2024-2025學年高考數(shù)學一輪復習講義：利用導數(shù)研究不等式能成立（有解）問題（學生版+解析）

第05講利用導數(shù)研究不等式能成立(有解)問題

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識..................................................1

第二部分：高考真題回顧.............................................2

第三部分：高頻考點一遍過............................................3

高頻考點一：分離變量法...........................................3

高頻考點二：分類討論法...........................................4

高頻考點三：等價轉(zhuǎn)化法...........................................6

高頻考點四：最值定位法解決雙參不等式問題.........................8

高頻考點五：值域法解決雙參等式問題...............................9

第四部分：新定義題.................................................11

第一部分：基礎(chǔ)知識

1、分離參數(shù)法

用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，

另一端是變量表達式的不等式；

步驟：

①分類參數(shù)(注意分類參數(shù)時自變量X的取值范圍是否影響不等式的方向)

②轉(zhuǎn)化：3x^D,使得a>/(x)能成立o?！?％第。；

3%e￡>,使得a</(%)能成立o。</(%)max.

③求最值.

2、分類討論法

如果無法分離參數(shù)，可以考慮對參數(shù)或自變量進行分類討論求解，如果是二次不等式恒成立的問題，可以

考慮二次項系數(shù)與判別式的方法(a>0,△<0或。<0,A<0)求解.

3,等價轉(zhuǎn)化法

當遇到/(x)2g(x)型的不等式有解(能成立)問題時，一般采用作差法，構(gòu)造“左減右”的函數(shù)

尸(x)=/(x)—g(x)或者“右減左”的函數(shù)H(x)=g(x)—/(%),進而只需滿足歹(x)111ax20,或者

H(x)min<0,將比較法的思想融入函數(shù)中，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值的問題.

4、最值定位法解決雙參不等式問題

⑴居GA,V/CB,使得/(X1)?g(X2)成立O/OJmax?g(X2)max

(2)V%1GA,叫eB,使得/(X1)?g(X2)成立

(3)罵eA,叫e3,使得/(七)2g(%)成立=f(不小》g(九2)min

⑷VX]eA,V%eB,使得/(xj?g(x2)成立=/(^)min1?(^)max

5、值域法解決雙參等式問題

VX]eD],王2e3，使得f(xi)=g(%)成立

①求出/(%)的值域，記為4="(x)|西eDJ

②加￡3求出g(%2)的值域，記為B={g(%)I%e3}

③則Ac3,求出參數(shù)取值范圍.

第二部分：高考真題回顧

1.(2021?天津?高考真題)已知4>0,函數(shù)/(x)=ax-xe”.

(I)求曲線>=/(尤)在點(0"(。))處的切線方程：

(II)證明Ax)存在唯一的極值點

(III)若存在。，使得了(尤力。+6對任意xeR成立，求實數(shù)6的取值范圍.

第三部分：高頻考點一遍過

高頻考點一：分離變量法

典型例題

例題1.（2024?四川宜賓?二模）已知不等式aw'+x>l-hu有解，則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.B.（《+]C.小口.

例題2.（23-24高二下?江西景德鎮(zhèn)?階段練習）已知函數(shù)〃x）=hu+2ar,若g（x）=〃x）-2d,不等式

g（x）2-1在[1,+co）上存在實數(shù)解，則實數(shù)”的取值范圍_____.

例題3.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）（1）已知xe1,1,求了（力=坦券的最大值與最小值；

（2）若關(guān)于x的不等式lnx>ax2-l存在唯一的整數(shù)解，求實數(shù)。的取值范圍.

例題4.（23-24高三上?青海西寧?期末）已知函數(shù)/（力=1一尤-1.

⑴證明：f（x）>0.

（2）若關(guān)于x的不等式?+21n元+12尤2/有解，求。的取值范圍.

練透核心考點

1.（2024?吉林延邊?一模）若對任意尤e（e,y）,存在實數(shù)4,使得關(guān)于尤的不等式ln（x-e）+2x+120成

立，則實數(shù)幾的最小值為.

2.(2024高三?全國?專題練習)已知函數(shù)/(x)=lnx-2依+1,若存在x>0,使得〃力20,則實數(shù)〃的取

值范圍_____.

3.(2024高三?全國?專題練習)已知函數(shù)〃x)=ar-e”(aeR),g(無)=?,若加e(0,+co),使不等式

/'(x)4g(x)-e，成立，求”的取值范圍.

4.(2023高三?全國?專題練習)已知函數(shù)/(x)=xlnx,(x>0).

⑴求函數(shù)/(x)的極值；

(2)若存在xe(0,+s),使得“到<一丁+二一3成立,求實數(shù)機的最小值.

