數(shù)電-第一章-數(shù)字邏輯概論

電子技術基礎數(shù)字部分主講：周旭欣第一章數(shù)字邏輯概論本章重點內(nèi)容：1、二進制數(shù)、十六進制數(shù)及其與十進制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換；2、二進制數(shù)的算術運算；3、原碼、反碼與補碼；4、二進制編碼；5、幾種基本邏輯運算；6、邏輯函數(shù)的表示方法。1.1數(shù)制表示數(shù)時，僅用一位數(shù)碼往往不夠用，必須用進位計數(shù)的方法組成多位數(shù)碼。多位數(shù)碼每一位的構成以及從低位到高位的進位規(guī)則稱為進位計數(shù)制，簡稱數(shù)制。對于一個n位整數(shù)和m位小數(shù)組成的任意進制（簡稱R進制）數(shù)N，可以用位置計數(shù)法或多項式法表示。位置計數(shù)法表示為：（N）R＝（Kn-1Kn-2‥‥K1K0K-1K-2‥‥K-m)R多項式法表示為：（N）R=（N）R=式中：R為基數(shù)；Ri為權數(shù)Ki為0～R－1中的任意一個字符；n為整數(shù)部分位數(shù)，m為小數(shù)部分的位數(shù)?；鶖?shù)：進位制的基數(shù)，就是在該進位制中可能用到的數(shù)碼個數(shù)。位權（位的權數(shù)）：在某一進位制的數(shù)中，每一位的大小都對應著該位上的數(shù)碼乘上一個固定的數(shù)，這個固定的數(shù)就是這一位的權數(shù)。權數(shù)是一個冪。

一、十進制數(shù)碼為：0～9；基數(shù)是10。用字母D表示。運算規(guī)律：逢十進一，即：9＋1＝10。十進制數(shù)的權展開式：D＝∑ki×10i例如：(143.75)D=1×102+4×101+3×100+7×10-1+5×10-2

若在數(shù)字電路中采用十進制必須要有十個電路狀態(tài)與十個計數(shù)碼相對應。將在技術上帶來許多困難，很不經(jīng)濟。各數(shù)位的權是２的冪二、二進制數(shù)碼為：0、1；基數(shù)是2。用字母B表示。運算規(guī)律：逢二進一，即：1＋1＝10。

二進制數(shù)的權展開式：D＝∑ki×2i例如：（101.11）B＝1×22

＋0×21＋1×20＋1×2－1＋1×2－2

＝（5.75）D

三、八進制數(shù)碼為：0～7；基數(shù)是8。用字母O表示。運算規(guī)律：逢八進一，即：7＋1＝10。八進制數(shù)的權展開式：D＝∑ki×8i例如：（207.04）O＝

2×82

＋0×81＋7×80＋0×8－1＋4×8－2

＝(135.0625)D各數(shù)位的權是8的冪四、十六進制數(shù)碼為：0～9、A～F；基數(shù)是16。用字母H來表示。運算規(guī)律：逢十六進一，即：F＋1＝10。十六進制數(shù)的權展開式：D＝∑ki×16i例如：(2A.7F)H＝

2×161＋10×160＋7×16－1＋15×16－2＝(42.4960937)D各位數(shù)的權是16的冪1.2不同數(shù)制間的轉(zhuǎn)換對于同一個數(shù)，可以采用不同的數(shù)制表示，并且它們之間可以相互轉(zhuǎn)換。采用的方法有：1、多項式替代法：此方法用于任意進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)。即根據(jù)式（N）R=將任意進制數(shù)按權展開。

2、基數(shù)乘除法：該方法用于將十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為任意進制數(shù)。整數(shù)部分用基數(shù)除法，小數(shù)部分用基數(shù)乘法。3、直接轉(zhuǎn)換法：

該方法用于二進制與八進制或十六進制之間的轉(zhuǎn)換。具體為：首先將二進制分組，整數(shù)從低位到高位，小數(shù)從高位到低位，每三位二進制數(shù)對應一位八進制數(shù)；每四位二進制數(shù)對應一位十六進制數(shù)，分組不夠進，整數(shù)在高位補0，小數(shù)在低位補0。一、二十進制之間轉(zhuǎn)換二進制轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)的基本方法是多項式替代法，對給定的二進制數(shù)按權展開求和，即可得到十進制數(shù)。ForExample:（1011.01）2

