2025年高考數(shù)學專項復習訓練：直線與圓錐曲線的位置關系【七大題型】原卷版+解析版

專題8.8直線與圓錐曲線的位置關系【七大題型】

【新高考專用】

?熱點題型歸納

【題型1直線與圓錐曲線的位置關系】..........................................................4

【題型2圓錐曲線的弦長問題】................................................................4

【題型3圓錐曲線的中點弦問題】..............................................................6

【題型4圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題】..............................................7

【題型5圓錐曲線中的最值問題】..............................................................8

【題型6圓錐曲線中的向量問題1...............................................................................................9

【題型7圓錐曲線中的探索性問題】...........................................................11

?考情分析

1、直線與圓錐曲線的位置關系

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

2022年新高考全國I卷：第

22題，12分

2022年新高考全國II卷:第22

題，12分圓錐曲線是高考的熱點內容，直線

2023年新高考I卷：第22題，與圓錐曲線的位置關系是每年高考必考

（1）了解直線與圓錐曲線

12分內容.從近幾年的高考情況來看，本節(jié)內

位置關系的判斷方法

2023年新高考H卷:第21題，容主要以解答題的形式考查，考查方向

⑵掌握直線被圓錐曲線

12分主要有兩個方面：一是平面解析幾何通

所截的弦長公式

2023年全國甲卷（理數(shù)）：性通法的研究；二是圓錐曲線中的弦長、

⑶能利用方程及數(shù)形結

第20題，12分面積、最值、定點、定值或定直線等問

合思想解決焦點弦、中點

2024年新高考I卷：第16題，題的求解；有時會與向量、數(shù)列等知識

弦問題

15分結合考查，其思維要求高，計算量較大，

2024年新高考II卷：第10題，需要靈活求解.

6分

2024年新高考II卷：第19題，

17分

?知識梳理

【知識點1直線與圓錐曲線的位置關系】

1.直線與圓錐曲線的位置判斷

將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y（或x）,得到關于x（或y）的一元二次方程，則直線與圓錐曲線

相交u臺△>（）；直線與圓錐曲線相切u》A=。；直線與圓錐曲線相離u今△<0.

特別地，①與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線相交，有且只有一個交點.

②與拋物線的對稱軸平行的直線與拋物線相交，有且只有一個交點.

【知識點2圓錐曲線中的弦長問題】

1.橢圓的弦長問題

(1)定義：直線與橢圓的交點間的線段叫作橢圓的弦.

工2V2

(2)弦長公式：設直線/:y=foc+加交橢圓后+方?=：!(a>6>0)于尸I(XQI),尸2(如”)兩點，

則出尸21=0+左[Xi—句或l^lAl=J+%|凹—.

2.雙曲線的弦長問題

2

①弦長公式：直線>=息+6與雙曲線相交所得的弦長d=\^\+k\xi—x2\=十%|%-R.

②解決此類問題時要注意是交在同一支，還是交在兩支上.

③處理直線與圓錐曲線相交弦有關問題時，利用韋達定理、點差法的解題過程中，并沒有條件確定直

線與圓錐曲線一定會相交，因此，最后要代回去檢驗.

④雙曲線的通徑：

過焦點且與焦點所在的對稱軸垂直的直線被雙曲線截得的線段叫作雙曲線的通徑.無論焦點在x軸上還

是在〉軸上，雙曲線的通徑總等于笠

3.拋物線的弦長問題

設直線與拋物線交于/(%,%),夙X"乃)兩點，貝U

2

\AB\=\/(1+k~\xx—x2)=+尸?7(X]+.2)2-4氏工2或

\AB\={(1+表)(M—乃丁=J1+表?,(%+于>一4川為(左為直線的斜率，際0).

【知識點3圓錐曲線中的中點弦與焦點弦問題】

1.橢圓的“中點弦問題”

(1)解決橢圓中點弦問題的兩種方法

①根與系數(shù)的關系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根

與系數(shù)的關系以及中點坐標公式解決.

②點差法：利用端點在曲線上，坐標滿足方程，將端點坐標分別代入橢圓方程，然后作差，構造出中

點坐標和斜率的關系.

22

設/(%,珀，3(%2,歹2)，代入橢圓方程%+方=1(a>6>0),

①.②可得3+X2）'I—必）+（凹+Rj…）巾,

ab

設線段的中點為尸（X。/。），當x#X2時，有￡+W=°.

因為尸（X。0。）為弦的中點，從而轉化為中點尸（x。,%）與直線N2的斜率之間的關系，這就是處理弦

中點軌跡問題的常用方法.

