第二十八章 銳角三角函數(shù)（壓軸50題專練）

第二十八章銳角三角函數(shù)第（壓軸題專練）一、單選題1．（2023上·陜西西安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，菱形中，，，，垂足分別為B，D，若，則的長(zhǎng)是（）cmA． B．6 C． D．2．（2023上·浙江寧波·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，是線段上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)、），過、兩點(diǎn)的二次函數(shù)和過、兩點(diǎn)的二次函數(shù)的圖象開口均向下，它們的頂點(diǎn)分別在線段，上，則這兩個(gè)二次函數(shù)的最大值之積的最大值為（

）

A．5 B． C． D．43．（2023上·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)、、、均在格點(diǎn)上，與相交于點(diǎn)，則的余弦值為（

）

A． B． C． D．4．（2023上·湖南常德·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，連接分別交，于點(diǎn)、，且，連接，則以下結(jié)論：①為的中點(diǎn)；②；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知平行四邊形，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)F，連接，若，則的值為（

）

A． B． C． D．6．（2023上·安徽合肥·九年級(jí)合肥市第四十二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在矩形中，，，將沿射線平移a個(gè)單位長(zhǎng)度（）得到，連接，，則當(dāng)是直角三角形時(shí)，a的值為（

）A．或 B．2或 C．或 D．或37．（2023上·安徽六安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，是的對(duì)角線，，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F、P分別是線段、上的動(dòng)點(diǎn)，若，且是等腰三角形，則的長(zhǎng)為（

）

A．或 B．或 C．或 D．或8．（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測(cè)）將一張正方形紙片對(duì)折，使與重合，得到折痕后展開，E為上一點(diǎn)，將沿所在的直線折疊，使得點(diǎn)C落在折痕上的點(diǎn)F處，連接，，，則得下列結(jié)論：①是等邊三角形；②；③；④．其中正確的是（

）

A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④9．（2019上·浙江·九年級(jí)周測(cè)）如圖（1），點(diǎn)為矩形邊上一點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止，點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止，它們的運(yùn)動(dòng)速度都是，設(shè)出發(fā)秒時(shí)，的面積為，已知與的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖（2）（曲線為拋物線的一部分），則下列結(jié)論：①；②直線的解析式為；③可能與相似；④當(dāng)秒時(shí)，．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．410．（2020上·浙江·九年級(jí)周測(cè)）如圖，設(shè)銳角的三條高相交于，若，則的值為（

）A． B． C． D．二、填空題11．（2023上·黑龍江綏化·九年級(jí)綏化市第八中學(xué)校校考階段練習(xí)）在中，，，，則．12．（2023上·陜西西安·九年級(jí)西安市東方中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，在正方形中，，與交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，為對(duì)角線上一點(diǎn)，當(dāng)對(duì)角線平分時(shí)，的值為.

13．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，正方形，，，，求的長(zhǎng)．

14．（2023·廣東河源·統(tǒng)考三模）如圖，在正方形中，點(diǎn)E、F分別在邊上，且，交于M點(diǎn)，交于N點(diǎn)．下列結(jié)論：①；②若F是的中點(diǎn)，則；③連接，則為等腰直角三角形．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（把你認(rèn)為所有正確的都填上）．15．（2023上·陜西西安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形中，，E是邊上的點(diǎn)，，，F(xiàn)是邊上的一點(diǎn)，且，若M、N分別是線段、上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．

16．（2023·廣東東莞·統(tǒng)考一模）如圖，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)F在的延長(zhǎng)線上，，交于點(diǎn)G，，，則．

17．（2023·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，以為邊作正方形（點(diǎn)A，C，D，E按逆時(shí)針方向排列），和的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)F時(shí)停止，點(diǎn)Q在線段上運(yùn)動(dòng)，且始終滿足，連接，，，當(dāng)?shù)拿娣e為5時(shí)，的長(zhǎng)是．

18．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，、分別為線段、上一點(diǎn)，將菱形沿著翻折，翻折后、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，與交于點(diǎn)．已知，若若．

19．（2023上·福建福州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，和都是等邊三角形，其中邊．直線相交于點(diǎn)，連接，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最大時(shí)，的長(zhǎng)是．

20．（2023上·湖北武漢·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知是的內(nèi)接三角形，的半徑為2，將劣弧沿折疊后剛好經(jīng)過弦的中點(diǎn)．若，則弦的長(zhǎng)為．

三、解答題21．（2023上·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，點(diǎn)是射線上的一點(diǎn)，連接，作，且，動(dòng)點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，連接．

(1)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)當(dāng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)的距離為時(shí)，求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離（用含有的代數(shù)式表示）；(3)連接，當(dāng)，且時(shí)，求的長(zhǎng)．22．（2023上·吉林·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知等邊三角形中，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿以的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P做于點(diǎn)D，以為邊向右做矩形，且．設(shè)矩形與重疊部分的面積為，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．

(1)(用含x的式子表示)；(2)當(dāng)點(diǎn)F落在邊上時(shí)，求x的值；(3)求S與x之間的函數(shù)解析式．23.（1）如圖①，在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，連接，若，的面積為，的面積為，則________的大小（填“”“”“”）

圖①【問題探究】（2）如圖②，在中，，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，．問：在邊上是否存在一點(diǎn)，使得線段恰好平分的面積？若存在，求出線段的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說明理由．

【問題解決】（3）我校有著豐富多彩的校園生活，為了讓同學(xué)們進(jìn)一步接觸到更多的校園社團(tuán)活動(dòng)，提高空間利用率，現(xiàn)計(jì)劃對(duì)校園部分區(qū)域進(jìn)行改造，某區(qū)域是如圖③的四邊形，，米，，點(diǎn)、分別在邊、上，四邊形為矩形，邊、將這塊區(qū)域分成了三部分，其中，矩形的面積為108平方米．為了方便通行，學(xué)校準(zhǔn)備在這塊區(qū)域中修一條筆直的小路（小路的兩端、分別在和上，且小路的寬度忽略不計(jì)），使得將四邊形分成兩部分，同時(shí)平分矩形的面積，且使得區(qū)域的面積最?。噯枌W(xué)校的想法能否實(shí)現(xiàn)？若能，請(qǐng)求出這條小路的長(zhǎng)及面積的最小值；若不能，請(qǐng)說明理由．24．（2023上·陜西咸陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）【問題提出】（1）如圖①，在中，，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，若，則的長(zhǎng)為；【問題探究】（2）如圖②，在中，，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，試判斷與是否相似，并說明理由；【問題解決】（3）如圖③，是一塊菜園平面示意圖，，，是邊上的中線，于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)E，經(jīng)測(cè)量，米，現(xiàn)欲沿修一條灌溉水渠，請(qǐng)你求出灌溉水渠的長(zhǎng)度．

25．（2023上·河北邢臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1所示，已知點(diǎn)O到直線l的距離為4，，點(diǎn)B在直線l上，，讓繞點(diǎn)O從開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（）到某一位置時(shí)，將會(huì)跟隨出現(xiàn)到相應(yīng)的位置．(1)當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)P重合時(shí)，判斷與是否垂直，并說明理由；(2)點(diǎn)A到直線l距離最大時(shí)，求的大小；(3)設(shè)的中點(diǎn)M，連接，求的最大值；(4)如圖2，當(dāng)點(diǎn)A在的上方時(shí)，若，直接寫出的正切值；26．（2023上·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)方向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)重合時(shí)，作交邊于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．以為直角邊向右作等腰，使，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)線段的長(zhǎng)為__________；（用含的式子表示）(2)當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，求線段的長(zhǎng)；(3)連結(jié)，當(dāng)與相似時(shí)，求的值；(4)作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)．當(dāng)與的一邊平行或垂直時(shí)，直接寫出的值．27．（2023上·河南周口·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何設(shè)計(jì)紙盒素材利用一邊長(zhǎng)為的正方形紙板可設(shè)計(jì)成如圖和圖所示的兩種紙盒，圖是無蓋的紙盒，圖是一個(gè)有蓋的紙盒．

素材如圖，若在正方形硬紙板的四角各剪掉一個(gè)同樣大小的小正方形，將剩余部分折成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體盒子．

問題解決任務(wù)初步探究：折一個(gè)底面積為的無蓋長(zhǎng)方體盒子．問剪掉的小正方形的邊長(zhǎng)為多少？任務(wù)探究折成的無蓋長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積能否為？如果能，求出此時(shí)剪掉的小正方形的邊長(zhǎng)；如果不能，說明理由．任務(wù)圖是一個(gè)高為的無蓋的五棱柱盒子（直棱柱），圖是其底面，在五邊形中，，，，，．

圖圖圖圖中的五棱柱盒子可按圖所示的示意圖，將矩形紙板剪切折合而成，那么這個(gè)矩形紙板的長(zhǎng)和寬至少各為多少厘米？請(qǐng)直接寫出結(jié)果．（圖中實(shí)線表示剪切線，虛線表示折痕，紙板厚度及剪切接縫處損耗忽略不計(jì)）28．（2023下·江西南昌·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）圖1是屏幕投影儀投屏情景圖，圖2是其側(cè)面示意圖，投影光線、投影儀在同一直線上，且與三角支架中的在同一平面上，點(diǎn)位于屏幕的正中心，，，垂直于水平地面，支架點(diǎn)與水平地面的距離為30cm，若投影儀的尾端與支架點(diǎn)所在直線恰好平行于水平地面，測(cè)得，．

