中考數(shù)學試題分項匯編：幾何綜合壓軸問題（共40題）原卷版+解析

專題31幾何綜合壓軸問題（40題）

1.（2023?四川自貢?統(tǒng)考中考真題）如圖1,一大一小兩個等腰直角三角形疊放在一起，M,N分別是斜邊

⑴將ACOE繞頂點C旋轉(zhuǎn)一周，請直接寫出點N距離的最大值和最小值;

⑵將ACDE繞頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)120。（如圖2）,求九W的長.

2.（2023?山東煙臺?統(tǒng)考中考真題）如圖，點C為線段上一點，分別以/C,8c為等腰三角形的底邊，在

4S的同側(cè)作等腰A/CD和等腰ABCE,>ZX=ZCBE.在線段EC上取一點F，使所=AD,連接BF,DE.

圖2

⑴如圖1,求證：DE=BF；

（2）如圖2,若/。=2,3尸的延長線恰好經(jīng)過。E的中點G,求3E的長.

3.(2023?浙江紹興?統(tǒng)考中考真題)在平行四邊形/BCD中(頂點4且C,。按逆時針方向排列),

(1)如圖1,求ZB邊上的高S的長.

(2)尸是邊上的一動點，點C,。同時繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。得點

①如圖2,當點C落在射線C4上時，求3尸的長.

②當△/C'D'是直角三角形時，求BP的長.

4.(2023?甘肅武威?統(tǒng)考中考真題)【模型建立】

(1)如圖1,和都是等邊三角形，點C關(guān)于的對稱點尸在5。邊上.

①求證：AE=CD；

②用等式寫出線段BD,。F的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【模型應用】

(2)如圖2,“3C是直角三角形，AB=AC,CD_LBD,垂足為。，點C關(guān)于的對稱點尸在AD邊上.用

等式寫出線段ND,BD,。尸的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【模型遷移】

(3)在(2)的條件下，若/￡>=4逝，BD=3CD,求cos/4ra的值.

圖1圖2

5.（2023?江西?統(tǒng)考中考真題）課本再現(xiàn)

思考

我們知道，菱形的對角線互相垂直.反過來，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？

可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個判定定理；

對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

（1）定理證明：為了證明該定理，小明同學畫出了圖形（如圖1）,并寫出了“已知”和“求證”，請你完成證明

過程.

己知：在Y48co中，對角線垂足為O.

求證：Y48cZ）是菱形.

圖1

1OF

②延長3C至點E,連接交CD于點歹，若NEy/ACD,求——的值.

2EF

6.（2023?湖北隨州?統(tǒng)考中考真題）1643年，法國數(shù)學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條

直線上的三個點N,B,C,求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數(shù)學家和物理學家托

里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題.

（1）下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，

②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角

形的某個頂點）

當“L8C的三個內(nèi)角均小于120。時，

如圖1,將△4PC繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到AAP'C,連接PP',

由尸C=P'C,ZPCP'=60°,可知△尸CP為①三角形,故PP'=PC,又P'A'=P4,故

PA+PB+PC=PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,當3,P,P',/在同一條直線上時，尸/+P3+PC取最小值，如圖2,最小值為48,此時

的P點為該三角形的“費馬點”，且有NAPC=ZBPC=NAPB=③；

已知當“3C有一個內(nèi)角大于或等于120。時，“費馬點”為該三角形的某個頂點.如圖3,若/A4c2120。，

則該三角形的“費馬點”為④點.

（2）如圖4,在“3C中，三個內(nèi)角均小于120。，且/C=3,BC=4,ZACB=30°,已知點尸為“3C的"費

馬點“，求P/+P5+PC的值；

（3）如圖5,設(shè)村莊4,B,C的連線構(gòu)成一個三角形，且已知/C=4km,BC=2V3km,ZACB=60°.現(xiàn)欲

建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向4,B,C三個村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站尸到村莊/,B,C的鋪設(shè)成本分別為a

元/km,。元/km,后〃元/km,選取合適的尸的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為元.（結(jié)果

用含a的式子表示）

7.（2023?山東棗莊?統(tǒng)考中考真題）問題情境：如圖1,在“BC中，AB=AC=11,SC=30,4D是BC邊

上的中線.如圖2,將小BC的兩個頂點3,C分別沿EEGH折疊后均與點。重合，折痕分別交NB./CBC

于點￡,G,F,H.

圖3

（1）如圖2,試判斷四邊形/EDG的形狀，并說明理由.