高頻考點二：分類討論法

典型例題

例題1.(23-24高二上?福建福州?期末)已知關(guān)于欠的不等式2x--x+l)e'>0解集中恰有3個不同的正整

數(shù)解，則實數(shù)上的取值范圍為()

「31)(41、<43］「83、

A?［或JB.［營，JU［營室」。.［營J

例題2.(2024高三?全國?專題練習)已知函數(shù)"x)=e'-X.

⑴求函數(shù)的極值；

(2)若對任意x>0,/(尤)>:取2+1有解，求。的取值范圍.

例題3.(23-24高二下?重慶蒙江,期中)已知函數(shù)〃尤)=：爐-a/ax(awR),g(x)=x2-2mx+4(meR).

⑴若函數(shù)〃x)在尤=2處的切線方程為y=x+b,求實數(shù)。與6的值；

⑵當°=1時，若對任意的占《1,2］,存在%2］，使得/&)*(%),求實數(shù)加的取值范圍.

例題4.(2024?四川瀘州?二模)已知函數(shù)/("=2%3—水2+2(°>0).

(1)求曲線y=在點(0"(0))處的切線方程；

⑵若上目-1,1］,|〃刈23,求實數(shù)a的取值范圍.

練透核心考點

/7h

1.(23-24高二下?江蘇泰州?期中)若Vx>0,不等式ln%+2+—2伙。>0)恒成立，則一的最大值為()

xa

2

A.eB.eC./D./

2.(2023高三?全國?專題練習)已知函數(shù)/(%)=%-Qlnx,g(%)=------(QER),若在［l,e］上存在一點九°,使

x

得了(%o)<g(Xo)成立，求〃的取值范圍.

3.（23-24?吉林長春,模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃尤）=，-水-1.

⑴當時,求/⑺的單調(diào)區(qū)間與極值；

（2）若〃x）Vx2在xe[0,+oo）上有解，求實數(shù)a的取值范圍.

4.（23-24高三上?黑龍江齊齊哈爾?階段練習）已知函數(shù)〃x）=alnx+（尤2一無（。€玲.

⑴若。=2,求函數(shù)“X）的單調(diào)區(qū)間；

⑵若存在七21,使得求。的取值范圍.

CL-\

高頻考點三：等價轉(zhuǎn)化法

典型例題

例題L（2024?浙江?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（"=5+2/,g（x）=2加—hr,若關(guān)于x的不等式/（尤）＜xg（x）

有解，則小的最小值是.

例題2.(2024?江蘇?一模)已知函數(shù)〃x)="---2x(x>0),Si^Cg(x)=-x2+3ax-a2-3a(aER).

⑴若過點0(0,0)的直線/與曲線y=〃x)相切于點P,與曲線y=g(x)相切于點Q.

①求〃的值；

②當尸，。兩點不重合時，求線段P2的長；

⑵若天。>1,使得不等式/(x0)Vg(x。)成立，求。的最小值.

例題3.(23-24高二下?海南省直轄縣級單位?期中)已知/(x)=2xlnx,g(x)=-x2+依一3.

(1)求函數(shù)/(x)的最小值；

⑵若存在xe(O,y),使〃x)4g(x)成立，求實數(shù)a的取值范圍；

練透核心考點

1.(23-24高二下?北京?期中)已知函數(shù)〃x)=;dnx,g(x)^-x2+ax-3.

⑴求〃力的單調(diào)區(qū)間;

(2)若存在xej,e(e是常數(shù)，e=2.71828-)使不等式2〃x)2g(x)成立，求實數(shù)a的取值范圍.

2.（2023?河北承德?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/'（無）=ax-41nx.

（1）討論函數(shù)/（無）的單調(diào)性；

⑵若。1+1^^（元），求實數(shù)。的取值范圍.

X

3.（23-24高二下?山東聊城?階段練習）已知函數(shù)/。）=/-丘，（ZreR,xeR）

（1）若%＞0,且對于任意尤2。，y（x）＞。恒成立，求實數(shù)左的取值范圍；

（2）令g（尤）=e*-21nx,若至少存在一個實數(shù)不?口同，使/'（%）＜g（x0）成立，求實數(shù)上的取值范圍.

高頻考點四：最值定位法解決雙參不等式問題

典型例題

例題1.（23-24高三上?福建莆田?期中）已知函數(shù)〃力=町.

⑴當”[。仁時，求函數(shù)〃x）的最小值；

⑵若g（x）=W-d+3x-a,且對VX]都叫e[0,2],使得〃不）*（三）成立，求實數(shù)。的取值范圍.

ev2

2.(2023高三?全國?專題練習)已知函數(shù)〃%)=巴止+。11汝，其中參數(shù)a<0.設(shè)函數(shù)

x

g(x)=2x2f'(x)-#(x)-3a(a<0),存在實數(shù)%,使得不等式2g&)<g(x2)成立，求a的取值范

圍.

