2024-2025學(xué)年江蘇省南通市啟東、通州聯(lián)考高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年江蘇省南通市啟東、通州聯(lián)考高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)z1=1+2i，z2=i，則zA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.若集合A={?1,0,1,2}，B={x|x2?x≥0}，則A∩B=A.{?1,0} B.{0,1} C.{1,2} D.{?1,0,1}3.已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=3，a+A.2 B.13 C.4 D.4.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=?x2+ax+1，若f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是A.(?∞,?2] B.[?2,+∞) C.(?∞,?1] D.[?1,+∞)5.從5名男生和3名女生中選出4人參加一項(xiàng)創(chuàng)新大賽.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，那么不同的選法種數(shù)為(

)A.15 B.40 C.55 D.706.一個(gè)正四棱臺(tái)油槽可以裝汽油190L(1L=1000cm3)，若它的上、下底面邊長分別為60cm和40cm，則它的深度為A.25cm B.75cm C.100cm D.150cm7.當(dāng)x∈[0,2π]時(shí)，函數(shù)y=sinx與f(x)=2sin(ωx?π6)(ω∈N+)的圖象有4A.1 B.2 C.3 D.48.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f(x+6)=2f(x)，當(dāng)x∈(0,6]時(shí)，f(x)=x2?4x，則k=1A.?7 B.25 C.57 D.102二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.在(2x+13x)5A.x的系數(shù)為10 B.第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為10

C.沒有常數(shù)項(xiàng) D.各項(xiàng)系數(shù)的和為3210.在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=2，AB=AD=A.D1B⊥AC B.D1B⊥平面A1C1B

C.11.如圖，函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分圖象，則(

)A.f(x)=2sin(2x+π3)

B.將f(x)圖象向右平移2π3后得到函數(shù)y=2sin2x的圖象

C.f(x)在區(qū)間[7π12,13π三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.如果隨機(jī)變量X～N(5,σ2)，且P(X≤3)=0.3，那么P(3≤X≤7)=13.如圖，在半徑為2、圓心角為60°的扇形的弧PQ上任取一點(diǎn)A，作扇形的內(nèi)接平行四邊形ABCP，使點(diǎn)B在OQ上，點(diǎn)C在OP上，則該平行四邊形面積的最大值為______．14.已知函數(shù)f(x)=alnx?x2+b，若x∈(0,1)，f(x)f(x+1)<0，則正整數(shù)a四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=x3+ax2?x?1(a∈R)．

(1)若a=?1，求f(x)的極值；

(2)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)16.(本小題15分)

在△ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足bcos(A?C)+b2=2asinBsinC．

(1)求B；

(2)若四邊形ABDC內(nèi)接于圓O，∠ACB=π6，17.(本小題15分)

銀行儲(chǔ)蓄卡的密碼由6位數(shù)字組成.小明是一位數(shù)學(xué)愛好者，記得自己隨機(jī)用了π(π≈3.14159…)的前6個(gè)數(shù)字(1,1,3,4,5,9)設(shè)置個(gè)人銀行儲(chǔ)蓄卡密碼．

(1)求密碼中兩個(gè)1不相鄰的概率；

(2)若密碼的前三位出現(xiàn)1的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．18.(本小題17分)

在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是梯形，AB//CD，BC⊥CD，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PD=AB=2，BC=CD=1．

(1)求證：PD⊥AB；

(2)求PB與平面PAD所成角的正弦值；

(3)若線段PC上存在一點(diǎn)E，使得截面ABE將四棱錐P?ABCD分成體積之比為5：7的上下兩部分，求點(diǎn)P到截面ABE的距離．19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域都為R，設(shè)直線l：y=kx+m是曲線y=f(x)的任意一條切線，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0，若f(x)≥kx+m，當(dāng)且僅當(dāng)x=x0時(shí)“=”成立，則稱函數(shù)f(x)滿足“性質(zhì)P”．

(1)判斷y=x2是否滿足“性質(zhì)P”，并說明理由；

(2)若f′(x)是單調(diào)增函數(shù)，證明：f(x)滿足“性質(zhì)P”；

(3)若函數(shù)g(x)=ex+e?x參考答案1.D

2.B

3.C

4.A

5.C

6.B

7.B

8.C

9.BC

10.ACD

11.ACD

12.0.4

13.214.5

15.解：(1)當(dāng)a=?1時(shí)，f(x)=x3?x2?x?1，函數(shù)定義域?yàn)镽，

可得f′(x)=3x2?2x?1，

當(dāng)x<?13時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)?13<x<1時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=?13時(shí)，f(x)取得極大值，極大值f(?13)=?2227；

