2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫：考點(diǎn)19 相似三角形模型（解析版）

考點(diǎn)19相似三角形基本模型

在命題趨勢(shì)

相似三角形在初中數(shù)學(xué)中因?yàn)椴煌愋偷囊?guī)律比較明顯，所以被總結(jié)了很多的模型，比如：A字圖、8

字圖、母子三角形、一線三等角、手拉手相似等。而掌握了這類模型的套路后，可以更快的應(yīng)對(duì)相似三角

形類的應(yīng)用。所以考生需要對(duì)該考點(diǎn)完全掌握。

1

y知識(shí)導(dǎo)圖

點(diǎn)考向

一、A字圖及其變型

二、8

字圖及其變

型

三一k

般母子型

四、一線三等角

五、手拉手模型

考向一、A字圖及其變型“斜A型”

當(dāng)DE〃BC時(shí)

當(dāng)NADE=NACB時(shí)

△ADE^AABC

△ADE<^AACB

性質(zhì)：

性質(zhì)：

ADAEDE

&==ADAEDE

ABACBC~AC=~AB=~BC

②絲=絲

-DBEC

☆:斜A型在圓中的應(yīng)用:

如圖可得：△PABs/iPCD

典例引微

「，一▲L

s

1.如圖，在△ABC中，DE//BC,DE=2,8c=6,則—的值為（）

SABC

【分析】利用平行線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可.

【解答】解：七〃BC,

；?\AOEsXNBC,

.??池=匡）2=&）2=2

ABC母%，9

故選：C.

2.如圖，在△A8C中，DE//FG//BC,AD：AF：AB=\：2：5,則S“OE：S四邊形OEGF：S四邊形產(chǎn)GCB=()

B.1：4：25C.1：3：25D.1：3：21

【分析】由DE"FG〃BC,可得△AOES/XA尸GsZ\A8C,又由AO：AF：AB=\：2：5,利用相似三角

形的面積比等于相似比的平方，即可求得S“DE：SMFG：SMBC=1：4：25,然后設(shè)△A。七的面積是a,

則aAFG和△ABC的面積分別是3a,21小即可求兩個(gè)梯形的面積，繼而求得答案.

【解答】解：*：DE//FG//BCt

：,WDEsXAFGs/\ABC,

?'?AD：AF：AB=1：2：5,

S^DE：SMFG：SMBC=1：4：25,

設(shè)△A。石的面積是a,則AAFG和△ABC的面積分別是4a,25a,

則S網(wǎng)m形DFGE=S&AFG-SA4DH=3。，S四邊形P8CG=S"8c-S"FG=21。，

S^ADE：S四邊腦DFGEzS四邊形FBCG=1：3:21.

故選：D.

3.將一張直角三角形紙片沿一條直線剪開，將其分成一張三角形紙片與一張四邊形紙片，如果所得四邊形

紙片ABCO如圖5所示，其中N4=NC=90°,A8=7厘米，BC=9厘米，CO=2厘米，那么原來的直

角三角形紙片的面積是54或毀平方厘米.

【分析】分兩種情況討論，由勾股定理求出A。長(zhǎng)，由三角形面積公式求出四邊形ABCD的面積，由相

似二角形的性質(zhì)，即可解決問題.

【解答】解：(1)分別延長(zhǎng)6,BA交于M,連接BD,設(shè)△MBC的面積是5(cm2),

I\

VZC=ZZ)45=90°,

:.DC2+BC2=AB2+AD2=BD1,

...22+92=72+AD2,

AAD=6(cm),

???△AO8的面積=Lo?AB=2X6X7=21(，/),/XOCB的面積=_loc?8C=2X2X9=9(cm2),

2222

，料邊形ABC。的面積=21+9=30(cm2),

???△OMA的面積=(S-30)(a??),

NMAD=NMCB,

：?2MDAs4MBC,

?江皿一zAD、2=,2、2=4

FMBC(而)(百)寸

?.?S-30_■419

S9

A5=54(cm2).

(2)分別延長(zhǎng)4Q,BC交于N,設(shè)△M4B的面積是S'(cm2),

由(1)知四邊形ABCZ)的面積=30(cm2),

???/N=NMZNCD=ZA=90°,

:.△NCDsANAB,

.^ANCD_zDCs2_心)2:4

FNABAB丐)語(yǔ)，

?

