2024北京廣渠門中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

第1頁/共1頁2024北京廣渠門中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)2024.11本試卷共3頁.150分.考試時(shí)長(zhǎng)為120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的4個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，且，則等于（）A.或 B. C. D.2.如果實(shí)數(shù)，滿足，那么下列不等關(guān)系成立的是（）A. B. C. D.3.已知是定義在上的偶函數(shù).且當(dāng)時(shí)，，則等于（）A.3 B.-3 C. D.4.已知函數(shù)，，則實(shí)數(shù)（）A.1 B.-1 C. D.0或15.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在定義域上是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.6.設(shè)，是實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件7.已知，，，則（）A. B.C. D.8.如圖所示，在直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，設(shè)直線截這個(gè)三角形可得位于此直線左方的圖象的面積為，則函數(shù)的圖象大致是（）A.B.C. D.9.已知函數(shù)，，兩者的定義域都是，若對(duì)于任意，存在，使得，，且，則稱，為“兄弟函數(shù)”，已知函數(shù)，是定義在區(qū)間上的“兄弟函數(shù)”那么函數(shù)在區(qū)間的最大值為A.3 B. C. D.1310.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的圖象如圖所示，那么滿足不等式的的取值范圍是（）A. B.C. D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題（每小題5分，共計(jì)25分）11.已知集合M滿足，那么這樣的集合M的個(gè)數(shù)為_____________．12.函數(shù)的定義域?yàn)開_______；函數(shù)的定義域?yàn)開______________________.13.關(guān)于不等式的解集為，關(guān)于的不等式的解集是______14.設(shè)函數(shù)，若存在最小值，則的一個(gè)取值為___________；的最大值為___________.15.同學(xué)們，你們是否注意到：自然下垂的鐵鏈；空曠的田野上，兩根電線桿之間的電線；峽谷的上空，橫跨深澗的觀光索道的鋼索.這些現(xiàn)象中都有相似的曲線形態(tài).事實(shí)上，這些曲線在數(shù)學(xué)上常常被稱為懸鏈線.懸鏈線的相關(guān)理論在工程、航海、光學(xué)等方面有廣泛的應(yīng)用.在恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，這類函數(shù)的表達(dá)式可以為（其中，是非零常數(shù)，無理數(shù)），對(duì)于函數(shù)以下結(jié)論正確的是___________________.①如果，那么函數(shù)為奇函數(shù)；②如果，那么為單調(diào)函數(shù)；③如果，那么方程無解；④如果，那么函數(shù)的最小值為2.三、解答題（共6題，合計(jì)85分）16.已知全集，集合．（1）求,；（2）已知集合，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．17.（1）求值：（2）解不等式組18.已知函數(shù)（1）判斷函數(shù)奇偶性，并證明；（2）判斷函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性，并證明；（3）求滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍.19.已知函數(shù)，滿足.（1）求值；（2）在上，函數(shù)的圖象總在一次函數(shù)的圖象的上方，試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，求的解析式.20.已知函數(shù).（1）畫出下列函數(shù)圖象，并寫出各自值域；①；②.（2）不等式的解集______________，求的取值范圍.（①是空集；②不是空集；③是全體實(shí)數(shù)，在橫線處填寫其中一個(gè)條件，并完成題目要求.）21.若集合，其中為非空集合，，則稱集合為集合A的一個(gè)n劃分．（1）寫出集合的所有不同的2劃分；（2）設(shè)為有理數(shù)集Q的一個(gè)2劃分，且滿足對(duì)任意，任意，都有．則下列四種情況哪些可能成立，哪些不可能成立？可能成立的情況請(qǐng)舉出一個(gè)例子，不能成立的情況請(qǐng)說明理由；①中的元素存在最大值，中的元素不存在最小值；②中的元素不存在最大值，中的元素存在最小值；③中的元素不存在最大值，中的元素不存在最小值；④中的元素存在最大值，中的元素存在最小值．（3）設(shè)集合，對(duì)于集合A的任意一個(gè)3劃分，證明：存在，存在，使得．

參考答案第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的4個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.【答案】C【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，分兩種情況討論屬于集合的情況，再根據(jù)集合元素的互異性進(jìn)行檢驗(yàn).【詳解】當(dāng)時(shí)，得.此時(shí).此時(shí)集合.因?yàn)椴粷M足集合元素的互異性，所以不符合題意，舍去.當(dāng)時(shí)，解方程，即，可得或.若，則，此時(shí)集合.不滿足集合元素的互異性，所以不符合題意，舍去.若，則，此時(shí)集合.符合集合元素的互異性.故選：C.2.【答案】D【分析】利用舉反例方法,即可判斷錯(cuò)誤選項(xiàng).根據(jù)不等式性質(zhì),即可證明正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A,由,當(dāng)時(shí),不成立,所以A錯(cuò)誤;對(duì)于B,由,當(dāng)時(shí),不成立,所以B錯(cuò)誤;對(duì)于C,由,當(dāng)時(shí),不成立,所以C錯(cuò)誤.對(duì)于D,由,則,所以,即D正確.綜上可知,D為正確選項(xiàng).故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)條件判斷不等式是否成立,不等式性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3.