2024-2025學(xué)年大同高三上期中考試數(shù)學(xué)試卷解析

2024-2025學(xué)年大同中學(xué)高三第一學(xué)期期中考試試卷一、填空題1.設(shè)集合A=x∣x2?3x+2≤0【答案】已知i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z滿足a+i?z=2i?z,若復(fù)數(shù)z【答案】經(jīng)過點(diǎn)(1,2)且法向量為(1,2)的直線方程為_____.【答案】二項(xiàng)式x2+【答案】設(shè)a∈R,若拋物線y=x2【答案】設(shè)a,b∈R,函數(shù)fx=asinx【答案】7.今年國際國內(nèi)金價(jià)屢創(chuàng)新高,金價(jià)波動(dòng)也被金融媒體競(jìng)相報(bào)道.現(xiàn)抽取2024年前11個(gè)月的每月I日的實(shí)物黃金價(jià)格數(shù)據(jù)如下表所示,則這組黃金價(jià)格數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是_____月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月黃金價(jià)格(元/克)624616630691708716714737743768815【答案】8.圓錐的頂點(diǎn)為P,將該圓錐的側(cè)面沿母線PA剪開并展平得到一個(gè)圓心角為32π,半徑為【答案】9銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)成等差數(shù)列,則其最大邊長(zhǎng)與最小邊長(zhǎng)比值的取值范圍是____.【答案】設(shè)x,y∈R,滿足x?【答案】已知數(shù)列ann≤9各項(xiàng)均為正整數(shù),對(duì)任意的k∈N2≤k≤8,ak=ak?1+1和ak=ak+1?1中有且僅有一個(gè)成立,且【答案】如圖所示,正八面體ABCDEF的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)P為正八面體ABCDEF內(nèi)(含表面)的動(dòng)點(diǎn),BF?PA+PB+PC+PD【答案】二、選擇題13.在△ABC中,AB?AC<0是A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分又非必要條件【答案】14.已知事件A和B相互獨(dú)立,且PA=25,A.211B.311C.12【答案】15.已知函數(shù)fx=x2,0<x<1,2x,xA.0,22B.0,【答案】16.已知數(shù)列an為無窮數(shù)列.若存在正整數(shù)l,使得對(duì)任意的正整數(shù)n,均有an+l≤an,則稱數(shù)列①數(shù)列bn為無窮數(shù)列且bn=cosn?π8n(n為正整數(shù)),則l≥5②數(shù)列cn為無窮數(shù)列且cn=1?nn?5+an?5?a+1?nA.①是真命題.②是假命題B.①是假命題,②是真命題C.①、②都是真命題D.①、②都是假命題【答案】三、解答題17.(本題滿分14分)(本題共有2個(gè)小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分)已知鈍角α,滿足3sin(1)求cot32(2)求函數(shù)y=sinx【答案】(2)∵a∴∴∵sin?x在[0,]上單調(diào)遞增,cos?x在[0,]上單調(diào)遞減

∴當(dāng)x=0時(shí),y有最大值y=

當(dāng)x=時(shí),y有最小值18.(本題滿分14分)(本題共有2個(gè)小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分)如圖所示四棱錐P?ABCD,其中AB=AD=AP=5,(1)求證:AC⊥平面PBD(2)若AC=5,PB=22,點(diǎn)Q是線段PC的中點(diǎn),求直線BQ【答案】(1)證明：因?yàn)锳B=AD,CB=CD,

所以A,C均在BD的垂直平分線上,所以AC⊥BD,BO=OD,

圖為AB=AP,BC=PC,AC=AC,

所以△ABC?APC,

圖為BO⊥AC,所以PO⊥AC,以O(shè)為原點(diǎn),OB,OC所在直線分別為x,y軸,過點(diǎn)O垂直于底面因?yàn)锳B=2,BC=4,AC=25,