?S--'------3--0一-■4■?

S'49

?'?S'=—(cm2),

3

???原來的直角三角形紙片的面積是54C7712或毀7"2.

3

故答案為：54或強(qiáng).

3

4.如國(guó)，矩形OEFG的邊力E在△48C的邊8C上，頂點(diǎn)G、尸分別在邊AB、AC上.已知BC=6c〃bDE

=3。機(jī)，EF=2cm,那么△45C的面積是12cm2.

【分析】過點(diǎn)A作AN_L8C,先利用相似三角形的判定說明4AG尸S^ABC,再利用相似三角形的性質(zhì)

求出△A8C的高，最后利用三角形的面積得結(jié)論.

【解答】解：過點(diǎn)A作AN_L8C,垂足為N,交G尸于點(diǎn)M.

???四邊形OEFG是矩形，

:?GF〃DE,GF=DE=3cm,EF=MN=2cm.

設(shè)AM=ac/w,則AN=(a+2)cm.

?:GF"DE,

:.XAGFS/\ABC.

?.*GF_,IAM,*

BCAN

???13_Ia,.

6a+2

???a=2.

.*.AN=4ctn.

SMBC=-^BC*AN=—x6x4=12(cm)2

22

故答案為：12.

5.如圖中，點(diǎn)E在84的延長(zhǎng)線上，連接EC、4。交于點(diǎn)G,EC交4。于凡己知￡4：44=1：2.

(1)求七F：EC；

(2)求FG：GC.

【分析】（1）利用平行線分線段成比例定理和比例的性質(zhì)求解即可;

（2）利用相似三角形的判定，先說明△班尸/△口）巴再利用相似三角形的性質(zhì)和比例的性質(zhì)求出8C：

FD,最后通過說明△FDGSZXCBG,利用相似三角形的性質(zhì)得結(jié)論.

【解答】解：:四邊形4BCD是平行四邊形,

：.AB//CD,AB=CD,AD//BC,AD=BC.

(1)VE4：48=1：2,

???EA_1■?

EB3

■:AD//BC,

.里=幽=工

**ECEB了

(2)'：AB//CD,

:.XEAFs^CDF.

?延=空=幽=[

??而FDAB

?AD=3=BC

FD2FD

'JAD//BC,

：?2FDGsACBG.

?JG=FD=_2

"GCBC~3

考向二、8字圖及其變型“蝴蝶型”

當(dāng)NA=NC時(shí)

△AJB^ACJD

性質(zhì)：

ABJA_JB

~CD~1C~1D

1.如圖，在△ABC中，中線AO與中線BE相交于點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)OE.下列結(jié)論成立的是（）

A.DG=1AGB.險(xiǎn)MC.也些」D.也CDE」

3EGABS^AGB4?

【分析】由4。，BE是△4BC的中線，得到。七是△ABC的中位線，推出△OEGs/iABG,ACDF^A

CBA,由相似三角形的性質(zhì)即可解決問題.

【解答】解：AD,BE是△A8C的中線，

???DE是△ABC的中位線，

：.DE//AB,DE=X\B,

2

：??DEGSAABG,

：.DG：AG=DE：AB=l：2,BG：EG=AB：DE,也匹￡=/DE_\2=_l_t

2△AGBAB4

.??OG=XAG,

2

<BG：EG=AB：DE=2：1,

:,GB：BE=2：3,

**?S^GBtS/\AEB=2：3,

VAE=EC,

S叢￡8=工％/詠，

2

?\S^GB=—S^ABC,

3

.：ACDESACBA,

?5ACDE_/DE、2_1

%ABC前4

?'?SACDE=L/.ABC，

4

?^ACDE3

結(jié)論成立的是S^DEG—

SAAGB4

故選：C.

