2025新高考高一對數(shù)運算易錯培優(yōu)競賽試題（解析板）-A4

第頁2025新高考高一對數(shù)運算易錯培優(yōu)競賽試題【題組目錄】題組一：名校對數(shù)運算易錯題精選題組二：名校對數(shù)運算培優(yōu)壓軸試題精選題組三：名校對數(shù)運算新定義試題精選題組四：對數(shù)運算全國高中數(shù)學聯(lián)賽強基計劃精選試題【精選練習】題組一：名校對數(shù)運算易錯題精選1．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，結(jié)合基本不等式能證明，由此能證明，再構(gòu)造函數(shù)，，由，可得，則，由此能求出結(jié)果．【詳解】解：，，，，等號取不到，，，，，令，∵，∴單調(diào)遞減，且，，可得于是，，故選：A.2．已知正實數(shù)x，y，z滿足，則不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先把指數(shù)式化成對數(shù)式，表示出.選項A，取倒數(shù)再根據(jù)換底公式可以判斷A；選項B，根據(jù)換底公式轉(zhuǎn)化為比較的大小關(guān)系；選項C，同樣根據(jù)換底公式轉(zhuǎn)化為比較底數(shù)的大小關(guān)系；選項D，把利用換底公式進行化簡，再結(jié)合基本不等式得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，，則，，.選項A，，，，則，故A正確；選項B，，，，下面比較的大小關(guān)系，因為，，，所以，即，又，所以，即，故B不正確；選項C，，，，因為，又，所以，即，故C正確；選項D，，因為，所以，又，所以，故D正確；故選：B.【點睛】指數(shù)和對數(shù)的比較大小問題，通常有以下方法：（1）利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，底數(shù)不一樣時可以化成一樣的再比較；（2）比較與0，1的關(guān)系，也可以找中間值比較大小；（3）當真數(shù)一樣時，可以考慮用換底公式，換成底數(shù)一樣，再比較大??；（4）去常數(shù)再比較大小，當?shù)讛?shù)與真數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時，需要將對數(shù)進行分離常數(shù)再比較；（5）也可以結(jié)合基本不不等式進行放縮，再比較大??；（6）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.3．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解得，又利用對數(shù)運算可判斷，結(jié)合基本不等式可判斷與的大小，即可得的大小關(guān)系.【詳解】解：，由于，，取等條件應(yīng)為，即，而，故，，取等條件為，即，而，故，所以.故選：A.4．（多選題）已知，則（

）A． B． C． D．81【答案】BD【分析】根據(jù)題意，由換元法可得，然后代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，所以原式，即，解得，所以，所以，或.故選：BD5．（多選題）已知實數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為9 B．的最大值為C．的最大值為 D．的最小值為【答案】ACD【分析】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)及運算法則得到，再利用基本不等式即可驗證各選項是否正確.【詳解】由對數(shù)的性質(zhì)及運算法則可知：，且，所以：.對于選項A：由，得：，所以，當，即時，取“”，所以選項A正確；對于選項B：，所以，當，即時取“”，所以的最大值為，所以選項B錯誤；對于選項C：因為，由選項B的解題中可知：，所以，所以，所以選項C正確；對于選項D：因為，即當，即時，取“”，所以，故選項D正確.故選A,C,D.6．（多選題）已知，若，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABC【分析】由對數(shù)運算的性質(zhì)得，通過代入即可判斷A；由二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷B；代入即可求出a的值，則可判斷C；由可得，可解得a的取值范圍，則可判斷D.【詳解】由題意知，所以，所以．對于A，若，則，故A正確；對于B，若，則，所以，故B正確；對于C，若，則，解得，故C正確；對于D，若，則，不能得到，故D錯誤．故選：ABC.7．已知，則(用表示)【答案】【分析】利用對數(shù)的換底公式及運算法則計算化簡即可.【詳解】，因為，代入上式，化為.故答案為：.8．【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)冪運算、對數(shù)運算法則化簡求值即可得到結(jié)果.【詳解】故答案為：.9．已知實數(shù)x，y滿足，則．【答案】3【分析】設(shè)，利用同構(gòu)結(jié)合二次方程的解可得，故可求的值.【詳解】設(shè)，則，故即，整理得到：，故為方程的正根，故，故，故，故答案為：3.