高等數(shù)學(xué)（第三版）課件：多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)

多元函數(shù)的概念、極限與連續(xù)

一、多元函數(shù)的概念

二、二元函數(shù)的極限與連續(xù)2121例1

圓柱體的體積和它的底半徑,高之間的關(guān)系為,其中、、是三個(gè)變量,當(dāng)變量、在一定范圍（，）內(nèi)取定一對(duì)數(shù)值時(shí),根據(jù)給定的關(guān)系，就有一個(gè)確定的值與之對(duì)應(yīng).例2

電路中電流強(qiáng)度,電壓和電阻之間滿足關(guān)系式,其中是三個(gè)變量,當(dāng)變量在一定范圍()內(nèi)取定一對(duì)數(shù)值時(shí)，根據(jù)給定的關(guān)系,就有一個(gè)確定的值與之對(duì)應(yīng)．

1.引例一、多元函數(shù)的概念

2.二元函數(shù)的定義定義1

設(shè)是三個(gè)變量.如果當(dāng)變量在一定范圍內(nèi)任意取定一對(duì)數(shù)值時(shí),變量按照一定的法則總有確定的數(shù)值與它們對(duì)應(yīng),則稱變量是變量的二元函數(shù),記為其中稱為自變量,稱為因變量.自變量的取值范圍稱為函數(shù)的定義域．二元函數(shù)在點(diǎn)所取得的函數(shù)值記為，或

例３設(shè)求解表示數(shù)軸上點(diǎn),則一元函數(shù)可以表示為;數(shù)組表示空間一點(diǎn)稱為點(diǎn)若所以三元函數(shù)可表示為的坐標(biāo)．以點(diǎn)為點(diǎn)．表示自變量的函數(shù)稱為點(diǎn)函數(shù)．這樣不論是一元函數(shù)還是多元函數(shù)都可統(tǒng)一地表示的函數(shù)3.二元函數(shù)的定義域二元函數(shù)的定義域較復(fù)雜，它可以是一個(gè)點(diǎn)，也可能是一條曲線或幾條曲線所圍成的部分平面，甚至可能是整個(gè)平面．整個(gè)平面或由曲線圍成的部分平面稱為區(qū)域；圍成區(qū)域的曲線稱為該區(qū)域的邊界;不包括邊界的區(qū)域稱為開(kāi)區(qū)域，連同邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為閉區(qū)域．以點(diǎn)為中心，為半徑的圓內(nèi)所有點(diǎn)的集合稱為點(diǎn)的鄰域，記作．如果一個(gè)區(qū)域可以被包含在原點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)，則稱該區(qū)域?yàn)橛薪鐓^(qū)域，否則稱為無(wú)界區(qū)域．開(kāi)區(qū)域如:閉區(qū)域如:

例4

求下列函數(shù)的定義域，并畫出的圖形．

(1)

解

要使函數(shù)有意義，應(yīng)有即

定義域?yàn)橛薪玳_(kāi)區(qū)域

（2）

解：要使函數(shù)有意義，應(yīng)有

即

定義域?yàn)闊o(wú)界閉區(qū)域

設(shè)是二元函數(shù)的定義域內(nèi)的任一點(diǎn),則相應(yīng)的函數(shù)值為,有序數(shù)組確定了空間一點(diǎn),稱點(diǎn)集為二元函數(shù)的圖形.

二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面

.4.二元函數(shù)的幾何意義當(dāng)1．二元函數(shù)的極限鄰域內(nèi)有定義（點(diǎn)定義2

設(shè)二元函數(shù)在點(diǎn)可以除外）,如果當(dāng)點(diǎn)沿任意路徑趨于點(diǎn)時(shí),函數(shù)趨于常數(shù),那么稱為函數(shù)的某一總無(wú)限AA時(shí)的極限，記為或二、二元函數(shù)的極限與連續(xù)說(shuō)明：（1）定義中的方式可能是多種多樣的，方向可能任意多，路徑可以是千姿百態(tài)的，所謂極限存在是指當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從四面八方以可能有的任何方式和任何路徑趨于定點(diǎn)時(shí)，函數(shù)都趨于同一常數(shù).（2）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似如局部有界性、局部保號(hào)性、夾逼準(zhǔn)則、無(wú)窮小、等價(jià)無(wú)窮小代換等。xyoP0例5

求極限

解:其中例6

證明不存在．證：其值隨k的不同而變化，故極限不存在．確定極限不存在的方法：（1）令點(diǎn)

沿趨向于極限值與有關(guān)，則在點(diǎn)處極限不存在;，若（2）找出兩種不同趨近方式，使存在，但兩者不相等，則此時(shí)在點(diǎn)處極限不存在．2．二元函數(shù)的連續(xù)性定義3

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi),則稱函數(shù)在點(diǎn)如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù),則在區(qū)域如果函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)，則稱點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn).有定義.如果內(nèi)連續(xù).處連續(xù).稱函數(shù)例7

求．解因?yàn)楹瘮?shù)是初等函數(shù),且點(diǎn)在該函數(shù)的定義域內(nèi),故例8

討論函數(shù)

的連續(xù)性．時(shí)，為初等函數(shù),故函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).當(dāng)不存在,所以函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，即原點(diǎn)是函數(shù)的間解當(dāng)斷點(diǎn)．時(shí),由例5知3．有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1（最值定理）在