問題解決;

（2）如圖3,將圖2中左側(cè)折疊的三角形展開后，重新沿兒W折疊，使得頂點2與點X重合，折痕分別交8C

于點M,N,5M的對應線段交DG于點K,求四邊形MKGZ的面積.

8.（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）（1）［問題探究］

如圖1,在正方形48CD中，對角線/C、AD相交于點O.在線段NO上任取一點P（端點除外），連接尸PB.

②將線段。尸繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)，使點。落在A4的延長線上的點。處.當點P在線段/O上的位置發(fā)生變

化時，乙DP。的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；

③探究N0與。尸的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（2）［遷移探究］

如圖2,將正方形48CD換成菱形且N/BC=60。，其他條件不變.試探究N。與CP的數(shù)量關(guān)系，

并說明理由.

圖2

9.（2023?湖南岳陽?統(tǒng)考中考真題）如圖1,在AASC中，AB=AC,點分別為邊/RBC的中點，連

接九CV.

初步嘗試：（1）兒W與/C的數(shù)量關(guān)系是,兒W與/C的位置關(guān)系是

特例研討：（2）如圖2,若ABAC=90°,BC=4也,先將ABMN繞苴B順時針旋轉(zhuǎn)a（a為銳角）,得到ABEF,

當點4瓦廠在同一直線上時，/E與8C相交于點。，連接CF.

（2）求CD的長.

深入探究：（3）若/歷（C<90。，將ABMN繞點8順時針旋轉(zhuǎn)a,得到ABEF,連接月E,CF.當旋轉(zhuǎn)角a

滿足0。<[<360。，點C,￡,尸在同一直線上時，利用所提供的備用圖探究/8ZE與448尸的數(shù)量關(guān)系，并

說明理由.

10.（2023?湖北黃岡?統(tǒng)考中考真題）【問題呈現(xiàn)】

△C/B和ACDE都是直角三角形，NACB=NDCE=9Q°,CB=mCA,CE=mCD,連接BE,探究

BE的位置關(guān)系.

圖1圖2備用圖

⑴如圖1,當川=1時，直接寫出4D,8E的位置關(guān)系:

（2）如圖2,當小71時，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明；若不成立，說明理由.

【拓展應用】

（3）當加=K,45=4A/7,￡E=4時，將ACDE繞點。旋轉(zhuǎn)，使4。,￡三點恰好在同一直線上，求BE的長.

11.（2023?河北?統(tǒng)考中考真題）如圖1和圖2,平面上，四邊形中,

AB=8,5C=2A/1T,CD=U,DA=6,ZA=90°,點W在ND邊上，S.DM=2.將線段K4繞點W順時針旋轉(zhuǎn)

?°（0<?<180）到MA',AA'MA的平分線MP所在直線交折線AB—BC于點P,設(shè)點尸在該折線上運動的路徑

長為x(x>0),連接A'P.

(1)若點P在48上，求證：A'P=AP；

(2)如圖2.連接AD.

①求/CBZ)的度數(shù)，并直接寫出當”=180時，x的值；

②若點P到BD的距離為2,求tanAAMP的值；

(3)當0〈尤V8時，請直毯寫出點4到直線4B的距離.(用含x的式子表示).

12.(2023?四川達州?統(tǒng)考中考真題)⑴如圖①，在矩形/BCD的邊上取一點E,將V/DE沿翻折,

使點A落在8c上H處，若/8=6,3C=10,求三三的值;

圖②圖③

(2)如圖②，在矩形48co的3C邊上取一點E,將四邊形ABED沿DE翻折，使點B落在DC的延長線上

B'處,若BC-CE=24,AB=6,求BE的值;

(3)如圖③，在。中，ZBAC=45°,AD1BC,垂足為點=10,ZE=6,過點E作斯工NO交/C

于點尸，連接。尸，且滿足NDEE=2/D/C,直接寫出3。+^E尸的值.

13.(2023?湖南林叼樸統(tǒng)考中考真題)已知28c是等邊三角形，點。是射線上的一個動點，延長3C至

點、E,使C￡=/。，連接。E交射線/C于點尸.

(1)如圖1,當點。在線段43上時，猜測線段C尸與BD的數(shù)量關(guān)系并說明理由;

(2)如圖2,當點。在線段48的延長線上時，

①線段C尸與的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請說明理由；

②如圖3,連接4E.設(shè)A8=4,若ZAEB=NDEB,求四邊形ADPC的面積.

14.(2023?湖北宜昌?統(tǒng)考中考真題)如圖，在正方形48CD中，E,尸分別是邊上的點，連接CE,

EF,CF.

(1)若正方形的邊長為2,E是/。的中點.