＝1×23

＋0×22

＋1×21＋1×20＋0×2－1＋1×2－2

＝（11.25）10二、十二進制之間轉(zhuǎn)換十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)的基本方法是基數(shù)乘除法。具體方法：將整數(shù)部分和小數(shù)部分分別進行轉(zhuǎn)換。小數(shù)部分---基數(shù)連乘取整。

整數(shù)部分---基數(shù)連除取余。ForExample:

（44.375）D=（？）B整數(shù)部分:基數(shù)連除，取余數(shù)自下而上。小數(shù)部分:基數(shù)連乘，取整數(shù)自上而下。注意：當用基數(shù)乘法對十進制小數(shù)進行轉(zhuǎn)換時，可能出現(xiàn)有限位數(shù)的二進制小數(shù)不能完全表示十進制小數(shù)，則需要根據(jù)轉(zhuǎn)換誤差確定二進制小數(shù)的位數(shù)。Forexample:

將（0.718）D轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)，要求轉(zhuǎn)換誤差小于1％。解：二進制小數(shù)部分的位數(shù)為m，要求2－m≤1％，可求出

m≥＝6.64，所以取m＝7，采用基數(shù)乘法得

（0.718）D＝（0.1011011）B校核轉(zhuǎn)換誤差：（0.1011011）B=（0.7109）D

ε＝0.718－0.7109＝0.71％符合要求。三、二→十六進制之間轉(zhuǎn)換二進制數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進制數(shù)可以采用直接轉(zhuǎn)換法。即：將二進制數(shù)由小數(shù)點開始，整數(shù)部分向左,小數(shù)部分向右，每4位分成一組，不夠4位補零，則每組二進制數(shù)便是一位十六進制數(shù)。

Forexample:

（

1011110.1011001）2＝（5E.B2）1600四、十六→

二進制之間轉(zhuǎn)換方法：將每位十六進制數(shù)用4位二進制數(shù)表示。（8FA.C6）16=（1000

11111010.11000110）2五、二—八進制之間轉(zhuǎn)換方法：按照每三位二進制數(shù)對應于一位八進制數(shù)進行轉(zhuǎn)換。1、二→八進制的轉(zhuǎn)換（1101010.01

）2000＝（152.

2）82、八→二進制轉(zhuǎn)換（374.26）8＝（011111100.010110）2六、十—十六進制之間的轉(zhuǎn)換將十六進制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)時，按權展開再相加即可。將十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成十六進制數(shù)時，可先轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)，再將得到的二進制數(shù)轉(zhuǎn)換成等值的十六進制數(shù)。進位，表示兩個1相加“逢二進一”1.2二進制數(shù)的算術運算在數(shù)字電路中，0和1既可以表示邏輯狀態(tài)，又可以表示數(shù)量大小。當表示數(shù)量時，兩個二進制數(shù)可以進行算術運算。A、無符號二進制數(shù)的算術運算

1、二進制加法規(guī)則：0+0=0，0+1=1，1+1=10Forexample:1001+0101=？

1001＋01011110借位表示向高位借12、二進制減法

規(guī)則：0－0=0；1－1=0；1－0=1；0－1=11Forexample:1001－0101=？注：無符號數(shù)無法表示負數(shù)，所以要求被減數(shù)一定大于減數(shù)。3、乘法和除法運算乘法運算是左移被乘數(shù)與加法運算組成。

規(guī)則：0×0＝0；0×1＝1×0＝0；1×1＝1

1001－01010100除法運算是右移被除數(shù)與減法運算的組合。規(guī)則：

0÷1＝01÷1＝1Forexample:1001×0101=?1001÷0101=?

