相似三角形的應用（6基礎(chǔ)題型+5提升題型）-2024-2025學年陜西九年級數(shù)學上學期期中試題分類匯編（含答案）

專題06相似三角形的應用

平面直角坐標系內(nèi)位似作圖

相似三角形解實際問題（提升型）

優(yōu)題相似三角形與平行四邊形

相似三角形的動點問題選

相似三角形與矩形

提型

相似三角形與幾何變換綜合

升相似三角形與菱形

幾何綜合探究壓軸題題歸

相似三角形與正方形

存在性問題納

相似三角形解實際問題（基礎(chǔ)型）

平面直角坐標系中位似作圖

（23-24九年級上?陜西榆林?期中）

1.如圖，在平面直角坐標系中，△43。的頂點坐標分別是4（-2,1）,B（T4）,C（-3,2）.

⑴以原點。為位似中心，在V軸的左側(cè)，畫一個使它與位似，相似比是2；

⑵請直接寫出點凡C的坐標：.

（23-24九年級上?陜西咸陽?期中）

2.如圖，在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別為。（0,0）,力（3,1）,5（2,-1）.

試卷第1頁，共28頁

（1）以點。為位似中心，在y軸的左側(cè)畫出人。44，使它與△048的相似比為2:1；

（2）若點。6）為△0/8內(nèi)一點，則點。的對應點2的坐標為.

（23-24九年級上?陜西咸陽?期中）

3.如圖，在平面直角坐標系中，每個小正方形的邊長都是1個單位長度，的頂點都

在格點上，點/的坐標為（—2）,點2的坐標為（4,-1）,點C的坐標為（3,-3）.

⑴以原點。為位似中心，在第二象限內(nèi)作△44G，使△&BC與A/BC位似，且△44G

與A48C的相似比為2:1,點、A、B、C的對應點分別為4、B［、Cl；

（2）在（1）的條件下，分別寫出點4、片的坐標.

試卷第2頁，共28頁

(23-24九年級上?陜西西安?期中)

4.如圖，在平面直角坐標系中，ZUBC的頂點分別是么(1,1),8(2,3),C(3,2),以原點O

為位似中心，在y軸的左側(cè)畫出△4BC的位似△44G，使它與原三角形相似比為2:1,并

5.如圖，點尸(-6,6)和△/8C在平面直角坐標系中，點/的坐標是(4,4).

(1)畫出△48C關(guān)于〉軸對稱的圖形A/'B'C';

⑵以點尸為位似中心作SEF,使SEF與A/'B'C位似，且這兩個三角形在點尸的同側(cè),

相似比為2,并寫出點/的對應點。的坐標.

(22-23九年級上?陜西西安?期中)

試卷第3頁，共28頁

6.如圖，在平面直角坐標系中，△/8C的頂點坐標分別是/(-M),3(-2,0),

C(0,-2).

(1)以原點。為位似中心，在點。另一側(cè)畫A/2'C',使它與△4BC位似，且相似比為2:1；

(2)若四邊形AA'B'P是矩形,請直接寫出點尸的坐標尸(,).

(23-24九年級上?陜西漢中?期中)

7.如圖，在平面直角坐標系中，△N8C的三個頂點坐標分別為

/(-2,3),B(-3,1),C(-1,2).以點。為位似中心，在第四象限內(nèi)畫一個△44G，使它與

△48C位似，且位似比為2：1,并寫出點A,B,C的對應點4,耳，。的坐標.

(23-24九年級上?陜西西安?期中)

8.如圖所示，在平面直角坐標系中，A/BC的頂點坐標分別是/。⑼，8(3,1),C(2,3)請

在所給直角坐標系中按要求畫圖和解答下列問題：

試卷第4頁，共28頁

⑴畫出A/BC關(guān)于x軸成軸對稱的△44G，并直接寫出點用的坐標;

⑵以原點。為位似中心，在原點的另一側(cè)畫出A/8C的位似三角形△4與。2，使它與A/BC

的相似比為2:1,并寫出點c2的坐標.

題型02相似三角形與平行四邊形綜合

■

（23-24九年級上?陜西西安?期中）

9.如圖，在平行四邊形/8CD中，48=6,4D=8,NC和8。交于點。，點E在。C的

延長線上，連接OE交8c于點/，當CE=3時，的長是（）

C.6.75D.7

（23-24九年級上?陜西榆林?期中）

10.如圖，在平行四邊形4BCD中，D,C,E三點在一條直線上，AB=6BC=8,

CE=2,則CF的長為（）

C.1.8D.1.9

試卷第5頁，共28頁

（23-24九年級上?陜西榆林?期中）

11.如圖，平行四邊形4BCD的對角線/C、BD交于點、O,E是NZ）的中點，連接BE交/C

于點尸,S、ABF=6,則S^AEF=()

3

A.3B.-C.2D.1

2

（23-24九年級上?陜西咸陽?期中）

12.如圖，在平行四邊形4BCD中，過點2作8E_LCD,垂足為E,連接4E,斤為/￡上

一點，且NBFE=NC.

