2025屆福建省邵武市第四中學(xué)高考數(shù)學(xué)五模試卷含解析

2025屆福建省邵武市第四中學(xué)高考數(shù)學(xué)五模試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C．1 D．2．的圖象如圖所示，，若將的圖象向左平移個(gè)單位長度后所得圖象與的圖象重合，則可取的值的是（）A． B． C． D．3．盒中裝有形狀、大小完全相同的5張“刮刮卡”，其中只有2張“刮刮卡”有獎(jiǎng)，現(xiàn)甲從盒中隨機(jī)取出2張，則至少有一張有獎(jiǎng)的概率為()A． B． C． D．4．設(shè)全集，集合，，則（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．6．設(shè)集合，，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得，則的最大值為（）A． B． C． D．8．已知，若，則等于（）A．3 B．4 C．5 D．69．已知a＞b＞0，c＞1，則下列各式成立的是（）A．sina＞sinb B．ca＞cb C．a(chǎn)c＜bc D．10．如圖，內(nèi)接于圓，是圓的直徑，，則三棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．11．已知集合，集合，則A． B．或C． D．12．已知集合，則集合真子集的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．7 D．8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．學(xué)校藝術(shù)節(jié)對同一類的，，，四件參賽作品，只評一件一等獎(jiǎng)，在評獎(jiǎng)揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測如下：甲說：“或作品獲得一等獎(jiǎng)”；乙說：“作品獲得一等獎(jiǎng)”；丙說：“，兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)”；丁說：“作品獲得一等獎(jiǎng)”．若這四位同學(xué)中有且只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎(jiǎng)的作品是______.14．三個(gè)小朋友之間送禮物，約定每人送出一份禮物給另外兩人中的一人（送給兩個(gè)人的可能性相同），則三人都收到禮物的概率為______.15．已知正方形邊長為，空間中的動(dòng)點(diǎn)滿足，，則三棱錐體積的最大值是______.16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A0,a,B3,a+4三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在三棱柱中，四邊形是菱形，，，，，點(diǎn)M、N分別是、的中點(diǎn)，且.（1）求證：平面平面；（2）求四棱錐的體積.18．（12分）某芯片公司對今年新開發(fā)的一批5G手機(jī)芯片進(jìn)行測評，該公司隨機(jī)調(diào)查了100顆芯片，并將所得統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分為五個(gè)小組（所調(diào)查的芯片得分均在內(nèi)），得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中．（1）求這100顆芯片評測分?jǐn)?shù)的平均數(shù)（同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）．（2）芯片公司另選100顆芯片交付給某手機(jī)公司進(jìn)行測試，該手機(jī)公司將每顆芯片分別裝在3個(gè)工程手機(jī)中進(jìn)行初測。若3個(gè)工程手機(jī)的評分都達(dá)到11萬分，則認(rèn)定該芯片合格；若3個(gè)工程手機(jī)中只要有2個(gè)評分沒達(dá)到11萬分，則認(rèn)定該芯片不合格；若3個(gè)工程手機(jī)中僅1個(gè)評分沒有達(dá)到11萬分，則將該芯片再分別置于另外2個(gè)工程手機(jī)中進(jìn)行二測，二測時(shí)，2個(gè)工程手機(jī)的評分都達(dá)到11萬分，則認(rèn)定該芯片合格；2個(gè)工程手機(jī)中只要有1個(gè)評分沒達(dá)到11萬分，手機(jī)公司將認(rèn)定該芯片不合格．已知每顆芯片在各次置于工程手機(jī)中的得分相互獨(dú)立，并且芯片公司對芯片的評分方法及標(biāo)準(zhǔn)與手機(jī)公司對芯片的評分方法及標(biāo)準(zhǔn)都一致（以頻率作為概率）．每顆芯片置于一個(gè)工程手機(jī)中的測試費(fèi)用均為300元，每顆芯片若被認(rèn)定為合格或不合格，將不再進(jìn)行后續(xù)測試，現(xiàn)手機(jī)公司測試部門預(yù)算的測試經(jīng)費(fèi)為10萬元，試問預(yù)算經(jīng)費(fèi)是否足夠測試完這100顆芯片？請說明理由．19．（12分）已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)無解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其短半軸長為，一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在直線上的點(diǎn)，且．證明：直線與圓相切；求面積的最小值．21．（12分）在平面四邊形(圖①)中，與均為直角三角形且有公共斜邊，設(shè)，∠，∠，將沿折起，構(gòu)成如圖②所示的三棱錐，且使=.（1）求證：平面⊥平面；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）在，角、、所對的邊分別為、、，已知.（1）求的值；（2）若，邊上的中線，求的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

