2021新教材高中數(shù)學(xué)第8章 作業(yè)+檢測卷 含解析新人教A版必修第二冊

第八章8.1第1課時

素養(yǎng)作業(yè)?提技能

A組?素養(yǎng)自測

一、選擇題

1.下面多面體中，是棱柱的共有（D）

A.1個B.2個

C.3個D.4個

［解析］根據(jù)棱柱的定義進行判定知，這4個圖都滿足.

2.下列說法正確的是（D）

A.多面體至少有3個面

B.有2個面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺

C.各側(cè)面都是正方形的四楂柱一定是正方體

D.九棱柱有9條側(cè)棱，9個側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形

［解析］一個多面體至少有4個面，如三棱錐有4個面，不存在有3個面的多面體，所

以選項A錯誤；選項B錯誤，反例如圖1；選項C錯誤，反例如圖2,上、下底面是全等

的菱形，各側(cè)面是全等的正方形，它不是正方體；根據(jù)棱柱的定義，知選項D正確.

3.下列說法中正確的是（B）

A.所有的棱柱都有一個底面

B.棱柱的頂點至少有6個

C.棱柱的側(cè)棱至少有4條

D.棱柱的棱至少有4條

［解析］棱柱有兩個底面，所以A項不正確；棱柱底面的邊數(shù)至少是3,則在棱柱中，

三棱柱的頂點數(shù)至少是6,三棱柱的側(cè)棱數(shù)至少是3,三棱柱的棱數(shù)至少是9,所以C、D

項不正確，B項正確.

4.下列圖形經(jīng)過折疊可以圍成一個棱柱的是（D）

［解析］A、B、C中底面圖形的邊數(shù)與側(cè)面的個數(shù)不一致，故不能圍成棱柱.故選D.

5.觀察如圖所示的四個幾何體，其中判斷不正確的是（B）

A.①是棱柱B.②不是棱錐

C.③不是棱錐D.④是棱臺

［解析］①是棱柱，②是棱錐，③不是棱錐，④是棱臺，故選B.

二、填空題

6.四棱錐的側(cè)面?zhèn)€數(shù)是4.

［解析］四棱錐有4個側(cè)面.

7.若棱臺上、下底面的對應(yīng)邊之比為1：2,則上、下底面積之比為1：4.

［解析］棱臺上、下兩個底面是相似多邊形，面積之比是相似比的平方，故上、下底面

積之比為1：4.

8.下列說法正確的是一①④一

①一個棱錐至少有四個面；

②如果四棱錐的底面是正方形，那么這個四棱錐的四條側(cè)棱都相等；

③五棱錐只有五條棱；

④用與底面平行的平面去截三棱錐，得到的截面三角形和底面三角形相似.

［解析］①正確.②不正確，四棱錐的底面是正方形，它的側(cè)棱可以相等.也可以不等.③

不正確，五棱錐除了五條側(cè)棱外，還有五條底邊，故共10條棱.④正確.

三、解答題

9.如圖所示的幾何體中，所有棱長都相等，分析此幾何體的構(gòu)成？有幾個面、幾個頂

點、幾條棱？

c

［解析］這個幾何體是由兩個同底面的四棱錐組合而成的八面體，有8個面，都是全等

的正三角形；有6個頂點；有12條棱.

10.如圖所示，已知長方體人BCO-481GA.

(1)這個長方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱?

(2)用平面8C尸E把這個長方體分成兩部分后，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果

是，是幾棱柱？如果不是，請說明理由.

［解析］(1)是棱柱，并且是四棱柱.

(2)截面8CFE右上方部分是棱柱，且是三棱柱，其中△8E&和ACFG是底面.

截面8c正左下方部分也是棱柱，且是四棱柱，其中四邊形ABE%和四邊形OCFA是

底面.

B組?素養(yǎng)提升

一、選擇題

1.下面說法正確的是(C)

A.棱錐的側(cè)面不一定是三角形

B.棱柱的各側(cè)棱長不一定相等

C.棱臺的各側(cè)棱延長必交于一點

D.用一個平面截棱錐，得到兩個幾何體，一個是棱錐，另一個是棱臺

［解析］棱臺的各側(cè)棱延長后必交于一點，故選C.

2.以三棱臺的頂點為三棱錐的頂點，這樣可以把一個三棱臺分成三棱錐的個數(shù)為

(C)

A.1B.2

C.3D.4

I解析］如圖所示，在三棱臺ABC-4&G中，分別連接48,AC,BG,則將三棱臺

分成3個三棱錐，即三棱錐4—4BC,Bi—ABG,C-^BCx

3.(多選)一個正方體的截面可能是(ABD)

A.等邊三角形B.正方形

C.正八邊形D.平行四邊形

［解析］一個正方體的截面可能是正三角形，正方形，平行四邊形，邊數(shù)最多是六邊形

不可能是正八邊形，故選ABD.