(1)求三角支架中的與地面的夾角．(2)求投影點(diǎn)與水平地面的距離．(3)若投影儀后移1m，要正常投影，（投影光線射向點(diǎn)）則投影儀的仰角須減小了多度？（參考數(shù)據(jù)：，，，，）29．（2023·江西上饒·校聯(lián)考二模）火災(zāi)是最常見、最多發(fā)的威脅公眾安全和社會(huì)發(fā)展的主要災(zāi)害之一，消防車是消防救援的主要裝備．圖1是某種消防車云梯，圖2是其側(cè)面示意圖，點(diǎn)，，在同一直線上，可繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，為云梯的液壓桿，點(diǎn)，A，在同一水平線上，其中可伸縮，套管的長(zhǎng)度不變，在某種工作狀態(tài)下測(cè)得液壓桿，，．

(1)求的長(zhǎng)．(2)消防人員在云梯末端點(diǎn)高空作業(yè)時(shí)，將伸長(zhǎng)到最大長(zhǎng)度，云梯繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，消防人員發(fā)現(xiàn)鉛直高度升高了，求云梯旋轉(zhuǎn)了多少度．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）30．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）【問題背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如圖，即）．小軍測(cè)量某建筑物高度的方法如下：在地面點(diǎn)E處平放一面鏡子，經(jīng)調(diào)整自己位置后，在點(diǎn)D處恰好通過鏡子看到建筑物AB的頂端A．經(jīng)測(cè)得，小軍的眼睛離地面的距離，，，求建筑物AB的高度．

【活動(dòng)探究】觀察小軍的操作后，小明提出了一個(gè)測(cè)量廣告牌高度的做法（如圖）：他讓小軍站在點(diǎn)D處不動(dòng)，將鏡子移動(dòng)至處，小軍恰好通過鏡子看到廣告牌頂端G，測(cè)出；再將鏡子移動(dòng)至處，恰好通過鏡子看到廣告牌的底端A，測(cè)出．經(jīng)測(cè)得，小軍的眼睛離地面距離，，求這個(gè)廣告牌AG的高度．

【應(yīng)用拓展】小軍和小明討論后，發(fā)現(xiàn)用此方法也可測(cè)量出斜坡上信號(hào)塔AB的高度．他們給出了如下測(cè)量步驟（如圖）：①讓小軍站在斜坡的底端D處不動(dòng)（小軍眼睛離地面距離），小明通過移動(dòng)鏡子（鏡子平放在坡面上）位置至E處，讓小軍恰好能看到塔頂B；②測(cè)出；③測(cè)出坡長(zhǎng)；④測(cè)出坡比為（即）．通過他們給出的方案，請(qǐng)你算出信號(hào)塔AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)）．

31．（2023·河南周口·?？既＃┤鐖D是一個(gè)傾斜角為的斜坡的截面示意圖．已知斜坡頂端到地面的距離為．為了對(duì)這個(gè)斜坡上的綠植進(jìn)行噴灌，在斜坡底端處安裝了一個(gè)噴頭，噴頭到地面的距離為，水珠在距噴頭水平距離處達(dá)到最高，噴出的水珠可以看作拋物線的一部分．建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)拋物線的表達(dá)式為，其中噴出水珠的豎直高度為（單位：）（水珠的豎直高度是指水珠到水平地面的距離），水珠與的水平距離為（單位：）．

(1)求拋物線的表達(dá)式．(2)斜坡正中間有一棵高的樹苗，通過計(jì)算判斷從噴頭噴出的水珠能否越過這棵樹苗．(3)若有一個(gè)身高為的小朋友經(jīng)過此斜坡，想要不被淋濕衣服，他到噴頭的水平距離應(yīng)在什么范圍內(nèi)？32．（2023·河南周口·?？既＃┼嵵莶┪镳^（新館）位于鄭州奧體中心附近，周邊有鄭州大劇院，鄭州植物園等，其主展館以鄭州出土的商代青銅方鼎為造型基礎(chǔ)，整體建筑風(fēng)格取鼎器粗獷與精美相統(tǒng)一的神韻，讓人嘆為觀止．某校數(shù)學(xué)小組的同學(xué)們使用卷尺和自制的測(cè)角儀測(cè)量鄭州博物館（新館）的高度，如圖，他們?cè)贑處測(cè)得頂端A的仰角為，沿方向前進(jìn)17m到達(dá)D處，又測(cè)得頂端A的仰角為．已知測(cè)角儀的高度為1.5m，測(cè)量點(diǎn)C，D與鄭州博物館（新館）的底部B在同一水平線上，求鄭州博物館（新館）的高度．（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：，，）

33．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）閱讀下列材料，回答問題任務(wù)：測(cè)量一個(gè)扁平狀的小水池的最大寬度，該水池東西走向的最大寬度遠(yuǎn)大于南北走向的最大寬度，如圖1．工具：一把皮尺（測(cè)量長(zhǎng)度略小于）和一臺(tái)測(cè)角儀，如圖2．皮尺的功能是直接測(cè)量任意可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離（這兩點(diǎn)間的距離不大于皮尺的測(cè)量長(zhǎng)度）；測(cè)角儀的功能是測(cè)量角的大小，即在任一點(diǎn)處，對(duì)其視線可及的，兩點(diǎn)，可測(cè)得的大小，如圖3．

小明利用皮尺測(cè)量，求出了小水池的最大寬度，其測(cè)量及求解過程如下：測(cè)量過程：（?。┰谛∷赝膺x點(diǎn)，如圖4，測(cè)得，；（ⅱ）分別在，，上測(cè)得，；測(cè)得．求解過程：由測(cè)量知，，，，，∴，又∵①___________，∴，∴．又∵，∴②___________．故小水池的最大寬度為___________．(1)補(bǔ)全小明求解過程中①②所缺的內(nèi)容；(2)小明求得用到的幾何知識(shí)是___________；(3)小明僅利用皮尺，通過5次測(cè)量，求得．請(qǐng)你同時(shí)利用皮尺和測(cè)角儀，通過測(cè)量長(zhǎng)度、角度等幾何量，并利用解直角三角形的知識(shí)求小水池的最大寬度，寫出你的測(cè)量及求解過程．要求：測(cè)量得到的長(zhǎng)度用字母，，表示，角度用，，表示；測(cè)量次數(shù)不超過4次（測(cè)量的幾何量能求出，且測(cè)量的次數(shù)最少，才能得滿分）．34．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）如圖1是某品牌的紙張打孔機(jī)的實(shí)物圖，圖2是從中抽象出的該打孔機(jī)處于打孔前狀態(tài)的側(cè)面示意圖，其中打孔機(jī)把柄，是底座，與所成的夾角為36.8°，點(diǎn)是把柄轉(zhuǎn)軸所在的位咒，且點(diǎn)到底座的距離．與一根套管相連，可繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)，，套管內(nèi)含打孔針，打孔針的頂端觸及到，但與不相連，始終與垂直，且，．

(1)打孔針的針尖離底座的距離是多少厘米?(2)壓下把柄，直到點(diǎn)與點(diǎn)重合，如圖3，此時(shí)，．兩點(diǎn)重合，把柄將壓下打孔針并將它鍥入放在底座上的紙張與底座之內(nèi)，從而完成紙張打孔，問：打孔針鍥入底座有多少厘米？（參考數(shù)據(jù)：，，）35．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）根據(jù)背景素材，探索解決問題．測(cè)算發(fā)射塔的高度背景素材某興趣小組在一幢樓房窗口測(cè)算遠(yuǎn)處小山坡上發(fā)射塔的高度（如圖1）．他們通過自制的測(cè)傾儀（如圖2）在，，三個(gè)位置觀測(cè)，測(cè)傾儀上的示數(shù)如圖3所示．

經(jīng)討論，只需選擇其中兩個(gè)合適的位置，通過測(cè)量、換算就能計(jì)算發(fā)射塔的高度．問題解決任務(wù)1分析規(guī)劃選擇兩個(gè)觀測(cè)位置：點(diǎn)_________和點(diǎn)_________獲取數(shù)據(jù)寫出所選位置觀測(cè)角的正切值，并量出觀測(cè)點(diǎn)之間的圖上距離．任務(wù)2推理計(jì)算計(jì)算發(fā)射塔的圖上高度．任務(wù)3換算高度樓房實(shí)際寬度為米，請(qǐng)通過測(cè)量換算發(fā)射塔的實(shí)際高度．注：測(cè)量時(shí)，以答題紙上的圖上距離為準(zhǔn)，并精確到1．36．（2023·浙江溫州·溫州市第八中學(xué)?？既＃└鶕?jù)以下素材，探索完成任務(wù)：素材一：圖1是某款遮陽蓬，圖2是其側(cè)面示意圖，點(diǎn)A，O為墻壁上的固定點(diǎn)，搖臂OB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)過程中，遮陽蓬A(yù)B可自由伸縮，蓬面始終保持平整.如圖2，，米．