【答案】A【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)得到.【詳解】是定義在上的偶函數(shù)，故.故選：A4.【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)，再由給定函數(shù)值求出.【詳解】令，則，由，得，于是，由，得，，所以.故選：A5.【答案】D【分析】逐個(gè)判斷函數(shù)是否為奇函數(shù)以及是否為增函數(shù)即可.【詳解】對(duì)于A，先判斷奇偶性：設(shè)，則.因?yàn)?，，所以不是奇函?shù).再判斷單調(diào)性：一次函數(shù)的斜率，所以它是增函數(shù)，但由于不是奇函數(shù)，不符合要求.故A錯(cuò)誤.對(duì)于B,先判斷奇偶性：設(shè)，則，所以，該函數(shù)是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，不符合要求.再判斷單調(diào)性：二次函數(shù)的圖象開口向下，對(duì)稱軸為軸，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，不是在定義域上的增函數(shù).故B錯(cuò)誤.對(duì)于C,先判斷奇偶性：設(shè)，則，所以是奇函數(shù).再判斷單調(diào)性：在和上分別是增函數(shù)，但在整個(gè)定義域上不是單調(diào)遞增的，因?yàn)楫?dāng)，時(shí)，，但，，.故C錯(cuò)誤.對(duì)于D,先判斷奇偶性：設(shè)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.則，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是奇函數(shù).再判斷單調(diào)性：當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是增函數(shù).并且時(shí)，左右函數(shù)值連續(xù)，所以在定義域上是增函數(shù).故D正確.故選：D.6.【答案】A【分析】根據(jù)充分與必要條件的性質(zhì)判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，.則，，故，即.故“”是“”的充分條件；當(dāng)時(shí)有，故當(dāng)時(shí)，，即或，當(dāng)時(shí)，，即.故“”不是“”的必要條件；綜上有“”是“”的充分不必要條件.故選：A7.【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來比較大小.先將化簡(jiǎn)，再分別比較、、與特殊值、的大小關(guān)系，從而確定、、的大小順序.【詳解】化簡(jiǎn)的值，.對(duì)于指數(shù)函數(shù)，因?yàn)榈讛?shù)，所以函數(shù)單調(diào)遞增.，所以，即.又因?yàn)椋?對(duì)于，，即.則.故選：B.8.【答案】C【分析】根據(jù)條件列出分段函數(shù)的解析式，再判斷函數(shù)的圖象.【詳解】當(dāng)時(shí)，，此段為開口向上的拋物線的一部分，當(dāng)時(shí)，，此段為開口向下的拋物線的一部分，對(duì)稱軸為，滿足條件的只有C.故選：C9.【答案】C【分析】結(jié)合“兄弟函數(shù)”的定義,可求得在時(shí)取得最小值,再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求得的解析式,進(jìn)而可求得在區(qū)間的最大值.【詳解】由題意,,易知在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則在上的最小值為.所以在時(shí)取得最小值3.故函數(shù)滿足,解得,則,故當(dāng)時(shí),取得最大值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查新定義,考查了函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,考查了學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于中檔題.10.【答案】B【分析】利用奇函數(shù)性質(zhì)作出函數(shù)的圖象，再作出函數(shù)的圖象，利用圖象求出不等式的解集.【詳解】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，作出函數(shù)在上的圖象，并在此坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，如圖，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，觀察圖象知，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)的圖象不在函數(shù)的圖象下方，即當(dāng)或時(shí)，不等式成立，所以不等式的的取值范圍是.故選：B第二部分（非選擇題共110分）二、填空題（每小題5分，共計(jì)25分）11.【答案】8【分析】根據(jù)子集的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，或或，或，或者，或，或，或，?個(gè)，故答案為：12.【答案】①.②.【分析】利用函數(shù)有意義列式求出的定義域；再利用抽象函數(shù)定義域列式求解即可.【詳解】函數(shù)有意義，則，解得，所以的定義域?yàn)?；在函?shù)中，，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：；13.【答案】或【分析】由題意可得，且方程的解為，從而可求出的關(guān)系，再根據(jù)一元二次不等式的解法求解即可.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于不等式的解集為，所以，且方程的解為，所以，即，則由不等式，得，得，解得或，所以關(guān)于的不等式的解集是或.故答案為：或.14.【答案】①.0（答案不唯一，即可）②.1【分析】分，，和四種情況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，得到不等式，求出的取值范圍是0,1，的最大值為1.【詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)無最小值，不合要求；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又時(shí)，，所以存在最小值為0，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若存在最小值，則，解得，所以，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若存在最小值，，則，不等式無解，綜上，的取值范圍是0,1，的最大值為1.