3.(23-24高二下?甘肅張掖?階段練習)已知函數(shù)/(x)=2sinx-xcosx-x"'(x)為/(力的導數(shù).

⑴求曲線y=/(x)在點A(OJ(O))處的切線方程；

(2)^(x)=x2-2x+a(aeR),若對任意再e[0,句,均存在％e[l,2],使得〃不)>8(赴)，求實數(shù)。的取值

范圍.

高頻考點五：值域法解決雙參等式問題

典型例題

例題L(23-24高一下?河南?階段練習)已知函數(shù)〃x)=lg(x2-履+%)/eR)和函數(shù)

g(x)=2sin2x+2gsinxcosx.

⑴當》€(wěn)(1,田)時，滿足不等式/(%)>0成立，求實數(shù)上的取值范圍；

⑵若函數(shù)/(X)在[L+⑹上單調(diào)遞增，且對于任意改式3,4],總存在％e0弓，使得g(%)=/⑺成立,

求實數(shù)k的取值范圍.

例題2.(23-24高一上?遼寧遼陽,期末)已知函數(shù)，(尤+2)=3x—2.

(1)求F(x)的解析式；

2「11

(2)若函數(shù)g(x)=^+a,6[0,2],3X2e-,2,/(x1)=g(x2),求。的取值范圍.

例題3.(23-24高一上?河北石家莊?階段練習)己知函數(shù)/。)=尤2一(a+3)尤+6(aeR)

⑴當a=2時，解不等式〃x)N0；

(2)已知g(x)=〃a+7-3m,當a=l時，若對任意的%e[l,4],總存在x?e[l,4],使〃占)=g(%)成立，求

實數(shù)機的取值范圍.

練透核心考點

1.(23-24高一上?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習)己知函數(shù)〃x)=log2X.

(1)求不等式/(x+2)>2/(%)的解集.

⑵記g(尤)=4/㈤+6，對”<1,2],總叫e[2,32]使得g(%)=/'伍)成立，求實數(shù)。的取值范圍.

2.(23-24高一上?廣東茂名?階段練習)已知函數(shù)/■(元)="1,g(x)=x2-(m-l)x+3m-l,

⑴若不等式g(尤)2。在區(qū)間(3,y)上恒成立，求實數(shù)機的取值范圍；

(2)若對任意的％€[0,1],存在％e[2,4],使得g&)=f?),求實數(shù)機的取值范圍.

3.(23-24高一上?北京?期中)"函數(shù)研尤)的圖象關(guān)于點(m,n)對稱"的充要條件是"對于函數(shù)"(x)定義域內(nèi)

的任意x,都有例x)+°(2機-x)=2w,若函數(shù)〃尤)的圖象關(guān)于點(1,2)對稱，且當xe[O,l]時,

f(x)=x2-ax+a+1

⑴求/X0)+/(2)的值;

4x

(2)設(shè)函數(shù)—

2-x

①證明函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(2,-4)稱；

「2-

②若對任意》引0,2],總存在-j,l,使得/G)=g伉)成立，求實數(shù)。的取值范圍.

第四部分：新定義題

.1.(23-24高一下?湖南長沙?開學考試)若函數(shù)y=/(x)對定義域內(nèi)的每一個值均，在其定義域內(nèi)都存在唯

一的X2,使/(占)〃%)=1成立，則稱該函數(shù)為"依賴函數(shù)

⑴判斷函數(shù)g(x)=sinr是否為"依賴函數(shù)"，并說明理由；

(2)已知函數(shù)"(切=5-0)2(/3在定義域1,4上為"依賴函數(shù)"，若存在實數(shù)xe1,4，使得對任意的

teR,不等式一(無)上—產(chǎn)+(s—r)x+4都成立，求實數(shù)5的最大值.

第05講利用導數(shù)研究不等式能成立(有解)問題

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識..................................................1

第二部分：高考真題回顧.............................................2

第三部分：高頻考點一遍過............................................3

高頻考點一：分離變量法...........................................3

高頻考點二：分類討論法...........................................4

高頻考點三：等價轉(zhuǎn)化法...........................................6

高頻考點四：最值定位法解決雙參不等式問題.........................8

高頻考點五：值域法解決雙參等式問題...............................9

第四部分：新定義題.................................................11

第一部分：基礎(chǔ)知識

1、分離參數(shù)法

用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，

另一端是變量表達式的不等式；

步驟：

①分類參數(shù)(注意分類參數(shù)時自變量x的取值范圍是否影響不等式的方向)

②轉(zhuǎn)化：使得a>/(x)能成立；

BxeD,使得a<f(x)能成立o。</(x)max.