①如圖1,當NFEC=90°時，求證:AAEF^ADCE；

2

②如圖2,當tan/FCE=§時，求4F的長；

(2)如圖3,延長CF,交于點G,當GE=D瓦sin/FC￡=g時，求證：AE=AF.

15.(2023?湖北武漢?統(tǒng)考中考真題)問題提出：如圖(1),E是菱形4BCD邊上一點，是等腰

三角形，AE=EF,ZAEF=/ABC=a（a290。）,4F交CD于點G,探究NGCF與a的數(shù)量關(guān)系.

問題探究：

(1)先將問題特殊化，如圖(2),當a=90。時，直接寫出NGCF的大??；

(2)再探究一般情形，如圖(1),求/GC尸與a的數(shù)量關(guān)系.

問題拓展：

⑶將圖(1)特殊化，如圖(3),當。=120。時，若當=],求些的值.

16.(2023?山西?統(tǒng)考中考真題)問題情境：“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿

對角線剪開，得到兩個全等的三角形紙片，表示為和△。尸E,其中乙4c2=/。￡尸=9。,44=40.將

△ABC和△。也按圖2所示方式擺放，其中點8與點廠重合(標記為點3).當=時，延長DE交

/C于點G.試判斷四邊形8CGE的形狀，并說明理由.

(1)數(shù)學思考：談你解答老師提出的問題；

(2)深入探究：老師將圖2中的繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點E落在“3C內(nèi)部，并讓同學們提出新的

問題.

圖2

①“善思小組”提出問題：如圖3,當NABE=ABAC時，過點A作_LBE交BE的延長線于點M,BM與AC

交于點N.試猜想線段和BE的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.請你解答此問題；

②“智慧小組”提出問題：如圖4,當NC3E=NB/C時，過點A作/〃_L于點“，若8C=9,NC=12,求

的長.請你思考此問題，直接寫出結(jié)果.

圖4

17.（2023?湖北十堰?統(tǒng)考中考真題）過正方形/BCD的頂點。作直線DP,點C關(guān)于直線DP的對稱點為點

E,連接4E,直線4E交直線DP于點尸.

圖1(備用圖)

(1)如圖1,若NCDP=25。,則ZDAF=

(2)如圖1,請?zhí)骄烤€段CD,EF,4尸之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

(3)在。P繞點。轉(zhuǎn)動的過程中，設(shè)4F=a,E尸=b請直接用含。力的式子表示。尸的長.

18.(2023?遼寧大連?統(tǒng)考中考真題)綜合與實踐

問題情境：數(shù)學活動課上，王老師給同學們每人發(fā)了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質(zhì).

己知/5=/044>90。，點￡為/。上一動點，將以BE為對稱軸翻折.同學們經(jīng)過思考后進行如下

探究：

獨立思考：小明：“當點。落在8C上時，NEDC=2NACB.”

小紅：“若點E為NC中點，給出/C與DC的長，就可求出8E的長.”

實踐探究：奮進小組的同學們經(jīng)過探究后提出問題1,請你回答：

問題1：在等腰AABC中，AB=AC,ZA>90。,△BOE由"BE翻折得到.

(1)如圖1,當點。落在8C上時，求證：ZEDC=2AACB；

(2)如圖2,若點E為NC中點，NC=4,Q?=3,求BE的長.

問題解決：小明經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：若將問題1中的等腰三角形換成90。的等腰三角形，可以將問題進一

步拓展.

問題2：如圖3,在等腰“3C中，<90°,^5=AC=BD=4,2ZD=ZABD.若CZ>=1,則求8c的長.

19.(2023?山東?統(tǒng)考中考真題)(1)如圖1,在矩形N3C。中，點E,b分別在邊DC,8c上，AE1DF,

垂足為點G.求證：AADEsADCF.

圖1圖2圖3

【問題解決】

(2)如圖2,在正方形48C。中，點E,歹分別在邊DC,3C上,AE=DF,延長3C到點使CH=DE,

連接求證：ZADF^ZH.

【類比遷移】

(3)如圖3,在菱形48CD中，點E,尸分別在邊。C,3c上,AE=DF=11,DE=8,AAED=60°,求

CF的長.

20.(2023?福建?統(tǒng)考中考真題)如圖1,在“BC中，乙相。=90。,/3=4C。是/8邊上不與48重合的一

個定點.40人BC于點O,交CD于點E.。尸是由線段。C繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。得到的，的延長

線相交于點M.

圖1

⑴求證:△ADEs4FMC；

(2)求N43/的度數(shù);

⑶若N是衣的中點，如圖2.求證：ND=NO.