當(dāng)x=1時(shí)，f(x)取得極小值，極小值f(1)=?2；

(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(?1,f(?1))對(duì)稱，

所以f(?1+x)+f(?1?x)=2f(?1)，16.解：(1)因?yàn)閎cos(A?C)+b2=2asinBsinC，

由正弦定理可得sinBcos(A?C)+sinB2=2sinAsinBsinC，

又因?yàn)樵凇鰽BC中，所以sinB≠0，所以cos(A?C)+12=2sinAsinC，

所以cosAcosC+sinAsinC+12=2sinAsinC，

所以cos(A+C)=?12，即cosB=12，

因?yàn)锽∈(0,π)，

所以B=π3；

(2)在△ABD中，已知AB=2，所以∠ADB=π6，17.解：(1)總的情形有A66A22=360種，兩個(gè)1不相鄰的情形有A44?C52=240種，

∴兩個(gè)1不相鄰的概率P=240360=23；

(2)由題意可知，X012P131∴E(X)=0×1518.解：(1)取AB的中點(diǎn)O，連OD，OP，由BO=CD=1，BO/?/CD，

得四邊形OBCD為平行四邊形，

由BC⊥CD，得平行四邊形OBCD為矩形，

則DO⊥AB，由平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，DO?平面ABCD，

得DO⊥平面PAB，又PO?平面PAB，

則DO⊥PO，

由PD=2，DO=1，得PO=3，

由PA=2，AO=1，得PO2+AO2=PA2，

則PO⊥AO，即PO⊥AB，

而DO⊥AB，PO∩DO=O，PO，DO?平面PDO，

因此AB⊥平面PDO，而PD?平面PDO，

所以PD⊥AB．

(2)由DO⊥PO，PO⊥AO，DO∩AO=O，DO，AO?平面ABCD，

得PO⊥平面ABCD，DO?平面ABCD，

則PO⊥DO，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OD，OB，OP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，

則P(0,0,3)，A(0,?1,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D(1,0,0)，

PA=(0,?1,?3)，PD=(1,0,?3)，PB=(0,1,?3)，

設(shè)平面PAD的法向量n=(x,y,z)，

則PA?n=?y?3z=0PD?n=x?3z=0，

令z=1，得n=(3,?3,1)，

設(shè)PB與平面PAD所成角為θ，

則sinθ=|cos?PB,n?|=|PB?n||PB||n|=232?7=217，

即PB與平面PAD所成角的正弦值為217．

(3)設(shè)截面ABE交PD于F，由AB/?/CD，AB?面ABE，DC?面ABE，

得DC/?/平面ABE，

又DC?平面PDC，平面ABE∩平面PDC=EF，

則DC/?/EF，

依題意，VP?ABCD=13SABCD?PO=13×1+219.解：(1)y=x2滿足“性質(zhì)P”，理由如下：因?yàn)閥′=2x，設(shè)曲線y=x2的一條切線l的切點(diǎn)為(x0,x02)，

則直線l的方程為y?x02=2x0(x?x0)，即y=2x0x?x02；

所以x2?(2x0x?x02)=(x?x0)2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=x0時(shí)取等號(hào)；

由x0的任意性知，y=x2滿足“性質(zhì)P”；

(2)證明：設(shè)直線l是曲線y=f(x)的任意一條切線，切點(diǎn)為C(x0,f(x0))，

則直線l的方程為y=f′(x0)(x?x0)+f(x0)，

因?yàn)閒′(x)是單調(diào)增函數(shù)，則當(dāng)x∈(?∞,x0)時(shí)，g′(x)=f′(x)?f′(x0)<0，

g(x)單調(diào)遞減，g(x)>g(x0)；

當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí)，g′(x)=f′(x)?f′(x0)>0，g(x)單調(diào)遞增，g(x)>g(x0)；

即對(duì)任意x≠x0，都有g(shù)(x)>g(x0)，

由x0的任意性知，f(x)滿足“性質(zhì)P”；(3)當(dāng)a≤1時(shí)，因?yàn)間′(x)=ex?e?x?2ax，設(shè)?(x)=ex?e?x?2ax，

則?′(x)=ex+e?x?2a≥2ex?e?x?2a=2?2a≥0，

所以?(x)在R上單調(diào)遞增，即g′(x)在R上單調(diào)遞