4.如圖，模塊①一⑤均由4個棱長為1的小正方體構(gòu)成，模塊⑥由15個棱長為1的小

正方體構(gòu)成.現(xiàn)從模塊①一⑤中選出三個放到模塊⑥上，使得模塊⑥成為一個校長為3的大

正方體，則下列選擇方案中，能夠完成任務(wù)的為（A）

國名盅

模塊①模塊②模配）

尊曲密

奧塊④模塊⑤模塊⑥

A.模塊①②⑤B.模塊①③⑤

C.模塊②④⑤D.模塊③④⑤

［解析］先補齊中間一層，只能用模塊⑤或①，且如果補①則后續(xù)兩塊無法補齊，所以

只能先用⑤補齊中間一層，然后用①②補齊.

二、填空題

5.在正方體上任意選擇4個頂點，它們可能是如下各種幾何形體的4個頂點，這些幾

何形體是①③④⑤（寫出所有正確結(jié)論的編號）.

①矩形；②不是矩形的平行四邊形；③有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三

角形的四面體；④每個面都是等邊一角形的四面體；⑤每個面都是直角三角形的四面體.

［解析］在如圖正方體ABCD-AIBIGG中，若所取四點共面，則只能是正方體的表面

或?qū)敲?

即正方形或長方形，工①正確，②錯誤.

棱錐A-BD4］符合③，，③壬確：

棱錐4—BOG符合④，，④正確；

棱錐4-4/10符合⑤，，⑤正確.

6.如圖，是一個無蓋正方體盒子的表面展開圖，A,8,C為其上三點，則在正方體盒

子中，/A5C等于60。.

［解析1由展開圖可知，折成的無蓋盒子的示意圖如圖所示(上面無蓋).在△48C中，因

為AB,AC,均為正方形的對角線，所以AB=AC=BC,故△ABC為等邊三角形，故/

ABC=60°.

(1)該幾何體是哪種幾何體；

(2)該幾何體中與“祝”字面相對的是哪個面？與“你”字面相對的是哪個面？

［解析］(1)該幾何體是四棱臺；

⑵與“?！毕鄬Φ拿媸恰扒啊?，與“你”相對的面是“程”.

8.根據(jù)如圖所示的幾何體的表面展開圖，畫出立體圖形.

［解析］圖1是以A8C。為底面，P為頂點的四棱錐.

圖2是以48co和A\B\C\D\為底面的棱柱.

其圖形如下圖所示.

第八章8.1第2課時

課堂檢測?固雙基

1.下列幾何體中是旋轉(zhuǎn)體的是（B）

①圓柱：②六棱錐；③正方體；④球體；⑤四面體.

A.①B.①和④

C.①和⑤D.③和④

［解析］①④是旋轉(zhuǎn)體，②③⑤是多面體，故選B.

2.如圖所示的組合體，其結(jié)構(gòu)特征是（D）

A.兩個圓錐

B.兩個圓柱

C.一個棱錐和一個棱柱

D.一個圓錐和一個圓柱

［解析］如圖所示的幾何體是由一個圓錐和一個圓柱構(gòu)成的組合體.

3.關(guān)于圓臺，下列說法正確的是②③④.

①兩個底面平行且全等；

②圓臺的母線有無數(shù)條；

③圓臺的母線長大于高；

④兩底面圓心的連線是高.

［解析］圓臺的上底面和下底面是兩個大小不同的圓，則①不正確，②??正確.

4.圓柱的母線長為10,則其高等于（B）

A.5B.10

C.20D.不確定

［解析］圓柱的母線長與高相等，則其高等于10.

5.已知圓錐的母線長為5,底面圓直徑為8,則圓錐的高力=3.

f解析］如圖，

???圓錐的底面直徑4B=8,

，圓錐的底面半徑R=OA=4,

又?.?S4=5,

???圓錐的高力=so=q?二不=3.

第八章8.1第2課時

素養(yǎng)作業(yè)?提技能

A組?素養(yǎng)自測

一、選擇題

1.下列幾何體中不是旋轉(zhuǎn)體的是（D）

［解析］由旋轉(zhuǎn)體的概念可知，選項D不是旋轉(zhuǎn)體.

2.用一個平面去截一個幾何體，得到的截面是圓面，這個幾何體不可能是（D）

A.圓錐B.圓柱

C.球D.棱柱

［解析］棱柱的任何截面都不可能是圓面.

