高等數(shù)學（第二版）上冊課件：某些特殊類型的不定積分

某些特殊類型的不定積分

預備知識：二次函數(shù)的因式分解；多項式除法法則；三角函數(shù)的萬能公式.4.4.1有理函數(shù)的不定積分定義4.3

有理函數(shù)（有理分式）指的是兩個多項式之比所構(gòu)成的函數(shù)，其一般式可表示為：與不可約如果n<m,稱上式為真分式，如果n≥m,稱上式為假分式，利用多項式的除法，可以將假分式化為多項式與真分式的和．因此，只要掌握真分式的積分，就可以解決假分式的積分問題．例如：設(shè)是真分式，即，則在實數(shù)范圍內(nèi)，可以將分母因式分解成為若干因式與因式的乘積．(1)如果分母含有單因式，通過待定系數(shù)法即可確定(2)如果分母含有重因式，則部分分式相應(yīng)含有項之和：通過待定系數(shù)法即可確定(3)如果分解后含有質(zhì)因式，則部分分式必然含有一項，待定系數(shù)法求出即可；*(4)如果分解后含有質(zhì)因式，部分分式呈現(xiàn)如下形式：最后(4)這種情況過于繁復，本書不在贅述.上述過程稱為將真分式化為最簡分式之和．分析上述結(jié)果，有理真分式的積分大體有下面三種形式：接下來我們繼續(xù)研究利用待定系數(shù)法求解有理函數(shù)的積分問題.例

4.4.1

計算不定積分分析被積函數(shù)分母可分解為兩個單因式乘積，因此為第一種類型，用待定系數(shù)法來處理.解令等式右邊通分，兩端分子相等兩端比較系數(shù)，得：解得：則例

4.4.2

計算不定積分分析

被積函數(shù)分母為一次函數(shù)與二重因式乘積，其中二重因式可分解為兩項之和的形式，屬于第二種類型.解法一：令等式右邊通分得：比較系數(shù)則解法二：此題也可將被積函數(shù)分解為一個一次函數(shù)與一個二次函數(shù)之積，即：待定系數(shù)法解得：然后再進行積分，得到同樣的結(jié)果：原式例4.4.3

計算不定積分分析被積函數(shù)分母由一次函數(shù)和二次函數(shù)乘積構(gòu)成，屬于第三種類型，分解然后用待定系數(shù)法求解.解令兩邊同乘以得：比較系數(shù)得：解得：

則*例4.4.4

求不定積分分析

考慮被積函數(shù)分母的導數(shù)，因此，可將分子變形為，分為兩部分的積分.解

4.4.2三角函數(shù)有理式的不定積分三角函數(shù)有理式是指由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算所構(gòu)成的函數(shù)．求解這類特殊類型的函數(shù)積分，通?？梢钥紤]利用三角函數(shù)公式（主要是萬能公式），將三角函數(shù)有理式轉(zhuǎn)化為普通有理式的積分，然后用前面所講的一系列方法求解，一般都可以解決.具體來講就是，把，表示成的函數(shù)，然后作變換變換后原積分變成了有理函數(shù)的積分，由，以及常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算所構(gòu)成的函數(shù)，記作，積分稱為三角函數(shù)有理式的積分．作代換，則，且所以

例4.4.5

計算不定積分解考慮萬能代換：假設(shè)，則，

，代入原式可得：分析

被積函數(shù)只含有三角函數(shù)和常數(shù)，像這樣的函數(shù)可用萬能公式轉(zhuǎn)化為只含有的有理函數(shù)，然后再求解.分析

同上題類似，只不過被積函數(shù)既有正弦函數(shù)又有余弦函數(shù)，需要將它們都化作只含有的有理函數(shù).解設(shè)，則代入原式可得：例4.4.6計算不定積分本節(jié)主要介紹了