高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類）全書習(xí)題解答第8章（多元微積分）

PAGEPAGE20習(xí)題解答習(xí)題8.11.指出下列各點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的哪個(gè)卦限；；；。解：Ⅱ；Ⅴ；Ⅷ；Ⅳ.2.指出下列各點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的位置；；；。解：xOy面；yOz面；y軸；x軸.3.求點(diǎn)關(guān)于（1）各坐標(biāo)面；（2）各坐標(biāo)軸；（3）坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)。解：（1）各坐標(biāo)面:xOy面，；yOz面，；zOx面，.（2）各坐標(biāo)軸：x軸，；y軸，；z軸，.（3）坐標(biāo)原點(diǎn)：.4.求點(diǎn)到各坐標(biāo)軸的距離。解：點(diǎn)到x軸的距離為；點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為；點(diǎn)到z軸的距離為.5.在面上，求與三點(diǎn)、、等距離的點(diǎn)。解：設(shè)該點(diǎn)為，根據(jù)題意，，解上述方程組，有，故所求點(diǎn)為：．6.一動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離是到點(diǎn)距離的兩倍，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意有，，即，化簡得.7.建立以點(diǎn)為球心，且過點(diǎn)的球面方程。解：球心到球面上點(diǎn)的距離為所以所求球面方程.8.方程表示什么曲面？解：通過配方，原方程可化為，與球面方程比較可知，此方程表示球心在點(diǎn)、半徑為的球面．9.畫出下列方程所表示的曲面（1）；（2）；（3）；（4）；解：略.10.畫出下列方程所表示的二次曲面圖形（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。解：略.11.指出下列方程所表示的曲線：（1）；（2）；（3）.解：（1）方程組中第一個(gè)方程表示球心在原點(diǎn)，半徑為的球面，方程組中第二個(gè)方程表示平行于面的平面．方程組就表示上述平面與球面的交線。顯然交線是一個(gè)圓。（2）方程組中第一個(gè)方程表示橢圓拋物面，其頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向上半空間。方程組中第二個(gè)方程表示平行于面的平面．方程組就表示上述平面與橢圓拋物面的交線。顯然交線是一個(gè)拋物線，開口向上。（3）方程組中第一個(gè)方程表示雙葉雙曲面，其中心在原點(diǎn)。方程組中第二個(gè)方程表示平行于面的平面．方程組就表示上述平面與雙葉雙曲面的交線。顯然交線是一個(gè)雙曲線，其實(shí)軸平行于軸，虛軸平行于軸。12.求過、、三個(gè)點(diǎn)的平面方程。解：不妨假設(shè)分別為、、，因此所求平面的法向量可取=×，而，，所以根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程，所求平面的方程為，即.13.已知?jiǎng)狱c(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。解：由兩點(diǎn)間的距離公式，得整理上述表達(dá)式，得.14.指出下列旋轉(zhuǎn)曲面是什么曲線繞哪個(gè)軸旋轉(zhuǎn)而成的，并畫出曲面的圖形：（1）；（2）；（3）；解：（1）坐標(biāo)面上的橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周；或者坐標(biāo)面上的橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周.（2）坐標(biāo)面上的雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周；或者坐標(biāo)面上的雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周.（3）坐標(biāo)面上的雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周；或者坐標(biāo)面上的雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周.曲面的圖形（略）.15.平面與球面的交線是圓，寫出該圓的方程，并求出該圓的半徑。解：交線方程為.球心到平面的距離為，因此交線圓的半徑為.習(xí)題8.2已知，試求，和．解，2．設(shè)，求．解設(shè)，則，，所以，從而．3．求下列各函數(shù)的定義域：（1）；解要使表達(dá)式有意義，必須故所求函數(shù)的定義域?yàn)椋?）；解要使表達(dá)式有意義，必須故所求函數(shù)的定義域?yàn)椋?）