③求最值.

2、分類討論法

如果無法分離參數(shù)，可以考慮對參數(shù)或自變量進行分類討論求解，如果是二次不等式恒成立的問題，可以

考慮二次項系數(shù)與判別式的方法(a>0,△<0或。<0,A<0)求解.

3、等價轉(zhuǎn)化法

當遇到了(x)Ng(x)型的不等式有解(能成立)問題時，一般采用作差法，構(gòu)造“左減右”的函數(shù)

尸(x)=/(x)—g(x)或者“右減左”的函數(shù)H(x)=g(x)—/(%),進而只需滿足歹(x)max20,或者

H(x)min<0,將比較法的思想融入函數(shù)中，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值的問題.

4、最值定位法解決雙參不等式問題

(1)3%1GA,V/eB,使得/(西)*(工2)成立OfQJmax?g(X2)max

(2)Vx,GA,切€3,使得了(國)冷區(qū))成立=f(Xi)min?g(X2)min

(3)叫eA,*2e3,使得/(石)>g(x2)成立=>^(x2)min

(4)VX]eA,eB,使得了(石)冷(%2)成立=/(石焉々(々口聯(lián)

5、值域法解決雙參等式問題

VX]eD],3X2eD2，使得/(xj=g(%)成立

①Vx”。],求出/(%)的值域，記為4="(石)|西eDJ

②叫6A求出且區(qū))的值域，記為6={8(々)5e，}

③則Al3,求出參數(shù)取值范圍.

第二部分：高考真題回顧

1.(2021?天津?高考真題)已知4>0,函數(shù)/(x)=ax-xe".

(I)求曲線y=/(元)在點(0"(0))處的切線方程：

di)證明/a)存在唯一的極值點

(川)若存在。，使得了(x)V“+%對任意xeR成立，求實數(shù)6的取值范圍.

【答案】(I)y=(a-V)x,(a>0)；(II)證明見解析；(III)[-e,+°o)

【分析】(I)求出〃力在尤=0處的導數(shù)，即切線斜率，求出/(0),即可求出切線方程；

(II)令尸(x)=0,可得。=(—則可化為證明y=。與y=g(x)僅有一個交點，利用導數(shù)求出g(x)的

變化情況，數(shù)形結(jié)合即可求解；

(川)令力(尤)=(f-x-l)e，,(x>-l),題目等價于存在xe(T+s),使得飄無)46,即心/心焉，利用導數(shù)

即可求出力(力的最小值.

【詳解】⑴f'(x)=a-(x+l)ex,則尸(0)=q—1,

又/(0)=0,則切線方程為y=(。-l)x,(a>0)；

(II)令尸(x)=。一(尤+l)e*=0,貝a=(x+l)e”,

令g(x)=(x+l)e",則g%x)=(x+2)/,

當尤e(-8,-2)時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；當無e(-2,+oo)時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

當X-—8時，g(x)<0,g(-l)=0,當時，g(x)>0,畫出g(x)大致圖像如下：

所以當a>0時，'與y=g(x)僅有一個交點，令g(〃z)=a,則相>-1,且/(》i)=a-g(m)=0,

當xe(-oo,〃。時，a>g(x),則尸(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

當x4/n,+oo)時，a<g(x),則尸(x)<0,/(尤)單調(diào)遞減，

x=777為“X)的極大值點，故/(X)存在唯一的極值點；

(III)由(II)知/(x)1mt=/O),此時+,

所以{/(尤)-a}1mx=八㈤一“式蘇-〃zT)e'',(M>T),

令版尤)=(尤2—x—l)e",(尤>—1),

若存在a,使得/(x)Va+Z>對任意xeR成立，等價于存在了€(-1,內(nèi))，使得/z(x)W6,即bN〃(x)mm，

h'(x)=(尤2+無一2)e*=(尤一1)(》+2)e*,x>—l,

當xe(-l,l)時，h\x)<0,/z(x)單調(diào)遞減，當xe(l,+oo)時，h'(x)>0,/z(x)單調(diào)遞增，

所以〃(x)1nto=^D=-e,故》2—e,

所以實數(shù)6的取值范圍［-自內(nèi)).

【點睛】關(guān)鍵點睛：第二問解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明>與y=g(x)僅有一個交點；第三問解題的關(guān)鍵是

轉(zhuǎn)化為存在XC(-1,+00),使得//(無)46,即8N/z(X)min.

第三部分：高頻考點一遍過

高頻考點一：分離變量法

典型例題

例題1.(2024?四川宜賓?二模)已知不等式aw'+x>l-lnx有解，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.B.(《+]C.小口.

【答案】A

11

【分析】分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為a>,構(gòu)造函數(shù)““J-：；1利用導數(shù)法求出〃同臉，1nhi

即為所求.