【點睛】思路點睛：與對數(shù)有關(guān)的求值問題，應(yīng)該利用指對數(shù)的轉(zhuǎn)化把對數(shù)問題轉(zhuǎn)化指數(shù)問題來處理，轉(zhuǎn)化過程中注意觀察所得代數(shù)式的結(jié)構(gòu)便于利用同構(gòu)策略處理,10．設(shè)為正實數(shù)，，，則．【答案】/0.5【分析】根據(jù)題意可得，進一步變形為，再利用基本不等式得，從而得，解出的值，代入即可求解.【詳解】因為為正實數(shù)，，則，即，，故，因為，所以，又，，則由基本不等式得，當且僅當時，等號成立.綜上，，則，解得，則.故答案為：.11．已知，且，則.【答案】或【分析】根據(jù)條件，利用換底公式得到，從而得到或，即可求解.【詳解】因為，整理得到，解得或，所以或，故答案為：或.12．函數(shù)，定義使為整數(shù)的數(shù)叫做“企盼數(shù)”，則在區(qū)間上這樣的“企盼數(shù)”共有個．【答案】9【分析】令，利用對數(shù)的換底公式可得，再根據(jù)題中定義即可求解.【詳解】令，利用對數(shù)的換底公式可得,得到．要使成為“企盼數(shù)”，則，．由于，即，因為，，，可?。虼嗽趨^(qū)間上這樣的“企盼數(shù)”共有9個．故答案為：913．若實數(shù)，且，則.【答案】1【分析】根據(jù)換底公式及對數(shù)式與指數(shù)式的轉(zhuǎn)化即可得解.【詳解】因為，所以，由，解得或（舍去），所以，即，所以，故答案為：114．設(shè)，是方程的兩根，則.【答案】【分析】先由韋達定理得，然后化簡求解即可.【詳解】由韋達定理可知故答案為：15．已知，則=【答案】1【分析】根據(jù)指數(shù)式和對數(shù)式的互化可得，結(jié)合對數(shù)運算性質(zhì)可得的值，化簡為，即可得答案.【詳解】由于，故，故，則.故答案為：116．已知，，則．【答案】【分析】根據(jù)等式結(jié)構(gòu)特征先利用換元法化簡等式形式為，，然后通過兩等式的聯(lián)系（均可化為形式），構(gòu)造函數(shù)研究出m與n的關(guān)系，從而建立x與y的關(guān)系，進而求出.【詳解】令，，則，，由題可得，，所以，.因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以.由，得，得，故.故答案為：.17．（1）已知，求證：.（2）證明：是無理數(shù).【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【分析】（1）指數(shù)式化為對數(shù)式，得到左式，右式，證畢；（2）反證法進行證明，假設(shè)是有理數(shù)，則，其中為既約分數(shù)，則，但為偶數(shù)，為奇數(shù)，相矛盾，故為無理數(shù).【詳解】（1）證明：，左式，右式，所以左式=右式.（2）證明：假設(shè)是有理數(shù)，則，其中為既約分數(shù)，則，則，這與為偶數(shù)，為奇數(shù)相矛盾，所以假設(shè)不成立，所以是無理數(shù)．18．我們知道，任何一個正實數(shù)都可以表示成．當時，記的整數(shù)部分的位數(shù)為，例如；當時，記的非有效數(shù)字的個數(shù)為，例如．(1)求，，并寫出的表達式（不必寫出過程）；(2)若，且取，求以及；(3)已知，猜想：與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)3，1，(2)30，，31(3)猜想，證明見解析【分析】（1）由新定義得解；（2）利用對數(shù)化簡，把表示，根據(jù)新定義得解；（3）猜想，利用新定義證明即可.【詳解】（1），，由題意，當時，整數(shù)部分的位數(shù)為，當時，的非有效數(shù)字的位數(shù)為，所以（2）由，則，所以，故，，.（3）猜想：，當時，為正整數(shù)且不可能是10的倍數(shù)，所以存在，使得，此時，而，所以，所以.【點睛】關(guān)鍵點點睛：理解所給新的定義，運用所給定義是此類拓展型題目的解題關(guān)鍵，對能力要求較高.題組二：名校對數(shù)運算培優(yōu)壓軸試題精選1．已知，，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】由題意結(jié)合對數(shù)運算性質(zhì)運算即可得解.【詳解】由題意，所以，所以.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點睛：關(guān)鍵是都對已知等式兩邊同時取以6為底的對數(shù)，由此即可順利得解.2．已知正數(shù)，滿足，則下列說法不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)對數(shù)定義把指數(shù)化為對數(shù)，再根據(jù)對數(shù)運算結(jié)合基本不等式逐個運算判斷.【詳解】設(shè)，則,∴對A：，A正確；對B：由題意可得：，同理可得：∵∴，則，B錯誤；對C：∵∴，C正確；對D：∴，D正確；故選：B.3．已知函數(shù)的圖像既關(guān)于點中心對稱，又關(guān)于直線軸對稱.當時，，則的值為（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)表示函數(shù)的圖像，，根據(jù)中心對稱性與軸對稱性，可依次得，，，取，可計算得，從而可計算得.【詳解】用表示函數(shù)的圖像，對任意的，令，則，且，利用的中心對稱性與軸對稱性，可依次推得，，，取，此時，因此.故選：B【點睛】本題考查了中心對稱與軸對稱的應(yīng)用，求解的關(guān)鍵是根據(jù)中心對稱與軸對稱特點表示出函數(shù)圖像上的點之間的關(guān)系，然后代值計算.4．已知函數(shù)，則（