（2）弦的中點與直線的斜率的關系

線段48是橢圓￡+，=1（。>6>0）的一條弦，當弦所在直線的斜率存在時，弦AB的中點”的坐標

為,則弦AB所在直線的斜率為-孕，即心心kAB=~~.

aJ。Q

2.雙曲線的“中點弦問題”

“設而不求”法解決中點弦問題：

①過橢圓內一點作直線，與橢圓交于兩點，使這點為弦的中點，這樣的直線一定存在，但在雙曲線的

這類問題中，則不能確定.要注意檢驗.

②在解決此類問題中，常用韋達定理及垂直直線的斜率關系.常用的解題技巧是如何應用直線方程將

乃必轉化為能用韋達定理直接代換的4+刈戶產2.垂直關系有時用向量的數(shù)量關系來刻畫，要注意轉化.

3.拋物線的焦點弦問題

拋物線y2=2/M>0）上一點/（無0,%）與焦點廠（彳,0）的距離為l"1=Xo+-y，若MV為拋物線y2=20x（f?>0）

的焦點弦，則焦點弦長為|MV|=Xi+x?+p（Xi,x2分別為MN的橫坐標）.

設過拋物線焦點的弦的端點為/（磯弘）乃（向,g），則四種標準方程形式下的弦長公式為：

標準方程弦長公式

y2=2px(p>0)\AB\=x\+x0+p

y2=-2px(p>0)M=p-(X1+X2)

2

x=2py(p>0)\AB\=yi+y2+p

x2=-2py(p>0)\AB^p-(yx+y^

【知識點4圓錐曲線中最值問題的解題策略】

1.處理圓錐曲線最值問題的求解方法

圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：

一是利用幾何法，即通過利用曲線的定義、幾何性質以及平面幾何中的定理、性質等進行求解；

二是利用代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達式表示為某個（些）參數(shù)的函數(shù)（解析式），然后利用

函數(shù)方法、不等式方法等進行求解.

【知識點5圓錐曲線中的探索性問題的解題策略】

1.圓錐曲線中的探索性問題

此類問題一般分為探究條件、探究結論兩種.若探究條件，則可先假設條件成立，再驗證結論是否成立,

成立則存在，否則不存在；若探究結論，則應先求出結論的表達式，再針對其表達式進行討論，往往涉及

對參數(shù)的討論.

【方法技巧與總結】

Y-p2

1.已知M,N是橢圓C：后+泉=1（Q>6>0）上的兩點，點。為坐標原點，且尸是M,N的中點，則

.._b2

^MN.k（jp―2?

a

Z）2

2.若曲線為雙曲線，其余條件不變，貝曝肱v?生戶=后.

3.若曲線為拋物線，P（x。,%）為弦MV的中點：左加=3（開口向右），心加=一二（開口向左）,

，0歹0

kMN—萬（開口向上），kMN=—萬（開口向下）.

?舉一反三

【題型1直線與圓錐曲線的位置關系】

【例1】（2024?山東?模擬預測）已知直線1：y=kx+l,橢圓C：9+必=1,貝『%=0”是“I與C相切”的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【變式1-1］（2024?廣東肇慶?模擬預測）已知雙曲線則過點（2,西）與E有且只有一個公共點的

直線共有（）

A.4條B.3條C.2條D.1條

【變式1-2］（2024?江蘇宿遷?三模）已知拋物線C:久2=y,點則“爪>1”是“過M且與C僅有一個公

共點的直線有3條”的（）

A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【變式1-3］（2024?上海?模擬預測）已知直線嗚橢圓r,點％尸2分別為橢圓吟+必=1的左右焦點，直線

FiMll,F2N11,垂足分別為點MN（M,N不重合），那么“直線，與橢圓「相切”是“|2M|?丹州=1”的

（）

A.充分非必要B.必要非充分

C.充分必要D.既非充分又非必要

【題型2圓錐曲線的弦長問題】

【例2】（2024?安徽蚌埠?模擬預測）已知雙曲線值/一，=1（￡1>0,6>0）的左頂點是2（-1,0）,一條漸近線

的方程為丫=乂.

（1）求雙曲線￡的離心率;

⑵設直線y=與雙曲線E交于點PQ，求線段P。的長.

22

【變式2-1](2024?河南?模擬預測)己知橢圓。云+藍=l(a>6>0)的左、右焦點分別為2,打，點「(但舊)

為橢圓C上一點，且△0％出的面積為2遍.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若傾斜角為;的直線/與C相交于兩個不同的點4B,求|4B|的最大值.

【變式2-2](2024?全國?模擬預測)已知雙曲線喏—'=l(a>0,6〉0)一個焦點F到漸近線的距離為房

且離心率為2.