1_y_Ipy—Y—]nX]

【詳解】不等式ace'+x>l-In尤有解，即=:工尤>0,只需要。>'r",

*IA-e九0

令小)=三芳，

，廣⑺」x+l)(;nx),x>0,

令g(x)=?！?+ln龍,x>0,

.-.g，(^)=l+1>0,所以函數(shù)g(x)在(o,+8)上單調(diào)遞增，

又g⑴=一1<0,g(2)=ln2>0,所以存在X°e(l,2),使得g?)=0,即七一2+lnx°=。，

.,.XG(O,Xo),g(%)<0,即/'(%)<0；尤￡伉,+8),g(x)>0,即/

所以函數(shù)/(X)在(0,%)上單調(diào)遞減，在伉,+。)上單調(diào)遞增，

??/(%)=-~~，又由%—2+lnx。=0,可得入0匕玉)=?2,

“X)=I-/Tn%=1-％/-2=__1_

-XQCee

1

a>—z-.

e

故選：A.

【點睛】思路點睛：由題意問題轉(zhuǎn)化為a>，尤>0,構(gòu)造函數(shù)〃x)=，利用導數(shù)求出〃x)

的最小值，即只要a>/(%)..

例題2.(23-24高二下?江西景德鎮(zhèn)?階段練習)已知函數(shù)〃x)=lnx+2依，若g(x)="力-，不等式

g（X）2-1在［1,+8）上存在實數(shù)解，則實數(shù)”的取值范圍.

【答案】I:,+刈

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為a2一山x+2/-1在［］,+⑹上存在實數(shù)解,令4“=生土生二L由。之可同祈求

2xlx

解.

【詳解】原條件等價于：g（x）=lnx-2/+2◎之-1在［1,+8）上存在實數(shù)解.

則。>二仁2.1在1,+8）上存在實數(shù)解,

—Inx+2——1

令"（X）=

2x

則2x2+Inx,

〃（力=

27

因為工￡［1,+8）時，2x2+Inx>0，貝！J〃（力=生5^^>0,

故力⑴在［1,+8）上單調(diào)遞增，

h（x）的最小值為力⑴=:,

aW：時，不等式g（x"T在口,+⑹上存在實數(shù)解.

所以實數(shù)。的取值范圍是耳,+8）.

故答案為：［―,+（?）

例題3.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）（1）已知xe［1,求的最大值與最小值;

乙X

（2）若關(guān)于x的不等式Inx〉6?-1存在唯一的整數(shù)解，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】（1）最大值；，最小值1;（2）匕等

24

【分析】

（1）求導，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合區(qū)間端點函數(shù)值比較大小即可求解最值；

（2）解法一：把不等式lnx>辦2T化為?！瓷?,由/（x）的單調(diào)性結(jié)合端點函數(shù)值分析求解即可；

解法二：令g（x）=lnx-依2+1（%>0）,求導，對。進行分類討論，判斷函數(shù)單調(diào)性及最大值，從而求得。

的范圍，結(jié)合g（x）>0有唯一整數(shù)解，進一步求出a的取值范圍.

【詳解】(1)因為小)=也B，所以r(x)=一(21n：+l),

_2Jxx

令_f(x)=O,解得x=在，r(X),/(尤)的變化情況如下表所示.

A/C

X1

2e

+0-

e

/(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞減1

4-41n22

所以，/(X)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.

當工=立時，〃尤)有極大值9也是“X)的最大值.

e2

又因為/[：]=4_41n2,/(1)=1,[Tn(4-41n2)-l=3-41n2=lne3-lnl6>0,

所以/⑴，所以"1)=1為〃元)的最小值.

(2)解法一：因為x>0,所以不等式lnx>"2-l可化為。</(x)=當1nY廠+]，

、

由(1)可知〃力=電>在區(qū)間0,

上單調(diào)遞增，在區(qū)間,+8上單調(diào)遞減.