）A．4038 B．4039 C．4040 D．4041【答案】B【分析】先分析待求式子的特點，根據(jù)條件計算，然后分析的取值，由此計算出待求式子的結(jié)果.【詳解】因為，所以，又因為，所以原式，故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵在于分析待計算的式子，通過分析待求式子可以發(fā)現(xiàn)具有一般代表性，從而通過解析式去分析其值的特點并完成問題的求解，本例的實質(zhì)體現(xiàn)的是函數(shù)的對稱性.5．已知是定義在上的單調(diào)函數(shù)，是(0,+∞)上的單調(diào)減函數(shù)，且，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】是定義在上的單調(diào)函數(shù)可推知，表示出，再作商法，運用換底公式變形，比較出的大小即可求解.【詳解】由已知得，則，所以，，，所以，則，，則，所以．又因為是(0,+∞)上的單調(diào)減函數(shù)，所以故選：B．【點睛】作商比較法，即對兩值作商，根據(jù)其值與1的大小關(guān)系，從而確定所比值的大小．當然一般情況下，這兩個值最好都是正數(shù)．作差比較法是比較兩個數(shù)值大小的最常用的方法，即對兩值作差，看其值是正還是負，從而確定所比值的大小．6．已知55<84，134<85．設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則（

）A．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b【答案】A【分析】由題意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小關(guān)系，由，得，結(jié)合可得出，由，得，結(jié)合，可得出，綜合可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】由題意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.綜上所述，.故選：A.【點睛】本題考查對數(shù)式的大小比較，涉及基本不等式、對數(shù)式與指數(shù)式的互化以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題.7．設(shè)，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，，然后運用對數(shù)的運算性質(zhì)分別判斷出和的符號即可.【詳解】由對數(shù)的性質(zhì)得：，所以因為所以，即因為所以，即綜上：故選：B【點睛】作差法是比較大小的常用方法，作為本題來說，要熟練掌握對數(shù)的運算性質(zhì).8．設(shè)，現(xiàn)把滿足乘積為整數(shù)的叫做“賀數(shù)”，則在區(qū)間內(nèi)所有“賀數(shù)”的個數(shù)是A．9 B．10 C． D．【答案】A【詳解】試題分析：因為，所以，即，，，則，當為的整數(shù)次冪時，為整數(shù)，則區(qū)間內(nèi)，當時，此時為整數(shù)，所有的內(nèi)所有“賀數(shù)”個數(shù)個，故選A.考點：對數(shù)的運算性質(zhì).【方法點晴】本題主要考查了對數(shù)的運算性質(zhì)及數(shù)等比列的性質(zhì)，其中涉及到對數(shù)的運算性質(zhì)，將化為，在利用對數(shù)的運算求解是解答的關(guān)鍵，解答時當為的整數(shù)次冪時，為整數(shù)，要注意在區(qū)間內(nèi)所有“賀數(shù)”，確定的個數(shù)，著重考查了分析問題和解答問題的能力.9．（多選題）定義“正對數(shù)”:，若a>0，b>0，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．C．D．【答案】AD【分析】根據(jù)所給的定義及對數(shù)的運算性質(zhì)對四個命題進行判斷，由于在不同的定義域中函數(shù)的解析式不一樣，故需要對進行分類討論，判斷出每個命題的真假.【詳解】對A，當，時，有，從而，，所以；當，時，有，從而，，所以．所以當，時，，故A正確．對B，當，時滿足，，而，，所以，故B錯誤；對C，令，，則，，顯然，故C錯誤；對D，由“正對數(shù)”的定義知，當時，有，當，時，有，從而，，所以；當，時，有，從而，，所以；當，時，有，從而，，所以；當，時，，，因為，所以，所以．綜上所述，當，時，，故D正確．故選：AD．【點睛】本題考查新定義及對數(shù)的運算性質(zhì)，理解定義所給的運算規(guī)則是解題的關(guān)鍵，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的靈活運用，考查運算求解能力，注意本題容易因為理解不清定義使解題無法入手.10．目前發(fā)射人造天體，多采用多級火箭作為運載工具．