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微分方程—積分問題—微分方程問題推廣

微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例例1一曲線通過點(diǎn)(1,3),在該曲線上任意點(diǎn)處的解:設(shè)所求曲線方程為y=y(x),則有如下關(guān)系式:①(C為任意常數(shù))由②得C=1,因此所求曲線方程為②由①得切線斜率為2x,求該曲線的方程.一、微分方程概念的引例一個(gè)物體以初速度垂直上拋，設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)解:因?yàn)槲矬w運(yùn)動(dòng)的加速度是路程對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)，故由牛頓第二定律得兩邊積分得再一次積分得因此所求函數(shù)關(guān)系為即只受重力影響.試確定該物體運(yùn)動(dòng)的路程s與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系.即例2若物體開始上拋時(shí)的路程為代入得含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫做微分方程.如二、微分方程的概念(n階顯式微分方程)一般地,n階常微分方程的形式是或方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分定義1

未知函數(shù)為一元函數(shù)的方程叫做常微分方程.

定義2方程的階—使方程成為恒等式的函數(shù).通解—解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程確定通解中任意常數(shù)的條件叫初始條件.n階方程的初始條件(或初值條件):的階數(shù)相同.引例通解:特解:微分方程的解定義3定義4確定了任意常數(shù)的解叫做微分方程的特解.例3(1)驗(yàn)證函數(shù)是微分方程的通解.的特解.解:(1)特解(2)求(1)中滿足初始條件

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