由降冪公式，兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)求得參數(shù)值．【詳解】，時(shí)，，，∴，由題意，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式，考查兩角和的正弦公式，考查正弦函數(shù)性質(zhì)，掌握正弦函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2、B【解析】

根據(jù)圖象求得函數(shù)的解析式，即可得出函數(shù)的解析式，然后求出變換后的函數(shù)解析式，結(jié)合題意可得出關(guān)于的等式，即可得出結(jié)果.【詳解】由圖象可得，函數(shù)的最小正周期為，，，則，，取，，則，，，可得，當(dāng)時(shí)，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象求函數(shù)解析式，同時(shí)也考查了利用函數(shù)圖象變換求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于中等題.3、C【解析】

先計(jì)算出總的基本事件的個(gè)數(shù)，再計(jì)算出兩張都沒獲獎(jiǎng)的個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型的概率，求出兩張都沒有獎(jiǎng)的概率，由對立事件的概率關(guān)系，即可求解.【詳解】從5張“刮刮卡”中隨機(jī)取出2張，共有種情況，2張均沒有獎(jiǎng)的情況有（種），故所求概率為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率、對立事件的概率關(guān)系，意在考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

可解出集合，然后進(jìn)行補(bǔ)集、交集的運(yùn)算即可．【詳解】，，則，因此，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集和交集的運(yùn)算，涉及一元二次不等式的求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

求導(dǎo)，先求出在單增，在單減，且知設(shè)，則方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，再利用一元二次方程根的分布條件列不等式組求解可得.【詳解】依題意，，令，解得，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，且，故方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，故，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查確定函數(shù)零點(diǎn)或方程根個(gè)數(shù).其方法：(1)構(gòu)造法：構(gòu)造函數(shù)(易求，可解)，轉(zhuǎn)化為確定的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題求解，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值，并確定定義區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)(或變化趨勢)等，畫出的圖象草圖，數(shù)形結(jié)合求解；(2)定理法：先用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點(diǎn)值符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).6、C【解析】

由得出，利用集合的包含關(guān)系可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】，且，，.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用集合的包含關(guān)系求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

畫出分段函數(shù)圖像，可得，由于，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，分析最值，即得解.【詳解】由于，,由于，令，，在↗，↘故.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)性質(zhì)探究中的應(yīng)用，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化劃歸，綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.8、C【解析】

先求出，再由，利用向量數(shù)量積等于0，從而求得.【詳解】由題可知，因?yàn)?，所以有，得，故選：C.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)向量的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有向量的減法坐標(biāo)運(yùn)算公式，向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題目.9、B【解析】

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可【詳解】對A,由正弦函數(shù)的單調(diào)性知sina與sinb大小不確定，故錯(cuò)誤；對B,因?yàn)閥＝cx為增函數(shù)，且a＞b，所以ca＞cb，正確對C,因?yàn)閥＝xc為增函數(shù),故，錯(cuò)誤；對D,因?yàn)樵跒闇p函數(shù)，故，錯(cuò)誤故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題．10、B【解析】

根據(jù)已知證明平面，只要設(shè)，則，從而可得體積，利用基本不等式可得最大值．【詳解】因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊?又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，所以平?在直角三角形中，，設(shè)，則，所以，所以.又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查求棱錐體積的最大值．解題方法是：首先證明線面垂直同，得棱錐的高，然后設(shè)出底面三角形一邊長為，用建立體積與邊長的函數(shù)關(guān)系，由基本不等式得最值，或由函數(shù)的性質(zhì)得最值．11、C【解析】

由可得，解得或，所以或，又，所以，故選C．12、C【解析】

解出集合，再由含有個(gè)元素的集合，其真子集的個(gè)數(shù)為個(gè)可得答案.【詳解】解：由，得所以集合的真子集個(gè)數(shù)為個(gè).故選：C【點(diǎn)睛】此題考查利用集合子集個(gè)數(shù)判斷集合元素個(gè)數(shù)的應(yīng)用，含有個(gè)元素的集合，其真子集的個(gè)數(shù)為個(gè)，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、B【解析】

首先根據(jù)“學(xué)校藝術(shù)節(jié)對四件參賽作品只評一件一等獎(jiǎng)”，故假設(shè)分別為一等獎(jiǎng)，然后判斷甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的說法的正確性，即可得出結(jié)果．【詳解】若A為一等獎(jiǎng)，則甲、丙、丁的說法均錯(cuò)誤，不滿足題意；若B為一等獎(jiǎng)，則乙、丙的說法正確，甲、丁的說法錯(cuò)誤，滿足題意；若C為一等獎(jiǎng)，則甲、丙、丁的說法均正確，不滿足題意；若D為一等獎(jiǎng)，則乙、丙、丁的說法均錯(cuò)誤，不滿足題意；綜上所述，故B獲得一等獎(jiǎng)．【點(diǎn)睛】本題屬于信息題，可根據(jù)題目所給信息來找出解題所需要的條件并得出答案，在做本題的時(shí)候，可以采用依次假設(shè)為一等獎(jiǎng)并通過是否滿足題目條件來判斷其是否正確．14、【解析】