其做法是在前一級火箭燃料燃燒完后，連同其殼體一起拋掉，讓后一級火箭開始工作，使火箭系統(tǒng)加速到一定的速度時將人造天體送入預(yù)定軌道．現(xiàn)有材料科技條件下，對于一個級火箭，在第級火箭的燃料耗盡時，火箭的速度可以近似表示為，其中．注：表示人造天體質(zhì)量，表示第（）級火箭結(jié)構(gòu)和燃料的總質(zhì)量．給出下列三個結(jié)論：①；②當時，；③當時，若，則．其中所有正確結(jié)論的序號是．【答案】②③【分析】只需證明每個都大于1即可判斷①錯誤；直接考慮時的表達式即可判斷②正確；時，將條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于的等式，再得到一個不等關(guān)系，即可證明，推出③正確.【詳解】首先，對，有，故，，這推出.由于，故每個都大于1，從而，①錯誤；由于當時，有，故②正確；由于當時，，若，則.從而，故.這意味著，即，從而我們有.等號成立當且僅當，故，即，即，分解因式可得，再由即知，故，③正確.故答案為：②③.【點睛】關(guān)鍵點點睛：判斷第三問的關(guān)鍵是得到條件等式，結(jié)合基本不等式即可順利得解.11．已知均為正數(shù)，且，則的大小關(guān)系為.【答案】【分析】設(shè)，然后分別求出，然后將對數(shù)式和指數(shù)式利用公式變形，判定大小關(guān)系.【詳解】設(shè)，因為均為正數(shù)，所以，則，所以，同理，，所以只需要比較的大小即可.,,因為，所以，，，因為，所以，又，所以，故，所以，故答案為：.12．若實數(shù)x，y滿足，且，則的最小值為.【答案】8【分析】由給定條件可得，再變形配湊借助均值不等式計算作答.【詳解】由得：，又實數(shù)x，y滿足，則，當且僅當，即時取“=”，由解得：，所以當時，取最小值8.故答案為：8【點睛】思路點睛：在運用基本不等式時，要特別注意“拆”、“拼”、“湊”等技巧，使用其滿足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的條件.13．已知實數(shù)，滿足，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則【答案】e4【解析】對等式兩邊取為底的對數(shù)，變形可得，，從而可知所以和是方程的根，結(jié)合方程有唯一根可得，再結(jié)合，即可得，即可求出.【詳解】實數(shù)，滿足，，，所以，，即，，所以和是方程的根，由于方程的根唯一，所以，所以，整理得，所以．故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是等式兩邊取為底的對數(shù)，得到和是方程的根及方程的根唯一得到.14．計算：

【答案】-1【分析】根據(jù)題意，利用對數(shù)的運算法則、對數(shù)恒等式，進行化簡求值即可．【詳解】【點睛】本題主要考查了對數(shù)的運算，對數(shù)式化簡求值的常用方法為：①“收”，將同底的兩對數(shù)的和(差)收成積(商)的對數(shù)；②“拆”，將積(商)的對數(shù)拆成同底的兩對數(shù)的和(差)．15．一般地，如果函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，那么對定義域內(nèi)的任意，則恒成立，已知函數(shù)的定義域為，其圖象關(guān)于點對稱.（1）求常數(shù)的值；（2）解方程：；（3）求證：.【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析．【分析】（1）由定義可知對任意恒成立，通過化簡可求得的值為；（2）由（1）可求得函數(shù)，代入中進行進行化簡可得，利用換元法，將等式轉(zhuǎn)化為一元二次方程，從而求得方程解；（3）由題意可知，即，將代入前式便可證明等式成立．【詳解】（1）∵的定義域為，∴，由題意有恒成立，又，∴（2）由（1）知：，∴，令，則原方程變?yōu)椋海庵没?，當時，，無解；當時，.（3）由（1）知，，設(shè)可寫成，兩式相加得，所以.【方法點睛】對于等式恒成立的證明（求解參數(shù)），通?？蓪⒌仁睫D(zhuǎn)化為的形式，因為等式恒成立，則必有，從而求得參數(shù)；在求解有關(guān)函數(shù)（指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)）的方程時，多運用整體法或者換元法來解方程；對于第三問，根據(jù)的對稱中心及其滿足的關(guān)系式，結(jié)合等差數(shù)列前項和可知該采用倒序求和法來進行證明．題組三：名校對數(shù)運算新定義試題精選1．深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點的.在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學習率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時使用的學習率，表示初始學習率，表示衰減系數(shù)，表示訓練迭代輪數(shù)，表示衰減速度.已知某個指數(shù)衰減的學習率模型的初始學習率為0.5，衰減速度為18，且當訓練迭代輪數(shù)為18時，學習率為0.4，則學習率衰減到0.2以下（不含0.2）所需的訓練迭代輪數(shù)至少為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．72 B．73 C．74 D．75【答案】B【分析】由題意先得，接著由和得，再結(jié)合對數(shù)運算性質(zhì)解不等式即可得解.【詳解】由題，，所以，又由題當時，，即，所以，令即即，解得，故，所以學習率衰減到0.2以下（不含0.2）所需的訓練迭代輪數(shù)至少為73.故選：B.2．“學如逆水行舟，不進則退：心似平原跑馬，易放難收”（明·《增廣賢文》）是勉勵人們專心學習的．假設(shè)初始值為1，如果每天的“進步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率"都是，那么一年后是．一年后“進步者”是“退步者”的倍．照此計算，大約經(jīng)過（

