2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)系列 【猜想歸納】周長面積問題中的猜想歸納思想（原卷版）

周長面積問題中的猜想歸納思想1．猜想歸納思想歸納猜想類問題也是探索規(guī)律型問題，這類問題一般給出一組具有某種有規(guī)律的數(shù)、式、圖形，或是給出與圖形有關(guān)的操作變化過程，或某一具體的問題情境，通過認(rèn)真觀察、分析推理，探究其中蘊(yùn)含的規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般性的結(jié)論?？疾閷W(xué)生的歸納、概括、類比能力。有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和創(chuàng)造性。

解決歸納猜想類問題的基本思路是“觀察→歸納→猜想→證明(驗(yàn)證)”，具體做法：

（1）認(rèn)真觀察所給的一組數(shù)、式、圖等，發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系；

（2）根據(jù)它們之間的關(guān)系分析、概括，歸納它們的共性和蘊(yùn)含的變化規(guī)律，猜想得出一個(gè)一般性的結(jié)論；

（3）結(jié)合題目所給的材料情景證明或驗(yàn)證結(jié)論的正確性。歸納猜想類問題可以分成四大類：

（1）數(shù)式歸納猜想題

這類題通常是先給出一組數(shù)或式子，通過觀察、歸納這組數(shù)或式子的共性規(guī)律，寫出一個(gè)一般性的結(jié)論。找出題目中規(guī)律，即不變的和變化的，變化的部分與序號(hào)的關(guān)系是解這類題的關(guān)鍵。

（2）圖形歸納猜想題

此類題通常給出一組圖形的排列(或操作得到一系列的圖形)探求圖形的變化規(guī)律，以圖形為載體考查圖形所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系。其解題關(guān)鍵是找出相鄰兩個(gè)圖形之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系。（3）結(jié)論歸納猜想題

結(jié)論歸納猜想題?？紨?shù)值結(jié)果、數(shù)量關(guān)系及變化情況。發(fā)現(xiàn)或歸納出周期性或規(guī)律性變化，是解題的關(guān)鍵。（4）類比歸納猜想題