素材2：某地區(qū)某天下午不同時(shí)間的太陽高度角（太陽光線與地面的夾角）的正切值參照表：時(shí)刻12點(diǎn)13點(diǎn)14點(diǎn)15點(diǎn)角的正切值421素材3：小明身高（頭頂?shù)降孛娴木嚯x）約為1米，如圖2，小明所站的位置離墻角的距離（）為1.2米.問題解決任務(wù)1確定高度這天12點(diǎn)，小明所站位置剛好不被陽光照射到，請(qǐng)求固定點(diǎn)O到墻角的距離（）的長(zhǎng).任務(wù)2判斷是否碰到蓬面如圖2，為不被陽光照射到，旋轉(zhuǎn)搖臂，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，使得離墻壁距離為1.2米，在這天15點(diǎn)時(shí)，小明退至剛好不被陽光照射到的地方，請(qǐng)判斷他的頭頂是否會(huì)碰到遮陽蓬面？任務(wù)3探究合理范圍如圖3，不改變的位置，小明打算在這天12-14點(diǎn)之間在遮陽蓬下休息，為使得全程不被陽光照射到，又不會(huì)碰到遮陽蓬面，求小明所站位置離墻角距離（）的范圍．37．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）為測(cè)量學(xué)校后山高度，數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)過程如下：

(1)測(cè)量坡角如圖1，后山一側(cè)有三段相對(duì)平直的山坡，山的高度即為三段坡面的鉛直高度之和，坡面的長(zhǎng)度可以直接測(cè)量得到，要求山坡高度還需要知道坡角大?。鐖D2，同學(xué)們將兩根直桿的一端放在坡面起始端A處，直桿沿坡面方向放置，在直桿另一端N用細(xì)線系小重物G，當(dāng)直桿與鉛垂線重合時(shí)，測(cè)得兩桿夾角的度數(shù)，由此可得山坡AB坡角的度數(shù)．請(qǐng)直接寫出之間的數(shù)量關(guān)系．(2)測(cè)量山高同學(xué)們測(cè)得山坡的坡長(zhǎng)依次為40米，50米，40米，坡角依次為；為求，小熠同學(xué)在作業(yè)本上畫了一個(gè)含角的（如圖3），量得．求山高．（，結(jié)果精確到1米）(3)測(cè)量改進(jìn)由于測(cè)量工作量較大，同學(xué)們圍繞如何優(yōu)化測(cè)量進(jìn)行了深入探究，有了以下新的測(cè)量方法．

如圖4，5，在學(xué)校操場(chǎng)上，將直桿NP置于的頂端，當(dāng)與鉛垂線重合時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)直桿，使點(diǎn)N，P，D共線，測(cè)得的度數(shù)，從而得到山頂仰角，向后山方向前進(jìn)40米，采用相同方式，測(cè)得山頂仰角；畫一個(gè)含的直角三角形，量得該角對(duì)邊和另一直角邊分別為厘米，厘米，再畫一個(gè)含的直角三角形，量得該角對(duì)邊和另一直角邊分別為厘米，厘米．已知桿高M(jìn)N為米，求山高．（結(jié)果用不含的字母表示）38．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）地球有多大？多年前，古希臘數(shù)學(xué)家埃拉托斯特尼（）利用太陽光線測(cè)量出了地球子午線的周長(zhǎng)．下面讓我們一起開啟“探求地球周長(zhǎng)”的數(shù)學(xué)項(xiàng)目化學(xué)習(xí)之旅．項(xiàng)目任務(wù)（一）如圖1，某日正午，小紅在B地（與太陽直射點(diǎn)A在同一子午線上）測(cè)得太陽光與木棍的夾角為，則______，若測(cè)得之間弧長(zhǎng)為l，則地球子午線周長(zhǎng)為______．（用含，l的代數(shù)式表示）項(xiàng)目任務(wù)（二）如圖2，某日正午，小紅和小明在同一子午線的B地、C地測(cè)得太陽光與木棍的夾角分別為，，則______，若測(cè)得之間弧長(zhǎng)為l，則地球子午線周長(zhǎng)為______．（用含，，l的代數(shù)式表示）項(xiàng)目任務(wù)（三）如圖3，日落時(shí)，身高為h的小亮趴在地上平視遠(yuǎn)方，在太陽完全從地平線上消失的一瞬間，按下秒表開始計(jì)時(shí)．同時(shí)馬上站起來，當(dāng)太陽再次完全消失在地平線的瞬間，停止計(jì)時(shí)，小亮利用這個(gè)時(shí)間差和地球自轉(zhuǎn)的速度計(jì)算出了，請(qǐng)據(jù)此計(jì)算出地球的半徑與周長(zhǎng)．（用含h，的代數(shù)式表示）

39．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）在課題學(xué)習(xí)《如何設(shè)計(jì)遮陽棚》中，計(jì)劃在移門上方安裝一個(gè)可伸縮的遮陽棚（如圖1），其中為移門的高度，B為遮陽棚固定點(diǎn)，為遮陽棚的寬度（可變動(dòng)），，．小丁所在小組負(fù)責(zé)探究“移門在正午完全透光時(shí)太陽高度角與遮陽棚寬度的關(guān)系”，查閱得到如下信息：太陽高度角是指太陽光線與地平面的夾角；該地區(qū)冬至日正午的太陽高度角a最?。s）；夏至日正午的太陽高度角a最大（約）．請(qǐng)你協(xié)助該小組，完成以下任務(wù)：【任務(wù)1】如圖2，在冬至日正午時(shí)要使太陽光完全透過移門，應(yīng)該不超過多少長(zhǎng)度（結(jié)果精確到）【任務(wù)2】如圖3，有一小桌子在移門的正前方，桌子最外端E到移門的距離為，桌子高度．若要求在夏至日正午時(shí)太陽光恰好照射不到桌面，則BD應(yīng)該多長(zhǎng)？（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，，，，，）．40．（2023上·江蘇常州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，在中，，，，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，平分交邊于點(diǎn)，垂足為，，垂足為N．

(1)當(dāng)時(shí)，求證：；(2)當(dāng)與相似時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)當(dāng)以為直徑的圓恰好過點(diǎn)E時(shí)，設(shè)圓I與直角邊的另一個(gè)交點(diǎn)是F，求證：；(4)當(dāng)四邊形與的面積相等時(shí)，求的長(zhǎng)．41．（2023上·河北石家莊·九年級(jí)石家莊市第四十一中學(xué)校考期中）如圖1和圖2，平面上，四邊形中，，，，．，點(diǎn)M在AD邊上，且．將線段MA繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，的平分線MP所在直線交折線于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P在該折線上運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為，連接．如圖2，連接BD．(1)求的度數(shù)，(2)當(dāng)時(shí)，求x的值；(3)若P點(diǎn)到BD的距離為2，求的值；42．（2023上·山西太原·九年級(jí)統(tǒng)考期中）綜合與實(shí)踐問題情境：數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們以特殊四邊形為基本圖形，添加一些幾何元素后探究圖形中存在的結(jié)論．已知在中，，的平分線交邊于點(diǎn)E，交邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，以為鄰邊作．

特例探究：（1）如圖1，“創(chuàng)思”小組的同學(xué)研究了四邊形為矩形時(shí)的情形，發(fā)現(xiàn)四邊形是正方形，請(qǐng)你證明這一結(jié)論；（2）“敏學(xué)”小組的同學(xué)在圖1基礎(chǔ)上連接，得到圖2，發(fā)現(xiàn)圖2中線段與之間存在特定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你幫他們寫出結(jié)論并說明理由；拓展延伸：（3）“善問”小組的同學(xué)計(jì)劃對(duì)展開類似研究．如圖3，在中，．請(qǐng)從下面A，B兩題中任選一題作答．我選擇________題．A：當(dāng)，時(shí)，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并直接寫出A，G兩點(diǎn)之間的距離．B：當(dāng)時(shí)，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并直接寫出以A，C，G為頂點(diǎn)的三角形面積的最小值．43．（2023·廣東河源·統(tǒng)考三模）如圖1，拋物線過兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E，當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積；(3)如圖2，動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，將繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．①當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到多少秒時(shí)，四邊形是菱形；②當(dāng)四邊形是矩形時(shí)，將矩形沿x軸方向平移使得點(diǎn)F落在拋物線上時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)．45．（2023·廣東河源·統(tǒng)考三模）如圖1，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，且滿足，，三點(diǎn)在同一條直線上．連接交于點(diǎn)，的外接圓與交于，兩點(diǎn)．

(1)求證：是切線；(2)如圖2，連接，，若，判斷四邊形的形狀，并說明理由；(3)在（2）的條件下，若，求的長(zhǎng)．46．（2023上·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？计谥校締栴}探究】如圖①，在正方形中，，點(diǎn)為上的點(diǎn)，，連接，點(diǎn)為上的點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)度．此問題可以過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)正方形的性質(zhì)及矩形的判定與性質(zhì)，易證．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，再由勾股定理可以求得；【類比遷移】如圖②，在矩形中，，，連接，過的中點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)度．【拓展應(yīng)用】如圖③，李大爺家有一塊平行四邊形的菜地．記為．測(cè)得米，米，．為了管理方便，李大爺沿著對(duì)角線開一條小路，過這小路的正中間，開了另一條垂直于它的小路（小路面積忽略不計(jì)）．直接寫出新開出的小路的長(zhǎng)度．47．（2023上·江蘇無錫·九年級(jí)校聯(lián)考期中）【問題情境】在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明同學(xué)將一大一小兩個(gè)三角板按照如圖所示的方式擺放．其中，，．【問題探究】小明同學(xué)將三角板繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．