21.(2023?四川?統(tǒng)考中考真題)如圖1,已知線段AC,線段NC繞點A在直線上方旋轉(zhuǎn)，連接BC,

以8C為邊在8C上方作RtA&JC,且/D8C=30。.

D

⑴若N8OC=90。，以48為邊在上方作RtZkB/E,且NNE8=90。，AEBA=30°,連接。E,用等式表

示線段/C與的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖2,在(1)的條件下，若DE，AB,48=4,/C=2,求的長；

(3)如圖3,若/BCD=90。，AB=4,AC=2,當?shù)闹底畲髸r，求此時tan/CA4的值.

22.(2023?廣西?統(tǒng)考中考真題)【探究與證明】

折紙，操作簡單，富有數(shù)學趣味，我們可以通過折紙開展數(shù)學探究，探索數(shù)學奧秘.

【動手操作】如圖1,將矩形紙片N3CD對折，使/。與3C重合，展平紙片，得到折痕EF；折疊紙片，使

點8落在E尸上，并使折痕經(jīng)過點/,得到折痕點8,￡的對應點分別為9，E',展平紙片，連接4Q，

BB',BE'.

(圖1)

請完成：

(1)觀察圖1中N1,/2和/3,試猜想這三個角的大小夫系；

(2)證明(1)中的猜想；

【類比操作】如圖2,N為矩形紙片48C。的邊/。上的一點，連接BN,在上取一點尸，折疊紙片，使

B,尸兩點重合，展平紙片，得到折痕E尸；折疊紙片，使點比尸分別落在E尸，BN上,得到折痕/，點3,

尸的對應點分別為9，P',展平紙片，連接，P'B'.

（圖2）

請完成：

（3）證明BB'是NNBC的一條三等分線.

23.（2023?重慶?統(tǒng)考中考真題）在中，44cB=90。，/3=60。，點。為線段48上一動點，連接CO.

(1)如圖1,若/C=9,BD=C,求線段40的長.

（2）如圖2,以CD為邊在CD上方作等邊ACDE,點尸是DE的中點，連接8廠并延長，交CD的延長線于點

G.若NG=NBCE,求證：GF=BF+BE.

（3）在CD取得最小值的條件下，以CD為邊在CD右側(cè)作等邊ACDE.點M為CD所在直線上一點，將

沿8M所在直線翻折至A48C所在平面內(nèi)得到ABMH.連接NN,點P為/N的中點，連接CP,當C尸取

最大值時，連接8尸，將ABC尸沿8c所在直線翻折至A/BC所在平面內(nèi)得到ABC。，請直接寫出此時詈的

值.

24.（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）如圖，在等邊三角形4BC中，。為48上的一點，過點。作3C的平行線DE

交/C于點E,點尸是線段DE上的動點（點P不與。、E重合）.將AAB尸繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。，得

到連接￡。、PQ,PQ交4C于F.

AA

(1)證明：在點尸的運動過程中，總有/PEQ=120。.

4P

(2)當市為何值時，A/Q廠是直角三角形？

25.(2023?黑龍江?統(tǒng)考中考真題)如圖①，^ABC和VADE是等邊三角形,連接DC分別是DE,DC

和3C的中點，連接尸G,9.易證：FH=V3FG.

若A/IBC和V/DE都是等腰直角三角形，且NA4C=/￡>/￡=90。，如圖②：若。8c和VNOE都是等腰三角

形，且/A4c=40/￡=120°,如圖③：其他條件不變，判斷"/和尸G之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想,

并利用圖②或圖③進行證明.

26.(2023?黑龍江齊齊哈爾?統(tǒng)考中考真題)綜合與實踐

數(shù)學模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學應用的基本途徑.通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學知

識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學經(jīng)驗，并將其運用到更廣闊的數(shù)學天地.

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1,在AABC和中，AB=AC,AE=AF,/BAC=NEAF=3Q。，連接BE,CF,

延長BE交CF于點D.則BE與C尸的數(shù)量關(guān)系：______,NBDC=°；

⑵類比探究：如圖2,在AABC和△/￡尸中，AB=AC,AE=AF,ABAC=AEAF=120°,連接BE,CF,

延長BE,尸C交于點。.請猜想8石與仃的數(shù)量關(guān)系及N8OC的度數(shù)，并說明理由；

(3)拓展延伸：如圖3,和△/￡尸均為等腰直角三角形，NBAC=NEAF=90°,連接BE,CF,且點3,

E,尸在一條直線上，過點A作蜀/_L8F,垂足為點則AF,CF,4W之間的數(shù)量關(guān)系：______；

(4)實踐應用：正方形48co中，AB=2,若平面內(nèi)存在點尸滿足NBPD=90。，PD=1,貝.