3.（多選）下列命題中正確的是（CD）

A.矩形繞任何一條宜線旋轉(zhuǎn)都可以圍成圓柱

B.圓柱的母線是連接圓柱上底面上一點和下底面上一點的直線

C.圓柱的軸是過圓柱上、下底面圓的圓心的直線

D.矩形任意一條邊所在的直線都可以作為軸，其他邊繞其旋轉(zhuǎn)形成圓柱

［解析］在A中，繞矩形的一條對角線旋轉(zhuǎn)形成的幾何體是有公共底面的兩個圓錐的組

合體，不是圓柱，故A錯誤；在B中，圓柱的母線是連接圓柱上底面上一點和下底面上一

點的線段，且這條線段與軸平行，故B錯誤；在C中，圓柱的軸是過圓柱上、下底面圓的

圓心的直線，故C正確；在D中，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得矩形任意一條邊所在的直線都可以作為

軸，其他邊繞其旋轉(zhuǎn)形成圓柱，故D正確.故選CD.

4.如圖所示的幾何體是由下圖中的哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)后得到的？（A）

［解析］因為簡單組合體為一個圓臺和一個圓錐所組成的，因此皿面圖形應(yīng)為一個直角

三角形和一個直角梯形構(gòu)成，可排除B、D,再由圓臺上、下底的大小比例關(guān)系可排除C,

故選A.

5.圖中最左邊的幾何體由一個圓柱挖去一個以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂

點的圓錐而得.現(xiàn)用一個豎直的平面去截這個幾何體，則截面圖形可能是（D）

A.(1)(2)

C.⑴(4)

［解析］圓錐除過軸的截面外，其它截面截圓錐得到的都不是三角形.

二、填空題

6.圓錐的高與底面半徑相等，母線長等于5地，則底面半徑等于5.

［解析］因為圓錐的高、底面半徑和母線構(gòu)成直角三角形，設(shè)底面半徑為r,則高為八

所以+/=5啦.所以r=5.

7.一個圓錐截成圓臺，已知圓臺的上下底面半徑的比是1：4,截去小圓錐的母線長為

3cm,則圓臺的母線長為9cm.

［解析］如圖所示，設(shè)圓臺的母線長為xcm,

截得的圓臺的上、下底半徑分別為，cm,4rcm,

根據(jù)三角形相似的性質(zhì)，得幣=%，解得x=9.

8.一個與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為加則球的直徑為_2啦_.

［解析］設(shè)球心到平面的距離為4,截面圓的半徑為「，則冗/=用，r=1.設(shè)球的半徑

為R,則R=N法+戶=巾,故球的直徑為2版

三、解答題

9.如圖所示，幾何體可看作由什么圖形旋轉(zhuǎn)360。得到？畫出平面圖形和旋轉(zhuǎn)軸.

a

［解析］先畫出幾何體的軸，然后再觀察尋找平面圖形.旋轉(zhuǎn)前的平面圖形如下:

々T5

10.一個圓錐的高為2cm,母線與軸的夾角為30。，求圓錐的母線長及圓錐的軸截面的

面積.

［解析］如圖軸截面SA8,圓錐SO的底面直徑為A5,SO為高，SA為母線，

則N4SO=30°.在RtZXSOA中，AO=SO?tan30。=寸(cm).

右SO24代、

SA-cos30。=斤3師).

所以SaASB=ZS024O=g(cm?).

所以圓錐的母線長為芋cm,圓錐的軸截面的面積為芋cn?

B組?素養(yǎng)提升

一、選擇題

1.（2020?河北衡水武邑月考）下列幾何體是組合體的是（D

［解析1A是圓錐，B是圓柱，C是球體，D是圓臺中挖去一個圓錐的組合體.

2.下列結(jié)論，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（C）

①圓柱的軸截面是過母線的截面中面積最大的一個（注：軸截面是指過旋轉(zhuǎn)軸的截面）；

②用任意一個平面去截球體得到的截面一定是一個圓面;③用任意一人平面去截圓錐得到的

截面一定是一個圓.

A.0B.1

C.2D.3

［解析］由圓錐與球的結(jié)構(gòu)特征可知①②正確，故選擇C.

3.（202。浙江寧波高一月考）將一個等腰梯形繞著它的較長的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周,

所得的幾何體包括（D）

A.一個圓臺、兩個圓錐B.兩個圓臺、一個圓柱

C.兩個圓臺、一個圓柱D.一個圓柱、兩個圓錐

［解析］如圖1是一個等腰梯形，C。為較長的底邊.以co邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一

4.如果把地球看成一個球體，則地球上北緯60。緯線長和赤道線長的比值為（C）

A.4：5B.3：4

C.1：2D.1：4

［解析］設(shè)赤道所在圓的半徑為上北緯60。所在圓的半徑為r,由緯度定義可知，cos60。

AZ故所求比值即為兩個圓半徑之比值1:2.