(1)求雙曲線C的標準方程；

(2)設M,N分別是雙曲線C左、右兩支上的動點，4為雙曲線C的左頂點，若直線力M,AN的斜率分別為的,七，

且的??==9近，求直線MN的方程.

22

【變式2-3](2024?四川成都?模擬預測)已知橢圓+標=l(a>6>0)與拋物線C2：V=4以的圖象在

第一象限交于點P.若橢圓的右頂點為3,且|PB|=9a.

(1)求橢圓的的離心率.

(2)若橢圓的的焦距長為2,直線/過點反設/與拋物線。2相交于不同的兩點〃、N,且AOMN的面積為

24,求線段|MN|的長度.

【題型3圓錐曲線的中點弦問題】

22

【例3】(2024?陜西西安?模擬預測)已知橢圓C:芯+左=l(a>b>0)的一個焦點與拋物線產=4x的焦點重

合，離心率為:

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點尸(-，0)作斜率為|的直線交橢圓C于P,Q兩點，求弦PQ中點坐標.

【變式3-1](2024?廣東?二模)已知雙曲線C:*看=l(a>0/>0)的焦點與橢圓9+%=1的焦點重合,

其漸近線方程為丫=士爭.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若48為雙曲線C上的兩點且不關于原點對稱，直線1丁=9過48的中點，求直線4B的斜率.

【變式3-2](2024?陜西西安?三模)已知橢圓C：5+，=l(a>6>0)的長軸長是短軸長的四倍，且右焦點

為F(l,0).

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)直線l:y=k(x+2)交橢圓C于4B兩點，若線段4B中點的橫坐標為-1.求直線I的方程.

【變式3-3](2024?陜西渭南?模擬預測)已知。為坐標原點，拋物線=2p久(p>0)的焦點為F,點

X(x0,2p)在C上，且sinN04F=零.

(1)求C的標準方程；

(2)已知直線/交C于M,N兩點,且MN的中點為(2,1),求直線/的方程.

【題型4圓錐曲線中的三角形(四邊形)面積問題】

【例4】(2024?河北?模擬預測)已知直線/過橢圓。技+工=1(￡1>0乃>0)的右焦點尸(1,0),且交C于4&，9

,B兩點.

(1)求C的離心率;

(2)設點P(3,l),求△4BP的面積.

2

【變式4-1](2024?山東濟南?二模)己知點B(4,板)是雙曲線行今-步=1上一點，7在點B處的切線與x軸交

于點4

⑴求雙曲線T的方程及點4的坐標；

(2)過4且斜率非負的直線與T的左、右支分別交于N,M.過N做NP垂直于x軸交T于P(當N位于左頂點時認為N

與P重合).C為圓E:(x—1產+(y+2產=1上任意一點，求四邊形MBPC的面積S的最小值.

【變式4-2](2024?浙江?模擬預測)已知點4(4,4),B,C,。均在拋物線W：x2=2py(p>0)±,A,C關

于y軸對稱，直線48,4。關于直線4C對稱，點。在直線AC的上方，直線2。交y軸于點E,直線4B斜率小于

2.

(1)求△2BE面積的最大值；

(2)記四邊形BCDE的面積為Si，UBE的面積為S2，若|j=2,求sinNBAD.

【變式4-3](2024?陜西寶雞?三模)已知橢圓E：g+1(a>b>0)和圓C：x2+y2=1,C經(jīng)過￡

的右焦點R點),8為￡的右頂點和上頂點，原點。到直線N8的距離為零.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設。，/是橢圓￡的左、右頂點，過歹的直線/交E于〃，N兩點(其中M點在x軸上方)，求aMaF

與△DNF的面積之比的取值范圍.

【題型5圓錐曲線中的最值問題】

22

【例5】(2024?新疆?二模)已知橢圓。宏+:=l(a>b>0)的左焦點為F,C上任意一點到F的距離的最大

值和最小值之積為1,離心率為奈

⑴求C的方程；

(2)設過點R(l()的直線/與C交于M,N兩點,若動點P滿足兩=4嬴，PN=-ANR,動點Q在橢圓C上，求|PQ|

的最小值.

【變式5-1]（2024?陜西西安?模擬預測）已知為拋物線C：*=2px（p>0）上的一點，直線x=my+幾

交C于4,3兩點，且直線P4PB的斜率之積為2.

（1）求C的準線方程；

（2）求?。ň乓?的最小值.