7

因為“X)的最大值/(1)=1,吧=0〈)⑴，〃2)=匕詈<〃1),1<^<1<2,

所以VxeN*,x=l時，最大，所以不等式

/、[f⑴>i+i2

即。<〃x)存在唯一的整數(shù)解只能為1,所以所a以。的取值范圍為fn

解法二：令g(x)=lnx—a?+l(x>0),由題意可知g(尤)>0有唯一整數(shù)解，

g，(x)=L等，當aWO時，g，(x)=上等>0,所以g(x)在(0,+動單調(diào)遞增,

而g(l)=l-a>0,所以g(2)>g⑴>0,與題意矛盾；

當a>0時，由g'(x)=上2吠=0可得x=叵或x=-叵(舍去)，

x2a2a

當xe0,^~時，g'(x)>0,時，g'(x)<0,

、

所以g(x)在琮"單調(diào)遞增，在]覺,+口單調(diào)遞減,

所以.叵時，g(元)取最大值為-ln";+1,

2a2

由題意可知一Ind2aH—>0,解得0<tz<—,

22

因為g(l)=l-〃，所以當g⑴=1一〃>。即0<”1時，

由g(x)>0有唯一整數(shù)解知g(2)=ln2-4a+lW0,解得

若1<24用，由g(x)在，

單調(diào)遞增知0<g⑴<g(2)ZO,矛盾

所以2>叵，由g(x)在

,+8單調(diào)遞減可知Vxw[2,+ao),g(x)vo

2a7

所以半

<a<1符合題意;

當時，叵4立，g(l)=l-a<0,

2a2

由g(x)在]^^,+紇單調(diào)遞減可知X/xe[l,+8),

g(x)<g(l)<0,不符合題意;

綜上所述，a的取值范圍為一~^<a<\.

4

例題4.(23-24高三上?青海西寧?期末)已知函數(shù)/'(x)=e'-x-l.

⑴證明:淪0.

(2)若關(guān)于左的不等式內(nèi)；+2111元+12尤2/有解，求。的取值范圍.

【答案】①證明見解析

⑵[L+8)

【分析】(1)根據(jù)單調(diào)性求出“X)的最小值即可證明.

(2)分離參數(shù)，借助(1)中不等式關(guān)系進行放縮，求其最小值，即可求出。的取值范圍.

【詳解】(I)/'(X)=e*-L

當尤>0時，費x)>0；

當尤<0時，r(x)<o.

所以;■(x)在(-8,O)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增.

故/(x)N〃O)=O.

(2)由題意可得不等式-21nxT有解.

X

因為e">x+l，

二匚ciX%*-21nx—1e%+21nx-21nx-lx+21nx+l-21nx-l

所以------------=-------------->-------------------=I1

XXX

當x+2ln%=0時，等號成立，所以

故。的取值范圍為［l,+s)

練透核心考點

1.(2024?吉林延邊?一模)若對任意無儀e,y),存在實數(shù)4,使得關(guān)于尤的不等式ln(x-e)+Xx+120成

立，則實數(shù)4的最小值為.

【答案】」

e

【分析】

根據(jù)題意分析可知M(x：e)+12一%,構(gòu)建g(x)Jn(x；)+l,xe(e,+“),利用導數(shù)判斷其單調(diào)性和最值,

結(jié)合恒成立問題分析求解.

【詳解】因為無￡(e,+。)，ln(x-e)+2x+l>0,

可得In(…)+1“譏

X

構(gòu)建g(x)=^H,”(e,+功，則,()上加…)一1，皿…),

e

構(gòu)建%(%)=-----ln(x-e),x>e,

x—e

因為y------,y=-ln(x-e)在(e,+8)內(nèi)單調(diào)遞減，

可知妝工)在(e,+8)內(nèi)單調(diào)遞減，且%(2e)=0,

當e<x<2e時，/z(x)>0,即g'(x)>0；

當%>2e時，/?(%)<0,即g，⑺<0；

可知g(x)在(e,2e)上單調(diào)遞增，在(2e,+。)上單調(diào)遞減，貝！Jg(x)Wg(2e)=L

e

可得,2-2,可得4

ee

所以實數(shù)力的最小值為-L

e

故答案為：-L

e

【點睛】

方法點睛：利用導數(shù)解決不等式存在性問題的方法技巧

根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為某函數(shù)在該區(qū)間上最大(小)值滿足的不等式成立問題，進而用導數(shù)求該函數(shù)在該區(qū)間

上的最值問題，最后構(gòu)建不等式求解.

2.(2024高三?全國?專題練習)已知函數(shù)/(x)=lnx-2ox+l,若存在無>0,使得/⑴對，則實數(shù)。的取

值范圍_____.

【答案】’8，g

【分析】

由題意，即2aW叱土1,構(gòu)造函數(shù)g(x)=虹已，利用導數(shù)求出最大值即可.

XX

]nY-I-1

【詳解】存在x>0,使得/(x)=lnx—2依+1之?？傻?/p>

x

構(gòu)造函數(shù)g(x)Jn：+l,其中x>。，貝小〈同=-￥，

當0<x<l時，g'(x)>0,此時函數(shù)g(無)單調(diào)遞增，當x>l時，g'(x)<0,此時函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

則g(xL1=g⑴=l，所以，2a<\,解得因此，實數(shù)。的取值范圍是，鞏；.

故答案為：,雙；.