AB

DEC

（1）求證：△ABFs^EAD.

（2）若NE=2,NB4E=30。,求48的長.

（23-24九年級上?陜西榆林?期中）

13.如圖，在平行四邊形/BCD中，￡為8C上一點,連接。E,F為DE上一點,且

ZB=ZAFE.

AD

/、

BEC

（1）求證：AADFSADEC.

（2）若4D=6,AB=4,DE=7,求4F的長.

（23-24九年級上?陜西咸陽?期中）

14.如圖所示，在口/BCD中，點E在BC邊上，AE=%B,點F在DE上,

NDAF=ZCDE.

試卷第6頁，共28頁

AD

F,

BEC

⑴求證：LAEFs^DEA；

(2)如果/8=2近，DF=3,求斯的長.

相似三角形與矩形

（23-24九年級上?陜西西安?期中）

15.如圖，在矩形/BCD中，AELBD于E,S矩i^ABCD—40cm,Sd/BE'S、DBA—1.5則NE的

A.1B.2C.3D.4

（23-24九年級上?陜西咸陽?期中）

16.如圖，點E為矩形/BCZ1的邊8的延長線上一點，連接BE交于點尸,

AF=2DF.

（1）求證：CD=2DE；

（2）若從注尸的周長為6,求的周長.

（23-24九年級上?陜西咸陽?期中）

17.如圖，在矩形48C。中，AB=3,8c=10,點E在8C邊上，連接

DF±AE,交4E的延長線于點尸.

試卷第7頁，共28頁

⑴求證：AADFSAEAB；

⑵若DF=6,求線段CE的長.

(21-22九年級上?陜西咸陽?期中)

18.如圖，矩形48co中，M為BC上一點，及/，/〃■交的延長線于點E.

(1)求證：AABMS^EMA；

(2)若N8=4,BM=3,求ME的長.

(23-24九年級上?陜西西安?期中)

19.(1)如圖①，在正方形/BCD中，E、尸分別是A3、上的點，連接DE、CF,

且。E_LC/，求證："ED知DFC；

(2)如圖(2),在矩形48co中，AD=10,AB=6,E、G分別是40、BC上的點，連

接EG,過點8作BHLEG,分別交EG、CD于點尸、H,且4B=BF,FH=CH,求EG

的長.

(23-24九年級上?陜西西安?期中)

20.如圖，在菱形N3CD中，對角線NC,BD相交于點O,EB±AB,垂足為點2,交NC

于點E.

試卷第8頁，共28頁

DC

（2）若ZE=6,AB=5,求EC的長.

（23-24九年級上?陜西西安?期中）

21.如圖，在四邊形/BCD中，AB//CD,zD=90°,。的平分線BE交CD于點E,F

是的中點，連接NE、EF,且求證：

(1)四邊形3CE廠是菱形;

Q)BE,AE=24D-EF.

相似三角形與正方形

（21-22九年級上?陜西榆林?期中）

22.如圖，在正方形（中，連接NC,點￡是邊CD上一點（不與C、。重合），LADE

繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△43尸，連接斯，分別交NC、4B于點P、G.

⑴求證：△力?尸S^EPC；

⑵求證：PA2=PGPF；

GP

（3）如圖2,當點E是邊8的中點時，求受的值.

EP

（20-21九年級上?陜西渭南?期中）

試卷第9頁，共28頁

23.如圖，在正方形/BCD中，ZEAF=45°.AE、”分別交BC、CD于E、F,交BD于

H、G.

⑴請判斷A/3G與△印切是否相似，并說明理由;

⑵求證：AD2=BGDH；

CF

（3）連接/C,求照的值.

!產(chǎn)型06|相似三角形解實際問題（基礎(chǔ)型）

（22-23九年級上?陜西榆林?期中）

24.圖1是三角形空地，計劃用平行于一邊的柵欄AB將這塊空地分成兩部分（如圖2）,種

植不同的植物，則柵欄的長度是（）

（23-24九年級上?陜西漢中?期中）

25.如圖，為測量學校旗桿高度，小藝同學在腳下水平放置一平面鏡，直到她剛好在鏡子中

O

看到旗桿的頂端，已知小藝的眼睛離地面高度為1.6米，同時量得小藝與鏡子的水平距離為:

米，鏡子與旗桿的水平距離為10米.則旗桿的高度為一米.