二、填空題

5.如圖所示的幾何體，關(guān)于其結(jié)構(gòu)特征，下列說法不正確的是一?_.（寫出所有不正

確的序號）

①該幾何體是由兩個同底的四棱錐組成的幾何體；

②該幾何體有12條棱、6個頂點；

③該幾何體有8個面，并且各面均為三角形；

④該幾何體有9個面，其中一個面是四邊形，其余均為三角形.

［解析］平面4BCO可將該幾何體分割成兩個四棱錐，因此該幾何體是這兩個四棱錐的

組合體，因而四邊形ABCO是它的一個截面，而不是一個面，故填④.

6.已知球的外切圓臺上、下底面半徑分別為r,R,則圓臺的高為2，沃，球的半徑

為.

［解析］圓臺的軸截面為等腰梯形，與球的大圓相切，由此得梯形腰長為R+r,梯形的

高即球的直徑，即d(r+R)2—(R—「)2=2由,球的半徑為屈.

三、解答題

7.一個圓臺的母線長為12cm,兩底面面積分別為4兀cm?和2571cm2

(1)求圓臺的高：

(2)求截得此圓臺的圓錐的母線長.

［解析］(1)如圖，過圓臺的軸作截面，則截面為等腰梯形ABCO,作AM_LBC于點M,

連接010.

由已知可得上底面圓半徑0iA=2cm,下底面圓半徑0B=5cm,且腰長AB=12cm,

所以AM=712^—32=3s3(cm),即圓臺的高為3y［v5cm.

(2)延長BA,00i,CO交于點S,設(shè)截得此圓臺的圓錐的母線長為/,則由△SA0|S4

^/-122

SBO,可得/13j-=予

所以/=20(cm).即截得此圓臺的圓錐的母線長為20cm.

8.如圖所示，圓錐底面圓的半徑QA=6,軸截面的頂角NAS8是直角，過兩條母線的

截面SCB截去底面圓周的看，求截面的面積.

/1,

［解析］由題意知，軸截面頂角NAS6=9(r,OA=6,

，SA=SB=SC=6V1如圖，連接08,0C,作SO_L8C于D

???弧的長為底面圓周長的看

AZBOC=TX360°=60°.

O

：.0B=0C=BC=6.

???截面面積為5\「.

第八章8.2

課堂檢測?固雙基

1.下列關(guān)于直觀圖的說法不正確的是（A）

A.原圖形中平行于），軸的線段，對應(yīng)線段平行于直觀圖中y軸，長度不變

B.原圖形中平行于x軸的線段，對應(yīng)線段平行于直觀圖中/軸，長度不變

C.畫與直角坐標系工。＞，對應(yīng)的/O'y'時，Nx'O'y1可以畫成135。

D.在畫直觀圖時，由于選軸的不同所畫直觀圖可能不同

［解析］平行于y軸的線段，直觀圖中長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄蔄錯.

2.下面關(guān)于利用斜二測畫法得到直觀圖的敘述正確的是（B）

A.正三角形的直觀圖是正三角形

B.平行四邊形的直觀圖是平行四邊形

C.矩形的直觀圖是矩形

D.圓的直觀圖是圓

［解析］直觀圖改變了原圖中角的大小及圖形的形狀，所以A、C、D都不正確，故選

B.

3.（2018?河南省南陽市高一期末）如圖所示，AB'C是水平放置的aABC的直觀

圖，A'B'//y'軸，B'C〃上軸，且4'B'=2,8'C=3,則△A3C中，4C=5.

［解析］由題意及斜二測畫法規(guī)則可得，在△48。中，ZABC=90°,AB=2A'B'=4,

BC=B,C=3,故AC="T?=5.

4.梯形的直觀圖是（A）

A.梯形B.矩形

C.三角形D.任意四邊形

［解析］梯形的直觀圖仍為梯形.

5.如圖所示，四邊形A'B'CD'是一個水平放置的平面圖形的直觀圖，它所表示

的平面圖形ABCD的形狀是一直角梯形_.

［解析I根據(jù)直觀圖可知,A'B'D'均與x'軸平行且A'B'HC'?D'

與y1軸平行，所以在平面圖形中，AB//CD,ABXCO,AB±ADtADLCDt故平面圖形

ABC。是一個直角梯形.