基本事件總數(shù)，三人都收到禮物包含的基本事件個(gè)數(shù)．由此能求出三人都收到禮物的概率．【詳解】三個(gè)小朋友之間準(zhǔn)備送禮物，約定每人只能送出一份禮物給另外兩人中的一人（送給兩個(gè)人的可能性相同），基本事件總數(shù)，三人都收到禮物包含的基本事件個(gè)數(shù)．則三人都收到禮物的概率．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題中條件得出，進(jìn)而可求出的最大值，由此能求出三棱錐體積的最大值.【詳解】以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)點(diǎn)，空間中的動(dòng)點(diǎn)滿足，，所以，整理得，，當(dāng)，時(shí)，取最大值，所以，三棱錐的體積為.因此，三棱錐體積的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐體積的最大值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．16、（-53，【解析】

求出AB的長度，直線方程，結(jié)合△ABC的面積為5，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離進(jìn)行求解即可．【詳解】解：AB的斜率k=a+4-a3-0=4=3設(shè)△ABC的高為h，則∵△ABC的面積為5，∴S=12|AB|h=即h＝2，直線AB的方程為y﹣a=43x，即4x﹣3y+3若圓x2+y2＝9上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)C，則圓心O到直線4x﹣3y+3a＝0的距離d=|3a|則應(yīng)該滿足d＜R﹣h＝3﹣2＝1，即|3a|5得|3a|＜5得-53＜故答案為：（-53，【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，求出直線方程和AB的長度，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）要證面面垂直需要先證明線面垂直，即證明出平面即可；（2）求出點(diǎn)A到平面的距離，然后根據(jù)棱錐的體積公式即可求出四棱錐的體積.【詳解】（1）連接，由是平行四邊形及N是的中點(diǎn)，得N也是的中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)M是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，又，，所以平面，又平面，所以平面平面；?）過A作交于點(diǎn)O，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，由是菱形及，得為三角形，則，由平面，得，從而側(cè)面為矩形，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了面面垂直的證明，求四棱錐的體積，屬于一般題.18、（1）（2）預(yù)算經(jīng)費(fèi)不夠測試完這100顆芯片，理由見解析【解析】

（1）先求出，再利用頻率分布直方圖的平均數(shù)公式求這100顆芯片評測分?jǐn)?shù)的平均數(shù)；（2）先求出每顆芯片的測試費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望，再比較得解.【詳解】（1）依題意，，故．又因?yàn)椋?，所求平均?shù)為（萬分）（2）由題意可知，手機(jī)公司抽取一顆芯片置于一個(gè)工程機(jī)中進(jìn)行檢測評分達(dá)到11萬分的概率．設(shè)每顆芯片的測試費(fèi)用為X元，則X的可能取值為600，900，1200，1500，，，故每顆芯片的測試費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為（元），因?yàn)椋燥@然預(yù)算經(jīng)費(fèi)不夠測試完這100顆芯片．【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖的平均數(shù)的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平.19、（1）；（2）.【解析】

（1）只需分，，三種情況討論即可；（2）在區(qū)間上恒成立，轉(zhuǎn)化為，只需求出即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等式無解；當(dāng)時(shí)，，由得；當(dāng)時(shí)，，由得，綜上，不等式的解集為；（2）依題意，在區(qū)間上恒成立，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，由得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式的解法、不等式恒成立問題，考查學(xué)生分類討論與轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道基礎(chǔ)題.20、證明見解析；1.【解析】

由題意可得橢圓的方程為，由點(diǎn)在直線上，且知的斜率必定存在，分類討論當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)和斜率不為時(shí)的情況列出相應(yīng)式子，即可得出直線與圓相切；由知，的面積為【詳解】解：由題意，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且，所以．所以橢圓的方程為．由點(diǎn)在直線上，且知的斜率必定存在，當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)，，，于是，到的距離為，直線與圓相切．當(dāng)?shù)男甭什粸闀r(shí)，設(shè)的方程為，與聯(lián)立得，所以，，從而．而，故的方程為，而在上，故，從而，于是．此時(shí)，到的距離為，直線與圓相切．綜上，直線與圓相切．由知，的面積為，上式中，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，所以面積的最小值為1．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力和創(chuàng)新意識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．21、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）取AB的中點(diǎn)O，連接，證得，從而證得C′O⊥平面ABD，再結(jié)合面面垂直的判定定理，即可證得平面⊥平面；（2）以O(shè)為原點(diǎn)，AB，OC所在的直線為y軸，z軸，建