試卷第10頁，共28頁

（23-24九年級上?陜西咸陽?期中）

26.如圖，小明欲測量一座信號發(fā)射塔的高度.他站在該塔的影子上前后移動，直到他自己

影子的頂端正好與塔的影子的頂端重合，此時他距離該塔20米（CE=20米），他的影長

NE=2米，已知小明的身高?！?1.8米，點E在/C上，DE1AC,求信

號發(fā)射塔的高度8C.

（23-24九年級上?陜西西安?期中）

27.李優(yōu)和賀基旭想用所學知識測量旗幟的寬度MN,他們進行了如下操作：如圖，首先,

李優(yōu)在。處豎立一根標桿BC,地面上的點/、標桿頂端8和點N在一條直線上，BC=1.5

米，NC=1米，NG=8米；然后，賀基旭手持自制直角三角紙板。斯，使長直角邊。尸與

水平地面平行，調(diào)整位置，恰好在尸點時點。、￡、M在一條直線上，DP=1.5米，PG=23.6

米，DF=2EF,己知〃^,煙，儀九周HSLLBI,點P、G、C、/在同一水平直線上，點

N在MG上，求旗幟的寬度

M

,、尸

\

PGC

（23-24九年級上?陜西西安?期中）

28.如圖，某校宣傳欄2c后面種有一排與宣傳欄平行的若干棵樹（即3C〃DE）,且相鄰

兩棵樹的間隔為2米，小美站在宣傳欄前面的A處正好看到兩端的樹。和E,其余的樹均

被宣傳欄擋住.已知/GLDE于點G,交BC于點、F,/尸=3米，尸G=5米，5c=12米,

試卷第11頁，共28頁

求該宣傳欄后被擋住的樹共有多少棵？（不計宣傳欄的厚度）.

（22-23九年級上?陜西西安?期中）

29.如圖，身高1.5m的小王晚上在燈柱/以下散步，他想通過測量自己的影長來估計路燈。4

的高度，具體做法如下：先從路燈底部點A向東走20步到點河處，發(fā)現(xiàn)自己的影子端點落

在點P處，作記號后，繼續(xù)沿剛才自己的影子走4步恰好到達點尸處，此時影子的端點在點

。處，已知小王和路燈的底端在同一水平線上，且小王每步的間距相同.計算路燈/O的高,

并求影長尸。合計為多少步.

H

0k.

J-----------g*力

（23-24九年級上?陜西榆林?期中）

30.如圖，小雅同學正在使用手電筒進行物理光學實驗，地面上從左往右依次是墻、木板和

平面鏡，手電筒的燈泡在點G處，距離地面的高度NG=L4m,到平面鏡的水平距離

AB=2.6m,手電筒的光從平面鏡上點8處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點尸，落在墻上的

點E處，點尸到地面的高度B=0.7m,墻到木板的水平距離為CD=2.6m,已知光在鏡面

反射中的入射角等于反射角，圖中點HB,C,。在同一水平面上，求燈光反射到墻面上

的高度ED.

］、'、、感

、/I

墻；

r木板］、、、上,/J

地面。c平相露A

（23-24九年級上?陜西西安?期中）

31.在物理學中我們學過光的反射定律，小軍想利用光的反射定律測量一棵樹的高度，但因

樹旁有一個池塘，不能測量鏡子與樹之間的距離，于是他利用鏡子進行兩次測量，如圖，第

一次他把鏡子放在點C處，走到點。處正好在鏡中看到樹尖A的像；第二次他把鏡子放在

試卷第12頁，共28頁

點尸處，走到點打處也正好在鏡中看到樹尖A的像.已知ED1BH,

GHLBH,點、B、C、D、F、H在同一條直線上，小軍的眼睛到地面的距離為1.5米（即

EO=G//=1.5米），量得CD=2米，CF=10米,FH=3米,求這棵樹的高度48.（鏡子的

大小和厚度忽略不計）

（23-24九年級上?陜西西安?期中）

32.如圖，小斌想用學過的知識測算河的寬度斯.在河對岸有一棵高4.64米的樹G尸，樹G一

在河里的倒影為液，且=，小斌在岸邊調(diào)整自己的位置，當站在點8處時恰好看到

岸邊點C和倒影頂點打在一條直線上，點C到水面Eb的距離C￡=0.58米,小斌的眼睛與

地面的距離（四）為1.74米，BC=2.7米,AB±BC,CE1EF,HF1EF,GF1EF,

BC//EF,視線/〃與水面族的交點為。，請你根據(jù)以上測量方法及數(shù)據(jù),求出河的寬度

EF.

試卷第13頁，共28頁

33.學習了“利用相似三角形測高”這一知識后，小辰和小輝所在數(shù)學興趣小組的同學們周末

帶著測量工具去測量法門寺合十舍利塔的高度，他們的測量方法如下：如圖2,小辰在點C

處放置一平面鏡，他從點C沿5c后退，當退行1.2米到點￡處時，恰好在鏡子中看到塔頂/

的像，此時小輝測得小辰眼睛到地面的距離?！?1.6米；然后小辰繼續(xù)后退34.2米到點G

處，此時小辰眼睛的水平視線與舍利塔的頂端月所成的角度（即NZED）是45。.已知點

B,C,E,G在同一水平直線上，點、D,尸在同一水平直線上，且45,DE,尸G均垂直于

BG,求合十舍利塔的高度4B.