2.如圖，在平行四邊形ABC。中，尸為BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)A。至點(diǎn)E,使?！辏篈D=\：3,連接E尸交。C

于點(diǎn)G,則SaCFG：SADEG等于()

A.9：4B.2：3C.4：9D.3：2

【分析］利用平行四邊形的性質(zhì)可得AD〃8GAD=BC,,再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得CF=1BC=1AD,

22

然后證明8字模型相似三角形AEOGs△尸CG,利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：:四邊形A8CO是平行四邊形，

：.AD//BC,AD=BC,

,?,/為6。的中點(diǎn)，

：.CF=-^BC,

2

.\CF=XAD,

2

?：AE//CF,

；?NE=NGCF,NEDG=NC,

：,2EDGSAFCG,

,:DE：AD=\：3,

：.DE=^AD,

3

4-AD

.*.5ACFG：SADEG=（—）2=（-----）2=（—>2=9，

DE得AD24

故選：4.

3.如圖，在正方形ABC。中，E為AO上的點(diǎn)，連接C￡以點(diǎn)E為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧分別交EC,

ED于點(diǎn)N,M,再分別以M,N為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在NCEO內(nèi)交于點(diǎn)P,連接

2

EP并延長(zhǎng)交OC于點(diǎn)H，交8C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.若48=16,AE：AD=\：4,則EH的長(zhǎng)為6^.

【分析】根據(jù)題中作圖判斷EP是NOEC的角平分線，利用線段比和勾股定理求出EC,再利用角平分線

的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到CG,利用相似三角形的判定和性質(zhì)求出OH,最后利用勾股定理得結(jié)論.

【解答】解：???以點(diǎn)E為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧分別交EC,ED于點(diǎn)、N,M,

再分別以M,N為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑作瓠，兩弧在NCE。內(nèi)交于點(diǎn)P,連接EP,

2

???EP是NQEC的角平分線，

:./DEG=NCEG.

???四邊形A8CO是正方形，

：,AD=DC=AR=]6,/力=90°,AD//RC.

VAE：AD=\：4,AE+ED=\6,

??"E=4,ED=\2.

在RtZXEDC中，

￡C=7DE2+DC2=7122+162=2°-

,:AD〃BC,

:?4G=NDEG=/CEG.

：.EC=CG=20.

■:AD"BC,

：.XEDHS4GCH.

?DH=ED=JL2=3.

??而CG20?,

■:DH+HC=CD=16,

:.DH=6.

在RlZXED”中，

￡W=7ED2+DH2=A/122+62=*^1^=?

故答案為：(yyJ~S.

4.如圖，在口ABC。中，G是CO延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接8G交AC,AO于E,F.

(1)求證：AABESACGE；

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行，得到NA8E=NCGE,再利用對(duì)頂侑相等，可得△ABES^CGE；

（2）利用平行四邊形對(duì)邊平行，證明△AMsacEB,得到處上，再由（1）得，典M上，從而

EC3EGEC3

求解.

【解答】（1）證明：???四邊形48co為平行四邊形，

：,AB//CD,

:.4ABE=NCGE,

又丁/AF.R=/CGF.,

:.△ABEsACGE.

（2）解：設(shè)FO=〃?，則4F=2m,

**?AD=3nif

???四邊形ABCD為平行四邊形，

：.AD//BC,BC=AD=3m,

：?/EAF=NECB,ZAFE=ZCBE,

：.AAEFsACEB

?AE=AF=1

??前BCT

又；AABEs&CGE,

?BE=AE=_2

**BGEC~3'

即理的值為2.

EG3

5.以下各圖均是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格，A,B,C,。均在格點(diǎn)上.

（1）在圖①中，里的值為1：3；

PA

（2）利用網(wǎng)格和無刻度的直尺作圖，，呆留痕跡，不寫作法.

①如圖②，在A8上找一點(diǎn)P,使4P=3；

②如圖③，在BO上找一點(diǎn)P,使AAPBsACPD.

【分析】（1）如圖①中，利用平行線的性質(zhì)求解即可.

（2）①根據(jù)勾股定理得AB的長(zhǎng)為5,再根據(jù)相似三角形的判定方法即可找到點(diǎn)P；

②作點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)4',連接A'。與BO的交點(diǎn)即為要找的點(diǎn)尸，使aAPHs△。尸D

【解答】解：（1）如圖①中，

，：AB〃CD,

:?△PCDSMBA.

.?D=CD=I

故答案為：1：3；

①取格點(diǎn)E,F,連接所交A8于點(diǎn)尸，點(diǎn)P即為所求的點(diǎn).

