1.4 充分條件與必要條件（教材完美復(fù)刻）課件 人教A版2019版必修一 原創(chuàng)

第一章集合與常用邏輯用語

高中數(shù)學(xué)/人教A版/必修一1.4充分條件與必要條件

在初中，我們已經(jīng)對命題有了初步的認(rèn)識．一般地，我們把語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．判斷為真的語句是真命題，判斷為假的語句是假命題．中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多命題可以寫成“若p，則q”“如果p，那么q”等形式．其中p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論．本節(jié)主要討論這種形式的命題．下面我們將進(jìn)一步考查“若p，則q”形式的命題中p和q的關(guān)系，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的三個(gè)常用的邏輯用語—充分條件、必要條件和充要條件．1.4.1充分條件與必要條件在命題（1）（4）中，由條件p通過推理可以得出結(jié)論q，所以它們是真命題．在命題（2）（3）中，由條件p不能得出結(jié)論q，所以它們是假命題．上述命題（1）（4）中的p是q的充分條件，q是p的必要條件．而命題（2）（3）中的p不是q的充分條件，q不是p的必要條件．充分條件：有它就行必要條件：沒它不行

[圖1]

例：AC開關(guān)A閉合是燈泡亮的什么條件？

[圖2]AC[圖3]

A例：開關(guān)A閉合是燈泡亮的什么條件？判斷（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）××√×方法規(guī)律：充分條件，必要條件的兩種判別方法思考例1中命題（1）給出了“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)充分條件，即“四邊形的兩組對角分別相等”．這樣的充分條件唯一嗎？如果不唯一，那么你能再給出幾個(gè)不同的充分條件嗎？我們說p是q的充分條件，是指由條件p可以推出結(jié)論q，但這并不意味著只能由這個(gè)條件p才能推出結(jié)論q．一般來說，對給定結(jié)論q，使得q成立的條件p是不唯一的．例如，我們知道，下列命題均為真命題：①若四邊形的兩組對邊分別相等，則這個(gè)四邊形是平行四邊形；②若四邊形的一組對邊平行且相等，則這個(gè)四邊形是平行四邊形；③若四邊形的兩條對角線互相平分，則這個(gè)四邊形是平行四邊形．所以，“四邊形的兩組對邊分別相等”“四邊形的一組對邊平行且相等”“四邊形的兩條對角線互相平分”都是“四邊形是平行四邊形”的充分條件．事實(shí)上，例1中命題（1）及上述命題①②③均是平行四邊形的判定定理．所以，平行四邊形的每一條判定定理都給出了“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)充分條件，即這個(gè)條件能充分保證四邊形是平行四邊形．類似地，平行線的每一條判定定理都給出了“兩直線平行”的一個(gè)充分條件，例如“內(nèi)錯(cuò)角相等”這個(gè)條件就充分保證了“兩條直線平行”．一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件．例2

下列“若p，則q”形式的命題中，哪些q是p的必要條件？（1）若四邊形是平行四邊形，則這個(gè)四邊形的兩組對角線分別相等；（2）若兩個(gè)三角形相似，則這兩個(gè)三角形的三邊成比例；（3）若四邊形的對角線互相垂直，則這個(gè)四邊形是菱形；思考例2中命題（1）給出了“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)必要條件，即“這個(gè)四邊形的兩條對角分別相等”．這樣的必要條件是唯一的嗎？如果不唯一，你能給出“四邊形是平行四邊形”的幾個(gè)其他必要條件嗎？我們說q是p的必要條件，是指以p為條件可以推出結(jié)論q，但這并不意味著由p只能推出結(jié)論q．一般來說，給定條件p，由p可以推出的結(jié)論q是不唯一的．例如，下列命題都是真命題．①若四邊形是平行四邊形，則這個(gè)四邊形的兩組對邊分別相等；②若四邊形是平行四邊形，則這個(gè)四邊形的一組對邊平行且相等．③若四邊形是平行四邊形，則這個(gè)四邊形的兩條對角線互相平分．這表明，“四邊形的兩組對邊分別相等”“這個(gè)四邊形的一組對邊平行且相等”“四邊形的兩條對角線互相平分”都是“四邊形是平行四邊形”的必要條件．我們知道，例2中命題（1）及上述命題①②③均為平行四邊形的性質(zhì)定理．所以，平行四邊形的每條性質(zhì)定理都給出了“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)必要條件．類似地，平行線的每條性質(zhì)定理都給出了“兩直線平行”的一個(gè)必要條件．例如“同位角相等”是“兩直線平行”的必要條件，也就是說，如果同位角不相等，那么就不可能有“兩直線平行”．一般地，數(shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)必要條件．練習(xí)（第20頁）(1)p是q的充分條件(2)p不是q的充分條件(3)p是q的充分條件(1)q是p的必要條件(2)q不是p的必要條件1.4.2充要條件將命題“若p，則q”中的條件p和結(jié)論q互換，就得到一個(gè)新的命題“若q，則p”，稱這個(gè)命題為原命題的逆命題．不難發(fā)現(xiàn)，上述命題中的命題（1）（4）和它們的逆命題都是真命題；命題（2）是真命題，但它的逆命題是假命題；命題（3）是假命題，但它的逆命題是真命題．例3

下列各題中，哪些p是q的充要條件？（1）p：四邊形是正方形，q：四邊形的對角線互相垂直且平分；（2）p：兩個(gè)三角形相似，q：兩個(gè)三角形三邊成比例；探究通過上面的學(xué)習(xí)，你能給出“四邊形是平行四邊形”的充要條件嗎？

可以發(fā)現(xiàn)，“四邊形的兩組對角分別相等”“四邊形的兩組對邊分別相等”“四邊形一組對邊平行且相等”和“四邊形的對角線互相平分”既是“四邊形是平行四邊形”的充分條件，又是必要條件，所以它們都是“四邊形是平行四邊形”的充要條件．另外，我們再看平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，它表明“四邊形的兩組對邊分別平行”也是“四邊形是平行四邊形”的一個(gè)充要條件．上面的這些充要條件從不同角度刻畫了“平行四邊形”這個(gè)概念，據(jù)此我們可以給出平行四邊形的其他定義形式．例如：兩組對邊分別相等的四邊形叫做平行四邊形；對角線互相平分的四邊形叫做平行四邊形．類似地，利用“兩個(gè)三角形全等”的充要條件，可以給出“三角形全等”的其他形式，而且這些定義是相互等價(jià)的；同樣，利用“兩個(gè)三角形相似”的充要條件，可以給出“相似三角形”其他定義形式，這些定義也是相互等價(jià)的；等等．練習(xí)（第22頁）(1)p是q的充要條件(2)p不是q的充要條件(3)p不是q的充要條件2．分別寫出“兩個(gè)三角形全等”和“兩個(gè)三角形相似”的幾個(gè)充要條件．“兩個(gè)三角形全等”的充要條件：“這兩個(gè)三角形的三邊分別相等”或“這兩個(gè)三角形的兩邊和它們的夾角分別相等”或“這兩個(gè)三角形的兩角和它們的夾邊分別相等”或“這兩個(gè)三角形的兩角和其中一角的對邊分別相等”“兩個(gè)三角形相似”的充要條件：“這兩個(gè)三角形的三邊成比例”或“這兩個(gè)三角形的兩邊成比例且夾角相等”或“這兩個(gè)三角形的兩角分別相等”.EBCDAFBCDAEF(1)必要不充分條件(2)充要條件(3)充分不必要條件(4)必要不充分條件(5)既不充分也不必要條件(1)真命題(2)假命題(3)