34.為了測量學校旗桿上旗幟的寬度兒W,如圖，點尸、G、C、/在同一水平直線上,

MGLPA,先是小紅在C處豎立一根標桿5c地面上的點4標桿頂端8和點

N在一條直線上（N在MG上），2c=1.5米，/C=l米，/G=8米；后是賀小明在尸處手

持自制直角三角紙板尸（。尸，9）,其中E尸=0.1米，。尸=0.2米，使長直角邊。尸與水

平地面平行，調(diào)整位置，恰好在尸點時點。、E、M在一條直線上，。尸=1.5米，PG=23.6

米，請你根據(jù)兩次測量的結(jié)果，求出旗幟的寬度兒W.

PGC

（23-24九年級上?陜西榆林?期中）

35.九（1）班同學到野外上數(shù)學活動課，為測量河的寬度（河的兩岸平行），設(shè)計了如下方

案：如圖，同學們在河的對岸選定一個目標作為點4再在河岸的這一邊選出點8和點C,

分別在48,NC的延長線上取點DE,使得DE〃BC.經(jīng)測量，8。=12米，￡>E=21米,

試卷第14頁，共28頁

且點￡到河岸BC的距離為6米.已知//，8c于點尸，請你根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，幫助他們計

算河的寬度/斤.

（22-23九年級上?陜西榆林?期中）

36.位于陜西省北部神木縣紅堿淖景區(qū)的大門口，樹立著一座精致的王昭君雕像.在當?shù)厝?/p>

看來，當年王昭君就是走過神木大地，去完成和親使命的.她因為遠離家鄉(xiāng)而傷心落淚，淚

水也因此化作了一顆“沙漠明珠”——紅堿淖.某校社會實踐小組為了測量這座雕像（如圖1）

的高度，如圖2,小明先在地面上C處垂直于地面豎立了高度為2米的標桿CD,這時地面

上的點E,標桿的頂端點。，雕像的頂端B正好在同一直線上，測得EC=3米；小明再從

點E出發(fā)沿著EG方向前進9米，到達點尸.在點尸處放置一平面鏡，小剛站在G處時，恰

好在平面鏡中看到雕像的頂端B的像，此時測得小剛的眼睛到地面的距離G"為1.5米，

G尸=3米.已知點G、F、E、C與雕像的底端A在同一直線上，ABLAG,CDVAG,

GH1AG,請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計算該雕像的高度.（平面鏡大小忽略不計）

（22-23九年級上?陜西西安?期中）

37.如圖，直線E尸和直線尸。是兩排樹，其中點E、B、P、F、C、H、0為每棵樹所在的

位置，且EB=BP=FC=CH=HQ=3m,EP//FQ,為測量這兩排樹之間的距離P。，小

明先在兩棵樹0P的延長線上選取一點4恰好發(fā)現(xiàn)點4B、C在一條直線上，然后小明后

退10m到達點。處，發(fā)現(xiàn)點。、E、廠也在一條直線上，圖中尸F(xiàn)QVDQ,求兩排

樹之間的距離尸。.

試卷第15頁，共28頁

（22-23九年級上?陜西漢中?期中）

38.某校社會實踐小組為了測量花叢中路燈N8的高度，在地面上。處垂直于地面豎立了高

度為1.7加的標桿CD,這時地面上的點￡,標桿的頂端點C,路燈的頂端點N正好在同一

直線上，測得助=3m,將標桿向后平移5根到達點G處，這時地面上的點X,標桿的頂端

點、F,路燈的頂端點/正好在同一直線上，這時測得G〃=5m,請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計算

花叢中路燈N8的高度.

A

、、'、、

'、、'、、、

下、、、「'''

BDEGH

（22-23九年級上?陜西寶雞?期中）

39.秋冬季節(jié)扶風縣行政廣場的銀杏樹是一道靚麗的風景，小麗和小紅同學周六晚上相約來

欣賞燈光下的美景.看完美景又突發(fā)奇想：利用所學的測量物體高度的相關(guān)知識，測量路燈

高度4B.如圖所示，當小麗直立在點C處時，小紅測得小麗的影子CE的長為4米；此時小

麗恰好在她前方2米的點尸處的小水潭中看到路燈點A的影子，已知小麗的身高為1.6米,

請你利用以上數(shù)據(jù)求出路燈的高度AB.