(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)、、在同一條直線上，求點(diǎn)到直線的距離；(3)連接，取的中點(diǎn)，三角板由初始位置（圖），旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)、、首次在同一條直線上（如圖），求點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)；(4)如圖，為的中點(diǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)到直線的距離的最大值是__________48．（2023上·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）【學(xué)習(xí)心得】小趙同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題，如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問題變得非常容易．我們把這個(gè)過程稱為“化隱圓為顯圓”．①已知：如圖1，，若，求的度數(shù)．解：若以點(diǎn)O為圓心、為半徑作輔助圓，是⊙O的圓心角，而是圓周角，從而可容易得到．

②如圖2，點(diǎn)P為正方形內(nèi)一點(diǎn)，且，若，求的最小值．解：∵，，∴點(diǎn)P在以為直徑的圓上設(shè)圓心為點(diǎn)O，則O、P、A三點(diǎn)共線時(shí)最小，最小值為______．（2）【問題解決】①如圖3，在平行四邊形中，已知，，，點(diǎn)P是邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，C重合），連接，作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)Q，則線段的最小值為______．②如圖4，中，，，，D為上一動(dòng)點(diǎn)，以為直徑的交于E，求線段的最小值．

（3）【問題拓展】如圖5，在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，，x軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，當(dāng)最大時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)______．49．（2023上·廣東深圳·九年級(jí)期中）（1）[探究發(fā)現(xiàn)]如圖①，已知四邊形是正方形，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接，將沿折疊，點(diǎn)落在處，、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．小明探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)在上移動(dòng)時(shí)，．并給出如下不完整的證明過程，請(qǐng)幫他補(bǔ)充完整．證明：延長(zhǎng)交于點(diǎn)．

（2）[類比遷移]如圖②，四邊形為矩形，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，將沿折疊，點(diǎn)落在處，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，當(dāng)，，時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）[拓展應(yīng)用]如圖③，已知四邊形為菱形，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在菱形的邊上（頂點(diǎn)除外）時(shí)，如果，請(qǐng)直接寫出此時(shí)的長(zhǎng)．

50．（2023上·廣東深圳·九年級(jí)統(tǒng)考期中）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，E是邊上一點(diǎn)，作交于點(diǎn)F；學(xué)習(xí)小隊(duì)發(fā)現(xiàn)，不論點(diǎn)E在邊上運(yùn)動(dòng)過程中，與恒全等.請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論；【類比遷移】如圖2，矩形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，，E是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)F恰好落在的延長(zhǎng)線上，求的值；【拓展提升】如圖3，等腰中，，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，以為邊在的上方作等邊，連接，取的中點(diǎn)M，連接，當(dāng)時(shí)，直接寫出的長(zhǎng).

第二十八章銳角三角函數(shù)（壓軸題專練）一、單選題1．（2023上·陜西西安·九年級(jí)校考期中）如圖，菱形中，，，，垂足分別為B，D，若，則的長(zhǎng)是（）cmA． B．6 C． D．【答案】C【分析】連接，與交于點(diǎn)G，根據(jù)，得到，根據(jù)三角函數(shù)，求得；利用三角函數(shù)，菱形性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)計(jì)算即可．【詳解】連接，與交于點(diǎn)G，∵菱形，，∴，，是等邊三角形，∴；∵，∴，∴；∴；∴；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的基本性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和以及解直角三角形，能夠做出輔助線是解題關(guān)鍵．2．（2023上·浙江寧波·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，是線段上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)、），過、兩點(diǎn)的二次函數(shù)和過、兩點(diǎn)的二次函數(shù)的圖象開口均向下，它們的頂點(diǎn)分別在線段，上，則這兩個(gè)二次函數(shù)的最大值之積的最大值為（

）

A．5 B． C． D．4【答案】C【分析】如圖，設(shè)線段與的交點(diǎn)為，線段與的交點(diǎn)為D，則為兩拋物線的頂點(diǎn)，過作軸于，過作軸于，則，，，，設(shè)，則，，設(shè)這兩個(gè)二次函數(shù)的最大值之積為，則，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，設(shè)線段與的交點(diǎn)為，線段與的交點(diǎn)為D，則為兩拋物線的頂點(diǎn)，過作軸于，過作軸于，

∵，，∴，，，∴，，設(shè)，則，，設(shè)這兩個(gè)二次函數(shù)的最大值之積為，則，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，值為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正切，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于正確表示線段．3．（2023上·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)、、、均在格點(diǎn)上，與相交于點(diǎn)，則的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】作于E，由可證，則可得，由此可求出的長(zhǎng)，再在中根據(jù)面積法求出的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，即可求出的余弦值，由于，因此可得的余弦值．【詳解】

作于E，，，，，．中，．，，解得，．，．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、用面積法求直角三角形斜邊上的高、勾股定理及余弦的定義．熟練掌握以上知識(shí)并且正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．（2023上·湖南常德·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，連接分別交，于點(diǎn)、，且，連接，則以下結(jié)論：①為的中點(diǎn)；②；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】證明可得出①正確．證明，利用相似三角形的性質(zhì)得出②正確．求出即可判斷③正確．作于H，求出即可得出④正確．證明即可得出⑤錯(cuò)誤．【詳解】解：①∵正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，在與中，，∴，∴，∴．故①正確；②∵，∴，∴，∴．∴，即．故②正確；③由勾股定理可知：，∵，∴，∴，，∴，故③正確，④作于H．∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，故④正確，⑤∵，∴，∴與不相似，故⑤錯(cuò)誤．所以正確的結(jié)論有4個(gè)故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識(shí)，靈活掌握運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理．5．（2022·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知平行四邊形，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)F，連接，若，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，取的中點(diǎn)O，連接，作于H，設(shè)，證明是等邊三角形，求出即可解決問題【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)O，連接，作于H，設(shè)，

，，四點(diǎn)共圓，，，，，，，，，是等邊三角形，，，，，則，在中，，，，，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形、等邊三角形的判斷和性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．6．（2023上·安徽合肥·九年級(jí)合肥市第四十二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在矩形中，，，將沿射線平移a個(gè)單位長(zhǎng)度（）得到，連接，，則當(dāng)是直角三角形時(shí)，a的值為（

）A．或 B．2或 C．或 D．或3【答案】A【分析】分兩種情況：①如圖1，，②如圖2，，分別作輔助線，構(gòu)建相似三角形，證明三角形相似列比例式可得對(duì)應(yīng)的值．【詳解】分兩種情況：①如圖1，，延長(zhǎng)交于，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，，四邊形是矩形，，，，即，設(shè)，，，由平移得：，，，，，，，，，，即，，；②如圖2，，延長(zhǎng)交于，則，，由平移得：，同理設(shè)，，則，，，，，，，，即，，；綜上，的值是或．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、三角形相似的性質(zhì)和判定、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)；解題關(guān)鍵是畫出兩種情況的圖形，依題意進(jìn)行分類討論．7．（2023上·安徽六安·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，是的對(duì)角線，，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F、P分別是線段、上的動(dòng)點(diǎn)，若，且是等腰三角形，則的長(zhǎng)為（

）

A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】分三種情況進(jìn)行討論，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別畫出圖形求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，∴，，，，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，∵是的對(duì)角線，，，∴是直角三角形，，∴，∴，，當(dāng)時(shí)，如圖①，過點(diǎn)P作于點(diǎn)G，

則．∵，∴，∴，，，又∵，∴，∴；當(dāng)時(shí)，如圖②，

則，∴；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，不存在．綜上所述，的長(zhǎng)為或．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)，等腰三角形的定義，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，畫出圖形，并進(jìn)行分類討論．8．（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測(cè)）將一張正方形紙片對(duì)折，使與重合，得到折痕后展開，E為上一點(diǎn)，將沿所在的直線折疊，使得點(diǎn)C落在折痕上的點(diǎn)F處，連接，，，則得下列結(jié)論：①是等邊三角形；②；③；④．其中正確的是（