（）；解要使表達(dá)式有意義，必須故所求函數(shù)的定義域?yàn)椋?）．解要使表達(dá)式有意義，必須故所求函數(shù)的定義域?yàn)?．求下列函數(shù)極限：（1）；解由連續(xù)性，原式＝＝．（2）；解由連續(xù)性，原式＝＝．（3）；解原式＝＝＝＝（4）．解原式＝．5．證明下列極限不存在：（1）；（2）．證（1）因?yàn)楫?dāng)沿直線趨于時(shí)，，它是隨的值的不同而改變的，所以極限不存在．（2）因?yàn)楫?dāng)沿直線趨于時(shí)，，當(dāng)沿直線趨于時(shí)，，由于，所以極限不存在．習(xí)題8.31．求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：（1）；解；。（2）；解，，；（3）；解，；（4）；解，；（5）；解，；（6）；解，，；（7）．解，，。2．計(jì)算下列各題：（1）設(shè)，求和；解＝，＝，將點(diǎn)（1，2）代入上面結(jié)果，得，（2）設(shè)，求；解取對數(shù)得,上式兩邊對y求導(dǎo)得，所以，將點(diǎn)（1，1）代入上面結(jié)果，得。（3）設(shè)，求；解∵，∴＝（4）設(shè)，求及．解，，∴．3．設(shè)，證明：．證明：，，。4．設(shè)，其中可導(dǎo)，證明：．解即。5．曲線在點(diǎn)（，1，）處的切線對軸的傾角是多少？解設(shè)該切線與軸的傾角為，∴由偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，從而．6．求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，，．（1）；解，，，，（2）；解，，，，．（3）；解，，，，。（4）．解，，，。7．設(shè)，求，，．解，，，從而，，．8．設(shè)，試證：．證明：，，，由對稱性得，，∴。原式得證。習(xí)題8.41．求下列函數(shù)的全微分：（1）；解因?yàn)?，，所以。?）；解因?yàn)?，，所以?）；解因?yàn)椋?，所以。?）；解因?yàn)?，，所以。?）；解因?yàn)?，，，所?．（6）．解因?yàn)椋?，，所?．2．計(jì)算下列函數(shù)在給定點(diǎn)處的全微分：（1），；（2），．解（1），，=（2），，=+3．求函數(shù)當(dāng)?shù)娜⒎趾腿隽浚?，，全增量?4．計(jì)算下列近似值：（1）；（2）．解取，令，，，，于是，，．原式＝．（2）取，令，，，，于是，，．原式＝．*5．設(shè)有邊長為m與m的矩形，當(dāng)邊增加5cm而邊減少10cm，求此矩形對角線增量的近似值．解設(shè)矩形對角線長為z，則有．把，，代入，得．即此矩形對角線增量的近似值約為-5cm．習(xí)題8.51．設(shè)，而，求全導(dǎo)數(shù)．解．2．設(shè)，而，求全導(dǎo)數(shù)．解．3．設(shè)，而，求全導(dǎo)數(shù)．解．4．設(shè)，而，求和．解；．5．設(shè)，而，求和．解；．6．設(shè)，求和．解令則，；．7．求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，其中具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)：（1）；解（1），．（2）；解，，．（3）；解，．（4）．解，，．8．設(shè)，其中可導(dǎo)，求．解令，，則可看成由，復(fù)合而成，所以，，從而．9．設(shè)，其中為可導(dǎo)函數(shù)，證明：．解令，則，，所以．10．求下列函數(shù)的，，（其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）：（1）；（2）．解（1）由得，所以，，注意：在上述恒等變形中，因?yàn)榫哂卸A連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，所以有。（2）由得，所以，，。注意：在上述恒等變形中，因?yàn)榫哂卸A連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，所以有。11．設(shè)，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求．解由得，所以注意：在上述恒等變形中，因?yàn)榫哂卸A連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，所以有。習(xí)題8.61.設(shè)，求．解令，則，所以，2．設(shè)，求．（題目已經(jīng)改為寫題）設(shè)，求．解令，即，，所以，3．求下列方程所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和：（1）；（2）．解（1）令，則，，，所以，.（2）令，即，，，所以，.4．設(shè)，求．解令，則，，，所以，，所以。5．設(shè)，求全微分．解令，則，，，所以，，因此。6．設(shè)，證明：．解令，則，，，所以。7．設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明由方程所確定的函數(shù)滿足．解令，則，，，所以8．