）天“進步者”是“退步者"的2倍（參考數(shù)據(jù)：，）A．33 B．35 C．37 D．39【答案】B【分析】根據(jù)題意列出不等式，利用指數(shù)和對數(shù)的運算性質(zhì)求解即可．【詳解】假設(shè)經(jīng)過天，“進步者”是“退步者”的2倍，列方程得，解得，即經(jīng)過約35天，“進步者”是“退步者”的2倍．故選：．3．科學家從由實際生活得出的大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率較高，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)約為總數(shù)的三成，并提出定律：在大量進制隨機數(shù)據(jù)中，以開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為，如裴波那契數(shù)、階乘數(shù)、素數(shù)等都比較符合該定律．后來常有數(shù)學愛好者用此定律來檢驗?zāi)承┙?jīng)濟數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實性．若，則的值為（

）A．14 B．15 C．24 D．25【答案】A【分析】根據(jù)條件中的概率公式，結(jié)合求和公式，以及對數(shù)運算，即可求解.【詳解】，即，所以，解得.故選：A.4．十九世紀下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學的基礎(chǔ)．著名的“康托三分集”是數(shù)學理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第一次操作；再將剩下的兩個區(qū)間分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段．操作過程不斷地進行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”．若使去掉的各區(qū)間長度之和不小于，則需要操作的次數(shù)的最小值為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【分析】根據(jù)題意表示出次操作后去掉的各區(qū)間長度之和，然后列出不等式，根據(jù)對數(shù)運算求解即可.【詳解】由題知，每次操作后剩下區(qū)間長度之和是操作前區(qū)間長度的，故次操作后剩下區(qū)間長度之和為，所以，次操作后去掉的各區(qū)間長度之和為，由得，所以，的最小值為6.故選：A5．費馬數(shù)列是以數(shù)學家皮埃爾·德·費馬（PierredeFermat，1601~1665年）命名的數(shù)列，其中．例如．因為．所以的整數(shù)部分是1位數(shù)；因為，所以的整數(shù)部分是2位數(shù)；…；則的整數(shù)部分位數(shù)最接近于（

）（）A．240 B．600 C．1200 D．2400【答案】D【分析】先表示出，作近似處理得，再取以10為底的對數(shù)化簡即可求解【詳解】由于，與1相比都非常大，所以，所以，故．又因為，的整數(shù)位數(shù)為位，所以的整數(shù)部分位數(shù)最接近2400位．故選：D．6．生物體死亡后，它機體內(nèi)原有的碳14含量P會按確定的比率衰減(稱為衰減率)，P與死亡年數(shù)t之間的函數(shù)關(guān)系式為(其中a為常數(shù))，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.若2021年某遺址文物出土時碳14的殘余量約占原始含量的79%，則可推斷該文物屬于（

）參考數(shù)據(jù)：.參考時間軸：A．戰(zhàn)國 B．漢 C．唐 D．宋【答案】B【分析】根據(jù)“半衰期”得，進而解方程得，進而可推算其所處朝代.【詳解】由題可知，當時，，故，解得，所以，所以當時，解方程，兩邊取以為底的對數(shù)得，解得，所以，所以可推斷該文物屬于漢朝.故選：B【點睛】本題考查指數(shù)運算與對數(shù)運算，考查運算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)半衰期計算得，進而解方程.7．（多選題）16、17世紀之交，隨著天文、航海、工程、貿(mào)易以及軍事的發(fā)展，改進數(shù)字計算方法成了當務(wù)之急.約翰·納皮爾正是在研究天文學的過程中，為了簡化其中的計算而發(fā)明了對數(shù).對數(shù)的發(fā)明是數(shù)學史上的重大事件.