所以AB2+BC2=AC2,所以∠ABC=90°,

從而由等面積法,可知BO=825=455,由勾股定理,可知AO=4?165=255,

由(1)可知BO=OD=OP,所以O(shè)D=OP=455,

由(1)可知PO⊥AC,BO⊥AC,而平面ABC∩平面APC=AC,OB?平面ABC,OP?=所以直線PB與平面PAD所成角的正弦值為1219.(本題滿分14分)(本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分4分,第2、3小題滿分各5分)為促進(jìn)服務(wù)消費(fèi),國慶長(zhǎng)假期間上海發(fā)放“樂·上?！狈?wù)消費(fèi)者.某商場(chǎng)還同步開展一項(xiàng)促銷活動(dòng),凡在商場(chǎng)消費(fèi)金額滿200元的顧客可以免費(fèi)抽獎(jiǎng)一次,抽獎(jiǎng)規(guī)則如下:在不透明箱子中裝有除顏色外其他都相同的10個(gè)小球,其中,紅球2個(gè),白球3個(gè),黃球5個(gè),顧客從箱子中依次不放回地摸出2個(gè)球,根據(jù)摸出球的顏色情況分別進(jìn)行兌獎(jiǎng).將顧客摸出的2個(gè)球的顏色分成以下四種情況:A:1個(gè)紅球1個(gè)白球,B:2個(gè)紅球,C:2個(gè)白球,D:至少一個(gè)黃球.若四種情況按發(fā)生的概率從小到大的順序分別對(duì)應(yīng)一等獎(jiǎng),二等獎(jiǎng),三等獎(jiǎng),(l)求顧客在某次抽獎(jiǎng)中,第二個(gè)球摸到為紅球的概率；(2)求顧客分別獲一、二、三等獎(jiǎng)時(shí)對(duì)應(yīng)的概率；(3)若三名顧客每人抽獎(jiǎng)一次,且彼此是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立.記中獎(jiǎng)的人數(shù)為X,求X的分布列和期望.【答案】(1)設(shè)顧客第i次摸到紅球?yàn)镋i(i=1,2)，

則PEP因此，顧客分別獲一、二、三等獎(jiǎng)的概率分別為145、115、215;

（3）由（2）可知，顧客抽獎(jiǎng)一次獲獎(jiǎng)的概率為P=145+X0123P343294848數(shù)學(xué)期望E(20.(本題滿分18分)(本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分8分).設(shè)a∈R,(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y(2)當(dāng)a=?12時(shí),求函數(shù)(3)設(shè)函數(shù)y=fx的定義域?yàn)镈,若fx≥2x+3對(duì)任意的【答案】解:(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=ln?(x?1)+x2?1x?1=ln?(x?1)+x+1,求導(dǎo)f′(x)=1x?1+1,f′(2)=2,由切線過點(diǎn)(2,3),所以切線方程為y?3=2(x?2),即2x?y由題意，ln?(x?1)+ax2?1x?1?2x+3對(duì)任意的x∈(1,+∞)成立。

當(dāng)x=2時(shí),f(2)=4a?1?4+3必成立,故a?2.

令?(x)=ln?(x?1)+ax2?1x21.(本題滿分18分)(本題共有3個(gè)小題,第1、2小題滿分各5分,第3小題滿分8分).已知橢圓Γ:x24+y23=1的左、右、下頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B、T(1)點(diǎn)Q且斜率為1的直線與橢圓Γ相交于E、F兩點(diǎn),求線段EF的長(zhǎng)；(2)求△PQT(3)過點(diǎn)Q的直線與橢圓Γ交于C、D兩點(diǎn)(異于點(diǎn)A、B),試探究直線AC、BD的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否為定值？若是,求出該定值；若不是,說明理由.【答案】解:(1)由x24+y23=1y=x?1,解得x1=4+62設(shè)點(diǎn)P(2cos?θ,3sin?θ).

點(diǎn)P到直線3x?y?3=0的距離d=|3×2cos?θ?3si