由勾股定理知：A5=^32+42=5-

??NP=3,

:,BP=2.

?:BE"FA,

:?△EPBSAFPA.

YAP：BP=AF：BE=3z2.

，取格點(diǎn)E,F,連接交AB于點(diǎn)尸，點(diǎn)P即為所求的點(diǎn);

②如圖③所示，作點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A',

連接A'C,交于點(diǎn)P,

點(diǎn)P即為所要找的點(diǎn),

\*AB//CD,

:.△APBs/XCTO.

考向三、一般母子型:

；當(dāng)NABD=NACB時(shí)|其中：

△ABD^AACB：NA是公共角

;性質(zhì)：IAB是公共邊

AB^=AD^AC]D與BC是對(duì)應(yīng)邊

典例引

j'4▲L

1.如圖，在△48。中，CD工AB于點(diǎn)D,有下列條件：①N4=N8C。；②NA+NBCD=NADC；③電羋

CDAC

@BC1=BD-BA.其中能判斷△A8C是直角三角形的有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【分析】根據(jù)題目中①②③?給出的條件分別判定△BCQs^BAC或△48CSA4CO即可求得NAC8=

90,，計(jì)算能求證△BCDs/XBAC或AABCs/^ACO的個(gè)數(shù)即可解題.

【解答】解：?vZA=ZBCD,N4+NAC￡>=90°,

/.ZBCD+ZACD=90A,故本命題成立；

②條件不足，無法求證N4C8=90°,故本命題錯(cuò)誤；

?'：BD：CD=BC：AC,ZADC=ZCDB=90°,

.-.RtAADC^RtACDfi,（因?yàn)槎加幸粋€(gè)直角，斜邊直角邊成比例）

:./4CO=N8；

???/8+NBCD=90°,

???/ACO+N8CO=90°,

???/AC"4ACDMBCD,

AZACB=90°；故本命題正確；

④'：Bd=BDXBA,

?BC=BA

.?而前'

,:乙B=/B,

:.XABCs^CBD,

AZACB=90°,故本命題成立，

故選：D.

2.如國(guó)，RtZXABC中，ZACB=90°,CD_LA8于點(diǎn)O,ZACD=3ZfiCD,E為斜邊A4的中點(diǎn)，則他=

DE

【分析】利用相似三角形的判定與性質(zhì)得到N8CD=NA=22.5°,利用三角形的外角的性質(zhì)得到NCED

=45°,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得至U4E=CE=8E=LB,設(shè)CD=OE=X,則

2

CE=&x，AD=（加+1）x,代入迫化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論.

DE

【解答】解：???NAC8=90°,ZACD=3ZBCD,

：2BCD=225°,N4CZ）=67.5°.

VZACB=90°,CDA.AB,

:.△BCDsgAC,

：.^BCD=ZA=22,5°.

???/AC8=90°,E為斜邊AB的中點(diǎn),

：.AE=CE=BE=X\B.

2

，/EC4=NA=22.5°,

A^CED=ZA+ZECA=45°,

???CO_LAB,

：.CD=DE.

設(shè)CD=DE=x,則CE=42x，

.*.AE=V2V,

：.AD=AE+DE=（V2+1）x,

故選：B.

3.如圖，在△ABC中，ZA=90°,點(diǎn)O、E分別在AC、BC邊上，BD=CD=2DE,且NC+2NCDE=45°,

【分析】首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和已知條件證出N8QE=90°,作OF_LBC于尸，則凡△

DEFS4BEDS/\BDF,得出國(guó)衛(wèi)=還=更=2，設(shè)￡尸=”，貝I］。v=2x,BF=CF=4x,得出8c=8x,

DFBDBF2

DE=J^x,得出CD=BD=2娓x,AC=6+2，ix,證明△CD尸s2\CB4,得出絲=里，代入計(jì)算即可

ACBC

得出結(jié)果.