【變式5-2]（2024?福建泉州?模擬預測）己知橢圓C：總+?=1的左右焦點分別是FI，F(xiàn)2,雙曲線E的頂點

恰好是％、F2,且一條漸近線是丫=心

（1）求E的方程：

（2）若E上任意一點H（異于頂點），作直線“％交C于4B,作直線“尸2交C于P,Q,求|4B|+4|PQ|的最小值.

【變式5-3]（2024?安徽?三模）已知雙曲線C:*f|=1（。>0,6>0）的離心率為2,動直線切=依+6與C

的左、右兩支分別交于點MN,且當卜=爪=1時，OM-ON=-2（。為坐標原點）.

⑴求C的方程；

⑵若點。到珀勺距離為1,。的左、右頂點分別為a/2,記直線4M/2N的斜率分別為LM,3N，求小;黑尸

的最小值

【題型6圓錐曲線中的向量問題】

【例6】(2024?四川成都?模擬預測)橢圓C的中心為坐標原點。，焦點在y軸上，離心率e=^，橢圓上的點

到焦點的最短距離為1-e,直線I與y軸交于點P(0,m)(m^O),與橢圓C交于相異兩點4B,^OA+MB=4

~0P.

(1)求橢圓方程；

(2)求ZH的取值范圍.

【變式6-1](2024?湖北襄陽?模擬預測)設雙曲線￡落居=1缶>0,6>0)的左、右頂點分別為4B,左、

右焦點分別為%,F2，|%&|=2而，且E的漸近線方程為、=±權，直線咬雙曲線E于P,Q兩點.

⑴求雙曲線E的方程；

(2)當直線I過點(4,0)時，求而?而的取值范圍.

【變式6-2](2024?福建廈門?二模)已知4(-2,0),B(2,0),P為平面上的一個動點.設直線力P,BP的斜率分

別為七，k2,且滿足七?的=—J.記P的軌跡為曲線匚

(1)求r的軌跡方程；

(2)直線P4PB分別交動直線x=t于點C,。，過點C作PB的垂線交x軸于點H.坑?麗是否存在最大值？若存

在，求出最大值；若不存在，說明理由.

222

【變式6-3](2024?陜西咸陽?模擬預測)已知橢圓C:叁+與=l(a>b>0)的離心率是雙曲線會一步=1的離

心率的倒數(shù)，橢圓C的左、右焦點分別為尸1F2，上頂點為P，且西?麗=-2.

(1)求橢圓C的方程；

⑵當過點Q(0,2)的動直線I與橢圓C相交于兩個不同點4B時，設而=4詼，求4的取值范圍.

【題型7圓錐曲線中的探索性問題】

【例7】(2024?云南昆明?模擬預測)已知雙曲線氏9=l(a>0)的右焦點為&(c,0)，一條漸近線方程

為y=*c

⑴求雙曲線E的方程;

(2)是否存在過點七的直線/與雙曲線E的左右兩支分別交于42兩點，且使得NF/B=NF1B4若存在,

求出直線/的方程；若不存在，說明理由.

【變式7-1](2024?上海長寧?二模)已知橢圓「：[+q=1,0為坐標原點；

63

(1)求r的離心率e；

(2)設點N(l,0),點M在「上，求|MN|的最大值和最小值；

(3)點7(2,1),點P在直線x+y=3上，過點P且與。T平行的直線/與「交于4B兩點；試探究：是否存在常數(shù)九

使得|可.麗|=%|而『恒成立；若存在，求出該常數(shù)的值；若不存在，說明理由；

【變式7-2]（2024?全國?二模）橢圓「：《+'=l（a>623）的離心率為孚，左、右頂點分別為/,B,過

點M（3,0）的動直線I與橢圓T相交于尸，。兩點，當直線珀勺斜率為1時，|PQ|=等.

（1）求橢圓r的標準方程；

（2）設直線/P與直線x=t的交點為N,是否存在定實數(shù)t,使。，B,N三點共線?若存在，求出t的值；若不

存在，請說明理由.

【變式7-3]（2024?全國?模擬預測）已知雙曲線C:，—'=1（（1>0,6>0）的離心率為*且點（一4魚,3）在雙

曲線C上.

（1）求雙曲線C的標準方程.