（22-23九年級上?陜西?期中）

40.小紅和小亮經(jīng)常去學校圖書館里閱讀各種書籍，兩位同學想利用剛學過的測量知識來測

量該圖書館的高度.某天，他們帶著測量工具來圖書館前，但由于校園整體規(guī)劃的原因,

他們無法到達圖書館底部B.于是小亮在地面上的點C處放置了一個平面鏡，小紅從C處出

發(fā)沿著8C方向移動，當移動到點E處時，剛好在平面鏡內(nèi)看到圖書館的頂端A的像，此時,

測得CE=2米，小紅眼睛到地面的距離為1.6米；然后，小亮沿方向移動到點G,

用測量器測得圖書館頂端A的仰角為45。，此時，測得CG=8,測量器的高度尸G=0.8

米.已知點B、G、C、E在同一水平直線上，且48、FG、均垂直于BE,求該圖書

館的高度48.

試卷第16頁，共28頁

A

GCE

（23-24九年級上?陜西西安?期中）

41.某數(shù)學興趣小組要測量凌霄塔的高度如圖，塔前有一棵高4米的小樹CD,發(fā)現(xiàn)

水平地面上點￡、樹頂C和塔頂A恰好在一條直線上，測得3。=51米，D、E之間有一個

花圃距離無法測量；然后，在E處放置一平面鏡，沿BE后退，退到G處恰好在平面鏡中看

到樹頂C的像，EG=2.4米，測量者眼睛到地面的距離FG為1.6米；已知AB1BG,CDLBG,

FGLBG,點B、D、E、G在同一水平線上.請你求出凌霄塔的高度.（平面鏡的大小

厚度忽略不計）

（22-23九年級上?陜西咸陽?期中）

42.崇文塔位于陜西省西咸新區(qū)涇河新城崇文塔景區(qū)內(nèi)，是全國保存最好的磚塔之一.某校

社會實踐小組為了測量崇文塔的高度，在地面上C處垂直于地面豎立了高度為3米的標桿

CD,這時地面上的點E,標桿的頂端點D,崇文塔的塔尖點B正好在同一直線上，測得EC=4

米，將標桿向后平移到點G處，這時地面上的點R標桿的頂端點〃，崇文塔的塔尖點3

試卷第17頁，共28頁

正好在同一直線上，這時測得bG=6米，GC=56米（點/，點G,點E,點C與崇文塔底

處的點/在同一直線上），請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計算崇文塔的高度N8.

（22-23九年級上?陜西西安?期中）

43.探究題：

（1）問題提出：數(shù)學課本上有這樣一道題目：如圖①，一塊材料的形狀是銳角A/BC,邊

BC=60cm,高4D=40c%.把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在3c上，其余兩個

頂點分別在AC±,這個正方形零件的邊長是多少？

（2）初步探究：李華同學通過探究發(fā)現(xiàn)，如果要把A48c按照圖②加工成三個相同大小的正

方形零件，△/BC的邊與高4。需要滿足一定的數(shù)量關(guān)系，則這一數(shù)量關(guān)系是：—?

（直接寫出結(jié)論，不用說明理由）

（3）深入探究：若△N8C可以按照圖③加工成四個大小相同的正方形，且28=30。，試探究

△48C的邊5C與邊之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

題型02相似三角形的動點問題

（23-24九年級上?陜西西安?期中）

44.如圖，/2=16cm,AC=12cm,動點尸從點A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿邊/C向點C

運動，同時動點。從點3出發(fā)，以每秒1cm的速度沿邊出向點A運動，點尸到達點C后，

點0也停止，設(shè)運動時間為/秒，當f為何值時，△“尸。與△ABC相似？

試卷第18頁，共28頁

（23-24九年級上?陜西漢中?期中）

45.如圖，在△4BC中，/3=/C=5cm,3C=8cm,4D1.3C于點。.點E以2cm/s的速度

從點&出發(fā)，沿3。向終點C運動，同時，點尸以2cm/s的速度從點C出發(fā)，沿。I向終點A

運動.設(shè)它們的運動時間為/0），當/為何值時，以點E,F,C為頂點的三角形與A/C。

相似?

46.如圖，在矩形/8CZ）中，4B=15cm,8c=10cm,動點尸從點/出發(fā)，沿邊以2cm/s

的速度向點2勻速移動，動點。從點。出發(fā)，沿。/邊以lcm/s的速度向點/勻速移動，一

個動點到達端點時，另一個動點也停止運動，點尸，0同時出發(fā)，設(shè)運動時間為冬.

⑴當t為何值時，A4PQ的面積為9cm2?

（2）當［為何值時，以4,P,0為頂點的三角形與△NBC相似？

（23-24九年級上?陜西西安?期中）

47.如圖，在RtZk/BC中，z5=90°,AB=8cm,BC=6cm.點尸從A點出發(fā)沿/C向C

點運動，速度為每秒2cm,同時點。從C點出發(fā)沿C3向8點運動，速度為每秒1cm,當點尸

到達頂點。時，P、。同時停止運動，設(shè)尸點運動時間為/秒.