恩格斯曾經(jīng)把對數(shù)的發(fā)明稱為17世紀數(shù)學的三大成就之一.已知，,，則下列說法中正確的是（

）A．若正實數(shù)x，y，z滿足則B．若一個正整數(shù)n的20次方是一個13位整數(shù)，則C．是位數(shù)為6692的正整數(shù)D．將無理數(shù)寫成小數(shù)形式后，其小數(shù)點后第一位數(shù)字為4【答案】BCD【分析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)，把指數(shù)式化為對數(shù)式進行計算，即可得到判斷.【詳解】對于A，令，則所以，故A是錯誤的；對于B，設(shè)，則當時，，此時，因為，所以不符合題意，則當時，，此時，因為，所以符合題意，則當時，，此時，因為，所以不符合題意，當時，位數(shù)一定超14位，故B是正確的；對于C，設(shè)，因為，所以，則，同理，所以是位數(shù)為6692的正整數(shù)，故C是正確；對于D，，故D是正確的；故選：BCD.8．（多選題）音樂是由不同頻率的聲音組成的，若音1（do）的頻率為f，則簡譜中七個音1（do），2（re），3（mi），4（fa），5（so），6（la），7（si）組成的音階頻率分別是f，，，，，，，其中相鄰兩個音的頻率比（后一個音比前一個音的比）是一個音到另一個音的音階，上述音階只有兩個不同的值，記為，，稱為全音，稱為半音，則下列關(guān)系式成立的是（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】由題意可知，相鄰兩個音的頻率比分別為，，，，，，從而根據(jù)題意可得，，然后逐個計算判斷即可【詳解】由題意可知，相鄰兩個音的頻率比分別為，，，，，，所以，，對于A，，所以故A錯誤，對于B，，所以B錯誤，對于C，，故C正確．對于D，，故D正確．故選：CD．9．依據(jù)正整數(shù)的十進制數(shù)碼定義它的位數(shù)，比如，是一個2位數(shù)，100是一個3位數(shù)，實數(shù)，若，則，為位數(shù)，據(jù)此，是一個位數(shù)（附）.【答案】【分析】利用位數(shù)的定義，結(jié)合對數(shù)運算法則即可得解.【詳解】因為，所以，則，所以是位數(shù).故答案為：.10．今年8月24日，日本不顧國際社會的強烈反對，將福島第一核電站核污染廢水排入大海，對海洋生態(tài)造成不可估量的破壞.據(jù)有關(guān)研究，福島核污水中的放射性元素有21種半衰期在10年以上；有8種半衰期在1萬年以上.已知某種放射性元素在有機體體液內(nèi)濃度與時間（年）近似滿足關(guān)系式（，為大于0的常數(shù)且）.若時，；若時，.則據(jù)此估計，這種有機體體液內(nèi)該放射性元素濃度為時，大約需要年（最終結(jié)果四舍五入，參考數(shù)據(jù)：，）【答案】【分析】根據(jù)已知條件得，解方程組求出的值，當時，在等式兩邊取對數(shù)即可求解.【詳解】由題意得：，解得，所以，當時，得，即，兩邊取對數(shù)得（其中應(yīng)用換底公式：）.所以，即這種有機體體液內(nèi)該放射性元素濃度時，大約需要年.故答案是：.11．音樂是由不同頻率的聲音組成的．若音1（do）的音階頻率為f，則簡譜中七個音1（do），2（re），3（mi），4（fa），5（so），6（la），7（si）組成的音階頻率分別是f，，，，，，，其中后一個音階頻率與前一個音階頻率的比是相鄰兩個音的臺階．上述七個音的臺階只有兩個不同的值，記為，，稱為全音，稱為半音，則．【答案】0【分析】根據(jù)條件求出和，再求的值.【詳解】相鄰兩個音的頻率比分別為，，，，，，由題意，，，.故答案為：0.12．德國數(shù)學家康托爾是集合論的創(chuàng)始人，以其名字命名的“康托爾塵?！弊鞣ㄈ缦拢旱谝淮尾僮?，將邊長為1的正方形分成9個邊長為的小正方形，保留靠角的4個，刪除其余5個；第二次操作，將第一次剩余的每個小正方形繼續(xù)9等分，并保留每個小正方形靠角的4個，其余正方形刪除；以此方法繼續(xù)下去，經(jīng)過次操作后，若要使保留下來的所有小正方形的面積之和不超過，則至少需要操作的次數(shù)為．（，）【答案】【分析】依題意，第次操作后共保留個小正方形，其邊長為，即可得到保留下來的所有小正方形面積之和，從而得到不等式，再兩邊取對數(shù)，根據(jù)換底公式及對數(shù)的運算法則計算可得；【詳解】解：依題意，第次操作后共保留個小正方形，其邊長為，所以保留下來的所有小正方形面積之和為，若使得，兩邊取對數(shù)可得，即，所以至少操作次；故答案為：13．建筑學中必須要對組合墻的平均隔聲量進行設(shè)計．