【解答】解：???NA=90°,

AZAB￡>+ZADB=90o,

?:BD=CD,

：?/DBC=NC,

???4ADB=ZDfiC+ZC=2ZC,

VZC+AZCD￡：=45O

2

???2NC+NC￡>E=90°,

Z：ADB+^CDE=9Qn,

:?/BDE=90°,

作。尸_L3C于F,如圖所示:

則B/=CRADEFsABEDSABDR

?亞=邁=如=2

一聲麗麗萬

設(shè)EP=x,則。尸=2x,BF=CF=4x,

**.RC=8x>[yE=

:?CD=BD=2?:,AC=6+2遙x,

VZDFC=ZA=90°,NC=NC,

:.XCDFs叢CBA,

即

.CF=CD4°=x

ACBC,6+275x8x

解得：x=娓,

???BC=8時(shí)

故答案為：8證.

4.如圖，在RtZXABC中，NABC=90°,點(diǎn)。是斜邊AC的中點(diǎn)，連接。8,線段AE_L線段B。交8。于

點(diǎn)E,交DB于點(diǎn)G,垂足為點(diǎn)G.

(1)求證：EB?=EG,EA；

(2)聯(lián)結(jié)CG,若NCGE=NDBC,求證：BE=CE.

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得結(jié)論；

（2）由直角三角形的性質(zhì)得BD=1AC=CD,再由相似三角形的判定與性質(zhì)可得Ed=GE?EA,結(jié)合

2

（1）的結(jié)論可得答案.

【解答】證明:（1）VAEXBD,

AZBG￡=90°,

VZABC=90°,

:.4BGE=ZABE,

V/BEG=ZAEB,

:.XABEsABGE,

.BE=GE

??屈BE'

BPEa=EG?EA；

（2）在RtZXABC中，點(diǎn)。是斜邊AC的中點(diǎn)，

:,BD=1AC=CD,

2

:,乙DBC=4DCB,

.:4CGE=/DBC,

:?/CGE=NDCB,

■:NGEC=NGEC,

/.△GEC^ACEA,

.GE_CE

"CEAE'

:,EC2=GE*EA,

由（1）知￡B2=￡G?EA,

:.Ed=E*,

；?BE=CE.

考向四、一線三等角:

同側(cè)型（通常以等腰三角形或者等邊三角形為背景）

異側(cè)型

A

典例引順

1.如圖，。于點(diǎn)8,ED工BD于點(diǎn)D.AB=2,DE=4,80=6.點(diǎn)C為8/）上一點(diǎn)，連接AC、CE.當(dāng)

BC=()時(shí)，可使AC_LCE.

E

A.3B.2或4C4D.2或3

【分析】根據(jù)垂直定義可得/6=/。=/4。七=9?！?從而利用直角二角形的兩個(gè)銳角互余可得NA+/

4cB=90°,再利用平角定義可得NACB+NEa）=90°,然后利用同角的余角相等可得NECO=NA,

從而證明△A8CSZ\CQE,最后利用相以三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：VAfilBD,ED工BD,

，NB=NO=90°，

???/A+NAC8=90°,

VAC1CE,

???/ACE=90°,

AZACB+ZECD=I8O°?NACE=9C°，

:ZECD=NA,

：,XABCsACDE,

.AB=BC

**CDDE*

._2_=BC

6-BCT

解得：3c=2或5C=4,

?,?當(dāng)5C=2或4時(shí)，可使ACJ_CE,

故選：B.

2.如圖，點(diǎn)A,B,C在同一直線上，ZA=ZDBE=ZC,則下列結(jié)論：①NO=/CBE,②?CEB,

③3D=曲，其中正確的結(jié)論有（）個(gè).

BCBE

AB

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和和平角的定義可得①正確，進(jìn)行可得得出②正確；由相似

三角形的性質(zhì)可知，相似三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例，得出結(jié)論.

【解答】解：由圖可知，ZA+ZD+ZABD=180°,ZABD+ZDBE+ZCBE=\SO°,

???/A=NDBE,

：?/D=NCBE,故①正確；

???/A=NC,

:./XABDs^CEB,故②正確；

:.嶇=坨，故③正確;

BC

故選:

3.如圖，在矩形ABCO中，點(diǎn)E是對(duì)角線上一點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)F,過點(diǎn)E作EG_LAE交BC

于點(diǎn)G,若A8=8,AO=6,8G=2,則4E=()

'C

B,應(yīng)c.誓，嘈

~5~

【分析】過點(diǎn)E作EN_LBC,垂足為M延長(zhǎng)NE交A。于點(diǎn)M,根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AD=BC=6,N