第八章8.2

素養(yǎng)作業(yè)?提技能

A組?素養(yǎng)自測

一、選擇題

1.AB=2CD,軸，CD〃y軸，已知在直觀圖中，A8的直觀圖是4,B',CD

的直觀圖是C'D',貝U(C)

A.A'B'=2CfD'B.A'B'=C'O'

C.A'B'=4C'DD.A'B'=^C'D'

f解析］TAB〃工軸，CO〃y軸，：.AB=A'B',CD=2C'D',

，A'B'=AB=2CD=2(2CD')=4C/D'.

2.下列關(guān)于用斜二測畫法畫百觀圖的說法中，正確的是(B)

A.水平放置的正方形的直觀圖不可能是平行四邊形

B.平行四邊形的直觀圖仍是平行四邊形

C.兩條相交直線的直觀圖可能是平行直線

D.兩條垂直的直線的直觀圖仍互相垂直

［解析］平行四邊形的邊平行，則在直觀圖中仍然平行，故選項B正確.

3.如圖，矩形。'4,B'C是水平放置的一個平面圖形用斜二測畫法得到的直觀圖,

其中O'A'=6cm,O'C'=2

A.正方形

C.菱形

［解析］將直觀圖還原得到平行四邊形QA8G如圖所示.由題意知O'=近0'C

=2&cm,

00=20'Dr=4啦cm,CD'=0'C'=2cm,ACD=2cm,

OC=yjCD1-bOD1—6cm,又0A=。'A'=6cm=PC,，原圖形為菱形.

4.如圖，用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為一個正方形，則原來圖

形的形狀是(A)

［解析］由斜二測畫法可知，與y軸平行的線段在原圖中為在直觀圖中的2倍.故可判

斷A正確.

5.如圖RtZXO'A'B'是一個平面圖形的直觀圖，若O'B'=<2,則這個平面圖形

的面積是(C)

A.1

C.2巾

［解析］由直觀圖可知，原平面圖形是其中。則08-0'B'一港,

0A=20'A'=4,：，S^,oAB=^OBOA=2yl2f故選C.

二、填空題

6.斜二測畫法中，位于平面直角坐標系中的點"(4,4)在直觀圖中的對應(yīng)點是M',則

點M'的坐標為M'(4,2),點的找法是—在坐標系『0,y'中，過點(4,0)和F

軸平行的直線與過點(0.2)和廣軸平行的直線的交點即是點.

［解析］在『軸的正方向上取點例1,使。"1=4,在<軸上取點M2,使0'%=2,

過M和也分別作平行于<軸和f軸的直線，則交點就是M'.

7.如圖，水平放置的△ABC的斜二測直觀圖是圖中的△4'B'C,已知4'C=6,

B'C'=4,則AB邊的實際長度是10.

X

［解析］由斜二測畫法，可知是直角三角形，且N8CA=90。，AC=6,8C=4X2

=8,則4>=<4。2+8。2=I。

8.如圖，平行四邊形O'PQ'R1是四邊形0PQR的直觀圖，若。'P'=3,。'R1

=1,則原四邊形。P0R的周長為10.

［解析］由四邊形0PQR的直觀圖可知原四邊形是矩形，且。尸=3,0R=2,所以原四

邊形0PQR的周長為2X(3+2)=10.

三、解答題

9.如圖所示，四邊形ABC。是一個梯形，CD"AB,CD=AO=\,三角形AO。為等腰

直角三角形，0為A8的中點，試求梯形A8CO水平放置的直觀圖的面積.

［解析］在梯形48CO中，AB=2,高00=1,由于梯形ABC。水平放置的直觀圖仍為

梯形，且上底C。和下底AB的長度都不變，在直觀圖中，O'=^0D,梯形的高O'E'

=坐，于是梯形A'B'C。的面積為3乂(1+2)乂乎=手.

10.一個幾何體，它的下面是一個圓柱，上面是一個圓錐，并且圓錐的底面與圓柱的上

底面重合，圓柱的底面直徑為3cm,高為4cm,圓錐的高為3cm,畫出此幾何體的直觀圖.

［解析］⑴畫軸.如圖1所示，畫x軸、z軸，使NxOz=90。.

(2)畫圓柱的兩底面，在x軸上取A、B兩點,使4B的長度等于3cm,且04=08.選擇

橢圓模板中適當(dāng)?shù)臋E圓過A,6兩點，使它為圓柱的下底面.在Qz上截取點O',使OO'

=4cm,過O'作Ox的平行線O'/,類似圓柱下底面的作法作出圓柱的上底面.

(3)畫圓錐的頂點.在Oz上截取點P,使P0'等于圓錐的高3cm.

(4)成圖.連接A'4、B'B、PA'.PBf,整理得到此幾何體的直觀圖.如圖2所示.