（2）過點P（0,l）的直線1與雙曲線C的左、右兩支分別交于點4艮問：在y軸上是否存在定點Q,使直線AQ與BQ

的斜率之和為定值？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

?過關測試

一、單選題

1.（2024?湖南衡陽?模擬預測）已知直線依+y+2k=0與橢圓9+?=1相切，則k的值為（）

11

A.2B.-C.±2D.±-

2.（2024?安徽蕪湖?模擬預測）已知橢圓3+9=1，一組斜率，的平行直線與橢圓相交，則這些直線被橢

圓截得的段的中點所在的直線方程為（）

A.y=-|xB.y=-2xC.y=-|xD.y=2x

3.（2024?全國?模擬預測）設拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點為尸，直線/與C交于N,8兩點，F(xiàn)A1FB,

\FA\=2\FB\,則l的斜率是()

A.±1B.±V2C.±V3D.±2

4.（2024?北京海淀?三模）已知拋物線產=軌的焦點為產、點M在拋物線上，垂直〉軸于點N,若

\MF\=6,則△MNF的面積為（）

A.8B.4V5C.5V5D.10V5

2

5.（2024?河南信陽三模）已知橢圓白+/=1,P為橢圓上任意一點，過點尸分別作與直線％：y=3久和已

:y=-3x平行的直線，分別交%，A交于M，N兩點，則|MN|的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

22

6.（2024?黑龍江?二模）雙曲線C:今一左=1的左、右頂點分別為公，A2,左、右焦點分別為廣,F2,過八

作直線與雙曲線C的左、右兩支分別交于M,N兩點.若俞=軻后，且cosN%NF2=g則直線與MA?

的斜率之積為（）

A.B.-C.D.

7.（2024?陜西商洛?三模）已知拋物線E:y2=2px（p>0）的焦點為尸，過尸的直線交E于/,3兩點，點尸

滿足而=2而（0<4<1）,其中。為坐標原點，直線4P交E于另一點C,直線AP交￡于另一點。，記

△PAB,△PCD的面積分別為Si，S2,則卷=（）

A.AB.2AC.A2D.2/L2

8.（2024?陜西榆林?模擬預測）如圖，拋物線￡：y2=2px（p〉o）的焦點為尸，過點M（p,0）的直線八，%與

E分別相交于4（X1，月），3（乂2，丫2）和。，。兩點，直線40經(jīng)過點尸，當直線48垂直于x軸時，|4F|=3.下

列結論正確的是（）

A.p=4

B.yiy2=-6

C.若皿的斜率分別為購，k2f則七=2七

D.若△FAB的面積為2魚，貝q△尸C。的面積為4企

二、多選題

9.（2024?廣東茂名?二模）已知雙曲線。4/—f=1,直線l：y=履+>0）,則下列說法正確的是

（）

A.若k=2,貝”與C僅有一個公共點

B.若k=2近，貝〃與C僅有一個公共點

C.若I與C有兩個公共點，貝。2<卜<2魚

D.若/與C沒有公共點，則k>2四

?2

10.（2024?江西?模擬預測）己知4（一2,0）,B（2,0）,C（l,0）,動點M滿足MA與MB的斜率之積為一“動點M

的軌跡記為「，過點c的直線交「于p,Q兩點，且p,Q的中點為R,則（）

A.M的軌跡方程為3+9=1

B.|MC|的最小值為1

C.若。為坐標原點，則面積的最大值為|

D.若線段PQ的垂直平分線交%軸于點D,則R點的橫坐標是。點的橫坐標的4倍

2

11.（2024?浙江金華?模擬預測）已知橢圓三+必=1,。為原點，過第一象限內橢圓外一點P（xo,yo）作橢圓的

兩條切線，切點分別為4B.記直線O4OB,P4PB的斜率分別為的也后%，若七?七=］，則（）

A.直線A8過定點B.（七+瓢）?（的+七）為定值

C.久0-出的最大值為2D.5久0-3yo的最小值為4

三、填空題

12.（2024?海南?模擬預測）已知拋物線。產=6久的焦點為F,過點F的直線Z與拋物線。交于M,N兩點，

若\MN\=54,則直線［的斜率為.

13.（2024?安徽?模擬預測）已知拋物線。必=4比的焦點為為C上的兩點.若直線凡4的斜率為表且

FA-FB^O,延長分別交C于P,Q兩點，則四邊形ABPQ的面積為.

14.（2024?寧夏銀川?三模）已知曲線C:y=4（—3,0）,B（3,0）,尸為C上異于4,8的一點，直線4P

與直線x=5交于直線BP與直線x=6交于點N,則有以下四種說法：

①存在兩個定點，使得尸到這兩個定點的距離之和為定值

②直線4P與直線BP的斜率之差的最小值為,

③|MN|的最小值為等

④當直線4P的斜率大于拊，|MN|大于等

其中正確命題的序號為.

四、解答題

22

15.(2024?海南?模擬預測)已知雙曲線。今一春=l(a>0,b>0)的實軸長為2立，點P(2,竭在雙曲線C

上.

(1)求雙曲線C的標準方程；

(2)過點P且斜率為26的直線與雙曲線C的另一個交點為Q,求|PQ|.

