高等數(shù)學(xué)（第二版）下冊(cè)課件：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念及性質(zhì)

無窮級(jí)數(shù)

§8.1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念及性質(zhì)

§8.2數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別法§8.3冪級(jí)數(shù)§8.4函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開上一頁目錄下一頁退出

數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念及性質(zhì)8.1.1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念8.1.2收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)預(yù)備知識(shí)：①數(shù)列極限的定義及四則運(yùn)算法則：若,則,

,②第二類重要極限：③等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：④的極限定義8.1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)8.1.1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念給定一個(gè)數(shù)列則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式叫做常數(shù)項(xiàng)無窮級(jí)數(shù),簡(jiǎn)稱常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),記為,即:其中第

項(xiàng)叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng).級(jí)數(shù)的部分和:它們構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列：

根據(jù)這個(gè)數(shù)列是否有極限,我們給出無窮級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的概念.作級(jí)數(shù)的前項(xiàng)和

稱為級(jí)數(shù)

的部分和

當(dāng)

依次取1,2,3,…時(shí),定義8.2即常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂(發(fā)散)?存在(不存在)如果級(jí)數(shù)

的部分和數(shù)列

有極限,即:,則稱無窮級(jí)數(shù)收斂,這時(shí)極限稱為級(jí)數(shù)的和,并寫成這時(shí)也稱該級(jí)數(shù)收斂于.若部分和數(shù)列的極限不存在,則稱級(jí)數(shù)發(fā)散

.的近似值,它們之間的差值當(dāng)級(jí)數(shù)

收斂時(shí),其部分和

是級(jí)數(shù)

的和

稱為級(jí)數(shù)

的余項(xiàng)

.例8.1.1討論等比級(jí)數(shù)的斂散性.分析

利用級(jí)數(shù)收斂的定義,先求出部分和,判斷的斂散性.如果,則部分和

∴收斂

∴發(fā)散當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)解

∴發(fā)散

綜上，級(jí)數(shù)如果,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),∴發(fā)散極限不存在當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散.當(dāng)

為偶數(shù)時(shí),當(dāng)

為奇數(shù)時(shí),例8.1.2證明級(jí)數(shù)是發(fā)散的.分析

利用級(jí)數(shù)發(fā)散的定義,驗(yàn)證部分和數(shù)列

的極限不存在.此級(jí)數(shù)的部分和為顯然,,因此所給級(jí)數(shù)是發(fā)散的.證明例8.1.3判別無窮級(jí)數(shù)的收斂性.分析利用拆項(xiàng)相消及級(jí)數(shù)收斂的定義.解所以這級(jí)數(shù)收斂,它的和是1.8.1.2收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1如果級(jí)數(shù)收斂于和,則它的各項(xiàng)同乘以一個(gè)常數(shù)k所得的級(jí)數(shù)也收斂,且其和為.設(shè)級(jí)數(shù)與的部分和分別為與

則證明性質(zhì)2

如果級(jí)數(shù)

、

分別收斂于和s、,則級(jí)數(shù)

也收斂,且其和為設(shè)、、的部分和分別為，則證明性質(zhì)2表明,兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)逐項(xiàng)相加或逐項(xiàng)相減所構(gòu)成的新級(jí)數(shù)仍然收斂.利用反證法不難證明以下推論.推論如果級(jí)數(shù)、一個(gè)收斂,另外一個(gè)發(fā)散，則級(jí)數(shù)

必發(fā)散.性質(zhì)3

在級(jí)數(shù)中去掉、增加或改變有限項(xiàng),不會(huì)改變級(jí)數(shù)的斂散性.證明我們先考慮在級(jí)數(shù)中去掉一項(xiàng)的情形．設(shè)在級(jí)數(shù)

中刪去第項(xiàng),得到新的級(jí)數(shù)則新級(jí)數(shù)的部分和與原級(jí)數(shù)的部分和之間有如下關(guān)系式：從而數(shù)列

與

具有相同的斂散性．若去掉的是有限項(xiàng),則可看成每次去掉一項(xiàng),去掉了有限次,級(jí)數(shù)的斂散性一直保持不變.類似的,可以證明在級(jí)數(shù)中增加、改變有限項(xiàng)

(可看成先去掉有限項(xiàng),再增加有限項(xiàng)的情況)，不改變級(jí)數(shù)的斂散性.性質(zhì)4如果級(jí)數(shù)收斂,則對(duì)這級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂,且其和不變.證明設(shè)收斂級(jí)數(shù)若按某一規(guī)律加括號(hào)，例如則新級(jí)數(shù)的部分和序列為原級(jí)數(shù)部分和序列為原級(jí)數(shù)部分和序列的一個(gè)子序列,從而有注意：加括號(hào)后的級(jí)數(shù)收斂時(shí),不能斷言原來未加括號(hào)的級(jí)數(shù)也收斂.例如:級(jí)數(shù)

收斂,級(jí)數(shù)

發(fā)散.推論如果加括號(hào)后的級(jí)數(shù)發(fā)散,則原級(jí)數(shù)一定發(fā)散．性質(zhì)5(級(jí)數(shù)收斂的必要條件)如果級(jí)數(shù)

收斂,則

，即級(jí)數(shù)收斂證明逆否命題級(jí)數(shù)發(fā)散從級(jí)數(shù)收斂的必要條件可以得出如下推論，該推論可作為判定級(jí)數(shù)發(fā)散的方法.推論

若,則級(jí)數(shù)

必發(fā)散.推論

如果級(jí)數(shù)

的通項(xiàng)

，當(dāng)

時(shí)不趨于零,則此級(jí)數(shù)必發(fā)散.注意：級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)趨于零并不是級(jí)數(shù)收斂的充分條件.比如調(diào)和級(jí)數(shù)它的一般項(xiàng),但它是發(fā)散的.假設(shè)級(jí)數(shù)

收斂且其和為,是它的部分和

矛盾必定發(fā)散.例8.1.4判斷級(jí)數(shù)的斂散性.分析利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件.證明該級(jí)數(shù)發(fā)散例8.1.5判別級(jí)數(shù)的斂散性．分析級(jí)數(shù)一般項(xiàng)1,0,-1,0交替出現(xiàn),利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件.解

注意到級(jí)數(shù)通項(xiàng),當(dāng)