組合墻是指帶有門或窗等的隔墻，假定組合墻上有門、窗及孔洞等幾種不同的部件，各種部件的面積分別為，，…，（單位：m2），其相應(yīng)的透射系數(shù)分別為，，…，，則組合墻的實際隔聲量應(yīng)由各部分的透射系數(shù)的平均值確定：，于是組合墻的實際隔聲量（單位：dB）為．已知某墻的透射系數(shù)為，面積為20m2，在墻上有一門，其透射系數(shù)為，面積為，則組合墻的平均隔聲量約為dB．（注：）【答案】【分析】根據(jù)已知公式求得組合墻的透射系數(shù)的平均值，根據(jù)即可求得答案.【詳解】由題意得：組合墻的透射系數(shù)的平均值：，故組合墻的平均隔聲量為設(shè)，則，由于，故，故，所以，故答案為：14．從4G到5G通信，網(wǎng)絡(luò)速度提升了40倍.其中，香農(nóng)公式是被廣泛公認的通信理論基礎(chǔ)和研究依據(jù)，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞率取決于信道帶寬?信道內(nèi)信號的平均功率?信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比.根據(jù)香農(nóng)公式，以下說法正確的是.①若不改變信噪比，而將信道帶寬增加倍，則增加倍.②若不改變信道帶寬和信道內(nèi)信號的平均功率，而將高斯噪聲功率降低為原來的一半，則增加一倍.③若不改變帶寬，而將信噪比從15提升至127，增加了.④若不改變帶寬，要使得增加一倍，則需要將信噪比從63提升至1023.【答案】①【分析】不變時和成正比可判斷①；計算可判斷②；計算可判斷③的正誤；計算可判斷④的正誤，進而可得正確答案.【詳解】對于①：若不改變信噪比，則為一個常數(shù)，此時和成正比，將信道帶寬增加倍，則增加倍，故①正確；對于②：若不改變信道帶寬和信道內(nèi)信號的平均功率，而將高斯噪聲功率降低為原來的一半，即，故②不正確；對于③：若不改變帶寬，而將信噪比從提升至，則，所以增加了，故③不正確；對于④：若不改變帶寬，將信噪比從63提升至1023，則，所以增加了約，沒有增加一倍，故④不正確.故答案為：①.15．《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng)．對數(shù)運算與指數(shù)冪運算是兩類重要的運算.18世紀，瑞士數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對數(shù)的互逆關(guān)系，并進一步指出：對數(shù)源出于指數(shù)．然而對數(shù)的發(fā)明先于指數(shù)，這成為數(shù)學史上的珍聞．(1)試利用對數(shù)運算性質(zhì)計算的值；(2)已知為正數(shù)，若，求的值；(3)定義：一個自然數(shù)的數(shù)位的個數(shù)，叫做位數(shù)，例如23的位數(shù)是2，2024的位數(shù)是4．試判斷的位數(shù)．（注）【答案】(1)(2)(3)610【分析】（1）利用對數(shù)的運算性質(zhì)計算即可；（2）令，則，根據(jù)對數(shù)與指數(shù)的互化可得，利用對數(shù)的換底公式化簡原式即可；（3）利用對數(shù)的運算性質(zhì)可得，結(jié)合位數(shù)的定義即可得出結(jié)果.【詳解】（1）原式；（2）由題意知，令，則，所以，所以；（3）設(shè)，則，又，所以，所以，則，所以的位數(shù)為610．題組四：對數(shù)運算全國高中數(shù)學聯(lián)賽強基計劃精選試題1．（2007高二·全國·競賽）已知實數(shù)x，y滿足，則的最小值是（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】由對數(shù)運算得，利用換元思想結(jié)合二次函數(shù)求最值.【詳解】由得，且，∴.∴，當且僅當，，且，即時，等號成立，故S的最小值是，故選：A.2．（2011高一·全國·競賽）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用換底公式可得，結(jié)合對數(shù)運算性質(zhì)分析求解.【詳解】根據(jù)換底公式有，，可得，整理得.故C正確，檢驗可知其他選項均不符合.故選：C.3．（2024高三上·全國·競賽）（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】對數(shù)運算可解.【詳解】.故選：D4．（2024高三上·全國·競賽）方程的實數(shù)解的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)的定義即可求解.【詳解】依題意，原方程等價于即，顯然只有一個正實根.故選：B.5．（2023高一上·安徽·競賽）已知，，，，則（