故答案為：0（答案不唯一，即可），1.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：通過對(duì)參數(shù)的范圍的討論，確定分段函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)分段處函數(shù)值的大小關(guān)系確定不等式組求得結(jié)果.15.【答案】②③【分析】結(jié)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，基本不等式逐項(xiàng)判斷；【詳解】①如果，，故函數(shù)為偶函數(shù)，故①錯(cuò)誤；②如果，單調(diào)性一致，為單調(diào)函數(shù)，故②正確；③如果，當(dāng)時(shí)，恒成立，方程無解；當(dāng)時(shí)，恒成立，方程無解，故③正確；④如果，結(jié)合基本不等式，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)的最小值為2；當(dāng)時(shí)，故函函數(shù)的最大值為-2，故④錯(cuò)誤；故答案為：②③.三、解答題（共6題，合計(jì)85分）16.【答案】（1），；（2）【分析】（1）根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算，即可得到本題答案；（2）結(jié)合題意，列出不等式組求解，即可得到本題答案.【小問1詳解】全集，集合；∴；，∴；【小問2詳解】∵，又集合，且，∴，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．17.【答案】（1）73；（2）；【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算；（2）根據(jù)分式不等式、絕對(duì)值不等式求解；【詳解】（1）；（2）因?yàn)?，可得：，解得：x<1或；得：解得：然后取交集綜上不等式解集為：；18.【答案】（1）為奇函數(shù)，證明見解析（2）在區(qū)間上單調(diào)遞減，證明見解析（3）或【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性的定義判斷即可；（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合作差法判斷并證明；（3）利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性解不等式即可得解.【小問1詳解】由題意可知，函數(shù)定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，由此可知，函數(shù)為奇函數(shù).【問2詳解】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，證明如下：任取令，，因?yàn)椋?，故函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；【小問3詳解】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，結(jié)合（2）可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，可得，解得，得或；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍或.19.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)題中條件，列出方程組求解，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)題意可得：在上恒成立，結(jié)合二次不等式的恒成立問題分析求解；（3）分別討論，，三種情況，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)槎魏瘮?shù)滿足，則，解得.【小問2詳解】由（1）可知：，若在上，函數(shù)的圖象總在一次函數(shù)的圖象的上方，則在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)殚_口向上，對(duì)稱軸為，可知在上單調(diào)遞減，則，可得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.【小問3詳解】因?yàn)槭菍?duì)稱軸為，開口向上的二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則；當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，則；當(dāng)，即時(shí)，fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可知；綜上所述：.20.【答案】（1）答案見解析（2）答案見解析【分析】（1）函數(shù)圖象的繪制，需要先根據(jù)原函數(shù)的性質(zhì)來分析翻折變換后的函數(shù).對(duì)于函數(shù)，先求出的表達(dá)式，再根據(jù)表達(dá)式的特點(diǎn)繪制圖象并確定值域.對(duì)于同理.（2）不等式，需要先將不等式兩邊化為同底數(shù)的指數(shù)形式，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來求解不等式，最后根據(jù)給定的解集條件確定的取值范圍.【小問1詳解】①當(dāng)，即，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，可得時(shí)，當(dāng)，即，可得時(shí)，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的值域是.圖像如下：②因?yàn)?當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，且.所以的值域是.圖像如下：【小問2詳解】若選①空集，已知，，則.不等式可化為.因?yàn)閱握{(diào)遞減，所以.若解集為空集，則恒成立.則，解得.當(dāng)不等式解集為空集時(shí)，的取值范圍是.若選②不是空集，則由①，得到的取值范圍是或.若選③是全體實(shí)數(shù)，則由①，恒成立，即恒成立.則，解得.當(dāng)不等式解集為全體實(shí)數(shù)時(shí)，的取值范圍是.21.【答案】（1）（2）①可能成立，例子見解析；②可能成立，例子見解析；③可能成立，例子見解析；④不可能成立，證明過程見解析；（3）證明過程見解析.【分析】（1）根據(jù)題意寫出含有3個(gè)元素的2劃分即可；（2）①②③可以舉出反例，④可以利用反證法進(jìn)行證明；（3）用反證法進(jìn)行證明,【小問1詳解】集合的所有不同的2劃分為【小問2詳解】①可能成立，舉例如下：，；②可能成立，舉例如下：，；③可能成立，舉例如下：，；④不可能成立，證明如下：假設(shè)④成立，不妨設(shè)中元素的最大值為S，中元素的最小值為t，由題可知：s<t，所以，因?yàn)閟