試卷第19頁，共28頁

AA

C

⑴當f為何值時，△尸。C是以/c為頂角的等腰三角形？

⑵當r為何值時，△尸。c的面積為5cm2?

⑶當t為何值時，△尸。C與△4BC相似？

(20-21九年級上?陜西咸陽?期中)

48.如圖，在矩形N8CD中，AD=4cm,AB=8cm,點尸從點/出發(fā)在邊N8上向點3勻

速運動，同時點0從點/出發(fā)在邊40上向點。勻速運動，速度都是lcm/s,運動時間是:s

(0<f<4),PELAB,交8。于點E,點。關(guān)于PE的對稱點是尸，射線尸尸分別與80,

8交于點“，N.

(1)求N8PN度數(shù)，并用含f的代數(shù)式表示尸￡的長；

(2)在點尸，0運動過程中，過點M作M/LNB于點H

①求證：型=YI,

PB3

②/為何值時，以點尸，Q,￡為頂點的三角形與△尸MB相似？

相似三角形與幾何變換綜合

(23-24九年級上?陜西榆林?期中)

49.(1)如圖1,正方形/BCD的對角線相交于點O,。是正方形44G。的一個頂點，且

這兩個正方形全等，正方形44G。可繞點。旋轉(zhuǎn)，邊4。與相交于點E,邊CQ與BC

相交于點尸，則OE,。尸的數(shù)量關(guān)系為.

試卷第20頁，共28頁

（2）如圖2,矩形/BCD的對角線相交于點O,O是矩形44G。的一個頂點，且這兩個矩

形全等，矩形445。可繞點。旋轉(zhuǎn)，邊4。與4B相交于點E,邊G。與相交于點尸,

猜想OE,OF,AB,8c之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

（3）如圖3,在必A48C中，/B=90°,AB=3,BC=4,直角/廠的頂點。在邊NC

的中點處，NE。9可繞著點。旋轉(zhuǎn)，它的兩條邊OE,。尸分別交射線4B,BC于點、E,

3

F,若CF=］，求0E的長.

（23-24九年級上?陜西咸陽?期中）

50.【問題探究】

（1）如圖1,在正方形N8CZ）和正方形BEFG中，點A,B,E在同一條直線上，連接。尸,

P是線段。尸的中點，連接尸C,PG,并延長GP交C。于點“，則尸G與尸C的位置關(guān)系是

,數(shù)量關(guān)系是.

【問題變式】

（2）如圖2,將（1）中的正方形和正方形3EFG換成菱形/8CZ）和菱形BEFG,連接

DF,P是線段。尸的中點，連接尸C,PG,且48。=/8后尸=60。.判斷PG與PC的位

置關(guān)系，并求等PG的值;

（3）如圖3,將圖1中的正方形BEFG繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，使點尸在邊8C上，連接。尸，點

P仍為。尸的中點，連接尸G、PC,GC,試說明△尸CGSAEBF.

圖3

（22-23九年級上?陜西西安?期中）

試卷第21頁，共28頁

51.定義：一般地，如果兩個相似多邊形任意一組對應頂點尸，P所在的直線都經(jīng)過同一

點。，且有。P=h0P住NO),那么這樣的兩個多邊形叫做位似多邊形，點。叫做位似中

心，

(1)如圖，在△/8C中，4408=90。，44=30。，N3=6cm.點尸在48上，點。在/C上,

以尸。為邊作菱形尸QMN,點N在線段依上且/的=120。，在△NBC及其內(nèi)部，以點A

為位似中心，請畫出菱形尸。肱V的位似菱形尸'0'〃州，且使菱形尸‘。'”州的面積最大(不

要求尺規(guī)作圖)；

(2)求(1)中作出的菱形P'0'MN'的面積;

(3)如圖，四邊形ABCD、/EFG是全等的兩個菱形，CD、E尸相交于點連接BG、

CF.請用定義證明：A/3G與尸位似.

幾何綜合探究壓軸題

(23-24九年級上?陜西西安?期中)

52.【問題呈現(xiàn)】

(1)如圖1,△4BC和△4DE都是等邊三角形，連接8。、CE,則8。與CE的數(shù)量關(guān)系為:

試卷第22頁，共28頁

【類比探究】

(2)如圖2,△/2C和都是等腰直角三角形，ZABC=ZADE=90°,連接50、

CE,求證：CE=42.BD;

?

\,X

他—

圖2

【拓展提升】

4RAD

如圖和都是直角三角形，ZABC=ZADE=90°,>—,連接

(3)3,△4BC"DEBCDE

BD、CE,延長CE交45于點G,交BD于點、F,若ZG-BG=12,求CG?尸G的值.