）A．2 B．5 C．10 D．20【答案】D【分析】利用換底公式轉(zhuǎn)化，再利用基本不等式與已知條件結(jié)合，得出結(jié)果.【詳解】∵，∴，即，由基本不等式可知，又因為，所以，即滿足基本不等式取等條件，即，故選：D.6．（2023高三下·全國·競賽）已知與的線性關(guān)系如圖所示，其中．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，得，，再根據(jù)選項，結(jié)合，即可判斷選項.【詳解】設(shè)，則，得，所以，得，所以，，A.因為，，故A錯誤；B.當時，，故B錯誤；C.，當時，，不成立，所以等號取不到，即，故C正確；D.，故D錯誤.故選：C7．（2015高一·浙江紹興·競賽）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由指數(shù)與對數(shù)的互化，再結(jié)合換底公式以及對數(shù)的運算性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】因為，則，，則，，所以，.故選：A.8．（2015高一下·廣東潮州·競賽）有下列命題：①；②；③；④，其中正確命題的個數(shù)是A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】A【分析】利用根式，對數(shù)的運算性質(zhì)逐個分析判斷【詳解】①當為偶數(shù)，為負數(shù)時，，所以①不對；②因為，所以錯誤；③應(yīng)該為；所以③錯誤，④，④不對．故選：A．9．（2021高一·浙江溫州·競賽多選題）已知實數(shù)，，滿足，則下列說法正確得有（）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的互化公式，結(jié)合比較法和對數(shù)的運算性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】，則，，，且，，.對于A:，所以A錯誤；對于B:，因為，，所以，即，所以B正確；對于C：，所以C正確；對于D：，所以D正確.故選：BCD.10．（2024高二下·四川·競賽）已知，若，則的最大值為．【答案】/【分析】由可求得，代入中變形后利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以，，解得或，因為，所以，所以，所以，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最大值為.故答案為：11．（2012高一·全國·競賽）整數(shù)m，n滿足，則．【答案】/【分析】設(shè)，然后得到，列出方程求解即可.【詳解】設(shè)，則，故，即，記，則，解得（負值舍去），即,故答案為：.12．（2007高一·全國·競賽）如果，則的最小值為.【答案】【分析】令，則，代入，消得．利用判別式求得的取值范圍，從而得出的最小值．【詳解】由已知，得，，故．另一方面，，故，即．．設(shè)，則，，將其代入得．①，解得，注意到，故．將代入方程①，解得，故，于是的最小值是．故答案為：.13．（2011高一·全國·競賽）對，定義符號函數(shù)：當時；當時；當時，.記點集，點集，點集圍成的區(qū)域的面積為.【答案】2【分析】根據(jù)題中定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)與指數(shù)互化公式、數(shù)形結(jié)合思想進行求解即可.【詳解】設(shè)點，則.于是有，得；當時，，；當時，.，同理，，，點集圍成的區(qū)域是一個邊長為的正方形如下圖所示：顯然面積為2.故答案為：2【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵弄清并理解題中定義，明白集合描述法中表達式的含義.14．（2016高一·全國·競賽）函數(shù)，若（其中均大于2），則的最小值為．【答案】【分析】由和對數(shù)的運算性質(zhì)可得，再由基本不等式可得，再代入即可得出答案.【詳解】由得，即，即，則，因為，所以，于是，當且僅當，即時取等，．故答案為：.15．（2011高一·全國·競賽）數(shù)學課上，老師列出了11個式子，它們分別是：，其中有兩個式子是錯的，它們的正確結(jié)果是：．【答案】【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，結(jié)合題意有兩個式子是錯的，運用假設(shè)法進行判斷求解即可.【詳解】若，則及，此三個數(shù)值同時正確或錯誤，故此三個數(shù)值都正確．若