27.(2023?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題)(1)如圖，在矩形48co中，￡為/。邊上一點，連接

①若BE=BC,過C作CF,BE交BE于點尸，求證：4ABE沿AFCB；

②若S短孫BS=20時，則BE-CF=.

(2)如圖，在菱形4BCD中，cosA=1,過C作CE/4B交48的延長線于點E,過E作所工交4D于

點尸，若S菱/-8=24時，求郎4C的值.

(3)如圖，在平行四邊形N3CD中，44=60。，48=6,AD=5,點E在CD上，且CE=2,點尸為8c上

一點，連接昉，過E作EGLEF交平行四邊形A8C。的邊于點G,若EF,EG=1班時,請直接寫出/G的

備用圖

28.(2023?內(nèi)蒙古?統(tǒng)考中考真題)如圖，在菱形/BCD中，對角線相交于點O,點尸,0分別是邊BC,

線段OD上的點，連接與03相交于點￡.

(1)如圖1,連接當勿=。尸時，試判斷點。是否在線段尸C的垂直平分線上，并說明理由；

(2)如圖2,若NAPB=9Q°,且乙BAP=ZADB,

①求證：AE=2EP；

②當。。=?！陼r，設(shè)*=",求尸。的長(用含。的代數(shù)式表示).

29.(2023?內(nèi)蒙古赤峰?統(tǒng)考中考真題)數(shù)學興趣小組探究了以下幾何圖形.如圖①，把一個含有45。角的三

角尺放在正方形N3C。中，使45。角的頂點始終與正方形的頂點C重合，繞點C旋轉(zhuǎn)三角尺時，45。角的兩

邊CM,CN始終與正方形的邊N。，48所在直線分別相交于點M,N,連接1W,可得ACW.

【探究一】如圖②，把VCZW繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到ACBH,同時得到點//在直線上.求證:

ZCNM=ACNH；

【探究二】在圖②中，連接8。，分別交CN,CN于點、E,F.求證：ACEFsACNM；

【探究三】把三角尺旋轉(zhuǎn)到如圖③所示位置，直線3。與三角尺45。角兩邊CM,CN分別交于點E,F.連

FF

接"交加于點°,求而的直

30.（2023?山東東營?統(tǒng)考中考真題）（1）用數(shù)學的眼光觀察.

如圖，在四邊形力中，AD=BC,。是對角線AD的中點，〃是的中點，N是。。的中點，求證:

/PMN=/PNM.

（2）用數(shù)學的思維思考.

如圖，延長圖中的線段4。交的延長線于點延長線段5C交〃乂的延長線于點尸，求證：NAEM=NF.

AMB

（3）用數(shù)學的語言表達.

如圖，在“3C中，NC<48,點。在NC上，AD=BC,/是48的中點，N是。。的中點，連接并

延長，與3C的延長線交于點G,連接GD,若/⑷W=60。，試判斷△CGD的形狀，并進行證明.

31.（2023?甘肅蘭州?統(tǒng)考中考真題）綜合與實踐

【思考嘗試】

（1）數(shù)學活動課上，老師出示了一個問題：如圖1,在矩形/BCD中，￡是邊上一點，DFLCE于點、F,

GD1DF,AGLDG,AG=CF.試猜想四邊形4BC。的形狀，并說明理由；

【實踐探究】

（2）小睿受此問題啟發(fā)，逆向思考并提出新的問題：如圖2,在正方形ABCD中，E是邊上一點，。尸，CE

于點F,4HLCE于點H,GDLDF交AH于點、G,可以用等式表示線段切，AH,C戶的數(shù)量關(guān)系，請

你思考并解答這個問題；

【拓展遷移】

（3）小博深入研究小睿提出的這個問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的探究點：如圖3,在正方形N3CO中，E是邊4B

上一點，于點兄點M在CH上，且AH=HM,連接,BH,可以用等式表示線段CM,BH

的數(shù)量關(guān)系，請你思考并解答這個問題.

GG

圖1

32.(2023?貴州?統(tǒng)考中考真題)如圖①，小紅在學習了三角形相關(guān)知識后，對等腰直角三角形進行了探究,

在等腰直角三角形N3C中，CA=CB,ZC=90°,過點8作射線AD1,垂足為3,點尸在C8上.