B組?素養(yǎng)提升

一、選擇題

1.給出以下關(guān)于斜二測直觀圖的結(jié)論，其中正確的個數(shù)是(C)

①角的水平放置的直觀圖一定是角；

②相等的角在直觀圖中仍相等；

③相等的線段在直觀圖中仍然相等：

④若兩條線段平行，則在直觀圖中對應(yīng)的兩條線段仍然平行.

A.0B.1

C.2D.3

［解析］由斜二測畫法規(guī)則可知，直觀圖保持線段的平行性，，④對，①對；而線段的

長度，角的大小在直觀圖中都可能會發(fā)生改變，.??②③錯.

2.下圖甲所示為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是圖乙中的(C)

圖乙

［解析］按斜二測畫法規(guī)則，平行于X軸或4軸上的線段的長度在新坐標系中不變，平

行于），軸或在y軸上的線段在新坐標系中變?yōu)樵瓉淼?并注意到N%Oy=90。，N/O'y'

=45°,將圖形還原成原圖形知選C.

3.已知正三角形ABC的邊長為2,那么用斜二測畫法得到的AABC的平面直觀圖△

A'B'C的面積為（D）

［解析］根據(jù)題意，建立如圖1所示的平面直角坐標系，再按照斜二測畫法畫出其直觀

圖，如圖2中AA'B'Cf所示.

易知，4'夕=AB=2,O'C'=義0。=坐.過點C‘作C'D'_L4'B1于點。'，

則C'D'=^^。'C'.所以SAA，B，c=5'B，D'=^X

4.（多選）水平放置的△ABC的斜二測直觀圖如圖所示，已知B'C=4,A'C=3,

B'C'〃y'軸，則△ABC中以下說法正確的是（ACD）

A.△ABC是直角三角形

B.AC長為6

C.8c長為8

D.AB邊上的中線長為厚

［解析1由斜二測畫法規(guī)則知AC_LBC,即△ABC為直角三角形，其中AC=3,BC=8,

所以AA=后,4A邊上的中線長度為呼.故選ACD.

二、填空題

5.如圖所示，AB'C'是水平放置的aABC用斜二測畫法得到的直觀圖，則在△

ABC的三邊及中線AO中，最長的線段是AC.

W)D*C

［解析］畫出原圖形如圖所示，△A8C為直角三角形，顯然，AC邊最長.

6.(2020?湖南省永州市高一期中冰平放置的△ABC的直觀圖如圖所示，已知A'C

=3,B'C=2,則AB邊上的中線的實際長度為_乙.

W7)x

I解析］由直觀圖可知，原平面圖形是邊AC=3,邊8。=4的直角三角形48C,故人B

邊上的中線長為品木耳不一方

三、解答題

7.如圖，正方形?！瓵'B'C的邊長為1cm,它是水平放置的一個平面圖形的直觀

圖.請畫出原來的平面圖形的形狀，并求原圖形的周長與面積.

/O'A'

題圖答圖

［解析］如圖，建立直角坐標系X。)，，在x軸上取04=。'4'=1cm；

在y軸上取08=20'B'=2啦cm；

在過點8的工軸的平行線上取5c=5,C=1cm.

順次連接O,A,B,C各點，即得到了原圖形.

由作法可知，0ABe為平行四邊形，

0C=y)0B2-\-BC2=^/8+T=3(cm),

???平行四邊形OA8C的周長為(3+l)X2=8(cm),面積為1X2、「=2啦(cn?).

8.用斜二測畫法畫出底面邊長為1.4cm高為0.9cm的正四棱錐的直觀圖.

［解析］(1)畫軸，如圖1畫X,軸，y軸，z'軸使得N』O'<=45。，O'z1

=90°.

(2)畫底面以點O'為中心，在x'軸上畫MN=1.4cm,在y'軸上畫PQ=0.7cm,分

別過點M,N作V軸的平行線，過點P,Q作V軸的平行線，設(shè)它們的交點分別為A8c

則四邊形A8co就是該棱錐的底面.

(3)畫高確定頂點，在z'軸上截取O'S=0.9cm.

(4)連線成圖，連接S4,SB,SC,SD(注意區(qū)別實線和虛線)，去掉輔助線，就得到了正

四棱錐的直觀圖，如圖2所示.

圖1圖2

第八章8.38.3.1

課I檢測?固雙基

1.已知某長方體同一頂點上的三條棱長分別為1,2,3,則該長方體的表面積為(A)

A.22B.20

C.10D.11

I解析］所求長方體的表面積S=2X(1X2)+2X(1X3)+2X(2X3)=22.