16.(2024?福建泉州?模擬預測)已知橢圓￡：《+居=19>。>0)的左、右焦點分別為鼻尸2，離心率為|,

且經(jīng)過點(2,1).

(1)求E的方程；

(2)過％且不垂直于坐標軸的直線/交E于48兩點，點M為4B的中點，記△MF/2的面積為Si,△BF1&的面

積為S2,求言的取值范圍.

17.(2024?山西太原?二模)已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為尸，過點。(2,1)且斜率為1的直線

經(jīng)過點F.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若/,2是拋物線C上兩個動點，在x軸上是否存在定點M(異于坐標原點。)，使得當直線經(jīng)過點

M時，滿足。41。8?若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

18.(2024?河南鄭州?模擬預測)設拋物線。必=2Px(p>0)的焦點為F，。(配,出)是C上一點且仍尸口―仍巴=

XQ+x0,直線/經(jīng)過點Q(-8,0).

(1)求拋物線C的方程；

(2)①若I與C相切，且切點在第一象限，求切點的坐標；

②若I與C在第一象限內的兩個不同交點為4B,且Q關于原點。的對稱點為R,證明：直線4R,BR的傾斜角之

和為7T.

19.(2024?湖南邵陽?三模)已知橢圓C：2+餐=l(a>b〉0)的離心率為今右頂點Q與C的上，下頂點所

圍成的三角形面積為2遮.

⑴求C的方程.

(2)不過點Q的動直線，與C交于4B兩點,直線Q4與Q8的斜率之積恒為;.

(i)證明：直線I過定點；

(ii)求AQAB面積的最大值.

專題8.8直線與圓錐曲線的位置關系【七大題型】

【新高考專用】

?熱點題型歸納

【題型1直線與圓錐曲線的位置關系】..........................................................4

【題型2圓錐曲線的弦長問題】.................................................................6

【題型3圓錐曲線的中點弦問題】..............................................................10

【題型4圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題】.............................................14

【題型5圓錐曲線中的最值問題】..............................................................19

【題型6圓錐曲線中的向量問題】.............................................................24

【題型7圓錐曲線中的探索性問題】...........................................................28

?考情分析

1、直線與圓錐曲線的位置關系

考點要求真題統(tǒng)計考情分析

2022年新高考全國I卷：第

22題，12分

2022年新高考全國II卷:第22

題，12分圓錐曲線是高考的熱點內容，直線

2023年新高考I卷：第22題，與圓錐曲線的位置關系是每年高考必考

（1）了解直線與圓錐曲線

12分內容.從近幾年的高考情況來看，本節(jié)內

位置關系的判斷方法

2023年新高考H卷:第21題，容主要以解答題的形式考查，考查方向

⑵掌握直線被圓錐曲線

12分主要有兩個方面：一是平面解析幾何通

所截的弦長公式

2023年全國甲卷（理數(shù)）：性通法的研究；二是圓錐曲線中的弦長、

⑶能利用方程及數(shù)形結

第20題，12分面積、最值、定點、定值或定直線等問

合思想解決焦點弦、中點

2024年新高考I卷：第16題，題的求解；有時會與向量、數(shù)列等知識

弦問題

15分結合考查，其思維要求高，計算量較大，

2024年新高考II卷：第10題，需要靈活求解.

6分

2024年新高考II卷：第19題，

17分

?知識梳理

【知識點1直線與圓錐曲線的位置關系】

1.直線與圓錐曲線的位置判斷

將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y（或x）,得到關于x（或y）的一元二次方程，則直線與圓錐曲線

相交u臺△>（）；直線與圓錐曲線相切u》A=。；直線與圓錐曲線相離u今△<0.

特別地，①與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線相交，有且只有一個交點.

②與拋物線的對稱軸平行的直線與拋物線相交，有且只有一個交點.

【知識點2圓錐曲線中的弦長問題】

1.橢圓的弦長問題

(1)定義：直線與橢圓的交點間的線段叫作橢圓的弦.

工2V2

(2)弦長公式：設直線/:y=foc+加交橢圓后+方?=：!(a>6>0)于尸I(XQI),尸2(如”)兩點，

則出尸21=0+左[Xi—句或l^lAl=J+%|凹—.

2.雙曲線的弦長問題

2

①弦長公式：直線>=息+6與雙曲線相交所得的弦長d=\^\+k\xi—x2\=十%|%-R.

②解決此類問題時要注意是交在同一支，還是交在兩支上.

③處理直線與圓錐曲線相交弦有關問題時，利用韋達定理、點差法的解題過程中，并沒有條件確定直

線與圓錐曲線一定會相交，因此，最后要代回去檢驗.