DAB=^ABC=90a,從而可得四邊形4MN8是矩形，進(jìn)而可得N4MN=90°,AB=MN=8,AM=BN,

MN//AB,然后設(shè)ME=x,則EN=MN?EM=8?x，再證明A字模型相似三角形△OMES/\OAB,并利

用相似三角形的性質(zhì)求出。M,從而求出AM,GN的長(zhǎng)，最后證明一線三等角模型相似三角形△A"以-

AENG,利用相似三角形的性質(zhì)列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計(jì)算即可求出ME,AM的長(zhǎng)，從而在RtZVIME

中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：過點(diǎn)E作石MLBC,垂足為M延長(zhǎng)NE交40于點(diǎn)M,

：?"NB=90°,

??川邊形ABC。是矩形，

：.AD=BC=6,ZDAB=ZABC=90°,

???四邊形AMNB是矩形，

?N=90°,AB=MN=8,AM=BN,MN〃AB,

：./DME=ZDAB=90°,NDEM=NDBA,

：?、DMES4DAB,

?.D?-M--_-D--A-,

MEAB

設(shè)ME=x,則EN=MN-EM=S-x,

?.D?-M-_-6-?

X8

；.DM=^-x,

4

:?BN=AM=AD-DM=6-Xv,

4

???BG=2,

:.GN=BN-BG=4-Sx,

4

VEG±AE,

AZAEG=90°,

??.NAEM+NGEN=90°,

VZ.AEM+ZMAE=90°,

：?4MAE=/GEN,

???/4ME=NENG=90°,

:.'AMESRENG,

.AM^EN

**IE而’

3

.6ATX8-X

??~~~A3,

4T

/.Jj=,!?.,X2=8,

25

經(jīng)檢驗(yàn)：用=絲，叱=8都是原方程的根，垃=8(舍去)，

25

AM=6-m=-114,

25425

???心辦從2+建2='(爵)2+整)2=_|717,

故選:B.

4.如圖，在△A8C中，AB=10,BC=34,COSNA3C=2,射線CM〃A8,。為線段8c上的一動(dòng)點(diǎn)且和B,

5

C不重合，聯(lián)結(jié)。A,過點(diǎn)。作。E_LD4交射線CM于點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)A￡,作EF=EC,交BC的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)尸，設(shè)BD=x.

(1)如圖1,當(dāng)AQ〃EF,求8。的長(zhǎng)；

(2)若CE=y,求y關(guān)于”的函數(shù)解析式，并寫出定義域；

(3)如圖2,點(diǎn)G在線段AE上，作N4GO=NR若aOGE與相似，求8。的長(zhǎng).

【分析】(1)可推出△4BD是等腰三角形，從而求得BD；

(2)作AKI/?C于K.F.H\CFTH,可證得△4K/)s△力斤凡可求得AK=X,DK=x-6,FH=&y,

5'

OH=34?x+Wy,進(jìn)一步求得結(jié)果；

5'

(3)推出可以是△GDESZ\CDE或△G°ES2\CED,當(dāng)△GOES/\COE時(shí)，可推出△GDEgaCDE及

△4BOg△AGO,進(jìn)而求得此時(shí)8。的值；當(dāng)△GQ￡s2\c&)時(shí)，推出四邊形AOFEO是平行四邊形，

再根據(jù)△AKOS/\OTE,進(jìn)而求得此時(shí)4。.

圖1

作AK_LBC于K,

BK—AB?cos/ABC-10X3—6,

5

:=22=

???AAVAB-BKV102-62=8'

?：EF=EC,

:.4ECF=/F,

?:CM"AB,AD//EF,

：?MB=NECF,NADB=NF,

:./B=NADB,

：.AB=AD,

；,BD=2BK=12；

(2)如圖2,

圖2

作AK_L3C于K,EH上CF于H,

：.ZADK=ZCHE=90°，

???/4OK+/OAK=90°,

VAD1DE,

???/AOE=90°,

AZlADK+ZlEDH=90n,

:?乙DAK=/EDH,

???XAKDsADHE,

.AK-DH

**DKEH，

'：BD=x,8K=6,BC=34,

：.DK=x-6,DC=34-x,

/ECF=ZABD,

：.C”=CE?cosNEC產(chǎn)=)，?cosNABQ=1?y,

.\EH=-^yt

：,DH=DC+CH=34?