2.底面為正方形的直棱柱，它的底面對角線長為戲,體對角線長為證,則這個棱柱的

側(cè)面積是(D)

A.2B.4

C.6D.8

［解析］易知底面正方形的邊長為1,棱柱的高為2,所以這個棱柱的側(cè)面積是4X2=8.

3.如圖，ABC-A'B1C是體積為1的三棱柱，則四棱錐C-AA'B'B的體積是

(C)

B

-2c3

C,3D,4

11i2

［解析］V￡ttttC-/VB,C^.^ABC-A,BC=y?**Vc-AABB=1—

4.（2020.全國I卷理）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個

正四楂錐.以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其

側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（C）

解得!=±y（負值舍去）.故選c.

5.已知正三棱錐V—48C中，VA=VB=VC=4,A3=8C=AC=2，1求該三棱錐的表

面積.

［解析］如圖所示，VA=VB=VC=4tAB=BC=AC=2yf3.

取BC的中點O,連接0）,則VD1.BC,

有VD=\VB?-Bb2=74?一電）2=回,

則Szw8C=：XW)XBC=}XVHX2V5=V55,x(2^3)2x3^/3,

所以，三棱錐V-A8c的表面積為3s△W+SMSC=3，而十八尸=3(，55+5).

第八章8.38.3.1

素養(yǎng)作業(yè)?提技能

4組.素養(yǎng)自測

一、選擇題

1.若正方體的表面積為96,則正方體的體積為（B）

A.48^6B.64

C.16D.96

［解析］設(shè)正方體的棱長為〃，則6/=96,解得。=4,故V=〃=43=64.

2.將一正方體截去四個角后，得到一個四面體，這個四面體的體積是原正方體體積的

(B)

1

A.B.

3

C.I1

D.

4

［解析I設(shè)正方體的棱長為I,已知截去的每一個角都是一個三棱錐，且每個三棱錐的

體積都等于1也因此截去的四個三棱錐的體積為2余則剩余的四面體的體積為爭1

3.將一個棱長為。的正方體，切成27個全等的小正方體，則表面積增加了（B）

A.6〃2B.12a2

C.18a2D.24a2

［解析］原來正方體表面積為$=6后，切割成27個全等的小正方體后，每個小正方體

的梭長為其表面積為6義&}=初，總表面積s?=27X壬2=］8〃，

2

，增加了S2-5I=12a

4.若正方體的棱長為也，則以該正方體各個面的中心為頂點的凸多面體的體積為

（B）

A應(yīng)B也

A.63

C.當(dāng)D.|

［解析］由題意知，以正方體各個面的中心為頂點的凸多面體是正八面體（即由兩個同底

等高的正四棱錐組成），所有的棱長均為1,其中每個正四棱錐的高均為坐，故正八面體的

體積V=2V正四梭泣=2><9/又落乎.故選B.

5.如圖所示,三棱柱ABC-A'B'C中，若E,尸分別為AC,A6的中點，平面EC'B'F

將三棱柱分成體積為■(棱臺AEF-A'C'夕的體積)，匕的兩部分，那么0：L=(A)

A.7：5

C.8：3D.4：3

［解析］設(shè)三棱柱的高為力，底面面積為S,體積為匕則V=L+V2=S/L因為E,尸分

別為AC,AB的中點，所以SAAEF=；S,所以H=*(s+：S+y7^)=￡s/?,V?=V—Vi=-^

所所以Vj：V2=7：5.

二、填空題

6.已知一個長方體的三個面的面積分別是加，小，加，則這個長方體的體積為—存

ab=y[2t

ac=小，三式相乘得

{bc=y[6.

(abc)2=6,故長方體的體積V=Hc=加.

7.如圖所示的三棱柱中，兩個底面是邊長為2的正三角形，側(cè)面是全等的矩形，且矩

形的長是4,寬是2,則該幾何體的表面積為24+2S.

［解析］該三棱柱的表面積為2X(；X2X小)+3X(4X2)=24+2Vl

8.如圖所示，正方體A8CO—4BG。的棱長為1,E為線段BC上的一點，則三棱

錐A-OEOi的體積為，

[解析]V三棱錐A-DEDi=V三棱錐E-DDiA=^X^X1X1XI=1,

三、解答題

9.如圖，已知正三棱錐S—A8C的側(cè)面積是底面積的2倍，正三棱錐的高SO=3,求

此正三棱錐的表面積.

I解析］如圖，設(shè)正三棱錐的底面邊長為出斜高為人'，過點。作OE_LA8,與48交

于點E,連接SE,則SE_LA8,SE=h'.

VS?=25?,???3X&X%'=2X乎H

:.a=^h：

'：SOLOE,：.SO2-^-OE2=SE2

,32+(*X?)