④雙曲線的通徑：

過焦點且與焦點所在的對稱軸垂直的直線被雙曲線截得的線段叫作雙曲線的通徑.無論焦點在x軸上還

是在〉軸上，雙曲線的通徑總等于笠

3.拋物線的弦長問題

設直線與拋物線交于/(%,%),夙X"乃)兩點，貝U

2

\AB\=\/(1+k~\xx—x2)=+尸?7(X]+.2)2-4氏工2或

\AB\={(1+表)(M—乃丁=J1+表?,(%+于>一4川為(左為直線的斜率，際0).

【知識點3圓錐曲線中的中點弦與焦點弦問題】

1.橢圓的“中點弦問題”

(1)解決橢圓中點弦問題的兩種方法

①根與系數(shù)的關系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根

與系數(shù)的關系以及中點坐標公式解決.

②點差法：利用端點在曲線上，坐標滿足方程，將端點坐標分別代入橢圓方程，然后作差，構造出中

點坐標和斜率的關系.

22

設/(%,珀，3(%2,歹2)，代入橢圓方程%+方=1(a>6>0),

①.②可得3+X2）'I—必）+（凹+Rj…）巾,

ab

設線段的中點為尸（X。/。），當x#X2時，有￡+W=°.

因為尸（X。0。）為弦的中點，從而轉化為中點尸（x。,%）與直線N2的斜率之間的關系，這就是處理弦

中點軌跡問題的常用方法.

（2）弦的中點與直線的斜率的關系

線段48是橢圓￡+，=1（。>6>0）的一條弦，當弦所在直線的斜率存在時，弦AB的中點”的坐標

為,則弦AB所在直線的斜率為-孕，即心心kAB=~~.

aJ。Q

2.雙曲線的“中點弦問題”

“設而不求”法解決中點弦問題：

①過橢圓內一點作直線，與橢圓交于兩點，使這點為弦的中點，這樣的直線一定存在，但在雙曲線的

這類問題中，則不能確定.要注意檢驗.

②在解決此類問題中，常用韋達定理及垂直直線的斜率關系.常用的解題技巧是如何應用直線方程將

乃必轉化為能用韋達定理直接代換的4+刈戶產2.垂直關系有時用向量的數(shù)量關系來刻畫，要注意轉化.

3.拋物線的焦點弦問題

拋物線y2=2/M>0）上一點/（無0,%）與焦點廠（彳,0）的距離為l"1=Xo+-y，若MV為拋物線y2=20x（f?>0）

的焦點弦，則焦點弦長為|MV|=Xi+x?+p（Xi,x2分別為MN的橫坐標）.

設過拋物線焦點的弦的端點為/（磯弘）乃（向,g），則四種標準方程形式下的弦長公式為：

標準方程弦長公式

y2=2px(p>0)\AB\=x\+x0+p

y2=-2px(p>0)M=p-(X1+X2)

2

x=2py(p>0)\AB\=yi+y2+p

x2=-2py(p>0)\AB^p-(yx+y^

【知識點4圓錐曲線中最值問題的解題策略】

1.處理圓錐曲線最值問題的求解方法

圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：

一是利用幾何法，即通過利用曲線的定義、幾何性質以及平面幾何中的定理、性質等進行求解；

二是利用代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達式表示為某個（些）參數(shù)的函數(shù)（解析式），然后利用

函數(shù)方法、不等式方法等進行求解.

【知識點5圓錐曲線中的探索性問題的解題策略】

1.圓錐曲線中的探索性問題

此類問題一般分為探究條件、探究結論兩種.若探究條件，則可先假設條件成立，再驗證結論是否成立,

成立則存在，否則不存在；若探究結論，則應先求出結論的表達式，再針對其表達式進行討論，往往涉及

對參數(shù)的討論.

【方法技巧與總結】

Y-p2

1.已知M,N是橢圓C：后+泉=1（Q>6>0）上的兩點，點。為坐標原點，且尸是M,N的中點，則

.._b2

^MN.k（jp―2?

a

Z）2

2.若曲線為雙曲線，其余條件不變，貝曝肱v?生戶=后.

3.若曲線為拋物線，P（x。,%）為弦的中點：左加=3（開口向右），心加=一二（開口向左），

歹0歹0

kMN—關■（開口向上），kMN=—關'（開口向下）.

?舉一反三

【題型1直線與圓錐曲線的位置關系】

【例1】（2024?山東?模擬預測）已知直線1：y=kx+l,橢圓C：9+必=1,貝『%=0”是“I與C相切”的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【解題思路】利用“數(shù)形結合”的思想結合”一元二次方程根有一解求解的判別式等于零”求解即可.