）

A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④【答案】A【分析】①由折疊的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)得出是等邊三角形，①正確；②設(shè)，則，求出，再求出即可得出②正確；③分別求出的面積和正方形的面積得出③錯(cuò)誤；④證明得出④正確；即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，，由折疊的性質(zhì)得：垂直平分，，，，，，∴，∴，即是等邊三角形，①正確；設(shè)，則，∵是等邊三角形，∴，，，∴，∴，②正確；∵的面積，正方形的面積，∴，③錯(cuò)誤；∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，④正確；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)等知識(shí)，證明是解決問題的關(guān)鍵．9．（2019上·浙江·九年級(jí)周測(cè)）如圖（1），點(diǎn)為矩形邊上一點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止，點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止，它們的運(yùn)動(dòng)速度都是，設(shè)出發(fā)秒時(shí)，的面積為，已知與的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖（2）（曲線為拋物線的一部分），則下列結(jié)論：①；②直線的解析式為；③可能與相似；④當(dāng)秒時(shí)，．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)圖（）可以判斷三角形的面積變化分為三段，可以判斷出當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，從而得出、的長(zhǎng)度，再根據(jù)的長(zhǎng)度，可得的長(zhǎng)度，從而可得的長(zhǎng)度，求出的長(zhǎng)度，然后針對(duì)各小題分析解答即可【詳解】①根據(jù)圖（）可得，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)點(diǎn)到過點(diǎn)，點(diǎn)、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度都是，，，，故①正確；②根據(jù)秒面積不變，可得，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，面積變?yōu)?，此時(shí)點(diǎn)走過點(diǎn)路程為，故點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)（，）、（，）分別代入得：，解得，故直線的解析式為：，故②正確；③當(dāng)與相似時(shí)，點(diǎn)在上，由，，得，如圖所示，，，，，，與不可能相似，故③錯(cuò)誤；④時(shí)，，此時(shí)，，故④錯(cuò)誤，綜上，可知①②正確，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)圖（2）判斷出點(diǎn)到過點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．10．（2020上·浙江·九年級(jí)周測(cè)）如圖，設(shè)銳角的三條高相交于，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在中，，求得，在中，求得，得到，證明，推出，據(jù)此求解即可.【詳解】解：在中，，∴，在中，即∴，∵銳角的三條高相交于，∴，又∵，∴，∴，∴，同理∴，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，掌握相似三角形的判定方法是解決本題的關(guān)鍵.二、填空題11．（2023上·黑龍江綏化·九年級(jí)綏化市第八中學(xué)校校考階段練習(xí)）在中，，，，則．【答案】或【分析】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理等知識(shí)，分類討論：當(dāng)點(diǎn)A在處時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)M，利用面積求出，進(jìn)而可得，則有，此時(shí)問題得解；當(dāng)點(diǎn)A在處時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)M，同理作答即可．【詳解】如圖，當(dāng)點(diǎn)A在處時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)M，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)A在處時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)M，同理可得，∴，∴，∴，故答案為：或．12．（2023上·陜西西安·九年級(jí)西安市東方中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，在正方形中，，與交于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，為對(duì)角線上一點(diǎn)，當(dāng)對(duì)角線平分時(shí)，的值為.

【答案】【分析】本題主要考查正方形的性質(zhì)和三角函數(shù)的定義；過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，易得，，，，由，得，分兩類情況：①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，分別列出方程，求出的值，進(jìn)而求出答案【詳解】過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，在正方形中，，即：和是等腰直角三角形，，，，，，是的中點(diǎn)，，對(duì)角線平分，，，①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖，，解得：（舍去），

②當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖，，解得：，

，，，，，故答案為：．13．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，正方形，，，，求的長(zhǎng)．

【答案】12【分析】先根據(jù)解直角三角形的知識(shí)，求出，過F點(diǎn)作于點(diǎn)P，根據(jù)正方形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)，可得，結(jié)合，可得，即，進(jìn)而有，再利用，問題得解．【詳解】如圖，在中，平分，，且，，即有：，設(shè)，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理有：，∴結(jié)合，有，∴，∴，根據(jù)三角形的面積有：，∴，∴，∵在中，，∴，解得：，（，舍去），∴，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，，∵，，∴，如圖，過F點(diǎn)作于點(diǎn)P，

∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，即，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，解一元二次方程等知識(shí)，求出，是解答本題的關(guān)鍵．14．（2023·廣東河源·統(tǒng)考三模）如圖，在正方形中，點(diǎn)E、F分別在邊上，且，交于M點(diǎn)，交于N點(diǎn)．下列結(jié)論：①；②若F是的中點(diǎn)，則；③連接，則為等腰直角三角形．其中正確結(jié)論的序號(hào)是（把你認(rèn)為所有正確的都填上）．【答案】①③/③①【分析】將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，可得，根據(jù)正方形的性質(zhì)證明，在中，由勾股定理，即可證明①；過A作，交延長(zhǎng)線于G，由（1）同理可得，，設(shè)，則可表示出設(shè)，在中，由勾股定理可得，設(shè)，則，即可證明②；根據(jù)條件可證明，進(jìn)而證明，即可證明③．【詳解】解：①將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，∵，∴，∵繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，又∵，∴，∴，而，在中，，∴，故①正確；②過A作，交延長(zhǎng)線于G，如圖：由（1）同理可得，，∴，設(shè)，∵F是的中點(diǎn)，則，在中，，∴，解得，設(shè)，則，∴，在中，，∴，故②不正確；③∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴為等腰直角三角形，故③正確，故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定定理和正確作輔助線是解決此類題的關(guān)鍵．15．（2023上·陜西西安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形中，，E是邊上的點(diǎn)，，，F(xiàn)是邊上的一點(diǎn)，且，若M、N分別是線段、上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．

【答案】【分析】過點(diǎn)F作的對(duì)稱點(diǎn)G，過點(diǎn)G作于點(diǎn)Q，則的最小值為，利用三角函數(shù)，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，計(jì)算即可，熟練掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．【詳解】過點(diǎn)F作的對(duì)稱點(diǎn)G，過點(diǎn)G作于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)H，則的最小值為，∵平行四邊形中，，∴,，∴，解得，∴，，過點(diǎn)A作于點(diǎn)O，∴，解得，∴，，∵，∴，，∴，∴，∴，∴∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．

16．（2023·廣東東莞·統(tǒng)考一模）如圖，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)F在的延長(zhǎng)線上，，交于點(diǎn)G，，，則．

【答案】【分析】過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，則是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的三邊關(guān)系及，可求得；又，可得出各個(gè)邊的長(zhǎng)度；證明，得到，再證明，則，所以是等腰直角三角形，即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，則是等腰直角三角形，

設(shè)，則，，在中，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，∴，，，，，是等腰直角三角形，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)的定義等內(nèi)容，證得的正切值及是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．17．（2023·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，以為邊作正方形（點(diǎn)A，C，D，E按逆時(shí)針方向排列），和的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)F時(shí)停止，點(diǎn)Q在線段上運(yùn)動(dòng)，且始終滿足，連接，，，當(dāng)?shù)拿娣e為5時(shí)，的長(zhǎng)是．

【答案】或【分析】分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，先證出，再證出，利用三角形的面積公式求解即可得；②當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，先求出，是等腰直角三角形，再設(shè)，則，從而分別求出的長(zhǎng)，然后根據(jù)建立方程，解方程即可得．【詳解】解：①如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵四邊形是正方形，，，，∵在中，，，，，是等腰直角三角形，，，，，在和中，，，，，的面積為5，，解得或（不符合題意，舍去），，又，；②如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，∵四邊形是正方形，，，，，是等腰直角三角形，，設(shè)，則，，，又，，，整理為，即或，解方程得：或（舍去），解方程得：（此時(shí)點(diǎn)在上，不符合題設(shè)，舍去）或（舍去），綜上，的長(zhǎng)是或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、三角形全等的判定與性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)，正確分兩種情況討論，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．18．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，、分別為線段、上一點(diǎn)，將菱形沿著翻折，翻折后、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，與交于點(diǎn)．已知，若若．

【答案】//3.4//【分析】若，如圖所示，過點(diǎn)作垂直延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)折疊，菱形，平行四邊形的性質(zhì)，三角函數(shù)的計(jì)算即可求解；若，如圖所示，過點(diǎn)作邊的高，交于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，通過條件推理可得點(diǎn)為的中點(diǎn)，由此即可求解．【詳解】解：若，如圖所示，過點(diǎn)作垂直延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

已知，菱形沿著翻折，點(diǎn)、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，根據(jù)作圖可知是菱形中邊上的高，，，四邊形是平行四邊形，，且，在中，，，根據(jù)折疊性質(zhì)可知，，且，，是等腰三角形，，，，，，，故答案為：；，如圖所示，過點(diǎn)作邊的高，交于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，

根據(jù)折疊性質(zhì)可知，，，，，根據(jù)題意可知，是菱形中邊上的高，，設(shè)，則，，，，，設(shè)，在中，，則，，即，，，，，，，連接，到的距離為，此時(shí)點(diǎn)到的垂線段的垂足與點(diǎn)重合，且點(diǎn)三點(diǎn)共線，則，，，，解得或舍去，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角函數(shù)的計(jì)算方法，三角形相似的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合，掌握以上知識(shí)的綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．19．（2023上·福建福州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，和都是等邊三角形，其中邊．直線相交于點(diǎn)，連接，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最大時(shí)，的長(zhǎng)是．

【答案】【分析】證明，得出四點(diǎn)共圓，進(jìn)而作的外接圓，當(dāng)為直徑時(shí)，取得最大值，即可求解．【詳解】解：∵和都是等邊三角形，∴∴∴∴∴∴∴四點(diǎn)共圓，如圖所示，作的外接圓，當(dāng)為直徑時(shí)，取得最大值，∵∴∵為直徑∴∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，同弧所對(duì)的圓周角相等，圓中最長(zhǎng)的弦相關(guān)問題，解直角三角形，得出四點(diǎn)共圓是解題的關(guān)鍵．20．（2023上·湖北武漢·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知是的內(nèi)接三角形，的半徑為2，將劣弧沿折疊后剛好經(jīng)過弦的中點(diǎn)．若，則弦的長(zhǎng)為．