如圖②，若點P在線段C3上，畫出射線尸/,并將射線P/繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)90。與交于點E,根據(jù)題

意在圖中畫出圖形，圖中NPBE的度數(shù)為度；

(2)【問題探究】

根據(jù)(1)所畫圖形，探究線段力與PE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)【拓展延伸】

如圖③，若點P在射線C3上移動，將射線R4繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)90。與2D交于點E,探究線段84之

間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

33.（2023?遼寧?統(tǒng)考中考真題）在Rt/UBC中，ZACB=90°,CA=CB,點。為N3的中點，點。在直線48

上（不與點4B重合），連接C。，線段繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段CE,過點3作直線/L8C,

過點E作成，/,垂足為點尸，直線所交直線OC于點G.

（1）如圖，當點。與點。重合時，請直接寫出線段與線段E尸的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖，當點。在線段48上時，求證：CG+BD=?BC;

⑶連接ACDE的面積記為岳，“3C的面積記為邑，當跖:3C=1:3時，請直接寫出卷的值.

?2

34.（2023?四川成都?統(tǒng)考中考真題）探究式學習是新課程倡導的重要學習方式，某興趣小組擬做以下探究.

AF）1

在RtZk/BC中，NC=90。,AC=BC,D是4B邊上一點,且一=—（〃為正整數(shù)），E是ZC邊上的動點,

BDn

過點D作DE的垂線交直線BC于點F.

圖1圖2圖3

【初步感知】

⑴如圖1,當〃=1時，興趣小組探究得出結(jié)論：AE+BF=^AB,請寫出證明過程.

【深入探究】

（2）①如圖2,當〃=2,且點尸在線段8C上時，試探究線段/E,BF,A8之間的數(shù)量關(guān)系，請寫出結(jié)論并

證明；

②請通過類比、歸納、猜想，探究出線段工區(qū)BF,NB之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫出結(jié)論，不必證

明）

【拓展運用】

（3）如圖3,連接"，設(shè)"的中點為若AB=26,求點E從點/運動到點。的過程中，點M運動的

路徑長（用含"的代數(shù)式表示）.

35.（2023?江蘇徐州?統(tǒng)考中考真題）【閱讀理解】如圖1,在矩形N3CD中，若4B=a,BC=b,由勾股定理,

得/C2=〃+/,同理助2="+凡故NC2+8r>2=2（/+62）.

【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2,四邊形/BCD為平行四邊形，若AB=a,BC=b,則上述結(jié)論是否依然成立？請加以

判斷，并說明理由.

2

【拓展提升】如圖3,已知80為的一條中線，AB=a,BC=b,AC=c.求證：BO.

24

【嘗試應用】如圖4,在矩形ABCD中，若"=8,8C=12,點p在邊3上，則網(wǎng),+PC2的最小值為

36.（2023?四川南充?統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形4BCD中，點W在邊8c上，點E是⑷/的中點，連接ED,

EC.

AD

(1)求證：ED=EC；

⑵將BE繞點￡逆時針旋轉(zhuǎn)，使點B的對應點"落在NC上，連接〃夕.當點M在邊8C上運動時(點〃不

與B,C重合)，判斷ACW，的形狀，并說明理由.

(3)在(2)的條件下，已知48=1,當/DE夕=45。時，求血的長.

37.(2023?安徽?統(tǒng)考中考真題)在RtZ\4BC中，M是斜邊A8的中點,將線段MA繞點M旋轉(zhuǎn)至MD位置,

點。在直線48外，連接工。,2。.

圖2圖3

(1)如圖1,求N/D8的大小;

(2)已知點。和邊/C上的點E滿足〃/8.

(i)如圖2,連接CD,求證：BD=CD；

(ii)如圖3,連接BE,若/C=8,8C=6,求tanN/BE的值.

38.(2023?浙江寧波.統(tǒng)考中考真題)定義：有兩個相鄰的內(nèi)角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為

鄰等四邊形，相等兩鄰邊的夾角稱為鄰等角.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,在四邊形中，AD〃BC,NA=90。，對角線平分N/OC.求證：四邊形/BCD為鄰等

四邊形.

(2)如圖2,在6x5的方格紙中，A,B,C三點均在格點上，若四邊形ZBCD是鄰等四邊形，請畫出所有符

合條件的格點。.

(3)如圖3,四邊形4BCD是鄰等四邊形，ZDAB=ZABC=90°,NBCD為鄰等角，連接/C,過8作AE■〃/C

交D4的延長線于點￡.若NC=8,OE=10,求四邊形防。的周長.

39.(2023?江蘇揚州?統(tǒng)考中考真題)【問題情境】

在綜合實踐活動課上，李老師讓同桌兩位同學用相同的兩塊含30。的三角板開展數(shù)學探究活動，兩塊三角板

分別記作“DB和△A，D'C,ZADB=ZA'D'C=90°,ZB=4=30。，設(shè)=2.