5y

3

34-x+r-y

.8_______5_

.■一4'

Ty

化簡(jiǎn)，得，

_5X2-200X+1020

y1~----------------------------

3x-50

當(dāng)NHDE=NECF時(shí),DE//CEf

:.4DAK=/ECH=ZABD,

，￡>K=AK?tanND4K=8?lanZABK=8X_1=絲

33

此時(shí)，BO=8K+QK=6+^=包，

33

，6<rV型：

3

(3)如圖3,

B

???/AGO=N尸，NAG￡>+NOGE=180°,

???/OGE+N尸=180°,

?：^ECF+ZDCE=\S0°,

ZF=Z￡CF,

4DGE=NDCE,

：,LGDEs4CDE或4GDEsACED,

當(dāng)△GOEsACDE時(shí)，

NGDE=NCDE,

?：DE=DE,

:.XCDE4RGDE(AAS\

:.DG=DC,

VZADE=90°,

；?4ADB+NEDC=NADG+NGDE=90°,

:.^ADB=ZADG,

V/ARD=/ECF=/兄

:./ABD=NAG。，

?：AD=ADt

/.(A4S),\

:?DB=DG,

：.BD=CD=^BC=\1,

2

3

???8。=17不符合題意，舍去；

當(dāng)時(shí)，如圖4,

NGDE=NDEC,NGED=NCDE,

:.DG〃CE,CD//GE,

，四邊形8GE是平行四邊形，

由(1)(2)知，

AK=8,DK=x?6,CO=34?x,AA/CD^ADTE,

：?ET=AK=8,CT=BK=6,07=40-x,

?AK=DT

??京W

???'8'一'40-x’'

x-68

?F=8,

綜上所述：30=8.

考向五、手拉手相似模型：

模型名稱幾何模型圖形特點(diǎn)具有性質(zhì)

AABC^AADE連結(jié)BD、CE

相似型手A、D、E逆時(shí)針①△ABDs△ACE

拉手A、B、C逆時(shí)針?△AOB^AHOC

③旋轉(zhuǎn)角相等

36④A、B、C、H四點(diǎn)共圓

“反向”相4A△ABC^AADE作4ADE關(guān)于AD對(duì)稱的

似型手拉A、D、E順時(shí)針△ADE'

手A、B、C逆時(shí)針性質(zhì)同上①?@

A、D、E'逆時(shí)針

典例引頷

1.如圖，△ABC中，NBAC=30°,ZACB=90°，且△ABCS^ABC,連接CC,將CC'沿C'B'方

向平移至EB，，連接8E,若CC=&,則BE的長(zhǎng)為（)

C.V3D.2

【分析】連接88’,在RtzMBC中，利用銳角三角函數(shù)的定義可得螞=近，再利用相似三角形的性

AB2

質(zhì)可得_些_=_冬，ZACB=ZAC，B'=90°,NBAC=NB'AC=30°,從而利用等式的性質(zhì)

AB'AC'

可得NB4B'=NC4C',進(jìn)而可證△B4B'^ACAC",然后利用相似三角形的性質(zhì)可得NBB'A=N

CCA,辿_=幽=近，再利用平移的性質(zhì)可得CC'//B'E,支金=螞=近，從而利用平行線

BBZAB2BBZAB2

的性質(zhì)可得NBB'E=30°,最后證明△BCAsaBEB',從而可得NBEB'=90°,進(jìn)而在RtZXBEB'

中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：連接BB',

???/8AC=30°，NACB=90°,

Acos30o=￡=返，

AB2

■:AABC^AAB'C,

ZACB=ZAC,B'=90°，ZBAC=ZB'AC=30。，

AB'AC'

：.^BAC+ZCAB'=ZB'AC+ZCAB1，

：./BAH'=ZCACr，

:?△BAB's2\C4C',

CCZ^AC-V3

：.4BB'A=ZCC,A,

BB，AB~2'

由平移得:

CC=B'E=氓,CC'//B'E,

?上旦=幽=近

XB，AB2,

VCC1//B'E,

:,乙CC'B'+ZAB'C'+NBB'A+^BB'E=180°,

:,乙CC'B'+/AB'C+NCC'A+/BB'E=180°,

???/4C'B'+ZAB'C'+/BB'E=180°,

???/AC'B'=90°,N8‘AC=30°,

A/AB'C=900-ZB'AC'=60°,

:,乙BB'E=30°,

：?4BB'E=/C48=30°,

:ZCASABEB',

"BEB'=NACB=90°,

：.BE=B'E?tan30°=V6X—

3

故選：B.