【答案】/【分析】設(shè)折疊后的所在圓的圓心為，連接，，，，過點(diǎn)O作于點(diǎn)E，解直角三角形得出，根據(jù)與為等圓，得出，，，證明，得出，過A作于，設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案．【詳解】解：設(shè)折疊后的所在圓的圓心為，連接，，，，過點(diǎn)O作于點(diǎn)E，如圖所示：

∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，又∵與為等圓，∴，，，∴，∴，過A作于，設(shè)，則，，∵，∴在中，，，∵，∴，解得：，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的綜合應(yīng)用，解直角三角形，圓周角定理，勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，垂徑定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)勾股定理建立方程．三、解答題21．（2023上·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，點(diǎn)是射線上的一點(diǎn)，連接，作，且，動(dòng)點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，連接．

(1)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)當(dāng)點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)的距離為時(shí)，求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離（用含有的代數(shù)式表示）；(3)連接，當(dāng)，且時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）如圖，過作于，設(shè)，則，由，可得，，可得，可得：，再利用勾股定理可得答案；（2）如圖，過作，且，連接交于，證明，可得，而為定角，可得在射線上運(yùn)動(dòng)，則，此時(shí)的運(yùn)動(dòng)路程為線段的長(zhǎng)度，再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可得答案；（3）如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)T，過點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)J，連接．由，可以假設(shè)，，證明，推出，，再利用勾股定理，構(gòu)建方程求解即可．【詳解】（1）解：如圖，過作于，

∵，∴設(shè)，則，∵，∴，，∵，∴，解得：，∴．（2）如圖，過作，且，連接交于，

則，都為等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∴，而為定角，∴在射線上運(yùn)動(dòng)，∵，此時(shí)的運(yùn)動(dòng)路程為線段的長(zhǎng)度，∵，，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)的距離為時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離為．（3）如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)T，過點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)J，連接，

∵，∴設(shè)，則，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴C，E，D，J四點(diǎn)共圓，∵，∴，∴，∵，∴，整理得：，∴，∴或，∴或5，【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，三角形函數(shù)的應(yīng)用，三角形全等的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，相似三角形的判定與性質(zhì)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡問題，本題難度較大，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)建需要的幾何圖形．22．（2023上·吉林·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知等邊三角形中，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿以的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P做于點(diǎn)D，以為邊向右做矩形，且．設(shè)矩形與重疊部分的面積為，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．

(1)(用含x的式子表示)；(2)當(dāng)點(diǎn)F落在邊上時(shí)，求x的值；(3)求S與x之間的函數(shù)解析式．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意得，在中，根據(jù)，再由即可得結(jié)論；（2）當(dāng)點(diǎn)F落在邊上時(shí)，由題意得等邊三角形，得，列出方程求解即可；（3）分三種情況：①當(dāng)時(shí)，如圖2，矩形與重疊部分是矩形，②當(dāng)時(shí)，如圖3，矩形與重疊部分是五邊形，③當(dāng)時(shí)，如圖4，矩形與重疊部分是四邊形，分別根據(jù)重疊部分的形狀求面積即可．【詳解】（1）解：，，是等邊三角形，，在中，，，，，故答案為：；（2）解：由題知，，當(dāng)點(diǎn)F落在邊上時(shí)，如圖1，

是矩形，，，等邊三角形，則，，解得．∴當(dāng)點(diǎn)F落在邊上時(shí)，；（3）解：①當(dāng)時(shí)，如圖2，

，；②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，，，，則，解得：，當(dāng)時(shí)，如圖3，，分別交于點(diǎn)N，M，

，，，；③當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，則，解得：，當(dāng)時(shí)，如圖4，交于點(diǎn)N，

，．綜上所述，．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，多邊形的面積，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．23．（2023上·陜西西安·九年級(jí)校考期中）【問題提出】（1）如圖①，在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，連接，若，的面積為，的面積為，則________的大?。ㄌ睢啊薄啊薄啊保?/p>

圖①【問題探究】（2）如圖②，在中，，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，．問：在邊上是否存在一點(diǎn)，使得線段恰好平分的面積？若存在，求出線段的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說明理由．

【問題解決】（3）我校有著豐富多彩的校園生活，為了讓同學(xué)們進(jìn)一步接觸到更多的校園社團(tuán)活動(dòng)，提高空間利用率，現(xiàn)計(jì)劃對(duì)校園部分區(qū)域進(jìn)行改造，某區(qū)域是如圖③的四邊形，，米，，點(diǎn)、分別在邊、上，四邊形為矩形，邊、將這塊區(qū)域分成了三部分，其中，矩形的面積為108平方米．為了方便通行，學(xué)校準(zhǔn)備在這塊區(qū)域中修一條筆直的小路（小路的兩端、分別在和上，且小路的寬度忽略不計(jì)），使得將四邊形分成兩部分，同時(shí)平分矩形的面積，且使得區(qū)域的面積最小．試問學(xué)校的想法能否實(shí)現(xiàn)？若能，請(qǐng)求出這條小路的長(zhǎng)及面積的最小值；若不能，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）；（2）；（2）當(dāng)這條小路的長(zhǎng)為，面積有最小值【分析】（1）如圖所示，在上取一點(diǎn)E使得，連接，利用證明，得到，由此可證明，由，可得，（2）如圖所示，連接，過點(diǎn)A作交于H，連接交于O，由平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而證明，由此可得，再由三角形中線的性質(zhì)得到，則，由此可得當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)H重合時(shí)，平分的面積；證明，得到，求出，過點(diǎn)E作于G，證明，得到，求出，則，，即可得到；（3）如圖所示，連接交于O，過點(diǎn)O作直線，分別交于P、Q，由矩形的性質(zhì)得到，證明，得到，進(jìn)而證明，則直線平分矩形的面積，同理可證明，經(jīng)過點(diǎn)O的直線都平分矩形的面積，即可推出直線經(jīng)過點(diǎn)O，設(shè)，則，解求出，由矩形的面積為108平方米，得到，解方程得到，根據(jù)，可得當(dāng)時(shí)，最小，即此時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)E重合，點(diǎn)N與點(diǎn)C重合，據(jù)此可得答案．【詳解】解：（1）如圖所示，在上取一點(diǎn)E使得，連接，∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．

（2）如圖所示，連接，過點(diǎn)A作交于H，連接交于O，∵，∴，∴，∴，∴，∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴，∴，∴平分的面積，∴當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)H重合時(shí)，平分的面積，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，過點(diǎn)E作于G，∵，∴，∴，即，∴，∴，，∴；

（3）如圖所示，連接交于O，過點(diǎn)O作直線，分別交于P、Q，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴直線平分矩形的面積，∴同理可證明，經(jīng)過點(diǎn)O的直線都平分矩形的面積，∴直線經(jīng)過點(diǎn)O，設(shè)，則，在中，，∴，∵矩形的面積為108平方米，∴，解得，∴，∴，∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，最小，即此時(shí)點(diǎn)M與點(diǎn)E重合，點(diǎn)N與點(diǎn)C重合，在中，由勾股定理得，∴當(dāng)這條小路的長(zhǎng)為，面積有最小值．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形，矩形的性質(zhì)等等，（1）通過倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形進(jìn)行求解；（2）通過構(gòu)造相似三角形進(jìn)行求解；（3）通過證明直線經(jīng)過點(diǎn)O，以及當(dāng)時(shí)，最小是解題的關(guān)鍵．24．（2023上·陜西咸陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）【問題提出】（1）如圖①，在中，，點(diǎn)D為上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，若，則的長(zhǎng)為；【問題探究】（2）如圖②，在中，，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，試判斷與是否相似，并說明理由；【問題解決】（3）如圖③，是一塊菜園平面示意圖，，，是邊上的中線，于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)E，經(jīng)測(cè)量，米，現(xiàn)欲沿修一條灌溉水渠，請(qǐng)你求出灌溉水渠的長(zhǎng)度．

【答案】（1）2；（2）與相似，理由見解析；（3）米【分析】（1）證明，得出，即，得出；（2）證明，，得出；（3）過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，證明為等腰直角三角形，得出（米），證明，得出米，根據(jù)，得出米，求出米，根據(jù)勾股定理得出米，即可求出結(jié)果．【詳解】解：（1）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，解得：；故答案為：2．（2）與相似，理由如下：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴；（3）過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，如圖所示：

∵是邊上的中線，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴（米），∵，∴，，∵，∴，∴米，∵，∴米，∴米，∴米，∵米，∴（米）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定方法．25．（2023上·河北邢臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1所示，已知點(diǎn)O到直線l的距離為4，，點(diǎn)B在直線l上，，讓繞點(diǎn)O從開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（）到某一位置時(shí)，將會(huì)跟隨出現(xiàn)到相應(yīng)的位置．(1)當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)P重合時(shí)，判斷與是否垂直，并說明理由；(2)點(diǎn)A到直線l距離最大時(shí)，求的大小；(3)設(shè)的中點(diǎn)M，連接，求的最大值；(4)如圖2，當(dāng)點(diǎn)A在的上方時(shí)，若，直接寫出的正切值；【答案】(1)與不垂直，理由見解析(2)(3)(4)【分析】（1）分別求出，，，利用勾股定理的逆定理即可判斷；（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A到直線1距離最大；過點(diǎn)A作于M，可證四邊形是矩形；求出即可求解的大??；（3）當(dāng)O、A、M在一條直線上時(shí)，最大，過M作于N，可證，根據(jù)即可求解；（4）延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，連接，證即可求解．【詳解】（1）解：與不垂直，理由如下：，，，∴，即與不垂直；（2）解：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A到直線距離最大，過點(diǎn)A作于M，如圖所示：