設(shè)函數(shù)由方程確定，求、．解令，則，，，所以，,注意到z是x、y的函數(shù)，將再對x求偏導(dǎo)，得.注意到z是x、y的函數(shù)，將再對y求偏導(dǎo)，得9．設(shè)函數(shù)由方程確定，求．解令，則，，，所以，,將x=0,y=0代入得z=2，點(diǎn)（0，0，2）處，注意到z是x、y的函數(shù)，將再對y求偏導(dǎo)，得將x=0,y=0，z=2及代入得。習(xí)題8.71．求函數(shù)的極值．解解方程組得駐點(diǎn)為，．函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)為，，．在點(diǎn)處，，，，因?yàn)?，，所以函?shù)在該點(diǎn)有極大值．2．求函數(shù)的極值．解解方程組得駐點(diǎn)為，（）．函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)為，，．在點(diǎn)處，，，，因?yàn)?，，所以函?shù)在該點(diǎn)有極大值．在點(diǎn)處，，，，因?yàn)?，所以不是極值．3．求函數(shù)的極值．解解方程組得駐點(diǎn)為．函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)為，，．在點(diǎn)處，，，，因?yàn)椋?，所以函?shù)在該點(diǎn)有極小值．4．求函數(shù)（）的極值．解解方程組得駐點(diǎn)為，（）．函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)為，，．在點(diǎn)處，，，，因?yàn)?，，所以函?shù)在該點(diǎn)有極大值．在點(diǎn)處，，，，因?yàn)?，所以不是極值．5．求函數(shù)在約束條件下的極大值．解作拉格朗日函數(shù)，令，解之得：∴極大值．6．在平面上求一點(diǎn)，使它到及三直線的距離平方之和為最?。庠O(shè)所求點(diǎn)為,距離平方之和為，則，即，令得，由實(shí)際意義知，所求點(diǎn)為。7．要造一個(gè)容積為常數(shù)的長方體無蓋水池，問如何安排水池的尺寸時(shí)，才能使它的表面積最小．解設(shè)箱子的長、寬分別為，容量為，則箱子的高為．箱子的表面積為這是x、y的二元函數(shù)．令解上述方程組，得根據(jù)題意可知，表面積A的最小值一定存在，現(xiàn)在只有唯一駐點(diǎn)，因此當(dāng)長、寬均為，高為時(shí)，表面積A最?。?．求內(nèi)接于半徑為的半圓且有最大面積的矩形．解設(shè)矩形的長為、高為，則．問題歸結(jié)為求面積在條件下的極值．作拉格朗日函數(shù)，，令，解之得：．由題意可知的最大值一定存在，所以最大值只能在唯一的駐點(diǎn)取得，因此當(dāng)矩形兩邊分別為時(shí)，可得最大面積的矩形．8,9兩個(gè)題目已經(jīng)改過習(xí)題8.81.根據(jù)二重積分的性質(zhì)，比較下列積分的大?。海?），其中；解區(qū)域的面積=，區(qū)域的面積=，因?yàn)?，所以：；?），其中D是圓周圍成的閉區(qū)域；解對區(qū)域D上的任意點(diǎn)，都有：，，所以：；（3），其中D是由直線圍成的閉區(qū)域．解對區(qū)域D上的任意點(diǎn)，都有：，，所以：．2.利用二重積分的性質(zhì)，估計(jì)下列積分的值：（1）其中；解積分區(qū)域D的面積，在D上，的最大值和最小值分別為，由性質(zhì)6，得；（2）其中；解積分區(qū)域D的面積，在D上，的最大值和最小值分別為，由性質(zhì)6，得；（3）其中D是兩坐標(biāo)軸與直線圍成的閉區(qū)域．解積分區(qū)域D的面積，在D上，的最大值和最小值分別為，由性質(zhì)6，得．習(xí)題8.91.計(jì)算下列二重積分：（1）其中；解；（2），其中D是由兩坐標(biāo)軸及直線所圍成的閉區(qū)域；解；（3），其中D是頂點(diǎn)分別為的三角形閉區(qū)域；解；(4)，其中．解．2.畫出積分區(qū)域，并計(jì)算下列二重積分：（1）其中D是由兩條拋物線所圍成的閉區(qū)域；解圖略；（2），其中D是由所圍成的閉區(qū)域；解圖略；（3），其中；解圖略；（4），其中D是由直線所圍成的閉區(qū)域．解圖略．3.化二重積分為二次積分（分別給出兩種不同的積分次序），其中積分區(qū)域D分別為：（1）由兩坐標(biāo)軸及直線所圍成的閉區(qū)域；解圖略或；（2）由及所圍成的閉區(qū)域；解圖略或（3）由及所圍成的閉區(qū)域．解圖略或4.交換下列二次積分的次序：（1）；解圖略；（2）；解圖略；（3）；解圖略；（4）；解圖略；（5）．解圖略．5.通過交換積分次序計(jì)算下列二重積分：（1）；解；（2）．解．6.設(shè)連續(xù)，證明：．證：交換積分次序，得．7.計(jì)算由四個(gè)平面所圍成的柱體被平面及截得的立體的體積．解記，則．8.求由平面及拋物面所圍成的立體的體積．解記，則．9.求由曲面及所圍成的立體的體積．解記，則．10.