類比歸納猜想題通常是指由兩類對(duì)象的具有某些相同或相似的性質(zhì)，和其中一類對(duì)象的某些已知的性質(zhì)，推斷出另一類對(duì)象也具有這些性質(zhì)的一種題型，有時(shí)也指兩個(gè)對(duì)象在研究方法、學(xué)習(xí)過程上類比，考查類比歸納推理能力。2．作圖—應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖主要把簡單作圖放入實(shí)際問題中．首先要理解題意，弄清問題中對(duì)所作圖形的要求，結(jié)合對(duì)應(yīng)幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖．3．翻折變換（折疊問題）1、翻折變換（折疊問題）實(shí)質(zhì)上就是軸對(duì)稱變換．2、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．3、在解決實(shí)際問題時(shí)，對(duì)于折疊較為復(fù)雜的問題可以實(shí)際操作圖形的折疊，這樣便于找到圖形間的關(guān)系．首先清楚折疊和軸對(duì)稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件．解題時(shí)，我們常常設(shè)要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．我們運(yùn)用方程解決時(shí)，應(yīng)認(rèn)真審題，設(shè)出正確的未知數(shù)．一．選擇題（共6小題）1．（2021秋?龍口市期末）如圖，的周長為，以它的各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作△，再以△各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作△，如此下去，則△的周長為A． B． C． D．2．（2020秋?零陵區(qū)期末）如圖，在矩形中，，，連接，以對(duì)角線為邊，按逆時(shí)針方向作矩形的相似矩形，再連接，以對(duì)角線為邊作矩形的相似矩形，按此規(guī)律繼續(xù)下去，則矩形的周長為A． B． C． D．3．（2021?開封二模）如圖，將沿著過，的中點(diǎn)，所在的直線折疊，使點(diǎn)落在邊上的處，稱為第一次操作，點(diǎn)到的距離為；還原紙片后，再將沿著過，的中點(diǎn)，所在的直線折疊，使點(diǎn)落在邊上的處，稱為第二次操作，點(diǎn)到的距離記為；按上述方法不斷操作下去，，經(jīng)過第次操作后得到點(diǎn)到的距離記為．若，則值為A． B． C． D．4．如圖，正方形中，，與直線的夾角為，延長交直線于點(diǎn)，作正方形，延長交直線于點(diǎn)，作正方形，延長交直線于點(diǎn)，作正方形依此規(guī)律，則A． B． C．2 D．5．如圖，，在上截取，，，，，，過點(diǎn)、、、、分別作的垂線與相交，得到并標(biāo)出一組陰影部分，它們的面積分別為，，，．觀察圖中的規(guī)律，第個(gè)陰影部分的面積為A． B． C． D．6．下列圖形都是由同樣大小的矩形按一定的規(guī)律組成，其中第（1）個(gè)圖形的面積為，第（2）個(gè)圖形的面積為，第（3）個(gè)圖形的面積為，，則第個(gè)圖形的面積為A． B． C． D．二．填空題（共10小題）7．（2021秋?朝陽期中）如圖，△的面積為，分別延長△的三條邊、、到點(diǎn)、、，使得，，，得到△；再分別延長△的三條邊、、到點(diǎn)、、，使得，，，得到△；．按照此規(guī)律作圖得到△，則△的面積為．8．在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的位置如圖所示，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．延長交軸于點(diǎn)，作第1個(gè)正方形；延長交軸于點(diǎn)，作第2個(gè)正方形，，按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2019個(gè)正方形的面積是．9．（2021春?瑤海區(qū)期中）如圖，一系列等腰直角三角形（編號(hào)分別為①、②、③、④、組成了一個(gè)螺旋形，其中第1個(gè)三角形的直角邊長為1，則第個(gè)等腰直角三角形的面積為．10．直線上有100個(gè)點(diǎn)，我們進(jìn)行如下操作：在每相鄰兩點(diǎn)之間插入1個(gè)點(diǎn)，經(jīng)過三次這樣的操作后，直線上共有個(gè)點(diǎn)．11．如圖，依次連接第一個(gè)矩形各邊的中點(diǎn)得到第一個(gè)菱形，再依次連接所得菱形各邊的中點(diǎn)得到第二個(gè)矩形，按照此方法繼續(xù)下去．已知第一個(gè)矩形的面積為2，則第2013個(gè)菱形的面積為．12．如圖，“把一個(gè)面積為1的正方形等分成兩個(gè)面積為的矩形”稱為第1次變換，接著“把其中一個(gè)面積為的矩形等分成兩個(gè)面積為的矩形”稱為第2次變換，再“把其中一個(gè)面積為的矩形等分成兩個(gè)面積為的矩形”稱為第3次變換，一直到第100次變換，我們得到一系列數(shù)：，，，，，，利用圖形可求得前10個(gè)數(shù)的和是．13．已知邊長為1的正方形，按如圖所示的方式分割，第1次分割后的陰影部分面積，第2次分割后的陰影部分面積，第3次分割后的陰影部分面積，．按照這樣的規(guī)律分割，則第為正整數(shù)）次分割后的陰影部分面積可用表示為．14．如圖，依次連接一個(gè)邊長為1的正方形各邊的中點(diǎn)，得到第二個(gè)正方形，再依次連接第二個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)，得到第三個(gè)正方形，按此方法繼續(xù)下去，則第二個(gè)正方形的面積是；第六個(gè)正方形的面積是．15．如圖，從原點(diǎn)開始，以為直徑畫半圓，記為第1個(gè)半圓；以為直徑畫半圓，記為第2個(gè)半圓；以為直徑畫半圓，記為第3個(gè)半圓；以為直徑畫半圓，記為第4個(gè)半圓；，按此規(guī)律，繼續(xù)畫半圓，則第6個(gè)半圓的面積為．16．如圖，的面積為1，分別取、兩邊的中點(diǎn)、，則四邊形的面積為，再分別取、的中點(diǎn)、，、的中點(diǎn)、，依次取下去．利用這一圖形，能直觀地計(jì)算出．三．解答題（共4小題）17．（2021秋?廣陵區(qū)期中）讓我們一起探索有趣的“皮克定理”：用水平線和豎直線將平面分成若干個(gè)邊長為1的小正方形格子，小正方形的頂點(diǎn)，叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形叫格點(diǎn)多邊形．設(shè)格點(diǎn)多邊形的面積為，它各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和為．（1）上圖中的格點(diǎn)多邊形，其內(nèi)部都只有一個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)完成下表，并寫出與之間的關(guān)系式：．多邊形的序號(hào)①②③④多邊形的面積24各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和4568（2）探索：在上面網(wǎng)格圖中畫出四個(gè)格點(diǎn)多邊形，其內(nèi)部都只有兩個(gè)格點(diǎn)，并寫出所畫的各個(gè)多邊形的面積與它各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和之間的關(guān)系式：；（3）猜想：當(dāng)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有且只有個(gè)格點(diǎn)時(shí)，與之間的關(guān)系式是：．18．正三角形網(wǎng)格中每個(gè)小正三角形面積為1，小正三角形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形稱為格點(diǎn)多邊形，設(shè)格點(diǎn)多邊形各邊上的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和為，格點(diǎn)邊多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)個(gè)數(shù)和為，格點(diǎn)多邊形的面積為，圖1、圖2是兩個(gè)格點(diǎn)多邊形．（1）根據(jù)圖中提供的信息填表：一般格點(diǎn)多邊形多邊形1（圖61多邊形2（圖7211（2）在給定的正三角形網(wǎng)格中分別畫出一個(gè)面積為3、4、5的格點(diǎn)多邊形：（3）猜想與、之間的關(guān)系：（用含、的代數(shù)式表示）；（4）若一個(gè)格點(diǎn)多邊形的面積為，是否存在最大值和最小值？若存在求出最大值和最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．19．用網(wǎng)格線將平面分成若干個(gè)面積為1的小等邊三角形格子，小等邊三角形的頂點(diǎn)，叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形叫格點(diǎn)多邊形．設(shè)格點(diǎn)多邊形的面積為，它各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和為．（1）圖中的格點(diǎn)多邊形，其內(nèi)部都只有一個(gè)格點(diǎn)，它們的面積與各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表，請(qǐng)寫出與之間的關(guān)系式．多邊形的序號(hào)①②③④多邊形的面積3456各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和3456答：．（2）請(qǐng)你再畫出一些格點(diǎn)多邊形，使這些多邊形內(nèi)部都有而且只有2格點(diǎn)．此時(shí)所畫的各個(gè)多邊形的面積與它各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和之間的關(guān)系式是：．（3）請(qǐng)你繼續(xù)探索，當(dāng)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有且只有個(gè)格點(diǎn)時(shí)，猜想與有怎樣的關(guān)系？答：．20．一般地，由條不在同一直線上的線段首尾順次連接組成的平面圖形稱為邊形，又稱為多邊形．用水平線和豎直線將平面分成若干個(gè)邊長為1的小正方形格子，小正方形的頂點(diǎn)，叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形叫格點(diǎn)多邊形．設(shè)格點(diǎn)多邊形的面積為，它各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)和為．（1）如圖1中的格點(diǎn)多邊形，