1001

×01011001000010010000

0101101

0101010110000101011001010010

1.11…B、帶符號二進制數(shù)的減法運算

在定點運算的情況下，二進制數(shù)的最高位（即最左邊的位）表示符號位，用0表示正數(shù)，用1表示負數(shù)。其余部分為數(shù)值位。（+11）D=（01011）B

（－11）D=（11011）B1、幾個基本概念

原碼：在二進制數(shù)的前面增加1位符號位，0表示正，1表示負，所得到的二進制碼稱為原碼。

反碼：正數(shù)的反碼就是原碼，負數(shù)的反碼在原碼的數(shù)值位上取反即可得到反碼。

補碼：正數(shù)的補碼就是原碼，負數(shù)的反碼在反碼的基礎上加1即可得到補碼。2、二進制數(shù)的補碼表示在數(shù)字電路中，常將負數(shù)用補碼表示，便于把減法運算變成加法運算。基數(shù)為R，位數(shù)為n的原碼N，其補碼為：

（N）補=Rn－N具體方法：

a、補碼或反碼的最高位為符號位。

b、當二進制數(shù)為正數(shù)時，補碼、反碼與原碼相同。

c、當二進制數(shù)為負數(shù)時，將原碼的數(shù)值位逐位求反，再在最低位加1得到補碼。Forexample:分別計算A=+5和B=－5的四位二進制的原碼、反碼和補碼。解：（A）原=0101（A）反=0101（A）補=0101（B）原=1101（B）補=1011（B）反=1010注：對于n位帶符號的二進制數(shù)的原碼、反碼、和補碼的數(shù)值范圍為：原碼：－（2n-1－1）~+（2n-1－1）反碼：－（2n-1－1）~+（2n-1－1）補碼：－2n-1~+（2n-1－1）3、二進制補碼的減法運算在進行二進制補碼的加法運算的時候，必須要注意被加數(shù)與加數(shù)補碼的位數(shù)要相等，即讓兩個二進制數(shù)補碼的符號位對齊。通常兩個二進制數(shù)的補碼采用相同的位數(shù)表示。

注意：補碼相加得到的結(jié)果仍是補碼，若要得到原碼，需要對結(jié)果再次求補。Forexample:計算（1001）2－（0101）2=？自動丟棄

1001－01010100

補碼

補碼

01001＋11011

1

00100減法變加法自動丟棄4、溢出

溢出是指兩個補碼相加后，得到錯誤的結(jié)果。

Forexample:用四位二進制補碼計算－3－6＝？解：（－3－6）補＝（－3）補＋（－6）補＝1101＋1010

＝0111

再將0111再次求補碼，得到結(jié)果是0111（＋7），而正確結(jié)果應是－9。原因：四位二進制補碼中有三位是數(shù)值位，范圍是－8～＋7，－9超出了此范圍。1101

＋1010

101115、溢出的判別兩個符號相反的數(shù)相加不會產(chǎn)生溢出，但兩個符號相同的數(shù)相加有可能產(chǎn)生溢出。

判別的方法：當進位位與和數(shù)的符號位相反時，則運算結(jié)果是錯誤的，產(chǎn)生溢出。

解決方法：將數(shù)值位的擴大。1.3碼制數(shù)字系統(tǒng)中的信息可分為兩類:數(shù)值與文字符號。為表示文字符號信息，往往采用一定位數(shù)的二進制數(shù)碼表示，這個特定的二進制碼稱為代碼，代碼與十進制數(shù)值、字母、符號的一一對應的關系稱為編碼。若所需編碼的信息有N項，則需要用的二進制數(shù)碼的位數(shù)n應滿足如下關系：

2n≥NA、BCD碼（二—十進制碼）（BinaryCodedDecimal）常用的BCD碼有8421碼、2421碼、5421碼、余3碼和余3循環(huán)碼。它們都是用4位二進制代碼表示1位十進制數(shù)。8421碼：

用四位自然二進制碼中的前十個碼字來表示十進制數(shù)碼，因各位的權值依次為8、4、2、1，故稱8421BCD碼。2421碼和5421碼：它們的權值分別為2、4、2、1和5、4、2、1，它們與8421碼都是有權碼，與十進制數(shù)之間的關系均可表示為：（N）D=W3b3+W2b2+W1b1+W0b0余3碼和余3循環(huán)碼均為無權碼，它的每一位沒有一定的權值，不能用上式來表示其編碼關系。余3碼由8421碼加0011得到。B、格雷碼格雷碼是一種常見的無權碼，是一種循環(huán)碼，其特點是任何相鄰的兩個碼字，僅有一位代碼不同，其它位相同。C、ASCII碼（AmericanStandardCodeforInformationInterchange，美國信息交換標準代碼）它是用七位二進制碼表示128個十進制數(shù)、英文大小字母、控制符、運算符以及特殊符號。如圖：P28表1.4.31.4二值邏輯變量與基本邏輯運算A、概述

