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文檔簡介

第二類曲面積分

10.5.1第二類曲面積分的概念與性質(zhì)

10.5.2第二類曲面積分的計算10.5.1第二類曲面積分的概念與性質(zhì)

(1)曲面分類雙側(cè)曲面單側(cè)曲面莫比烏斯帶曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)(單側(cè)曲面的典型)1.曲面的側(cè)其方向用法向量指向表示方向余弦<0為后側(cè)封閉曲面<0為左側(cè)>0為上側(cè)<0為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)(3)設(shè)

為有向曲面,側(cè)的規(guī)定

(2)指定了側(cè)的曲面叫有向曲面,其面元在xOy面上的投影記為的面積為則規(guī)定類似地回顧>0為前側(cè)>0為右側(cè)2.流向曲面一側(cè)的流量求單位時間內(nèi)流過有向曲面

的流量

.分析:則流量單位法向量:

流速為常向量:

設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體(密度為1)的速度場為若

是面積為A

的平面,對一般的有向曲面

,采用分割近似求和取極限的方法

穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場,則3.定義:設(shè)

為光滑曲面,總存在,x、y的曲面積分.R(x,y,z)叫做被積函數(shù)，類似地R(x,y,z)在

上有界，記作則稱此極限為函數(shù)R(x,y,z)在曲面

上對坐標

叫做積分曲面.分成n小塊（同時表示第i個小曲面的面積）.

把∑任意是上任意取定的一點.如果在xoy面的投影為(2)引例中,流過有向曲面

的流體的流量為4.第二類曲面積分的

性質(zhì)統(tǒng)稱為第二類曲面積分.注：表示與∑方向相反的曲面10.5.2第二類曲面積分的計算(1)設(shè)光滑有向曲面取上側(cè)取下側(cè)(2)若則(前正后負)(3)若則(右正左負)則解:例10.5.1計算曲面積分其中

為球面外側(cè)在x≥0,y≥0的部分.取上側(cè)取下側(cè)把

分為上下兩部分例10.5.2

計算其中是由平面及三個坐標平面所圍四面體的外側(cè).解：由以下四部分組成：取下側(cè)；取左側(cè)；取后側(cè)；取上側(cè)．在在在所以例10.5.3

計算

是長方體整個表面的外側(cè).解:

取上側(cè)取下側(cè)取前側(cè)取后側(cè)取右側(cè)取左側(cè)類似地原式=例10.5.4計算曲面積分其中

是錐面及平面圍成立體的表面外側(cè).解:取上側(cè)取下側(cè)取下側(cè)例10.5.5計算其中

是圓柱面介于平面之間部分的外側(cè).解：內(nèi)容小結(jié)定義:1.兩類曲面積分及其聯(lián)系

性質(zhì):聯(lián)系:2.常用計算公式及方法面積分第一類(對面積)第二類(對坐標)二重積分轉(zhuǎn)化(1)統(tǒng)一積分變量代入曲面方程(方程不同時分片積分)(2)積分元素投影第一類：面積投影第二類：有向投影(3)確定積分域把曲

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