A

a--------

(23-24九年級上?陜西榆林?期中)

53.某校數(shù)學活動小組在一次活動中，對一個數(shù)學問題作如下探究：

圖1圖2

【發(fā)現(xiàn)問題】

(1)如圖1,在等邊△ABC中，點P是邊2C上任意一點，連接4尸，以NP為邊作△ABC

的相似圖形△4P。，連接C。，判斷//8C與4C0的數(shù)量關(guān)系，并說用理由；

【變式探究】

(2)如圖2,在正方形ND8C中，點尸是邊2C上一點，以/P為邊作正方形/尸斯，。是

正方形/尸斯對角線的交點，連接C。.若正方形/PE尸的邊長為10,CQ=4i,求正方形

試卷第23頁，共28頁

ADBC的邊長.

(23-24九年級上?陜西西安?期中)

54.數(shù)學活動課上，老師讓同學們根據(jù)下面情境提出問題并解答.

問題情境：在口4BCD中，點尸是邊力。上一點，將△尸DC沿直線尸C折疊，點。的對應點為

E.

數(shù)學思考：

(1)“興趣小組’'提出的問題是：如圖1，若點尸與點A重合，過點E作斯〃4D,與PC交于

點、F,連接。尸，則四邊形NEED是(填菱形，矩形，正方形)

拓展探究：

(2)“智慧小組”提出的問題是：如圖2,當點P為4D的中點時，延長CE交力B于點尸，連接

P尸.試判斷P尸與尸C的位置關(guān)系，并說明理由；

問題解決：

(3)“創(chuàng)新小組”在前兩個小組的啟發(fā)下，提出的問題是：如圖3,當點E恰好落在4B邊上時,

AP=6,PD=8,0c=20,求NE的長.

D,--------.CD,----------------,C

AE

(23-24九年級上?陜西榆林?期中)

55.某校數(shù)學活動小組在一次活動中，對一個數(shù)學問題作如下探究.

【問題發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖①，在等邊△/8C中，點尸是邊8c上一點，且BP=E,連接力尸，以4尸為邊

作等邊△NP0,連接CQ.則C。的長為；

【問題提出】

(2)如圖②，在等腰△/B。中，=點尸是邊BC上任意一點，以NP為腰作等腰

AAPQ,^AP=PQ,ZAPQ=ZABC,連接C0.試說明//3C與相等；

【問題解決】

(3)如圖(3),在正方形4D8C中，點P是邊上一點，以/P為邊作正方形4?空尸，點

試卷第24頁，共28頁

。是正方形4PE廠的對稱中心，連接C。.若正方形4PE尸的邊長為12,CQ=4y/2,求正

方形/D2C的邊長.

(23-24九年級上?陜西咸陽?期中)

56.如圖1,在矩形N3CZ）中，AB=4,AD=6,￡是邊CD的中點，P(與點、B,C不重合)

是邊BC上一動點，連接/P,PE,延長PE交的延長線于點Q.

(1)求證：△尸CE妾△QDE.

(2)當時，求8尸的長.

⑶如圖2,分別取P4PE,4D的中點尸，G,”,連接bG,FH,GH,當尸G_LW時，求AP

的長和ARG”的面積.

圖2

(23-24九年級上?陜西西安?期中)

57.某數(shù)學興趣小組在數(shù)學課外活動中，研究三角形和矩形的性質(zhì)時，做了如下探究：在矩

形N8CZ）中，點￡在CD上，BC=3,AB=4,DE=1.

(1)【觀察與猜想】

試卷第25頁，共28頁

如圖1,連接過點E作斯，交BC于點、F,連接尸，求證：AE=EF；

⑵【類比探究】

如圖2,點尸在矩形的邊40上(點P不與點4。重合)，連接尸E,過點￡作

EF1.PE,交8c于點尸，連接尸求證：APDESAECF；

(3)【拓展延伸】

如圖3,點尸在矩形/BCD的邊上(點尸不與點/、。重合)，連接尸E,過點￡作

EFLPE,交AB于點、F,連接尸尸，且△尸所的面積是2.16,求4P的長.

存在性問題

(23-24九年級上?陜西西安?期中)

58.問題發(fā)現(xiàn):

(1)如圖1,點。是線段的中點，直線/經(jīng)過點0,分別過A、B作直線/的垂線段

AC,BD,垂足分別是點C、D.求證：AC=BD-

問題探究：

⑵如圖2,在四邊形N8CD中，448c=50。，48。=40。，點尸為NC的中點，點、E為

8。的中點，若48=8,CD=12,則EF的長是一；

問題解決：

(3)如圖3,四邊形CM8C在平面直角坐標系中，其中4(8,0)、5(8,6),OA//BC,

點。、￡分別在N8、8c上，BC=6,5E=8O=2,若點M在。4上、點N在四邊形048C

的另一條邊上，滿足點。、E到直線"N的距離相等，且九W平分四邊形。18C的面積.問：

能否找到滿足上述條件的直線兒W?如果能，求出N的坐標；如果不能，請說明理由.

