2025年中考數(shù)學思想方法復習系列 【數(shù)形結(jié)合】平面直角坐標系中的數(shù)形結(jié)合思（原卷版）

平面直角坐標系中的數(shù)形結(jié)合思想知識方法精講1．坐標確定位置平面內(nèi)特殊位置的點的坐標特征（1）各象限內(nèi)點P（a，b）的坐標特征：①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．（2）坐標軸上點P（a，b）的坐標特征：①x軸上：a為任意實數(shù)，b＝0；②y軸上：b為任意實數(shù)，a＝0；③坐標原點：a＝0，b＝0．（3）兩坐標軸夾角平分線上點P（a，b）的坐標特征：①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b．2．軸對稱-最短路線問題1、最短路線問題在直線L上的同側(cè)有兩個點A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點存在，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關(guān)于直線L的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線L的交點就是所要找的點．2、凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合本節(jié)所學軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．3．坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)（1）關(guān)于原點對稱的點的坐標P（x，y）?P（﹣x，﹣y）（2）旋轉(zhuǎn)圖形的坐標圖形或點旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點的坐標．常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°.4.數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合是數(shù)學解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。2.所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的思想，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：（1）實數(shù)與HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"數(shù)軸上的點的對應關(guān)系；（2）函數(shù)與圖象的對應關(guān)系；（3）HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"線與方程的對應關(guān)系；（4）所給的HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"等式或HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。如等式。3.巧妙運用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點是研究“以形助數(shù)”。4.數(shù)形結(jié)合的思想方法應用廣泛，常見的如在解方程和解HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"不等式問題中，在求函數(shù)的HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"值域、最值問題中，運用數(shù)形結(jié)思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，要爭取胸中有圖見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野。一．選擇題（共2小題）1．（2021秋?瑞安市月考）如圖，這是某所學校的部分平面示意圖，教學樓、實驗樓和圖書館的位置都在邊長為1的小正方形網(wǎng)格線的交點處，若教學樓位置的坐標是，實驗樓位置的坐標是，則圖書館位置的坐標是A． B． C． D．2．（2021春?姑蘇區(qū)校級月考）蘇州市“東方之門”是由兩棟超高層建筑組成的雙塔連體建筑，“門”的造型是東方之門的立意基礎(chǔ)，“門”的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線型，如圖1，兩棟建筑第八層由一條長的連橋連接，在該拋物線兩側(cè)距連橋處各有一窗戶，兩窗戶的水平距離為，如圖2，則此拋物線頂端到連橋距離為A． B． C． D．二．填空題（共10小題）3．（2020?賀州）某學生在一平地上推鉛球，鉛球出手時離地面的高度為米，出手后鉛球在空中運動的高度（米與水平距離（米之間的函數(shù)關(guān)系式為，當鉛球運行至與出手高度相等時，與出手點水平距離為8米，則該學生推鉛球的成績?yōu)槊祝?．（2021?二道區(qū)校級一模）如圖是某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內(nèi)，與水平橋面相交于、兩點，拱橋最高點到的距離為，，，為拱橋底部的兩點，且，若的長為，則點到直線的距離為．5．（2020秋?瑞安市期末）如圖1是某校園運動場主席臺及遮陽棚，其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示．主席臺（矩形高米，直桿米，斜拉桿，起穩(wěn)固作用，點處裝有一射燈．遮陽棚邊緣曲線可近似看成拋物線的一部分，為拋物線的最高點且位于主席臺邊緣的正上方，若點，，在同一直線上，且米，米，，則射燈離地面的高度為米．6．（2021?長春模擬）為了在校運會中取得更好的成績，小丁積極訓練，在某次試投中鉛球所經(jīng)過的路線是如圖所示的拋物線的一部分．