【操作探究】

如圖1,先將和A/D,C的邊重合，再將繞著點N按順時妙方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為

a(00<<z<360°),旋轉(zhuǎn)過程中保持不動，連接8c.

(1)當a=60。時，BC=；當8c=2近時，?=°;

(2)當a=90。時，畫出圖形，并求兩塊三角板重疊部分圖形的面積；

(3)如圖2,取BC的中點R將A/O,C繞著點/旋轉(zhuǎn)一周，點下的運動路徑長為________.

40.(2023?四川樂山?統(tǒng)考中考真題)在學習完《圖形的旋轉(zhuǎn)》后，劉老師帶領(lǐng)學生開展了一次數(shù)學探究活

動

【問題情境】

劉老師先引導學生回顧了華東師大版教材七年級下冊第121頁“探索”部分內(nèi)容：

如圖，將一個三角形紙板繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)。到達△43'C'的位置，那么可以得到：AB=AB',

AC=AC',BC=B'C；ZBAC=ZB'AC,NABC=NAB'C,NACB=ZAC'B'（）

c

--------------B

劉老師進一步談到：圖形的旋轉(zhuǎn)蘊含于自然界的運動變化規(guī)律中，即“變”中蘊含著“不變”，這是我們解決圖

形旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵；故數(shù)學就是一門哲學.

【問題解決】

（1）上述問題情境中“（）”處應填理由：；

（2）如圖，小王將一個半徑為4cm,圓心角為60。的扇形紙板28c繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。到達扇形紙板

H5'C'的位置.

①請在圖中作出點。；

②如果3B'=6cm,則在旋轉(zhuǎn)過程中，點B經(jīng)過的路徑長為；

【問題拓展】

小李突發(fā)奇想，將與（2）中完全相同的兩個扇形紙板重疊，一個固定在墻上，使得一邊位于水平位置，另

一個在弧的中點處固定，然后放開紙板，使其擺動到豎直位置時靜止，此時，兩個紙板重疊部分的面積是

多少呢？如圖所示，請你幫助小李解決這個問題.

B

專題31幾何綜合壓軸問題（40題）

1.（2023?四川自貢?統(tǒng)考中考真題）如圖1,一大一小兩個等腰直角三角形疊放在一起，M,N分別是斜邊

⑴將ACOE繞頂點C旋轉(zhuǎn)一周，請直接寫出點N距離的最大值和最小值;

⑵將ACDE繞頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)120。（如圖2）,求九W的長.

【答案】⑴最大值為3,最小值為1

⑵⑺

【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線，得出CM,CN的值，進而根據(jù)題意求得最大值與最小值即可求

解；

（2）過點N作NPLMC,交MC的延長線于點P,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得ZMCN=120°,進而得出ZNCP=60°,

進而可得C尸=1,勾股定理解RSNCRRtAMCP,即可求解.

【詳解】（1）解：依題意，CM=-DE=\,CN==AB=2,

22

當M在NC的延長線上時，”,N的距離最大，最大值為CM+CN=l+2=3,

當M在線段CN上時，的距離最小，最小值為CN-CN=2-1=1；

（2）解：如圖所示，過點N作酒，交MC的延長線于點尸，

,??△(?￡)￡繞頂點。逆時針旋轉(zhuǎn)120。,

???NBCE=120。,

VZBCN=ZECM=45°,

ZMCN=NBCM-ZECM=/BCE=120°,

???ZNCP=60°,

???/CNP=3。。，

：.CP=-CN=1,

2

在Rt^CNP中，NP=^NC1-CP1=百，

在Rtz\ACVP中，MP=MC+CP=\+\=2,

MN=ylNP2+MP2=J3+4=V7.

【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角

三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

2.（2023?山東煙臺?統(tǒng)考中考真題）如圖，點C為線段N3上一點，分別以/C,BC為等腰三角形的底邊，在

的同側(cè)作等腰A/CD和等腰ABCE,且ZA=NCBE.在線段EC上取一點尸，使EF=4D,連接BF,DE.

（2）如圖2,若4D=2,AF的延長線恰好經(jīng)過。E的中點G,求3E的長.

【答案】（1）見解析

（2）SE=2+V2

【分析】（1）證明?！?￡,推出/0。石=/5￡產(chǎn)，利用SAS證明△DCE0APES即可證明結(jié)論成立;

（2）取CF的中點H連接G",證明GH是△尸CD的中位線，設(shè)BE=a,則正〃=,。-2,證明

2

△FGHS&BE,得到空=二,即/一4“一4=0,解方程即可求解.