∵∴四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：當(dāng)O、A、M在一條直線上時(shí)，最大；過M作于N，如圖所示：

∵，，∴，∵，∴，∴，∴，即：，∴，，∴，∴；（4）解：延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于E，連接，如圖所示：

∵，∴，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理、三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)．作出正確的輔助線是解題關(guān)鍵．26．（2023上·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)方向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)重合時(shí)，作交邊于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．以為直角邊向右作等腰，使，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)線段的長(zhǎng)為__________；（用含的式子表示）(2)當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，求線段的長(zhǎng)；(3)連結(jié)，當(dāng)與相似時(shí)，求的值；(4)作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)．當(dāng)與的一邊平行或垂直時(shí)，直接寫出的值．【答案】(1)(2)(3)(4)或者【分析】（1）先求出，可得，，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)可知：，即有，可得；（2）先表示出，可得，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)可知：，即有；當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，先證明，即有，可得，問題隨之得解；（3）先得出，，即有，當(dāng)時(shí)，可得，，可得出，即有，t可求出；當(dāng)時(shí)，可證明，進(jìn)而有，結(jié)合，可得四邊形是正方形，結(jié)合，t可求出；（4）根據(jù)（2）可知，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)落在邊上，則點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)也在上，此時(shí)滿足要求；當(dāng)H點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，可得，，先證明，即有，即是等腰三角形，過H點(diǎn)作于點(diǎn)G，即有，表示出，即有，根據(jù)，可得；問題隨之得解．【詳解】（1）∵在中，，，，∴，∴，，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)可知：，∴，∵，∴是直角三角形，∴，故答案為：；（2）∵在中，，，∴，∴，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)可知：，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，如圖，∵等腰中，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴；（3）∵等腰中，，，∴，，∴，當(dāng)時(shí)，如圖，

∴，，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴；當(dāng)時(shí)，如圖，

∴，，∵，，∴，∴，結(jié)合，可得四邊形是正方形，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴舍去，綜上：時(shí)，與；（4）根據(jù)（2）可知，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)落在邊上，則點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)也在上，此時(shí)有：，∴滿足與的一邊平行或垂直，∴滿足要求；當(dāng)H點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，，如圖，

∵點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，即是等腰三角形，過H點(diǎn)作于點(diǎn)G，即有，∵，∴，∵在中，，，∴，∴，∵，，∴，∴，解得：；綜上：當(dāng)或者時(shí)，滿足與的一邊平行或垂直．【點(diǎn)睛】本題是一道三角形的綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)以及軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，注重分類討論的思想，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．27．（2023上·河南周口·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何設(shè)計(jì)紙盒素材利用一邊長(zhǎng)為的正方形紙板可設(shè)計(jì)成如圖和圖所示的兩種紙盒，圖是無蓋的紙盒，圖是一個(gè)有蓋的紙盒．

素材如圖，若在正方形硬紙板的四角各剪掉一個(gè)同樣大小的小正方形，將剩余部分折成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體盒子．

問題解決任務(wù)初步探究：折一個(gè)底面積為的無蓋長(zhǎng)方體盒子．問剪掉的小正方形的邊長(zhǎng)為多少？任務(wù)探究折成的無蓋長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積能否為？如果能，求出此時(shí)剪掉的小正方形的邊長(zhǎng)；如果不能，說明理由．任務(wù)圖是一個(gè)高為的無蓋的五棱柱盒子（直棱柱），圖是其底面，在五邊形中，，，，，．

圖圖圖圖中的五棱柱盒子可按圖所示的示意圖，將矩形紙板剪切折合而成，那么這個(gè)矩形紙板的長(zhǎng)和寬至少各為多少厘米？請(qǐng)直接寫出結(jié)果．（圖中實(shí)線表示剪切線，虛線表示折痕，紙板厚度及剪切接縫處損耗忽略不計(jì)）【答案】任務(wù)：剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為；任務(wù)：當(dāng)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為時(shí)，長(zhǎng)方形盒子的側(cè)面積最大為；任務(wù)：矩形紙板的長(zhǎng)至少為，寬至少為．【分析】任務(wù)：假設(shè)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)長(zhǎng)方形盒子的底面積為，得方程，解所列方程并檢驗(yàn)可得；任務(wù)：側(cè)面積有最大值，設(shè)剪掉的正方形邊長(zhǎng)為，盒子的側(cè)面積為，利用長(zhǎng)方形盒子的側(cè)面積為：得出即可；任務(wù)：由，，得，，連接，，過，分別作于，于，過作于，則即為矩形紙板的長(zhǎng)，，，得到，求出，，然后通過三角形相似即可得到結(jié)果．【詳解】解：任務(wù)：設(shè)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為，則，即，解得（不合題意，舍去），，答：剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為．任務(wù)：折成的無蓋長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積能否為；理由如下：設(shè)剪掉的小正方形的邊長(zhǎng)為，盒子的側(cè)面積為，則與的函數(shù)關(guān)系為：，即，即，∴時(shí)，．∴當(dāng)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為時(shí)，長(zhǎng)方形盒子的側(cè)面積最大為．任務(wù)：如圖，過，分別作于，于，于點(diǎn)，則即為矩形紙板的長(zhǎng)，即為矩形紙板的寬，

∴，∵，∴，∵，∴，，∴，,∴，，，∴，∵，∴,∴,∴，∴，∵，∴，∴∴矩形紙板的長(zhǎng)至少為，寬至少為．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等邊三角形的判定及性質(zhì)，解直角三角形，一元二次方程和二次函數(shù)的應(yīng)用，找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程和函數(shù)關(guān)系式以及構(gòu)造恰當(dāng)輔助線利用解直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．28．（2023下·江西南昌·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）圖1是屏幕投影儀投屏情景圖，圖2是其側(cè)面示意圖，投影光線、投影儀在同一直線上，且與三角支架中的在同一平面上，點(diǎn)位于屏幕的正中心，，，垂直于水平地面，支架點(diǎn)與水平地面的距離為30cm，若投影儀的尾端與支架點(diǎn)所在直線恰好平行于水平地面，測(cè)得，．

(1)求三角支架中的與地面的夾角．(2)求投影點(diǎn)與水平地面的距離．(3)若投影儀后移1m，要正常投影，（投影光線射向點(diǎn)）則投影儀的仰角須減小了多度？（參考數(shù)據(jù)：，，，，）【答案】(1)(2)(3)11度【分析】（1）如圖1，過作于，則，，，即，然后作答即可；（2）如圖2，延長(zhǎng)交于，則，四邊形是矩形，則，，由題意知，，則，，證明，則，即，解得，根據(jù)，計(jì)算求解即可；（3）由題意知，，則，當(dāng)投影儀后移1m，如圖3，則，，證明，則，即，解得，，即，根據(jù)，計(jì)算求解投影儀的仰角減小的度數(shù)即可．【詳解】（1）解：如圖1，過作于，則，，

∴，∴，∴三角支架中的與地面的夾角為．（2）解：如圖2，延長(zhǎng)交于，則，四邊形是矩形，則，，

由題意知，，∴，，∵，，∴，∴，即，解得，∴，∴投影點(diǎn)與水平地面的距離為．（3）解：由題意知，，∴，當(dāng)投影儀后移1m，如圖3，則，，

∵，，∴，∴，即，解得，∴，∴，∵，∴投影儀的仰角須減小11度．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正切，正弦，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．29．（2023·江西上饒·校聯(lián)考二模）火災(zāi)是最常見、最多發(fā)的威脅公眾安全和社會(huì)發(fā)展的主要災(zāi)害之一，消防車是消防救援的主要裝備．圖1是某種消防車云梯，圖2是其側(cè)面示意圖，點(diǎn)，，在同一直線上，可繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，為云梯的液壓桿，點(diǎn)，A，在同一水平線上，其中可伸縮，套管的長(zhǎng)度不變，在某種工作狀態(tài)下測(cè)得液壓桿，，．

(1)求的長(zhǎng)．(2)消防人員在云梯末端點(diǎn)高空作業(yè)時(shí)，將伸長(zhǎng)到最大長(zhǎng)度，云梯繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，消防人員發(fā)現(xiàn)鉛直高度升高了，求云梯旋轉(zhuǎn)了多少度．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】(1)(2)【分析】（1）構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）求出旋轉(zhuǎn)前點(diǎn)D的高度，進(jìn)而求出旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的高度，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出的大小即可解答．【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)B作于點(diǎn)E，在中，∴，在中，，，∵，∴．答：．

（2）解：如圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，過點(diǎn)作于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，在中，，∴，∴，在中，,∴，∴，∴，即云梯大約旋轉(zhuǎn)了．

【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提，構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．30．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）【問題背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如圖，即）．小軍測(cè)量某建筑物高度的方法如下：在地面點(diǎn)E處平放一面鏡子，經(jīng)調(diào)整自己位置后，在點(diǎn)D處恰好通過鏡子看到建筑物AB的頂端A．經(jīng)測(cè)得，小軍的眼睛離地面的距離，，，求建筑物AB的高度．