2.如圖，在△ABC中，AB=AC=3y[13,8c=6,點(diǎn)尸在邊AC上運(yùn)動(dòng)（可與點(diǎn)4,C重合），將線段8P

繞點(diǎn)「逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。，得到線段QP,連接BD,CD,則CD長(zhǎng)的最小值為_15dl

【分析】以為邊構(gòu)建出和△BP。相似的三角形，通過將CO邊轉(zhuǎn)化為其他邊來求值.

【解答】解：如圖所示，以BC為底邊向上作等腰△BQC,使N8QC=120。，連接PQ.

由題意可得ABOC和ABP。均為頂角為120°的等腰三角形,

可得地NQBC=NPBD=30°,

BCBDV3

:.Z.QBC-NQBD=NPBD-NQBD,

：?4PBQ=NDBC,

：?、PBQs〉DBC,

.?QBQ1

DCBCV3

???當(dāng)PQ_LA。時(shí)，有尸Q最小,即此時(shí)CD最小,

如圖所示，設(shè)O尸'J_AC,延長(zhǎng)4Q與BC交K,此時(shí)QP為Q尸的最小值:

可得AK1BC,

,?3QC中,N8QC=120°,BC=6,

:?BK=3,NQBK=30°,

VAB=AC=3V13?KC=3,

A/^=7AB2-BK2=6V3,

，AQ=AK-QK=5心

VZAPQ=ZAKC=90°,ZQAP'=ZCAK,

:.XAQPsRACK,

.AQ_QP'

??,二■?

ACKC

.5V3_QPZ

…行3’

5V39_

...QP=

13

???CO=?QP，=15Vl§

13

3.已知在RtZXABC中，CO_LAB于點(diǎn)O.

(1)在圖1中，寫Hl其中兩對(duì)相似三角形.

(2)已知BO=1,DC=2,將△C8。繞著點(diǎn)O按順時(shí)針方向進(jìn)行旋轉(zhuǎn)得到△C8。，連接AC,BC.

①如圖2,判斷AC與5C之間的位置及數(shù)量關(guān)系，并證明;

②在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)4，B,。在同一直線時(shí)，求8c的長(zhǎng).

【分析】(1)利用兩個(gè)角相等可得△ABCs△ACD,ABCDsABAC；

(2)①利用兩邊成比例且夾角相等證明△OBCs/xocA,得呼/D」,ZDCA=ZDBC,可得結(jié)

CzAAD2

論；

②分點(diǎn)C在線段AB或AB的延長(zhǎng)線兩種情形，分別畫出圖形，利用勾股定理列方程可得答案.

【解答】解：⑴?:CD上AB,

:.AADC=NBDC=ZACB=90°,

/.AABC^AACD,ABCD^ABAC；

(2)①聿一，，AC±BC,理由如下：

CyA2

由(1)知，在圖1中，/XABCsRCBDs&ACD、

?3DjD二1

一麗而巧，

如圖2,VZBDC=ZCDA=90°,

:.乙BDC=4CDA,

:?△DBCs^DCA,

ZDCA=ZDBC,

圖2

■:4DEB=NCEC,

CFE=NBDC=9Q0,

：,ACLBC,

AC±BCi

C‘A2

②如圖，當(dāng)點(diǎn)4、B、C在同一直線上時(shí),

設(shè)BC=x,AC=2x,

在RtZXACB中，由勾股定理得，?+（2x-V5）2=（2遙）2

解得力=次延返.（負(fù)值舍去），

5

如圖，當(dāng)A、C、8在同一直線上時(shí)，

D

3

同理可得，W+（2X+V5）12=（2V5）2?

解得L一3±屈,（負(fù)值舍去），

綜上：叱=巫退