3.(2024高三?全國?專題練習)己知函數(shù)/(x)=ox-e*(aeR),8(無)=?,若現(xiàn)e(0,+co),使不等式

/(元)(8(%)-二成立，求。的取值范圍.

【答案】(-"]

2e

【分析】

由題設(shè)不等式能成立轉(zhuǎn)化為。〈華在(0,+8)上能成立，即需求〃(尤)=坐的最大值，求解即得。的取值范

XX

圍.

【詳解】

因為王。€(0,+功,使不等式/(x)Wg(x)-e，成立，所以依(皿，即。4堂.

XX

設(shè)/z(x)=坐，則問題轉(zhuǎn)化為。4/7(磯叱

由“。)=上|吧，令成尤)=0,得x=&.

當x在區(qū)間(0,+8)內(nèi)變化時，/7(無)，/?(%)的變化情況如下表:

金

X(0,加)(Ve,+oo)

+0—

/z(x)

71極大值\|

/z(x)

由上表可知，當x=加'時，函數(shù)，(X)有極大值，也是最大值，為久&)=9,所以"W

2(

即。的取值范圍是(-0°,不］.

4.(2023高三?全國?專題練習)已知函數(shù)f(x)=xlnx,(x>0).

(1)求函數(shù)的極值；

(2)若存在xe(0,+s),使得4**3成立,求實數(shù)機的最小值.

【答案】(1)極小值為,，無極大值

e

(2)4

【分析】(1)直接利用導函數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求極值即可；

(2)分離參數(shù)，利用導函數(shù)求函數(shù)的最值即可.

【詳解】(1)由/(x)=xlnxn/'(x)=lnx+l,

令fr(x]>0^x>—；令f'(x\<0=>—>x>0,

ee

y(x)在[。,￡|上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

/(X)在x=(處取得極小值，且為了[[=—，無極大值；

(2)由+r30_.2.111苫+/+3(尤>0)能成立,

問題轉(zhuǎn)化為機2(21nx+x+。],

令g(x)=21nx+尤+3ng[x)=2+l一W=(x+3)fT),

XXXX-

由x>lng'(x)>0；由0<x<l=>g'(x)<0,

g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增,

8(m.=8(1)=4,則加"，

故m的最小值為4.

高頻考點二：分類討論法

典型例題

例題1.(23-24高二上?福建福州?期末)已知關(guān)于x的不等式2尤-?x+l)e'>0解集中恰有3個不同的正整

數(shù)解，則實數(shù)上的取值范圍為()

【答案】D

【分析】由題意可得％(x+l)<2xer的解集中恰有3個不同的正整數(shù)解，設(shè)/(x)=/x+l),g(x)=2xer,

作出兩函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象分上W0,左>0分別求解即可.

【詳解】因為2x-k(x+l)e*>0,所以％(x+l)<2xeT.

設(shè)/(x)=Hx+l),g(x)=2xex,則g'(x)=2eT-2-r=2(1-力:*,

所以當xe(-e,l)時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

當尤w(l,+oo)時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；

又因為/(x)是過點(-1,0)的直線，如圖所示：

由此可得當％W0時，左(尤+1)<2底一工的解集中有若干個不同的正整數(shù)解，不滿足題意;

當上>0時，要使不等式2彳-左(尤+l)e*>0的解集中恰有3個不同的正整數(shù)解，

當y=/(》)過點(4,g(4))時，上取最小值,

Op-4_no

因為g(4)=8eT,此時/==

4-(-1)5e

當y=/(x)過點(3,g(3))時，上取最大值，

因為g(3)=6e-3,此時左=黑^=己，

3—(一1)Ze

所以的取值范圍為

故選：D.

例題2.(2024高三,全國?專題練習)已知函數(shù)〃力=/-北

⑴求函數(shù)“X)的極值；

(2)若對任意x>0,/(尤)>：取2+1有解，求。的取值范圍.

【答案】(1)極小值為1,無極大值；

(2)a<l.

【分析】(1)利用導數(shù)研究函數(shù)/(無)的單調(diào)性即可求極值；

(2)由題意可得任意x>0,e"—無一—1>0有解，設(shè)g(x)=e*—x——1,分a40、0<a41及a>l討

論即可求解.

【詳解】(1)r(x)=ev-l=0,得x=0,

當x<o時,r(無)<o,函數(shù)〃無)單調(diào)遞減，

當尤>。時，r(x)>o,函數(shù)/'(x)單調(diào)遞增，

所以,⑴的極小值為"0)=1,無極大值；

(2)對任意尤>0,/(工)>510?+1即6”—無一51〃龍2一1>0,

設(shè)g(x)=_尤_；52-l,x>0,gf(x)=e'-1-<ir,x>0,

①當&40時，g'(x)單調(diào)遞增,g<0)=0,g〈x)>0,g(x)單調(diào)遞增，g(x)>g(O)=O,成立;

②當0<a?］時,令網(wǎng)力=8，(%),〃(%)=6*-4>0送，(%)單調(diào)遞增，g<0)=0,g，(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

g(x)>g(O)=O，成立；

③當a>l時，當0<x<lna時，//(x)=e*-a<0,g<x)單調(diào)遞減，g'(0)=0,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

g(x)<g(O)=O,不成立.