【活動(dòng)探究】觀察小軍的操作后，小明提出了一個(gè)測(cè)量廣告牌高度的做法（如圖）：他讓小軍站在點(diǎn)D處不動(dòng)，將鏡子移動(dòng)至處，小軍恰好通過鏡子看到廣告牌頂端G，測(cè)出；再將鏡子移動(dòng)至處，恰好通過鏡子看到廣告牌的底端A，測(cè)出．經(jīng)測(cè)得，小軍的眼睛離地面距離，，求這個(gè)廣告牌AG的高度．

【應(yīng)用拓展】小軍和小明討論后，發(fā)現(xiàn)用此方法也可測(cè)量出斜坡上信號(hào)塔AB的高度．他們給出了如下測(cè)量步驟（如圖）：①讓小軍站在斜坡的底端D處不動(dòng)（小軍眼睛離地面距離），小明通過移動(dòng)鏡子（鏡子平放在坡面上）位置至E處，讓小軍恰好能看到塔頂B；②測(cè)出；③測(cè)出坡長(zhǎng)；④測(cè)出坡比為（即）．通過他們給出的方案，請(qǐng)你算出信號(hào)塔AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)）．

【答案】[問題背景]；[活動(dòng)探究]；[應(yīng)用拓展]【分析】[問題背景]根據(jù)反射定理，結(jié)合兩個(gè)三角形相似的判定與性質(zhì)，列出相似比代值求解即可得到答案；[活動(dòng)探究]根據(jù)反射定理，結(jié)合兩個(gè)三角形相似的判定與性質(zhì)，運(yùn)用兩次三角形相似，列出相似比代值，作差求解即可得到答案；[應(yīng)用拓展]過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，證，得，再由銳角三角函數(shù)定義得，設(shè)，，則，，進(jìn)而由勾股定理求出，然后由相似三角形的性質(zhì)得，即可解決問題．【詳解】解：[問題背景]如圖所示：

，，，，，，，，，解得；[活動(dòng)探究]如圖所示：

，，，，，，，，，解得；，，，，，，，，，解得；；[應(yīng)用拓展]如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由題意得：，，，，，即，，，，，即，，，，由題意得：，，，，設(shè)，，則，，，，解得：（負(fù)值已舍去），，，，，同【問題背景】得：，，，解得：，，答：信號(hào)塔的高度約為．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形綜合，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)求線段長(zhǎng)、勾股定理等知識(shí)，讀懂題意，熟練掌握相似三角形測(cè)高、三角函數(shù)測(cè)高的方法步驟是解決問題的關(guān)鍵．31．（2023·河南周口·?？既＃┤鐖D是一個(gè)傾斜角為的斜坡的截面示意圖．已知斜坡頂端到地面的距離為．為了對(duì)這個(gè)斜坡上的綠植進(jìn)行噴灌，在斜坡底端處安裝了一個(gè)噴頭，噴頭到地面的距離為，水珠在距噴頭水平距離處達(dá)到最高，噴出的水珠可以看作拋物線的一部分．建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)拋物線的表達(dá)式為，其中噴出水珠的豎直高度為（單位：）（水珠的豎直高度是指水珠到水平地面的距離），水珠與的水平距離為（單位：）．

(1)求拋物線的表達(dá)式．(2)斜坡正中間有一棵高的樹苗，通過計(jì)算判斷從噴頭噴出的水珠能否越過這棵樹苗．(3)若有一個(gè)身高為的小朋友經(jīng)過此斜坡，想要不被淋濕衣服，他到噴頭的水平距離應(yīng)在什么范圍內(nèi)？【答案】(1)(2)從噴頭噴出的水珠能越過這棵樹苗(3)【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系得到，再由二次函數(shù)對(duì)稱軸公式得到，然后再利用待定系數(shù)法即可解得；（2）通過比較樹苗的最高點(diǎn)與相應(yīng)位置的拋物線函數(shù)值大小關(guān)系即可判斷結(jié)果；（3）利用表示出對(duì)應(yīng)函數(shù)值和小朋友高度值，根據(jù)題意列出不等式求解即可；【詳解】（1）解：由題意可知，，則點(diǎn)D坐標(biāo)為，，，將點(diǎn)坐標(biāo)代入得，則將點(diǎn)坐標(biāo)代入得解得，則，拋物線的表達(dá)式為；（2）解：如圖過中點(diǎn)作垂線交于點(diǎn)，則，，

將代入得，，從噴頭噴出的水珠能越過這棵樹苗；（3）解：如圖過上一點(diǎn)作垂線交于點(diǎn)，

設(shè)，則，，由題意可得化簡(jiǎn)得，因式分解得，解得，．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，將二次函數(shù)與三角函數(shù)相結(jié)合解決實(shí)際問題，列解二次不等式等知識(shí)，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)，并根據(jù)題意解決實(shí)際問題是解題關(guān)鍵．32．（2023·河南周口·?？既＃┼嵵莶┪镳^（新館）位于鄭州奧體中心附近，周邊有鄭州大劇院，鄭州植物園等，其主展館以鄭州出土的商代青銅方鼎為造型基礎(chǔ)，整體建筑風(fēng)格取鼎器粗獷與精美相統(tǒng)一的神韻，讓人嘆為觀止．某校數(shù)學(xué)小組的同學(xué)們使用卷尺和自制的測(cè)角儀測(cè)量鄭州博物館（新館）的高度，如圖，他們?cè)贑處測(cè)得頂端A的仰角為，沿方向前進(jìn)17m到達(dá)D處，又測(cè)得頂端A的仰角為．已知測(cè)角儀的高度為1.5m，測(cè)量點(diǎn)C，D與鄭州博物館（新館）的底部B在同一水平線上，求鄭州博物館（新館）的高度．（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：，，）

【答案】61.5m【分析】先延長(zhǎng)，交于點(diǎn)G，再設(shè)的長(zhǎng)為x，最后表示出，,最后用正切定義列出方程即可求出的長(zhǎng)，再求和即可得到的長(zhǎng)．【詳解】如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)G

設(shè)∵,∴∴∵,∴∴∴（此時(shí)分母不為0）∵,,∴四邊形是矩形∴∴故鄭州博物館（新館）的高度為61.5m．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，正切的定義，列解分式方程，關(guān)鍵是在直角三角形中，找到邊與邊之間的關(guān)系，并能正確運(yùn)算．33．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）閱讀下列材料，回答問題任務(wù)：測(cè)量一個(gè)扁平狀的小水池的最大寬度，該水池東西走向的最大寬度遠(yuǎn)大于南北走向的最大寬度，如圖1．工具：一把皮尺（測(cè)量長(zhǎng)度略小于）和一臺(tái)測(cè)角儀，如圖2．皮尺的功能是直接測(cè)量任意可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離（這兩點(diǎn)間的距離不大于皮尺的測(cè)量長(zhǎng)度）；測(cè)角儀的功能是測(cè)量角的大小，即在任一點(diǎn)處，對(duì)其視線可及的，兩點(diǎn)，可測(cè)得的大小，如圖3．

小明利用皮尺測(cè)量，求出了小水池的最大寬度，其測(cè)量及求解過程如下：測(cè)量過程：（?。┰谛∷赝膺x點(diǎn)，如圖4，測(cè)得，；（ⅱ）分別在，，上測(cè)得，；測(cè)得．求解過程：由測(cè)量知，，，，，∴，又∵①___________，∴，∴．又∵，∴②___________．故小水池的最大寬度為___________．(1)補(bǔ)全小明求解過程中①②所缺的內(nèi)容；(2)小明求得用到的幾何知識(shí)是___________；(3)小明僅利用皮尺，通過5次測(cè)量，求得．請(qǐng)你同時(shí)利用皮尺和測(cè)角儀，通過測(cè)量長(zhǎng)度、角度等幾何量，并利用解直角三角形的知識(shí)求小水池的最大寬度，寫出你的測(cè)量及求解過程．要求：測(cè)量得到的長(zhǎng)度用字母，，表示，角度用，，表示；測(cè)量次數(shù)不超過4次（測(cè)量的幾何量能求出，且測(cè)量的次數(shù)最少，才能得滿分）．【答案】(1)①；②(2)相似三角形的判定與性質(zhì)(3)最大寬度為，見解析【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行回答即可；（3）測(cè)量過程：在小水池外選點(diǎn)，用測(cè)角儀在點(diǎn)處測(cè)得，在點(diǎn)處測(cè)得；用皮尺測(cè)得；求解過程：過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義推得，，，根據(jù)，即可求得．【詳解】（1）∵，，，，∴，又∵，∴，∴．又∵，∴．故小水池的最大寬度為．（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求得，故答案為：相似三角形的判定與性質(zhì)．（3）測(cè)量過程：（?。┰谛∷赝膺x點(diǎn)，如圖，用測(cè)角儀在點(diǎn)處測(cè)得，在點(diǎn)處測(cè)得；

（ⅱ）用皮尺測(cè)得．求解過程：由測(cè)量知，在中，，，．過點(diǎn)作，垂足為．在中，，即，所以．同理，