高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.2.2 橢圓的幾何性質（第3課時）直線與橢圓的位置關系（二）課件 新人教B版選修2-1-新人教B版高二選修2-1數(shù)學課件

第3課時直線與橢圓的位置關系(二)第一章2.2.2

橢圓的幾何性質NEIRONGSUOYIN內容索引題型探究達標檢測1題型探究PARTONE題型一弦長問題解設動點P的坐標是(x，y)，解設直線l與曲線C的交點為M(x1，y1)，N(x2，y2)，Δ＝16k2－4(1＋2k2)＝8k2－4>0，整理得k4＋k2－2＝0，解得k2＝1或k2＝－2(舍).∴k＝±1，經(jīng)檢驗符合題意.∴直線l的方程是y＝±x＋1，即x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.反思感悟求弦長的兩種方法(1)求出直線與橢圓的兩交點坐標，用兩點間距離公式求弦長.跟蹤訓練1

已知斜率為1的直線l過橢圓

＋y2＝1的右焦點F，交橢圓于A，B兩點，求弦AB的長.解設A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，題型二中點弦問題例2

已知橢圓

＝1的弦AB的中點M的坐標為(2,1)，求直線AB的方程.解方法一根與系數(shù)的關系、中點坐標公式法由橢圓的對稱性，知直線AB的斜率存在，設直線AB的方程為y－1＝k(x－2).將其代入橢圓方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩根，又M為線段AB的中點，故所求直線的方程為x＋2y－4＝0.方法二點差法設A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2.∵M(2,1)為線段AB的中點，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A，B兩點在橢圓上，于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.故所求直線的方程為x＋2y－4＝0.方法三對稱點法(或共線法)設所求直線與橢圓的一個交點為A(x，y)，由于點M(2,1)為線段AB的中點，則另一個交點為B(4－x,2－y).∵A，B兩點都在橢圓上，①－②，得x＋2y－4＝0.即點A的坐標滿足這個方程，根據(jù)對稱性，點B的坐標也滿足這個方程，而過A，B兩點的直線只有一條，故所求直線的方程為x＋2y－4＝0.反思感悟解決橢圓中點弦問題的兩種方法①根與系數(shù)的關系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關系以及中點坐標公式解決.√解析設A(x1，y1)，B(x2，y2)，例3

已知橢圓C：4x2＋y2＝1.(1)P(m，n)是橢圓C上一點，求m2＋n2的取值范圍；題型三與橢圓有關的最值或范圍問題解m2＋n2表示原點O到橢圓C上點P的距離的平方，(2)設直線y＝x＋m與橢圓C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，求△AOB面積的最大值及△AOB面積最大時的直線方程.將y＝x＋m代入4x2＋y2＝1，消去y得5x2＋2mx＋m2－1＝0.反思感悟求最值問題的基本策略(1)求解形如|PA|＋|PB|的最值問題，一般通過橢圓的定義把折線轉化為直線，當且僅當三點共線時|PA|＋|PB|取得最值.(2)求解形如|PA|的最值問題，一般通過二次函數(shù)的最值求解，此時一定要注意自變量的取值范圍.(3)求解形如ax＋by的最值問題，一般通過數(shù)形結合的方法轉化為直線問題解決.(4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范圍.設點M的坐標是(m,0)，又－6≤m≤6，解得m＝2，所以點M(2,0).設橢圓上的點(x，y)到點M的距離為d，有由于－6≤x≤6.核心素養(yǎng)之數(shù)學運算HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN運用“設而不求”法研究直線和橢圓位置關系問題(1)求橢圓的方程；得(m2＋3)y2－2my－2＝0.設E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2).∴m＝1或m＝－1(舍去)，直線EF的方程為x＝y(tǒng)－1，即x－y＋1＝0.(3)對于D(－1,0)，是否存在實數(shù)k，使得直線y＝kx＋2分別交橢圓于點P，Q，且|DP|＝|DQ|，若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由.解記P(x1′，y1′)，Q(x2′，y2′).得(3k2＋1)x2＋12kx＋9＝0，

(*)x1′，x2′是此方程的兩個相異實根.由|DP|＝|DQ|，得DM⊥PQ，故這樣的k不存在.素養(yǎng)評析本例(2)(3)均采用了“設而不求”的數(shù)學運算策略，特別(3)利用定點D與弦端點的幾何關系，由設而不求的思想方法，轉換成坐標關系，構造出關于k的方程，減小了數(shù)學運算的難度，提高了解題效率.2達標檢測PARTTWO1.若直線l：2x＋by＋3＝0過橢圓C：10x2＋y2＝10的一個焦點，則b等于

A.1 B.±1C.－1 D.±2√12345√12345設直線與橢圓交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，123453.已知橢圓的方程是x2＋2y2－4＝0，則以M(1,1)為中點的弦所在直線的方程是

A.x＋2y－3＝0

B.2x＋y－3＝0C.x－2y＋3＝0

D.2x－y＋3＝0√12345解析由題意易知所求直線的斜率存在，設過點M(1,1)的直線方程為y＝k(x－1)＋1，即y＝kx＋1－k.得(1＋2k2)x2＋(4k－4k2)x＋2k2－4k－2＝0，即x＋2y－3＝0.123454.過橢圓

＝1的右焦點F作與x軸垂直的直線與橢圓交于A，B兩點，以AB為直徑的圓的面積是________.1234512345設直線與橢圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，即x2－3x－8＝0.∴x1＋x2＝3，x1x2＝－8.課堂小結KETANGXIAOJIE解決直線與橢圓的位置關系問題，經(jīng)常利用設而不求的方法，解題步驟為：