【解答過程】當k=0時，直線I：y=l,直線與橢圓相切，當”與C相切”時，

（V=fcx+1rr

聯(lián)立1g+y2-1有（4k2+1）X2+8fcx=0,令A=（8fc）2-4X（4fc2+1）x0=0,有k=0,

所以k=0是直線與橢圓相切的充要條件.

故選:C.

【變式1-1］（2024?廣東肇慶?模擬預測）已知雙曲線E:?=1,則過點（2,西）與E有且只有一個公共點的

直線共有（）

A.4條B.3條C.2條D.1條

【解題思路】根據(jù)點和雙曲線的位置關系確定滿足條件的直線的條數(shù).

【解答過程】分析條件可得：點。（2,但）在雙曲線的漸近線,=學”上，且位于第一象限，和雙曲線的右頂點

有相同橫坐標，如圖:

所以過。（2,而）且與雙曲線E有且只有一個公共點的直線只有兩條：

一條是切線：%=2,一條是過點P（2,而）且與另一條漸近線平行的直線.

故選：C.

【變式1-2］（2024?江蘇宿遷?三模）已知拋物線C:久2=y,點則>1”是“過M且與C僅有一個公

共點的直線有3條”的（）

A.充分條件B.必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】求出“過M且與拋物線C僅有一個公共點的直線有3條”的充要條件，進而判斷.

【解答過程】過M且與拋物線C僅有一個公共點的直線有3條，

則當直線的斜率不存在時符合題意，此時直線為x=m；

當直線的斜率存在時，設直線為y-l=k（x—爪），

則｛，"加），消去y整理得/一依+km-i=0,

??.A=OBp/c2—4/cm+4=0有兩個不同的解，

所以>0BP16m2—16>0,解得m<—1或m>1,

所以-m>1”是“過M且與拋物線C僅有一個公共點的直線有3條”的充分條件.

故選：A.

【變式1-3］（2024?上海?模擬預測）已知直線/與橢圓r,點尸1/2分別為橢圓的左右焦點，直線

fiMlZ,F2Nll,垂足分別為點M,N（M,N不重合），那么“直線/與橢圓「相切”是“|%M|?|尸2州=1”的

（）

A.充分非必要B.必要非充分

C.充分必要D.既非充分又非必要

【解題思路】設直線方程為y=kx+t,將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式和點到直線的距離公式求

出t與k的關系，再根據(jù)充分性和必要性的概念求解即可.

【解答過程】根據(jù)題意可知直線I斜率存在，設直線方程為y=kx+3

聯(lián)立［萬）F=1得（2/+i）x2+4ktx+2t2-2=0

（y=k.x?t

當直線與橢圓相切時，△=（4履）2-4（2/+1）（2產-2）=0,化簡得產=2k2+1,

由題意尸［（-1,0）,尸2（1,0），

因為F2N11,所以|F1M|=*，尸2%|=器券，

所以當|%M|?32州=^^；5|魯=%*=1時，|/一的=k2+1，

解得產=2卜2+1或f2=-1（舍去）,

所以“直線［與橢圓r相切”是“|FM?02州=1”的充要條件.

故選：C.

【題型2圓錐曲線的弦長問題】

【例2】（2024?安徽蚌埠?模擬預測）已知雙曲線E:5—3=1（。＞0力＞0）的左頂點是4（—1,0）,一條漸近線

的方程為y=%.

（1）求雙曲線￡的離心率；

⑵設直線y=3-2與雙曲線后交于點尸，Q'求線段尸。的長.

【解題思路】（1）根據(jù)左頂點與漸近線的方程求得a,b,c即可得到離心率；

（2）求出交點縱坐標代入弦長公式求解.

【解答過程】⑴由題意知a=l,且2=1,二6=1,

a

???c=Va24-b2=V2,

所以雙曲線的離心率e=^=V2.

（2）由（1）知雙曲線方程為%2-y2=i,

將y=$_'!即％—1=2y代入%2—y2=1,得3y2+4y=0,

4

不妨設VP=0,yQ=

所以|PQI=V1+22,|乃-加

【變式2-1】(2024?河南?模擬預測)已知橢圓緇+，=1(。>6>0)的左、右焦點分別為乙,尸2,點P(低回

為橢圓C上一點，且△PF1F2的面積為2痣.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若傾斜角為:的直線/與C相交于兩個不同的點4B,求|4B|的最大值.

【解題思路】(1)借助橢圓上的點的坐標，△「尸1尸2的面積與&2=/+?2計算即可得；

(2)設出直線方程，聯(lián)立曲線，借助韋達定理與弦