝AB2?AD2＝BC2?CD2，

∴32?x2＝72?（8?x）2，

解得：x＝，

∴AD＝，

∴BD＝過點I作IE垂直BC于E，

∵I為△ABC的內(nèi)心，

∴△ABC的三邊AB，BC，CA上的高都等于IE，

∵S△ABC＝AC?BD＝(AC＋BC＋AB)?IE，

∴，

∴IE＝，

∴△ABC的內(nèi)切圓I的半徑為．

故答案為：．【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)切圓、勾股定理、等面積法，過點B作BD⊥AC，用勾股定理求出AD和BD是本題的關(guān)鍵．變式8－455.邊長為5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（）．A.90° B.150° C.135° D.120°【答案】D【解析】【分析】設(shè)△ABC的三邊AB=5，AC=7，BC=8，過點A作AD⊥BC于點D，設(shè)BD=x，分別在Rt△ADB和Rt△ADC中，利用勾股定理求得AD，從而可建立方程，求得x的值，可求得∠B，因此可得最大角和最小角的和．【詳解】設(shè)△ABC的三邊AB=5，AC=7，BC=8，過點A作AD⊥BC于點D，如圖設(shè)BD=x，則CD=8-x在Rt△ADB中，由勾股定理得：；在Rt△ADC中，由勾股定理得：則得方程：解得：即∵，AD⊥BC∴∠BAD=30゜∴∠ABD=90゜-∠BAD=60゜∴∠BAC+∠C=180゜-∠ABD=120゜∵BC>AC>AB∴∠BAC>∠ABD>∠C故最大角與最小角的和為120゜故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理，解一元一次方程，大角對大邊等知識，關(guān)鍵是作最大邊上的高，從而為勾股定理的使用創(chuàng)造了條件．模型九垂美四邊形定義：我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．例956.已知：四邊形ABCD中，BD、AC相交于O，且BD垂直AC，求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】利用勾股定理證明即可．【詳解】∵BD⊥AC，∴AB2=OA2+OB2，CD2=OC2+OD2，AD2=OA2+OD2，BC2=OB2+OC2，∴AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2AD2+BC2=OA2+OD2+OB2+OC2，∴AB2+CD2=AD2+BC2．【點睛】本題考查了勾股定理，是基礎(chǔ)題，熟記定理是解題的關(guān)鍵．變式9－157.在四邊形中，，則__________．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)勾股定理可得，代入數(shù)據(jù)計算即可．【詳解】解：如圖：∵，∴，根據(jù)勾股定理可得：，，，即，解得：，故答案為：1．【點睛】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意找出對角線互相垂直的四邊形四條邊的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．變式9－258.定義，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．概念理解：如圖②，在四邊形ABCD中，如果AB=AD，CB=CD，那么四邊形ABCD是垂美四邊形嗎？請說明理由．性質(zhì)探究：如圖①，垂美四邊形ABCD兩組對邊AB、CD與BC、AD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并給出證明．問題解決：如圖③，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連結(jié)CE、BG、GE．若AC=2，AB=5，則①求證：△AGB≌△ACE；②GE=．【答案】（1）是；（2）AB2+CD2=BC2+AD2；（3）①證明見解析；②．【解析】【分析】概念理解：根據(jù)垂直平分線的判定定理證明即可；性質(zhì)探究：根據(jù)垂直的定義和勾股定理解答即可；問題解決：根據(jù)垂美四邊形的性質(zhì)、勾股定理、結(jié)合（2）的結(jié)論計算即可．【詳解】概念理解：四邊形ABCD是垂美四邊形．理由如下：∵AB=AD，∴點A在線段BD的垂直平分線上．∵CB=CD，∴點C在線段BD的垂直平分線上，∴直線AC是線段BD的垂直平分線，∴AC⊥BD，即四邊形ABCD是垂美四邊形；性質(zhì)探究：AD2+BC2=AB2+CD2．理由