BEEF

【詳解】（1）證明：???等腰△4CQ和等腰△5CE,

：?AD=CD,EC=EB,AA=ZDCA,

ZA=ZCBE,

J/DCA=/CBE,

：.CD//BE,

：.ZDCE=ZBEF,

EF=AD,

EF=CD,

CD=EF

在ADCE和^FEB中，＜4DCE=/FEB,

EC=EB

：./\DCE之NEB(SAS),

DE=BF；

（2）解：取CF的中點"，連接G〃,

???點G是。E的中點,

???G〃是△尸CD的中位線，

GH=-CD=-AD=\GH//CD,

22f

設(shè)BE=a,則===,

222

'/EF=AD=2,

：.FH^-a-2,

2

???CD//BE,

：.GH//BE,

：.AFGH^AFBE,

.GHFH日ni-a-2

..——=——，即12，

BEEF_—

a2

整理得/_4—4=0,

解得°=2+及（負值已舍），

經(jīng)檢驗a=2+也是所列方程的解，且符合題意，

BE=2+42.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，三角形中位線定理，全等三角形的判定

和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題.

3.（2023?浙江紹興?統(tǒng)考中考真題）在平行四邊形/BCD中（頂點4且C,。按逆時針方向排列）,

（1）如圖1,求ZB邊上的高S的長.

（2）尸是邊上的一動點，點C,。同時繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。得點

①如圖2,當點C落在射線C4上時，求3尸的長.

②當△/C'D'是直角三角形時，求BP的長.

【答案】（1）8

34

⑵①8尸=?。虎贐P=6或8土叵

【分析】（1）利用正弦的定義即可求得答案；

（2）①先證明△尸。。絲△CEP,再證明△Z0C's最后利用相似三角形對應邊成比例列出方程即

可；

②分三種情況討論完成，第一種：C為直角頂點；第二種：A為直角頂點；第三種，。，為直角頂點，但此

種情況不成立，故最終有兩個答案.

【詳解】（1）在Y48CD中，BC=AD=10,

4

在Rt^BCH中,CH=BCsmB=10x-=8.

（2）①如圖1,作加于點”，由（1）得，BH=^BC2-CH2=6-則工〃=12-6=6,

作C'Q，A4交氏4延長線于點。，則NCHP=APQC=90°,

/./C'P°+/PC'Q=90。.

ZC'PQ+ZCPH=90°

：.ZPC'Q^ZCPH.

由旋轉(zhuǎn)知尸C'=PC,

/.APOC'沿△CHP.

設(shè)BP=x,則尸Q=8=8,C'Q=PH=6-x,QA=PQ-PA=x-4.

,/C'Q1AB,CH±AB,

C'Q//CH,

/.AAQC'^AAHC,

.C,Q_QA6-x_x-4

CHHA86

②由旋轉(zhuǎn)得APCD咨APCD',CD=CD',CD1CD',

又因為48〃CD,所以C9L/8.

情況一：當以C'為直角頂點時，如圖2.

圖2

?/CD'1.AB,

：.C'落在線段A4延長線上.

PC±PC,

：.PCLAB,

由（1）知，PC=8,

：.BP=6.

情況二：當以A為直角頂點時，如圖3.

設(shè)C'。'與射線BA的交點為T,

作CH1AB于點H.

'：PC1PC,

：.NCPH+NTPC'=,

CD'±AT,

NPC'T+NTPC=90°,

ZCPH=ZPC'T.

又：ZCHP=ZPTC'=90°,PC=CP,

/\CPH^/\PC'T,

CT=PH,PT=CH=8.

設(shè)CT=PH=t,則/尸=6-t,

：.AT=PT-PA=2+t

,：ZC'AD'=90°,Ciy1.AB,

：."TDCCTA,

.ATCT

TD'~^A'

AT2CT-TD'，

(2+1)~=z(12—,

化簡得產(chǎn)-41+2=0,

解得/=2±拒，

BP=BH+HP=i±41■

情況三：當以〃為直角頂點時，

點尸落在24的延長線上，不符合題意.

綜上所述，班*=6或8±拒.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，正弦的定義，全等的判定及性質(zhì)，相似的判定及性質(zhì)，理解記憶

相關(guān)定義，判定，性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?甘肅武威?統(tǒng)考中考真題）【模型建立】

（1）如圖1,A/iBC和都是等邊三角形，點C關(guān)于40的對稱點尸在5Z）邊上.

①求證：AE=CD；

②用等式寫出線段BD,。尸的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【模型應用】