高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類-上冊第2版）課件：函數(shù)最大值和最小值及其在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

1微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用函數(shù)最大值和最小值及其在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用一、函數(shù)的最大值與最小值二、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題舉例三、小結(jié)2

3一、函數(shù)的最大值與最小值1、閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)必存在最大值、最小值極值可導(dǎo)點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)駐點(diǎn)函數(shù)求最值步驟計(jì)算函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)、駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)處的函數(shù)值；第一步令尋找駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；第二步比較這些函數(shù)值的大小，第三步最大者為最大值，最小者為最小值.4則駐點(diǎn)為和.求在上的最大值與最小值．例1解：在上連續(xù)，故必存在最大值與最小值．令在取得最大值10，因?yàn)樗裕谌〉米钚≈?22．5是在內(nèi)唯一的極小值點(diǎn)，2、開區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)是最大值點(diǎn)唯一的極大值點(diǎn)（?。ㄐ。?）唯一的極值點(diǎn)是最值點(diǎn)則唯一駐點(diǎn)為.求函數(shù)在內(nèi)的最大值與最小值．例2解：在內(nèi)連續(xù)，可導(dǎo).令因?yàn)樗?，即為最小值點(diǎn)．從而，6求函數(shù)在內(nèi)的最大值與最小值．例2解：并且內(nèi)在取得最小值故，沒有最大值.

（2）實(shí)際應(yīng)用問題求最大（?。┲祵?shí)際意義最大（小）值的存在性目標(biāo)函數(shù)可導(dǎo)可疑點(diǎn)只有駐點(diǎn)唯一駐點(diǎn)唯一駐點(diǎn)即為所求7

制作一容積為1000ml的圓柱形油桶，例3解：如何設(shè)計(jì)最省材料？設(shè)油桶底面半徑為，高為，表面積為

，則目標(biāo)函數(shù)由油桶容積，可得則從而，目標(biāo)函數(shù)令得唯一駐點(diǎn)由實(shí)際意義，該問題必存在最大值，處取得.從而必在唯一的駐點(diǎn)8底面半徑，制作出的1000ml油桶最節(jié)省材料.此時(shí)因此，高度是底面半徑的兩倍，即等于底面直徑時(shí)，

制作一容積為1000ml的圓柱形油桶，例3解：如何設(shè)計(jì)最省材料？9邊際收益的變化率要小于邊際成本的變化率.邊際收益等于邊際成本.這說明，取得最大利潤的必要條件是，而取得最大利潤的充分條件是，這表明，二、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題舉例1、最大利潤問題產(chǎn)量總利潤總收入總成本則令10例4某工廠每批生產(chǎn)某產(chǎn)品件，成本（萬元）收入為（萬元），問每批產(chǎn)品生產(chǎn)多少件才能使利潤最大？解：由題意，設(shè)利潤為，則令則而因此，每批產(chǎn)品生產(chǎn)50件會獲得最大利潤40萬元.又即是唯一的極大值點(diǎn).112、最大收益問題例5該商品的需求函數(shù)為收益函數(shù)和邊際收益，求該商品的最大需求量為6，其中表示需求量，為價(jià)格，如何定價(jià)可以使收益最大，多少？此時(shí)的產(chǎn)量應(yīng)為多少？最大收益是解：由題意，設(shè)收益函數(shù)為，則故定價(jià)為時(shí)，邊際收益令又而則有最大收益，此時(shí)產(chǎn)量為2.得唯一駐點(diǎn).某工廠生產(chǎn)一批商品，123、經(jīng)濟(jì)批量問題假設(shè)某商品的全年需求量為，使庫存費(fèi)用和采購費(fèi)用之和最小.經(jīng)濟(jì)批量問題：確定合理的采購進(jìn)貨批次和每批數(shù)量，批量即為最大庫存量，全年分批采購，批量為

則

用表示每采購一批商品所需的采購費(fèi)用，的采購費(fèi)用為

從而，總費(fèi)用為假設(shè)商品則平均庫存量為.用表示單位商品庫存一年則全年的庫存費(fèi)用為勻速消耗，所需費(fèi)用，則全年13令即此時(shí)，全年庫存費(fèi)用與采購費(fèi)用相等.可得，唯一駐點(diǎn)又從而，為最小值點(diǎn).最小總費(fèi)用為批量費(fèi)用經(jīng)濟(jì)采購費(fèi)用庫存費(fèi)用采購費(fèi)用總費(fèi)用這是從批量入手，也可以從采購批數(shù)入手.14例6某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，因此，而每件的年庫存費(fèi)為0.05元.如果年銷售率是均勻的，一批需要花費(fèi)準(zhǔn)備費(fèi)1000元，年銷售量為100萬件，每生產(chǎn)且上批售完后立即生產(chǎn)下批，問應(yīng)分為幾批生產(chǎn)，能使采購費(fèi)用及庫存之和最小？平均庫存數(shù)為批量的一半，解：由題意，設(shè)批數(shù)為，則一年的準(zhǔn)備費(fèi)為，批量為，平均庫存數(shù)為，庫存費(fèi)為從而總費(fèi)用為令得唯一駐點(diǎn)而即，是最小值點(diǎn).能使總費(fèi)用最小.應(yīng)分為5批生產(chǎn)，154、定價(jià)問題例7時(shí)門票收入取得最大值某公園舉辦一次六一兒童節(jié)游園活動，據(jù)估計(jì)，若增加60人.觀眾將門票為每人8元，觀眾將有300人，且門票每降低1元，并求相應(yīng)的門票收入.試確定當(dāng)門票定價(jià)多少時(shí)可使門票收入最大，解：由題意，設(shè)門票為每人元，則觀眾數(shù)為，從而門票收入令則而即其相應(yīng)的門票收入為2535元.當(dāng)門票定價(jià)為6.5元時(shí)，因此，可使門票收入最