已知鉛球出手處距離地面的高度是1.68米，當鉛球運行的水平距離為2米時，達到最大高度2米的處，則小丁此次投擲的成績是米．7．（2020秋?路南區(qū)期末）一位籃球運動員在距離籃圈中心水平距離處起跳投籃，球沿一條拋物線運動，當球運動的水平距離為時，達到最大高度，然后準確落入籃框內(nèi)．已知籃圈中心距離地面高度為，在如圖所示的平面直角坐標系中，則此拋物線的解析式為．8．（2020秋?江都區(qū)期末）道路的隔離欄通常會涂上醒目的顏色，呈拋物線形狀（如圖，圖2是一個長為2米，寬為1米的矩形隔離欄，中間被4根欄桿五等分，每根欄桿的下面一部分涂上醒目的藍色，顏色的分界處（點，點以及點，點落在同一條拋物線上，若第1根欄桿涂色部分與第2根欄桿未涂色部分長度相等，則的長度是．9．（2020?鹿城區(qū)二模）圖1是一個高腳杯截面圖，杯體呈拋物線狀（杯體厚度不計），點是拋物線的頂點，，，點是的中點，當高腳杯中裝滿液體時，液面，此時最大深度（液面到最低點的距離）為12，將高腳杯繞點緩緩傾斜倒出部分液體，當時停止，此時液面為，則液面到平面的距離是；此時杯體內(nèi)液體的最大深度為．10．如圖是我省某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內(nèi)，與水平橋面相交于、兩點，拱橋最高點到的距離為，，、為拱橋底部的兩點，且，點到直線的距離為，則的長為．11．（2020秋?興城市期末）某廣場有一噴水池，水從地面噴出，如圖，以水平地面為軸，出水點為原點，建立平面直角坐標系，水在空中劃出的曲線是拋物線（單位：米）的一部分，則水噴出的最大高度是米．12．（2020秋?甘南縣期末）在拋物線形拱橋中，以拋物線的對稱軸為軸，頂點為原點建立如圖所示的平面直角坐標系，拋物線解析式為，水面寬，與軸交于點，，當水面上升時，水面寬為．三．解答題（共12小題）13．（2021秋?沭陽縣校級月考）如圖，在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中建立一直角坐標系，一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點、、，請在網(wǎng)格圖中進行下列操作（以下結(jié)果保留根號）（1）利用網(wǎng)格找出該圓弧所在圓的圓心點的位置，寫出點的坐標為；（2）連接、，若扇形是一個圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐底面半徑為；（3）連接，將線段繞點旋轉(zhuǎn)一周，求線段掃過的面積．14．（2021秋?薌城區(qū)校級期中）【初步探究】（1）如圖1，在四邊形中，，是邊上一點，，，連接、．請判斷的形狀，并說明理由．【問題解決】（2）若設(shè)，，．試利用圖1驗證勾股定理．【拓展應用】（3）如圖2，在平面直角坐標系中，已知點，點，點在第一象限內(nèi)，若為等腰直角三角形，求點的坐標．15．（2021秋?孝南區(qū)月考）如圖，在平面直角坐標系中，點是軸上一點，點是軸上一點，且滿足．（1）求出，兩點坐標；（2）連接，以線段為直角邊，在右側(cè)作等腰直角三角形，點為直角頂點，連接，求的面積；（3）點是軸上一動點，點為軸上一動點，若、各自同時從原點出發(fā)沿軸正半軸、軸正半軸運動，點運動的速度是每秒1個單位，點運動的速度每秒2個單位；請求出多少秒時的面積正好是（2）中的面積的．16．（2021秋?荔城區(qū)校級期中）等腰中，，點、點分別是軸、軸兩個動點，直角邊交軸于點，斜邊交軸于點．（1）如圖（1），若，，求點的坐標；（2）如圖（2），當?shù)妊\動到使點恰為中點時，連接，求證：；（3）如圖（3），在等腰不斷運動的過程中，若滿足始終是的平分線，試探究：線段、、三者之間是否存在確定的數(shù)量關(guān)系？若有，請直接寫出結(jié)論；若沒有，請說明理由．17．（2021秋?瑞安市月考）如圖，在平面直角坐標系中，點，，，于點，交軸于點．（1）求證：．（2）點在線段上，作交于點，連結(jié)．①若是的中點，求的面積．②連結(jié)，當是以為腰的等腰三角形時，求的長．18．（2021秋?諸暨市期中）【了解概念】在凸四邊形中（內(nèi)角度數(shù)都小于，若一邊與它的兩條鄰邊組成的兩個內(nèi)角相等，則稱該四邊形為鄰等四邊形，這條邊叫做這個四邊形的鄰等邊．【理解應用】（1）鄰等四邊形中，，，則的度數(shù)；（2）如圖，四邊形為鄰等四邊形，為鄰等邊，且，求證：；【拓展提升】（3）在平面直角坐標系中，為鄰等四邊形的鄰等邊，且邊與軸重合，已知，，，若在邊上使的點有且只有1個，求的值．19．（2021秋?吉安期中）畫出關(guān)于軸對稱的圖形△，求：（1）△三個頂點的坐標；（2）△的面積．（3）在軸上畫出點，值最小（不寫作法，保留作圖痕跡）．20．（2021?杭州模擬）如圖所示，某河面上有一座拋物線形拱橋，橋下水面在正常水位時，寬為，若水位上升，水面就會達到警戒線，這時水面寬為．（1）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼挡⑶蟪鰭佄锞€的解析式；（2）若洪水到來時，水位以每小時的速度上升，從警戒線開始，再持續(xù)多少小時就能到達拱橋的拱頂？21．（2020秋?肥西縣期末）某跳水運動員在進行跳水訓練時，身體（看成一點）在空中的運動路線是如圖所示的一條拋物線．已知跳板長為2米，跳板距水面高為3米，訓練時跳水曲線在離起跳點水平距離1米時達到距水面最大高度4米，現(xiàn)以為橫軸，為縱軸建立直角坐標系．（1）求這條拋物線的解析式；（2）求運動員落水點與點的距離．22．（2020秋?鄞州區(qū)期末）如圖1．游樂園要建造一個直徑為的圓形噴水池，計劃在噴水池周邊安裝一圈噴水頭．如圖2，以水平方向為軸，噴水池中心為原點建立平面直角坐標系，根據(jù)下表記錄的水柱高度與水柱距離噴水池中心的水平距離之間的關(guān)系畫出部分圖象．水柱距離噴水池中心的水平距離025810水柱的高度46.4740（1）位于第二象限的拋物線與第一象限的拋物線關(guān)于軸對稱，請你在所給的平面直角坐標系第二象限畫出它的圖象；（2）該種噴水頭噴水的最大高度是多少？（3）為了形成不同高度的噴水景觀，在地面上安裝了另一種噴水頭，它的位置在