1、邏輯與邏輯運算

邏輯：事物間的因果關系。邏輯運算：邏輯狀態(tài)按照指定的某種因果關系進行推理的過程。

2.邏輯代數(shù)與邏輯狀態(tài)邏輯代數(shù)：是描述客觀事物邏輯關系的數(shù)學方法，是進行邏輯分析與綜合的數(shù)學工具。因為它是英國數(shù)學家喬治·布爾(GeorgeBoole)于1847年提出的，所以又稱為布爾代數(shù)。邏輯狀態(tài)：事物之間相互關聯(lián)又相互對立的兩種狀態(tài)。如：高與低、通與斷、真與假等。3、二值邏輯變量一個事物的發(fā)生具有完全對立的兩種可能，則可將其定義為一個邏輯變量。邏輯變量的取值范圍僅為“0”和“1”，且無大小、正負之分。

所以這里的0和1并不表示數(shù)量而是表示邏輯狀態(tài)。

B、三種基本邏輯運算

1、與運算（AND）開關A開關B燈Y斷開斷開滅斷開閉合滅閉合斷開滅閉合閉合亮串聯(lián)開關電路功能表

當決定某一事件的全部條件都具備時，該事件才會發(fā)生，這樣的因果關系稱為與邏輯。

設定邏輯變量并狀態(tài)賦值：邏輯變量：A和B，對應兩個開關的狀態(tài)。

1－閉合，0－斷開；邏輯函數(shù)：Y，對應燈的狀態(tài)，1－燈亮，0－燈滅。ABY000010100111與邏輯的真值表

描述邏輯關系的圖表稱為真值表與邏輯表達式

Y=A·B（邏輯乘）與邏輯圖形符號在不混淆的情況下，“·”可省略，即Y=AB能實現(xiàn)與運算的邏輯電路稱為與門2、或運算（OR）開關A開關B燈Y斷開斷開滅斷開閉合亮閉合斷開亮閉合閉合亮并聯(lián)開關電路功能表當決定某一事件的所有條件中，只要有一個具備，該事件就會發(fā)生，這樣的因果關系叫做或邏輯。設定邏輯變量并狀態(tài)賦值：邏輯變量：A和B，對應兩個開關的狀態(tài)。

1－閉合，0－斷開；邏輯函數(shù)：Y，對應燈的狀態(tài)，1－燈亮，0－燈滅。ABY000011101111或邏輯的真值表或邏輯表達式

Y=A+B（邏輯加）ABY或邏輯圖形符號能實現(xiàn)或運算的邏輯電路稱為或門3、非運算（NOT）電路功能表開關A燈Y斷開亮閉合滅當某一條件具備了，事情不會發(fā)生；而此條件不具備時，事情反而發(fā)生。這種邏輯關系稱為非邏輯或邏輯非。設定邏輯變量并狀態(tài)賦值：邏輯變量：A和B，對應兩個開關的狀態(tài)。

1－閉合，0－斷開；邏輯函數(shù)：Y，對應燈的狀態(tài)，1－燈亮，0－燈滅。非邏輯的真值表AY0110非邏輯表達式

Y=A=A’（邏輯非）非邏輯圖形符號AY能實現(xiàn)非運算的邏輯電路稱為非門或反相器C、幾種常用邏輯運算1、與非運算ABL001101011110真值表&ABL2、或非運算真值表ABL001101011000ABL≥13、異或運算ABL001101010110真值表BAL=14、同或運算ABL001101011001真值表BAL=1.5邏輯函數(shù)及其表示方法定義：描述輸入變量和輸出變量之間的因果關系稱為邏輯函數(shù)。

L=F（A，B，C，…）

表示方法：

1、真值表

2、邏輯函數(shù)表達式