=h'2'

:.h'=2小，,\a=y/3h'=6.

，S底邛02=用62=舶

Sis=2Sa=18小.

:,S*=S側(cè)+S服=186+9＞「=27小.

10.如圖，棱錐的底面ABCD是一個矩形，AC與BO交于點M,河是棱錐的高.若VM

=4cm,AB=4cm,VC=5cm,求錐體的體積.

V.

［解析］:MM是棱錐的高,

:.VMLMC.

在RtZkVMC中，

MC=ylVC2~VM2=^/52-42=3(cm),

.\AC=2MC=6(cm).

在Rt/\ABC中,

BC=\AC?-AB?=76?—4?=2Wcm).

S底=4BBC=4X2由=8#(cm2),

V拒=；S.Y=；X8/><4=32產(chǎn)(cn?).

二棱錐的體積為非"cm3,

B組?素養(yǎng)提升

一、選擇題

1.（2020?江蘇高一期中）已知一個正三棱臺的兩個底面的邊長分別為4和16,側(cè)棱長為

10,則該棱臺的側(cè)面積為（B）

A.80B.240

C.320D.640

［解析］由題意可知，該棱臺的側(cè)面為上、下底邊長分別為4和16,腰長為10的等腰

梯形，則該等腰梯形的高為q?一。空>=8.

???等腰梯形的面積為Wx（4+16）X8=80,.?.該棱臺的側(cè)面積S=3X80=240.故選B.

2.（2020?河北高一月考）某六棱柱的底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)面是矩形，側(cè)棱長

為4,則其表面積為（B）

A.12+12小B.48+12小

C.64+6\/3D.72+6小

I解析］由題意知該六棱柱的側(cè)面面積為4X2X6=48,上、下底面的面積均為:

X2X2X坐X6=62，所以全面積等于48+12小.故選B.

3.已知正二棱臺的上底面邊長為2,下底面邊長為4,高為亨，則正二棱臺的側(cè)面積

S與底面面積之和S2的大小關(guān)系為（A）

A.S\>SiB.5i<52

C.Si=S2D.以上都不是

I解析I斜高"=［（噌葉［坐（4-2）｝=啦,

S1斗C+C'*=1（3X2+3X4）X^2=9A/2,

Sz=*X2?+*X42=5小,所以Sp>S2.

4.正四棱錐底面正方形的邊長為4,高與斜高的夾角為30。，則該四棱錐的側(cè)面積為

(A)

A.32B.48

C.64D.y

［解析］如圖所示，在正四棱錐尸一ABC。中，連接AC,BD,交于。點，連接尸0,

取8C的中點E,連接PE,0E,易知P0為正四棱錐尸一ABC。的高，PE為斜高，貝！0E

=夕石，因為OE==4B=2,所以PE=4,則S?i=4><：X4X4=32.

二、填空題

5.(2020.江蘇省揚州市檢測)若正四棱錐的底面邊長為2啦cm,體積為8cm3,則它的

側(cè)面面積為4亞cm?

［解析］?.?該正四棱錐的底面邊長為2啦cm,體積為8cm3,.?.該四棱錐的高為3cm,

，側(cè)面等腰三角形的高為正工7質(zhì)=4H(cm),故Sm=4X3X2巾乂5=4V22(cm2).

6.(2020?山東濟南高一學(xué)習(xí)質(zhì)量評估)如圖，四棱錐P—A8CZ)的底面48co為平行四

邊形，CE=2￡P(guān).若三棱錐尸一砧。的體積為％,三棱錐P—A8O的體積為匕，則p的值為

V2

I

—3—,

I解析］設(shè)四棱錐P-ABCD的高為h,底面ABCD的面積為S,則匕=卜物=演.

因為CE=2EP,所以PE=gpC,所以V)=VE-PBD=^Vc-PBD=^Vp-BCD=^'X^Sh=^Sh,所

三、解答題

7.如圖所示，在長方體ABCD-A'B'CD'中，用截面截下一個棱錐C-A'DD',

求棱錐C-A'DDf的體積與剩余部分的體積之比.

［解析］設(shè)AB=mAD=b,DD'=c,則長方體ABCD-A'B'C'。'的體積V=Mc,

又以人加=茨，且三棱錐CWDD'的高為CD=a.

：?V三植鎮(zhèn)C-A'DDDDCD=^abc.

則剩余部分的幾何體體積V^=abc—^abc=^abc.

故V梭蛾C-A'DD:V第=,血?:聲〃C=1：5.

8.（2020?河北高一月考）如圖，已知正六棱錐P—ABCDE尸的表面積為18小，且48=2,

求正六棱錐P-ABCDEF的體積.