綜上，a<l.

2

例題3.(23-24高二下?重慶蒙江?期中)已知函數(shù)〃尤(aeR),g(x^x-2mx+4(meR).

⑴若函數(shù)“X)在X=2處的切線方程為y=x+b,求實數(shù)。與6的值；

(2)當。=1時，若對任意的國目1,2］,存在使得〃占)泊(三)，求實數(shù)機的取值范圍.

【答案】(l)a=2,b=-2Ln2

2

【分析】

(1)求導，由導函數(shù)幾何意義得到方程，求出。=2,從而得到/(2)=2-21n2,代入切線y=x+6中，求

出答案；

(2)轉(zhuǎn)化為xe［l,2］時，1nhi冷⑺.，求導得到的單調(diào)性，求出〃尤'「J，再分三種情況求

出得到不等式，求出機的取值范圍?

【詳解】(1)r(x)=x-1,由r(2)=2-Al得4=2,

/(x)=^x2-21nr,/(2)=2-21n2,

即切點為(2,2-21n2),代入方程y=x+6得6=-21n2,

所以a=2,6=—21n2；

(2)由題意可得尤叩,2］時,f^mn＞g(x)mn.

。=1時，-⑺=x_工=、+1)(XT)N0在彳41，4恒成立,

XX

故〃尤)在xe［1,2］為增函數(shù)，

g(x)=x2—2mx+4=(x—m)2+4—m2.

①當機＜1時，g(x)在區(qū)間［1,2］上遞增,所以8(力晶=8⑴=5-2機，

1Q

由5-2%4；解得根舍去；

②當14租＜2時，8(尤)在［1,間上單調(diào)遞減，在(租,2］上單調(diào)遞增，

故gC^O疝n=8(〃7)=4一m2，

故解得〃2〈一^^或，

222

③當相＞2時，g(x)在區(qū)間［1,2］上遞減，所以且⑺晶=8出=8-4〃2,

由8-4小(一解得加之”，m>2.

28

綜上，機2巫.

2

例題4.(2024?四川瀘州?二模)已知函數(shù)/(x)=2尤，一水2+2(°>0).

⑴求曲線y=〃力在點(0,〃0))處的切線方程；

(2)若二目一1』，|〃到23,求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(i)y=2

(2)(0,1］U［3,^O)

【分析】(1)對/(尤)求導，利用導數(shù)的幾何意義即可得解；

(2)先利用導數(shù)分析“X)的單調(diào)性，再構(gòu)造g(x)=/(x)|,將問題轉(zhuǎn)化為g(X)max23,利用〃X)的單調(diào)性,

分析得"⑴二,從而得解.

【詳解】(1)因為〃x)=2%3—加+2(<7>0),則:(尤)=6日_2℃,

所以『(0)=2,/(0)=0,

所以曲線V=/(尤)在點(0,/(0))處的切線方程y=2；

(2)因為「(X)=6/-2or=6x[x-]),且a>0,

所以當0<x<］時，-(尤)<0,/(元)單調(diào)遞減，

當尤<0或無*時，小)>0,單調(diào)遞增；

不妨令g(x)=|f(x)|,

當與21,即423時，/(X)在［-L0］單調(diào)遞增，在［0,1］單調(diào)遞減，

且-3,/(0)=2,/(I)=4-a<l,

所以g(x)m="(x)lmax=max{a,2,|4-a|}23,此時符合題意；

當0<］<1,即0<”3時，/⑺在［T0］和1,1單調(diào)遞增，在0,|單調(diào)遞減,

顯然Ax)在x=］處取得極小值，此時極小值為=2->0,

而/(-l)=-oe(-3,0),/(0)=2,/(1)=4-a>0,

所以g(x)max=l/Wlmax=max{a,2,4-a),

要使g(x)maxN3,貝IJ必有4-。23,解得故0<aWl,

綜上:。的取值范圍是(0,1］。［3,內(nèi)).

【點睛】結(jié)論點睛：

⑴〃力>0有解了(句/>0；〃x)<0有解1ran<0.

⑵有解1mx>a；

(3)/(x)>g(x)有解o[f(x)—g(x)L>0；/(x)<g(x)有解=[〃x)-g(x)Ln<0.

(4)3x^M,加cN,/(^)>g(x2)<^/(