利用“對稱性”計(jì)算下列二重積分：（1），其中；LINKWord.Document.8"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\桌面\\(工科）第10章重積分習(xí)題答案.doc""OLE_LINK1"\a\r解積分區(qū)域D關(guān)于y軸對稱，且函數(shù)關(guān)于x是奇函數(shù)，故有；（2），其中；LINKWord.Document.8"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\桌面\\(工科）第10章重積分習(xí)題答案.doc""OLE_LINK1"\a\r解積分區(qū)域D關(guān)于x軸對稱，且函數(shù)關(guān)于y是偶函數(shù)，關(guān)于y是奇函數(shù)，故有；（3），其中．LINKWord.Document.8"C:\\DocumentsandSettings\\Administrator\\桌面\\(工科）第10章重積分習(xí)題答案.doc""OLE_LINK1"\a\r解積分區(qū)域D關(guān)于x軸和y軸都對稱，且函數(shù)關(guān)于x和y是都偶函數(shù)，故有．11.畫出積分區(qū)域，把積分表示為極坐標(biāo)形式的二次積分，其中積分區(qū)域D是：（1）；解圖略；（2）；解圖略；（3）；解圖略；（4）；解圖略；（5）．解圖略．12.化下列二次積分為極坐標(biāo)形式的二次積分：（1）；解圖略；（2）；解圖略；（3）；解圖略；（4）．解圖略．13.把下列積分化為極坐標(biāo)形式，并計(jì)算積分值：（1）；解圖略；（2）；解圖略；（3）；解圖略．（4）．解圖略．14.利用極坐標(biāo)計(jì)算下列二重積分：（1），其中D由圓周所圍成的閉區(qū)域；解圖略；（2），其中；解圖略；（3），其中D由圓周及直線所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域；解圖略；（4），其中解圖略．15.選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計(jì)算下列各題：（1），其中D是由直線所圍成的閉區(qū)域；解圖略；（2），其中D是由圓周及坐標(biāo)軸所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域；解圖略．（3）其中D是由直線及曲線所圍成的閉區(qū)域；解圖略；（4），其中；解圖略．（5）其中．解圖略原式．16.求圓柱面被平面及拋物面截得的立體的體積．解記，則．總習(xí)題81.選擇題（1）=（）．A．B．C．D．解原式=,∴選D.（2）函數(shù)在點(diǎn)（0，0）處（）．A．連續(xù)但不存在偏導(dǎo)數(shù)B．存在偏導(dǎo)數(shù)但不連續(xù)C．既不連續(xù)又不存在偏導(dǎo)數(shù)D．既連續(xù)又存在偏導(dǎo)數(shù)解因?yàn)楫?dāng)沿直線趨于時(shí)，，它是隨的值的不同而改變的，所以極限不存在，從而在（0，0）處不連續(xù)。又=，=，∴選B.（3）函數(shù)滿足，且，則（）．A．B．C．D．解，，又，∴,故有，所以，∴選B.（4），是函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的（）．A．必要條件，但非充分條件B．充分條件，但非必要條件C．充分必要條件D．既非充分條件，又非必要條件解由多元函數(shù)極值的必要條件知，，只是函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的必要條件，但非充分條件，∴選A。.（5）下列結(jié)論中正確的是（）．A.若閉區(qū)域D由圓周圍成，則B.C.若，則D.若，則解由輪換對稱性立得：；即選項(xiàng)B正確．（6）設(shè)平面區(qū)域，，則（）．A.B.C.D.解如圖，D分成四個(gè)部分，由于區(qū)域關(guān)于y軸對稱，；區(qū)域關(guān)于x軸對稱，；故，即選項(xiàng)A正確．（7）設(shè)函數(shù)連續(xù)，則（）．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解由于積分區(qū)域是由圍成的，故；即選項(xiàng)C正確．（8）設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，其中D是由所圍成閉區(qū)域，則（）．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解記（常數(shù)），則，積分得即，因?yàn)?，，所以，，從而，即選項(xiàng)C正確．2.填空題（1）設(shè)函數(shù)，則．解因?yàn)?，，所以。?）設(shè)函數(shù)，則．解，∴。（4）若函數(shù)在點(diǎn)處取得極值，則常數(shù)．解由題意得（5）設(shè)，則根據(jù)重積分的幾何意義可得：．解表示以為底，以半球面為頂?shù)那斨w體積，故．（6）設(shè)函數(shù)連續(xù)，，若記，則．解交換積分次序，得，所以，．（7）將化為極坐標(biāo)下的二次積分，得．解記，則．3.設(shè)求．解當(dāng)（x,y）=(0,0)時(shí)，=，當(dāng)（x,y）≠(0,0)時(shí)，,4.設(shè)