(23-24九年級上?陜西西安?期中)

59.如圖1,△/BC是等邊三角形，將直角三角板的60。角的頂點。放在邊2C上(點。不

試卷第26頁，共28頁

與點B,C重合)，兩邊分別交線段45,/C于點K,F.

(1)若/2=6,AE=4,BD=2,求CF的長.

⑵求證：AEBDS^DCF.

(3)某工廠的工人師傅要制作一個模具，現(xiàn)將圖1中的三角板的頂點。在邊3c上移動，保持

三角板與邊N2,NC的兩個交點E,尸都存在，連接斯，如圖2所示.己知/8=20cm,

問點。是否存在某一位置，使ED平分NBEF,且FD平分NCFE?若存在，求出BE(尸的

值及△/￡尸的周長；若不存在，請說明理由.

(23-24九年級上?陜西西安?期中)

60.問題探究

(1)請在圖1中過點/畫一條直線，將△NBC分成面積相等的兩部分；

(2)如圖2,在口中，AB=3,ND=4,點￡在4D的延長線上，且。E=2,過點E

作直線/分別交邊CD,N8于點/，N.若直線/將口/BCD的面積平分，則請求出CW的

長度；

問題解決

(3)某市為保護生態(tài)環(huán)境，方便市民觀光游覽，準備在秦嶺北麓興建一處“和諧觀光園”，

其形狀為四邊形48cD,如圖3所示.在四邊形48co中，4=40=90。，實際長度/。=5

公里，/8=9公里，8C=13公里，CD=15公里，點尸在CD上且PD=5公里，根據(jù)用地

需求，需在BC上確定點E,將五邊形作為特色植物繁育展示區(qū)，使其面積為四邊

形/8CZ)總面積的一半，并在AB上確定點尸，在△尸所中修建游客休息區(qū)，剩余部分作為

花卉展示區(qū)，為方便游客游覽，要求修建PF、防三條觀光道路的總長度最小.請問

這樣的△PE尸是否存在？若存在，請求出點E到點3的距離及△尸斯周長的最小值；若不

存在，請說明理由.

試卷第27頁，共28頁

(22-23九年級上?陜西西安?期中)

61.綜合與探究：已知：如圖①，在RtZUBC中，ZC=90°,AC=8cm,3c=6cm,點尸

由B出發(fā)沿32方向向點A勻速運動，速度為lcm/s；點0由A出發(fā)沿NC方向向點C勻速運

動,速度為2cm/s；連接尸。.若設(shè)運動的時間為心)(0</<4),解答下列問題：

圖①圖②

(1)當NP=N。時，求t的值；

⑵點P,。同時出發(fā)，/為何值時，以A,P,。為頂點的三角形與△NBC相似；

(3)如圖②，連接尸C,并把△尸。C沿0C翻折，得到四邊形尸。尸'。，那么是否存在某一時

刻I,使四邊形P0PC為菱形？若存在，直接寫出此時r的值；若不存在，說明理由，(不寫

求解過程)

試卷第28頁，共28頁

1.(1)見解析

(2)以-2,8),。(-6,4)

【分析】(1)根據(jù)位似即可得;

(2)根據(jù)圖即可得.

【詳解】(1)解：如圖，即為所求.

(2)解：根據(jù)圖得，"(-2,8),C(-6,4).

【點睛】本題考查了位似，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握位似.

2.(1)見解析

⑵(-2a,-26)

【分析】本題考查了位似圖形的坐標系中的作圖，位似的性質(zhì)等知識.

(1)根據(jù)位似比，結(jié)合位置要求畫圖形即可.

(2)直接利用位似比可得出坐標.

【詳解】(1)解：如圖，

(2)解：點。(內(nèi)?為△048內(nèi)一點，則點。的對應點〃的坐標為(-2a,-26).

答案第1頁，共69頁

故答案為：(-20,-26).

3.⑴見解析

(2)點4、4的坐標為(-2,4),(-8,2)

【分析】本題考查作圖-位似變換，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握位似圖形的性質(zhì).

(1)分別作出點/、B、C的對應點4、片、G，順次連接起來即可；

(2)根據(jù)點4、耳的位置寫出坐標即可.

【詳解】(1)解：即為所作；

4.圖見解析，4(-2,-2),5,(-4,-6),G(-6,-4)

【分析】本題考查位似圖形，把4B、C的坐標都乘以-2得到外、不、。2的坐標，然后描

點得出△440；再寫出4、用、。的坐標即可.

【詳解】解：如圖，△40G即為所作，

答案第2頁，共69頁